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2013届高考数学第一轮复习教案第14讲 直线、圆的位置关系


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2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第 14 讲 直线、圆的位置关系
一.课标要求:

1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标; 2.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两 条平行直线间的距离; 3.能根据给定直线、圆的

方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关 系; 4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题; 5.在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何 问题的思想。
二.命题走向

本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问 题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题) ,此类问题难度属于中 等,一般以选择题的形式出现,有时在解析几何中也会出现大题,多 考察其几何图形的性质或方程知识。 预测 2013 年对本讲的考察是: (1)一个选择题或一个填空题,解答题多与其它知识联合考察; (2)热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直 线与圆的位置关系,注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方 向; (3)本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算 能力。
三.要点精讲

1.直线 l1 与直线 l2 的的平行与垂直 (1)若 l1,l2 均存在斜率且不重合: ① 1//l2 ? k1=k2;② 1 ? l2 ? k1k2=-1。 l l

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(2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0,

l 2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0

若 A1、A2、B1、B2 都不为零。 ① 1//l2 ? A1 ? B1 ? C1 ; l
A2 B2 C2

② 1 ? l2 ? A1A2+B1B2=0; l ③ 1 与 l2 相交 ? A1 ? B1 ; l
A2 B2

④ 1 与 l2 重合 ? A1 ? B1 ? C1 ; l
A2 B2 C2

注意:若 A2 或 B2 中含有字母,应注意讨论字母=0 与 ? 0 的情况。 两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组 成的方程组的解的个数。 2. 距离 ( 1 ) 两 点 间 距 离 : 若 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ) , 则
AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

特别地: AB // x 轴,则 AB ? | x1 ? x2 | 、 AB // y 轴,则 AB ? | y1 ? y2 | 。 ( 2 ) 平 行 线 间 距 离 : 若 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 , 则: d ?
C1 ? C 2 A 2 ? B2

。注意点:x,y 对应项系数应相等。

(3)点到直线的距离: P(x ? , y ? ), l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 P 到 l 的 距离为: d ?
Ax? ? By ? ? C A 2 ? B2

3.直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 (1)若 d ?
Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

, d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ;

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(2) d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; (3) d ? r ? 相交 ? ? ? 0 。 还 可 以 利 用 直 线 方 程 与 圆 的 方 程 联 立 方 程 组
? Ax ? By ? C ? 0 求解,通过解的个数来判断: ? 2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

(1)当方程组有 2 个公共解时(直线与圆有 2 个交点) ,直线与 圆相交; (2) 当方程组有且只有 1 个公共解时 (直线与圆只有 1 个交点) , 直线与圆相切; (3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点) ,直线与圆相 离; 即:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式 为 Δ,圆心 C 到直线 l 的距离为 d,则直线与圆的位置关系满足以下关 系: 相切 ? d=r ? Δ=0; 相交 ? d<r ? Δ>0; 相离 ? d>r ? Δ<0。 4.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d 。
d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线;

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d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线;

外离

外切

相交 内含

内切

判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个 数来解决。
四.典例解析

题型 1:直线间的位置关系 例 1. (1)若三点 A(2,2) ,B(a,0) ,C(0,b)(ab ? 0)共线, 则,
1 1 ? 的值等于 a b



( 2 ) 已 知 两 条 直 线 l1 : ax ? 3 y ? 3 ? 0, l2 : 4x ? 6 y ?1 ? 0. 若 l1 // l2 , 则
a ? ___

_。
1 2

解析: (1)答案: ; (2)2。 点评: (1)三点共线问题借助斜率来解决,只需保证 k AB ? k AC ;

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(2)对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。 例 2. 已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直, a 等 (1) 则 于( ) B.1 C.0

A.2 D. ?1

(2)若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方 程为( ) B . x ? 4y ? 5 ? 0 C . 4x ? y ? 3 ? 0

A . 4x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0

解析: (1)答案为 D; (2)与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为
4 x ? y ? m ? 0 ,即 y ? x4 在某一点的导数为 4,而 y? ? 4 x3 ,所以 y ? x4 在

