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《第2章 圆锥曲线与方程》2013年单元测试卷


《第 2 章 圆锥曲线与方程》2013 年单元测试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案填在题中横线上) 1.(5 分)椭圆 + =1 的焦距为 6,则 k 的值为 _________ .

2.(5 分)已知双曲线 9y ﹣m x =1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ,则 m=

2

2 2

_________ .

3.(5 分)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 _________ . 4.(5 分)与 x ﹣4y =1 有相同的渐近线,且过 M(4,
2 2 2 2

,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为

)的双曲线方程为 _________ .

5.(5 分)已知双曲线 3x ﹣y =9,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于 _________ .

6.(5 分)若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆

2

的左焦点重合,则 p 的值为 _________ .

7.(5 分)已知 O 为坐标原点,F 为抛物线 y =4x 的焦点,A 是抛物线上一点,若 _________ .

2

?

=﹣4,则点 A 的坐标是

8.(5 分)设 P 是椭圆

+

=1 上的任意一点,又点 Q(0,﹣4),则|PQ|的最大值为 _________ .

9.(5 分) (2013?昌平区一模)以双曲线 _________ .

=1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是

10.(5 分)椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距 离是 ,则这个椭圆方程为 _________ . |?| |+ =0,则动点 P

11.(5 分)已知两点 M(﹣2,0)、N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,满足| (x,y)的轨迹方程为 _________ .

12.(5 分)设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴 对称,O 点为坐标原点,若 且 则 P 点的轨迹方程是 _________ .

13.(5 分)椭圆

+

=1 与曲线

+

=1(0<k<4)的关系是

_________ (填正确的序号).

① 有相等的焦距,相同的焦点; ② 有相等的焦距,不同的焦点; ③ 有不等的焦距,相同的焦点; ④ 有不等的焦距,不同的焦点.

14.(5 分) (2006?江西)已知 F1,F2 为双曲线 支上异于顶点的任意一点,O 为坐标原点.下面四个命题( ) A、△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x=a 上; B、△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x=b 上; C、△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 OP 上; D、△PF1F2 的内切圆必通过点(a,0). 其中真命题的代号是 _________ (写出所有真命题的代号).

的两个焦点,P 为双曲线右

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分) 如图,有一块抛物线形钢板,其垂直于对称轴的边界线 AB 长为 2r,高为 4r,计划将此钢板切割成等 腰梯形的形状,以 AB 为下底,上底 CD 的端点在抛物线上,记 CD=2x,梯形面积为 S.求面积 S,使其为以 x 为 自变量的函数式,并写出其定义域.

16.(14 分)已知双曲线过点(3,﹣2),且与椭圆 4x +9y =36 有相同的焦点. (Ⅰ )求双曲线的标准方程; (Ⅱ )求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程.

2

2

17.(14 分)已知双曲线 并求出这个最小值.



=1 与点 M(5,3),F 为右焦点,试在双曲线上求一点 P,使|PM|+ |PF|最小,

18.(16 分)已知 F1、F2 是椭圆 C: 与 y 轴的交点 M 满足 + (1)求椭圆 C 的方程; =0;

=1(a>b>0)的左、右焦点,点 Q(﹣

,1)在椭圆上,线段 QF2

(2)设 P 为椭圆 C 上一点,且∠ 1PF2= F

,求△F1PF2 的面积.

19.(16 分)一束光线从点 F1(﹣1,0)出发,经直线 l:2x﹣y+3=0 上一点 P 反射后,恰好穿过点 F2(1,0). (Ⅰ )求 P 点的坐标;

(Ⅱ )求以 F1、F2 为焦点且过点 P 的椭圆 C 的方程. 20.(16 分) (2012?湛江模拟)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上 方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5.过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥ FA,垂足为 N,求点 N 的坐标; (3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M,当 K(m,0)是 x 轴上一动点时,讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系.
2

《第 2 章 圆锥曲线与方程》2013 年单元测试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案填在题中横线上) 1.(5 分)椭圆 + =1 的焦距为 6,则 k 的值为 11 或 29 .

