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第2讲空间中的平行与垂直2


第2讲
主干知识梳理:

空间中的平行与垂直

1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理 (2)线面平行的性质定理 (3)面面平行的判定定理 (4)面面平行的性质定理 ∵a?α,b?α,a∥b,∴a∥α. ∵a∥α,a?β,α∩β=b,∴a∥b. ∵a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α,∴α∥β. ∵α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,∴a∥b.

2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理 (2)线面垂直的性质定理 (3)面面垂直的判定定理 (4)面面垂直的性质定理 ∵m?α,n?α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n,∴l⊥α. ∵a⊥α,b⊥α,∴a∥b. ∵a?β,a⊥α,∴α⊥β. ∵α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l,∴a⊥β.

基础小练:
1.已知 a、b 为直线,α、β 为平面.在下列四个命题中, ①若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b;②若 a∥α,b∥α,则 a∥b; ③若 a⊥α,a⊥β,则 α∥β;④若 α∥b,β∥b,则 α∥β. 正确命题的序号是________.

2.已知 m、n 是两条不重合的直线,α 、β 、γ 是三个两两不重合的 平面.给出下列的四个命题: ①若 m ? ? ,m ? ? , ? // ? ; 则 ②若 ? ? ? ,? ? ? , ? // ? ; 则 ③若 m ? ? ,
n ? ? , m // n ,则 ? // ? ;

④若 m、n 是异面直线, m ? ? , m // ? , n ? ? , n // ? ,则 ? // ? ,其中 真命题是

例 1(2011· 江苏)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD;(2)平面 BEF⊥平面 PAD.

例 2 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,△PAB 为正三角形,且面 PAB⊥面 ABCD,四边形 ABCD 是直角梯形,且 AD∥BC,∠BCD π = ,AD=1,BC=2,E 为棱 PC 的中点. 4 (1)求证:DE∥平面 PAB;(2)求证:平面 PAB⊥平面 PBC;

变式训练:如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1, AB=2,AB∥DC,∠BCD=900. (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离.

规律方法总结 1.线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下列形式转化.

在证明平行或垂直的问题中,认真体会“转化”这一数学思想方法. 不仅要领悟“平行”“垂直”内部间的转化, 还要注意平行与垂直之

间的转化关系. 2.弄清各类问题的关键点,把握问题的层次,重视容易忽视的问题, 如证平行时,由于过分强调线线、线面、面面平行的转化,而忽视由 垂直关系证平行关系; 证垂直时, 同样忽视由平行关系来证明或利用 勾股定理计算证明.



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