(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0 ,故选 A。 点评:直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系, 同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。 题型 2:距离问题 例 3.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( A.x-y=0 C.|x|-y=0 B.x+y=0 D.|x|-|y|=0 )

解析:设到坐标轴距离相等的点为(x,y) ∴ |x|=|y| ∴ |x|-|y|=0。答案:D 点评:本题较好地考查了考生的数学素质,尤其是考查了思维的 敏捷性与清晰的头脑,通过不等式解等知识探索解题途径

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例 4.已知点 P 到两个定点 M(-1,0) 、N(1,0)距离的比为
2 ,点 N 到直线 PM 的距离为 1.求直线 PN 的方程。

解析:设点 P 的坐标为(x,y) ,由题设有 即 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 。 整理得 x2+y2-6x+1=0 ①

| PM | ? 2, | PN |

因为点 N 到 PM 的距离为 1,|MN|=2, 所以∠ PMN=30° ,直线 PM 的斜率为± 直线 PM 的方程为 y=±
3 (x+1) 3 3 , 3



将② 式代入① 式整理得 x2-4x+1=0。 解得 x=2+ 3 ,x=2- 3 。 代入② 式得点 P 的坐标为(2+ 3 ,1+ 3 )或(2- 3 ,-1+ 3 ) ; (2+ 3 ,-1- 3 )或(2- 3 ,1- 3 ) 。 直线 PN 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1。 点评:该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识, 充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗, 能较好 地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解 析法的原理和应用,以及分类讨论的思想、方程的思想。该题对思维 的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运 算、化简能力要求也较高,有较好的区分度。 题型 3:直线与圆的位置关系 例 5. (1)直线 x ? y ? 1与圆 x2 ? y2 ? 2ay ? 0(a ? 0) 没有公共点,则 a

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的取值范围是( ) A.(0, 2 ?1) B.( 2 ?1, 2 ?1) (2)圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? A.x-y=0 D.y=0

C.(? 2 ?1, 2 ?1)

D.(0, 2 ? 1) ) C.x=0

3 ) 2 ? 1 的切线方程中有一个是(

B.x+y=0

解析: (1)解析:由圆 x2 ? y2 ? 2ay ? 0(a ? 0) 的圆心 (0,a )到直线
x ? y ? 1 大于 a ,且 a ? 0 ,选 A。

点评:该题考察了直线与圆位置关系的判定。 (2)直线 ax+by=0 与( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1相切 ,则 排除法, 选 C, 本题也可数形结合, 画出他们的图象自然会选 C,用图象法解最 省事。 点评:本题主要考查圆的切线的求法,直线与圆相切的充要条件 是圆心到直线的距离等于半径。直线与圆相切可以有两种方式转化(1) 几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方 程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。 例 6.已知圆 M: (x+cos?)2+(y-sin?)2=1,直线 l:y=kx, 下面四个命题: (A) 对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 相切; (B) 对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 有公共点; (C) 对任意实数?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切; (D)对任意实数 k,必存在实数?,使得直线 l 与和圆 M 相切。
| a ?b 3 | ? 1 ,由 2

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其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号) 解析:圆心坐标为(-cos?,sin?) d=
|-k cos ?-sin ? | 1+k 2 =|sin ?+?)? 1 ( | = 1+k 2 |sin ?+?) ( | 1+k 2

故选(B) (D) 点评:该题复合了三角参数的形式,考察了分类讨论的思想。 题型 4:直线与圆综合问题 例 7.直线 3 x+y-2 3 =0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心 角为( A.
? 6

) B.
? 4

C.

? 3

D.

? 2

解析:如图所示: 由?
? 3x ? y ? 2 3 ? 0 ? 2 ? 2 ?x ? y ? 4

消 y 得:x2-3x+2=0,∴ 1=2,x2=1。 x ∴ A(2,0) ,B(1, 3 ) ∴ |AB|= (2 ? 1) 2 ? (0 ? 3 ) 2 =2 又|OB|=|OA|=2,
? ∴ AOB 是等边三角形,∴ AOB= ,故选 C。 △ ∠
3



点评:本题考查直线与圆相交的基本知识,及正三角形的性质以 及逻辑思维能力和数形结合思想, 同时也体现了数形结合思想的简捷

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性。 如果注意到直线 AB 的倾斜角为 120° 则等腰△OAB 的底角为 60° , . 因此∠ AOB=60° .更加体现出平面几何的意义。 例 8.过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧, 当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率 k= 。

2 2 解析:过点 (1, 2) 的直线 l 将圆 ( x ? 2) ? y ? 4 分成两段弧,当劣弧

所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率

k?