考点: 专题:

分析:

解答:

椭圆的简单性 质. 计算题;圆锥 曲线的定义、 性质与方程. 分椭圆的焦点 在 x 轴、y 轴两 种情况加以讨 论,结合椭圆 基本量的平方 关系解关于 k 的 方程,即可得 到实数 k 的值. 解:∵ 椭圆
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+

=1 的焦

距为 6,∴ c=3 当椭圆的焦点 在 x 轴上时, 2 ∵ =20, a 2 b =k, ∴ c= =3

,解之得 k=11; 当椭圆的焦点 在 y 轴上时, 2 ∵ =k, a 2 b =20, ∴ c= =3

点评:

,解之得 k=29 综上所述,得 k 的值为 11 或 29 故答案为:11 或 29 本题给出椭圆

方程,在已知 焦点坐标的情 况下求参数 k 的 值.着重考查 了椭圆的标准 方程与简单几 何性质等知 识,属于基础 题.

2.(5 分)已知双曲线 9y ﹣m x =1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ,则 m=

2

2 2

4 .

考点: 专题: 分析:

双曲线的定 义. 计算题. 先根据双曲线 方程求得 a 和 b,进而可得渐 近线方程和定 点坐标,根据 定点到渐近线
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的距离等于 , 进而求得 m. 解:根据双曲 线方程可知 a= ,b= 所以渐近线 y=± x=± x 取正 x﹣y=0 顶点(0, ) 则距离 =

解答:

= 解得 m =16 ∴ m=4 点评: 故答案为 4 本题主要考查 了双曲线的简
2

单性质.属基 础题. 3.(5 分)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 . ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为

考点: 专题:

分析:

椭圆的简单性 质. 圆锥曲线的定 义、性质与方 程. 先假设出椭圆 方程的标准形 式,令 x=c 代入 求出弦长使其
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等于 由

,再 ﹣c=1 可

解答:

求出 a,b,c 的 关系,进而得 到离心率的 值. 解:不妨设椭 圆方程为 (a >b>0), 则有 且 = ﹣c=1,

两式相除,据 此求出 e= 故答案为: . 点评: 本题主要考查 椭圆离心率的 求法.在椭圆 中一定要熟练 掌握 a,b,c 之 间的关系、离 心率、准线方 程等基本性 质. ,

4.(5 分)与 x ﹣4y =1 有相同的渐近线,且过 M(4, 考点: 专题: 双曲线的简单 性质. 圆锥曲线的定 义、性质与方 程. 2 2 与 x ﹣4y =1 有 相同的渐近线 的方程可设为 2 2 x ﹣4y =λ≠0, 再把点 M 的坐 标代入即可. 解:由题意可 设要求的双曲 2 线方程为 x ﹣ 2 4y =λ≠0, 把点 M(4,
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2

2

)的双曲线方程为



分析:

解答:

)代入可得

,解得 λ=4. 2 2 ∴ ﹣4y =4, x 即 . 点评: 正确利用:与 2 2 x ﹣4y =1 有相 同的渐近线的 2 方程可设为 x 2 ﹣4y =λ≠0,是 解题的关键.
2 2

5. 分) (5 已知双曲线 3x ﹣y =9,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于 2 . 考点: 专题: 双曲线的简单 性质. 圆锥曲线的定 义、性质与方 程. 把双曲线方程 转化成标准形 式,能求出知
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分析:

a= c=

, =2

,由此能求 出离心率的

解答:

值,离心率就 等于双曲线右 支上的点 P 到右 焦点的距离与 点 x2 到右准线 的距离之比. 解:依题意可 知 a= c= , ∴ = e= =2 , =2

点评:

, 则双曲线右支 上的点 P 到右焦 点的距离与点 P 到右准线的距 离之比等于离 心率为 2. 故答案为:2. 双曲线右支上 的点 P 到右焦点 的距离与点 x2 到右准线的距 离之比就是双 曲线的离心 率.

6.(5 分)若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆

2

的左焦点重合,则 p 的值为 ﹣4 .

考点:

专题: 分析:

解答:

抛物线的简单 性质;椭圆的 简单性质. 计算题. 首先根据椭的 标准圆方程求 出椭圆的左焦 点坐标,再结 合题中条件可 得抛物线的焦 点坐标为(﹣ 2,0),进而根 据抛物线的有 关性质求出 p 的 值. 解:由椭圆的
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方程 可得:a =6, 2 b =2, 2 ∴ =4,即 c c=2, ∴ 椭圆的左焦点 坐标为(2,0) 2 ∵ 抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 的左 焦点重合, 2 ∴ 抛物线 y =2px 的焦点( ,0) 即为(﹣2, 0) ,即 =﹣2, ∴ p=﹣4. 故答案为:﹣ 4. 本题主要考查 椭圆的性质与 抛物线的有关 性质,解决此 题的关键是熟 练掌握椭圆与 抛物线的焦点 坐标的求法, 此题属于基础 题.
2 2

点评:

7.(5 分)已知 O 为坐标原点,F 为抛物线 y =4x 的焦点,A 是抛物线上一点,若 (1,2)或(1,﹣2) . 考点: 专题: 抛物线的简单 性质. 圆锥曲线的定 义、性质与方 程. 先求出抛物线 的焦点 F(1, 0),根据抛物 线的方程设 A
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?

=﹣4,则点 A 的坐标是

分析:



,y0) ,然

后构成向量 、 ,再由 ? =﹣4 可 求得 y0 的值, 最后可得答 案. 解析∵ 抛物线的 焦点为 F(1, 0) ,设 A ( y0), 则 =( , =(1 ,

解答:

y0), ﹣

,﹣y0) ,

点评:

由 ? =﹣ 4,得 y0=± 2, ∴ A 的坐标是 点 (1,2) (1, 或 ﹣2). 故答案为: (1,2) (1, 或 ﹣2) 本题主要考查 抛物线的标准 方程.抛物线 的标准方程是 高考的考点, 是圆锥曲线的 重要的一部 分,要重视复 习.

8.(5 分)设 P 是椭圆

+

=1 上的任意一点,又点 Q(0,﹣4),则|PQ|的最大值为 8 .

考点: 专题:

椭圆的简单性 质. 计算题;函数 的性质及应 用;圆锥曲线
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分析:

的定义、性质 与方程. 设点 P 坐标为 (x,y),由椭 圆的方程结合 两点间的距离 公式化简得 PQ| =﹣ ﹣ )+
2 2

(y ,

解答:

结合二次函数 的图象和 y∈[﹣ 4,4],可得当 2 y=4 时,|PQ| = 的最大值为 64,从而得到 |PQ|的最大值. 解:设点 P 坐标 为(x,y),则 2 2 |PQ| =x + (y+4)
2

∵ P(x,y) 点 在椭圆 +
2

=1 上

∴ =25(1﹣ x ),可得 |PQ| =(25﹣ ) (y+4) +
2 2

=﹣
2

(y﹣

)+ ∵ 椭圆上点 P 的 纵坐标 y∈[﹣ 4,4] ∴ y=4 时, 当 2 |PQ| =的最大值 为 64,由此可 得|PQ|的最大值 为8 故答案为:8 本题给出椭圆

点评:

上的动点 P,求 P 到定点 (0,﹣ 4)的距离最大 值.着重考查 了椭圆的标准 方程、简单几 何性质和两点 间的距离公式 等知识,属于 中档题.

9.(5 分) (2013?昌平区一模)以双曲线 x +y ﹣10x+9=0.. . 考点: 专题: 分析: 圆与圆锥曲线 的综合. 计算题. 先求出双曲线
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=1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是

2

2

=1 的 右焦点和渐近 线,从而得到 圆的圆心和半 径,由此得到 圆的方程. 解:双曲线 =1 的 右焦点为(5, 0), 渐近线方程是 4x± 3y=0, ∴ (5,0) 圆心 , 半径 r=

解答:

点评:

, ∴ 圆的方程为 2 2 x +y ﹣ 10x+9=0. 故答案为: 2 2 x +y ﹣ 10x+9=0. 本题考查圆锥

曲线的性质和 应用,解题时 认真审题,注 意公式的合理 运用. 10.(5 分)椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距 离是 ,则这个椭圆方程为 或 .

考点:

专题: 分析:

椭圆的简单性 质;椭圆的标 准方程. 计算题. 当焦点在 x 轴 时,设椭圆方 程为
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,由 题意得到 a=2c,进而根 据焦点到椭圆 上的点的最短 距离是 求得 a 和 b,进而得 到椭圆的方 程;当焦点在 y 轴时,同理可 得椭圆方程的 方程. 解:当焦点在 x 轴时,设椭圆 方程为 , 由题意知 a=2c,a﹣ c= , 解得 a=2 , c= , 2 所以 b =9,所 求的椭圆方程 为 .

解答:

同理,当焦点

在 y 轴时,所求 的椭圆方程为 . 故答案为: 或

. 点评: 本题主要考查 了椭圆的标准 方程、椭圆的 简单性质.要 特别注意椭圆 的焦点在 x 轴还 是在 y 轴. |?| |+ =0,则动点 P

11.(5 分)已知两点 M(﹣2,0)、N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,满足| 2 (x,y)的轨迹方程为 y =﹣8x . 考点: 轨迹方程;数 量积的坐标表 达式. 计算题. 根据题意,设 P (x,y),结合 M 与 N 的坐 标,可以求出
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专题: 分析:

|

|=4,并将 、 表示出 来,代入 | |?| |+ =0 中,

可得 4

解答:

+4(x﹣2)=0, 化简整理即可 得答案. 解:设 P(x, y), 又由 M(﹣2, 0) (2,0) ,N , 则| |=4, = (x+2,y),

=(x﹣2,y) 又由 | 则 4 |?| |+ =0,

点评:

+4(x﹣2)=0 2 化简整理得 y = ﹣8x; 2 故答案为 y =﹣ 8x. 本题考查轨迹 方程的求法, 涉及平面向量 的数量积运算 与抛物线的定 义,求解此类 问题时要注意 轨迹与轨迹方 程的区别.

12.(5 分)设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴 对称,O 点为坐标原点,若 且 则 P 点的轨迹方程是 .

考点:

专题:

分析:

解答:

轨迹方程;平 面向量数量积 的运算. 综合题;圆锥 曲线的定义、 性质与方程. 设出点的坐 标,利用向量 的线性运算及 数量积公式, 即可得到结 论. 解:设 P(x, y) ,则 Q (﹣x, y) ,又设 A (a, 0) (0,b) ,B , 则 a>0,b> 0,
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∴ =(x,y﹣ b), =(a﹣ x,﹣y), ∵ =2,

∴ x, a= b=3y, ∴ x>0,y>0 ∵ = (﹣a,b)

= (﹣ x,3y) , ∴

故答案为:

点评:

本题考查轨迹 方程,考查了 向量的运算, 考查学生的计 算能力,属于 中档题.

13.(5 分)椭圆

+

=1 与曲线

+

=1(0<k<4)的关系是

② (填正确的序号).

① 有相等的焦距,相同的焦点; ② 有相等的焦距,不同的焦点; ③ 有不等的焦距,相同的焦点; ④ 有不等的焦距,不同的焦点. 考点: 双曲线的简单 性质;椭圆的 简单性质. 圆锥曲线的定 义、性质与方 程.
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专题:

分析: 椭圆 + =1

的焦点在 y 轴 上.由 0<k< 4,可得 9﹣k> 4﹣k>0,因此 曲线 + =1

表示焦点在 x 轴 上的椭圆.又 9 ﹣4=(9﹣k)﹣

解答:

(4﹣k),可得 此两个椭圆由 相同的焦 距.据以上分 析即可得出. 解:椭圆 + =1 的焦

点在 y 轴上, ∵ 0<k<4,∴ 9 ﹣k>4﹣k> 0, ∴ 曲线 + =1

点评:

表示焦点在 x 轴 上的椭圆. 又 9﹣4= (9﹣k) ﹣(4﹣k),∴ 此两个椭圆由 相同的焦距. 故选② . 熟练掌握椭圆 的标准方程与 性质是解题的 关键.

14.(5 分) (2006?江西)已知 F1,F2 为双曲线 支上异于顶点的任意一点,O 为坐标原点.下面四个命题( A、△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x=a 上; B、△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x=b 上; C、△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 OP 上; D、△PF1F2 的内切圆必通过点(a,0). 其中真命题的代号是 A,D (写出所有真命题的代号). 考点: 专题: 分析: 双曲线的简单 性质. 综合题;压轴 题. 设△PF1F2 的内 切圆分别与 PF1、PF2 切于 点 A、B,与 F1F2 切于点 M,则可知
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的两个焦点,P 为双曲线右 )

解答:

点评:

|PA|=|PB|, |F1A|=|F1M|, |F2B|=|F2M|,点 P 在双曲线右支 上,根据双曲 线的定义可得 |PF1|﹣ |PF2|=2a,因此 |F1M|﹣ |F2M|=2a,设 M 点坐标为(x, 0),代入即可 求得 x,判断 A,D 正确. 解:设△PF1F2 的内切圆分别 与 PF1、PF2 切 于点 A、B,与 F1F2 切于点 M, 则|PA|=|PB|, |F1A|=|F1M|, |F2B|=|F2M|, 又点 P 在双曲线 右支上, 所以|PF1|﹣ |PF2|=2a,故 |F1M|﹣ |F2M|=2a,而 |F1M|+|F2M|=2c , 设 M 点坐标为 (x,0), 则由|F1M|﹣ |F2M|=2a 可得 (x+c)﹣(c﹣ x)=2a 解得 x=a,显然 内切圆的圆心 与点 M 的连线 垂直于 x 轴, 故 A、D 正确. 本题主要考查 了双曲线的简 单性质.特别 是灵活利用了 双曲线的定 义.

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分) 如图,有一块抛物线形钢板,其垂直于对称轴的边界线 AB 长为 2r,高为 4r,计划将此钢板切割成等 腰梯形的形状,以 AB 为下底,上底 CD 的端点在抛物线上,记 CD=2x,梯形面积为 S.求面积 S,使其为以 x 为 自变量的函数式,并写出其定义域.

考点: 专题:

分析:

解答:

抛物线的应 用. 圆锥曲线的定 义、性质与方 程. 建立平面直角 坐标系,则 B (r,﹣4r) ,设 抛物线方程为 2 x =﹣2py(p> 0),代入确定 抛物线的方 程,进而确定 点 C 的纵坐 标,由此可得 梯形的面积及 函数的定义 域. 解:建立如图 所示的平面直 角坐标系 xOy, 则 B(r,﹣4r) 设抛物线方程 2 为 x =﹣2py(p >0) ∵ B(r,﹣4r) 在抛物线上, 2 ∴ =8pr, r
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∴ ∴ 抛物线方程为

∵ 的横坐标为 C x,则点 C 的纵 坐标为 y=

∴ 梯形 ABCD 的 高为



其定义域为 (0,r).

点评:

本题考查抛物 线的运用,考 查梯形面积的 计算,确定抛 物线的解析式 是关键.
2 2

16.(14 分)已知双曲线过点(3,﹣2),且与椭圆 4x +9y =36 有相同的焦点. (Ⅰ )求双曲线的标准方程; (Ⅱ )求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程. 考点: 专题: 分析: 圆锥曲线的综 合. 计算题. (I) 先求出椭圆 的焦点坐标, 再根据双曲线 的定理求出 a, b,c,从而求 出双曲线的方 程; (II)由(1)得 双曲线的右准 线方程,从而 求出 p,这样就 可求出抛物线 的标准方程. 解: (I) 由椭圆 方程得焦点
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解答:

,…(2 分) 由条件可知,

双曲线过点 (3,﹣2) 根据双曲线定 义,

…(5 分) 即得 ,所 以 …(7 分) 双曲线方程 为: , …(9 分) (II)由(1)得 双曲线的右准 线方程为: …(11 分) ∴ … (13

分) 从而可得抛物 线的标准方程 为:

点评:

…(15 分) 本题主要考查 了双曲线的标 准方程,在求 曲线方程的问 题中,巧设方 程,减少待定 系数,是非常 重要的方法技 巧.特别是具 有公共焦点的 两种曲线,它 们的公共点同 时具有这两种 曲线的性质, 解题时要充分 注意.

17.(14 分)已知双曲线 并求出这个最小值. 考点: 专题:



=1 与点 M(5,3),F 为右焦点,试在双曲线上求一点 P,使|PM|+ |PF|最小,

分析:

双曲线的简单 性质. 计算题;圆锥 曲线的定义、 性质与方程. 根据题意,算 出双曲线的离 心率 e=2,右准 线为 l:
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x= .作 MN⊥ l 于 N,交双曲线 右支于 P,连结 FP,根据圆锥 曲线统一定义 得到 |PM|+ |PF|=|PM |+|PN|.由平几 知识可得:当 M、N、P 三点 共线时, |PM|+|PN|=|MN| 达到最小值, 由此即可求出 点 P 的坐标和 |PM|+ |PF|的最 小值. 解:∵ 双曲线方 程为 ﹣

解答:

=1, ∴ a=3, b=3 c= 可得离心率 e= =2, = ,所以右 , =6

准线为 l:x= 作 MN⊥ 于 N, l 交双曲线右支 于 P,连结 FP,则 由圆锥曲线统 一定理各 ,可得 |PF|=e|PN|=2|PN | ∴ |PN|= ,因此, |PM|+ |PF|=|PM |+|PN| 当且仅当 M、 N、P 三点共线 时, |PM|+|PN|=|MN| 达到最小值 此时,在 ﹣

=1 中令 y=3,得 x=± ∵ x>0,∴ 取 x=2 即当 P 的坐标为 (2 ,3)

时,|PM|+ |PF| 的最小值为 |MN|= .

点评:

本题给出双曲

线上的动点 P 和 定点 M(5, 3),求 |PM|+ |PF|的最 小值,着重考 查了双曲线的 标准方程与简 单几何性质、 圆锥曲线的统 一定义等知 识,属于中档 题.

18.(16 分)已知 F1、F2 是椭圆 C: 与 y 轴的交点 M 满足 + (1)求椭圆 C 的方程; =0;

=1(a>b>0)的左、右焦点,点 Q(﹣

,1)在椭圆上,线段 QF2

(2)设 P 为椭圆 C 上一点,且∠ 1PF2= F 考点: 专题: 椭圆的简单性 质. 圆锥曲线的定 义、性质与方 程. (1) 由点 Q (﹣
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,求△F1PF2 的面积.

分析:

,1)在椭圆 上,可得 .因 为线段 QF2 与 y 轴的交点 M 满 足 + ,

所以 M 为线段 QF2 的中点, 可得 , 联立

,即可解出. (2)设

|PF1|=m, |PF2|=n. 利用椭圆的定 义和余弦定理 可得

,即可解得 mn.再利用

解答:

即可. 解: (1)∵ Q 点 (﹣ ,1)在 椭圆上, ∴ .

∵ 线段 QF2 与 y 轴的交点 M 满 足 + ,

∴ 为线段 QF2 M 的中点, ∴ , 联立

,解得 . ∴ 椭圆 C 的方程 为 .

(2)设 |PF1|=m, |PF2|=n. 利用椭圆的定 义和余弦定理 可得

, 解得 ∴ .

= . 点评:

=

熟练掌握椭圆 的定义及其性 质、中点坐标 公式、余弦定 理、三角形的 面积计算公式 是解题的关 键.

19.(16 分)一束光线从点 F1(﹣1,0)出发,经直线 l:2x﹣y+3=0 上一点 P 反射后,恰好穿过点 F2(1,0). (Ⅰ )求 P 点的坐标; (Ⅱ )求以 F1、F2 为焦点且过点 P 的椭圆 C 的方程. 考点: 与直线关于 点、直线对称 的直线方程; 椭圆的标准方 程. 计算题;综合 题. (Ⅰ )先求 F1 关于 l 的对称点 为 F(m,n), 再求直线 F2F 的 方程,然后求 P 点的坐标; (Ⅱ )根据椭圆 的定义,求出 a、c、b,即可 求得椭圆方 程. 解:(Ⅰ )设 F1 关于 l 的对称点 为 F(m,n),
3274248

专题: 分析:

解答:





,(3 分) 解得 m= n= ,即 F ( , ), ,

(4 分) 故直线 F2F 的方 程为 x+7y﹣ 1=0.(5 分) 由

,解得 P ( )

.(6 分) (Ⅱ )因为 PF1=PF,根据 椭圆定义,得 2a=PF1+PF2=PF +PF2=FF2 =

, 所以 a= . (8 分) 又 c=1,所以 b=1. 所以椭圆 C 的 方程 .( 12 分) 本题考查直线 关于直线对称 的问题,两条 直线的交点, 椭圆的定义, 是基础题.

点评:

20.(16 分) (2012?湛江模拟)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上 方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5.过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥ FA,垂足为 N,求点 N 的坐标; (3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M,当 K(m,0)是 x 轴上一动点时,讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系.

2

考点:

专题: 分析:

抛物线的标准 方程;直线与 圆的位置关 系;抛物线的 简单性质. 综合题;压轴 题. (Ⅰ )抛物线的 准线为
3274248

,于是 ,p=2, 由此可知抛物 线方程为 2 y =4x. (Ⅱ )由题意得 B,M 的坐标, , ,直 线 FA 的方程, 直线 MN 的方 程,由此可知 点 N 的坐标即 可; (Ⅲ )由题意 得,圆 M 的圆 心坐标为(0, 2),半径为 2.当 m=4 时, 直线 AP 的方程 为 x=4,此时, 直线 AP 与圆 M 相离;当 m≠4

解答:

时,写出直线 AP 的方程,圆 心 M(0,2)到 直线 AP 的距 离,由此可判 断直线 AP 与圆 M 的位置关 系. 解:(1)抛物 线

,∴ p=2. ∴ 抛物线方程为 2 y =4x. (2)∵ A 的 点 坐标是(4, 4) ,由题意得 B (0,4),M (0,2), 又∵ (1,0) F , ∴

, ∴ ,

则 FA 的方程为 y= (x﹣1), MN 的方程为 . *k*s*5*u 解方程组

, ∴ . (3)由题意 得,圆 M 的圆 心是点(0, 2) ,半径为 2. 当 m=4 时,直 线 AK 的方程为

x=4,此时,直 线 AK 与圆 M 相 离, 当 m≠4 时,直 线 AK 的方程为

,即为 4x﹣(4 ﹣m)y﹣ 4m=0, 圆心 M(0,2) 到直线 AK 的距 离

点评:

,令 d>2,解 得 m>1∴ m 当 >1 时,直线 AK 与圆 M 相 离; 当 m=1 时,直 线 AK 与圆 M 相 切; 当 m<1 时,直 线 AK 与圆 M 相 交. 本题考查抛物 线的标准方 程、抛物线的 简单性质、直 线和圆锥曲线 的位置关系, 解题时要认真 审题,仔细解 答.

参与本试卷答题和审题的老师有:zlzhan;刘长柏;qiss;孙佑中;若尘;733008;haichuan;minqi5; danbo7801;俞文刚;wsj1012;lily2011;zhwsd(排名不分先后)
菁优网 2013 年 8 月 18 日


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