2 2

2 2 解析(数形结合)由图形可知点 A (1, 2) 在圆 ( x ? 2) ? y ? 4 的内部, 圆心

为 O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线 l ? OA ,所以
kl ? ? 1 1 2 ?? ? kOA 2 。 ? 2

点评: 本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率 的关系,难度中等。 题型 5:对称问题 例 9.一束光线 l 自 A(-3,3)发出,射到 x 轴上,被 x 轴反 射到⊙ C:x2+y2-4x-4y+7=0 上。 (Ⅰ 求反射线通过圆心 C 时,光线 l 的方程; ) (Ⅱ 求在 x 轴上,反射点 M 的范围. ) 解法一:已知圆的标准方程是 (x-2)2+(y-2)2=1,它关于 x 轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1。 设光线 L 所在的直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率 k 待定) ,由题 设 知 对 称 圆 的 圆 心 C′( 2 , -2 ) 到 这 条 直 线 的 距 离 等 于 1 , 即

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d=

| 5k ? 5 | 1? k
2

=1。整理得 12k2+25k+12=0,解得 k= - 或 k= - 。故
4 3 4 3

3 4

4 3

所求直线方程是 y-3=- (x+3),或 y-3= - (x+3),即 3x+4y+3=0 或 4x+3y+3=0。

解法二:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,设交线 L 所在 的直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率 k 待定) ,由题意知 k≠0,于是 L 的反射点的坐
3(1 ? k) ,0) ,因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线 k 3(1 ? k) L′所在直线的方程为 y= -k(x+ ),即 y+kx+3(1+k)=0。这条直 k

标是(-

线应与已知圆相切,故圆心到直线的距离为 1,即 d= 下同解法一。

| 5k ? 5 | 1? k 2

=1。以

点评: 圆复合直线的对称问题, 解题思路兼顾到直线对称性问题, 重点关注对称圆的几何要素,特别是圆心坐标和圆的半径。 例 10.已知函数 f(x)=x2-1(x≥1)的图像为 C1,曲线 C2 与 C1 关于 直线 y=x 对称。 (1)求曲线 C2 的方程 y=g(x);

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(2)设函数 y=g(x)的定义域为 M,x1,x2∈ M,且 x1≠x2,求证|g(x1) -g(x2)|<|x1-x2|; (3)设 A、B 为曲线 C2 上任意不同两点,证明直线 AB 与直线 y=x 必相交。 解析: (1)曲线 C1 和 C2 关于直线 y=x 对称,则 g(x)为 f(x)的反 函数。 ∵ 2-1, 2=y+1, x≥1, x= y ? 1 , y=x x 又 ∴ 则曲线 C2 的方程为 g(x)=
x ? 1 (x≥0)。

(2)设 x1,x2∈ M,且 x1≠x2,则 x1-x2≠0。又 x1≥0, x2≥0, ∴ 1)-g(x2)|=| |g(x x2|。 (3)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)为曲线 C2 上任意不同两点,x1, x2 ∈ M,且 x1≠x2, 由(2)知,|kAB|=|
y1 ? y 2 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) | |= <1 x1 ? x2 | x1 ? x2 |

x1 ? 1 - x2 ? 1 |=

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1



x1 ? x 2 2

<|x1-

∴ 直线 AB 的斜率|kAB|≠1,又直线 y=x 的斜率为 1,∴ 直线 AB 与 直线 y=x 必相交。 点评:曲线对称问题应从方程与曲 线的对应关系入手来处理,最终转化为 点的坐标之间的对应关系。 题型 6:轨迹问题
x?? p 2
N
y

B A M

o

x
?p ? F ? ,0 ? ?2 ?

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例 11.已知动圆过定点 ? ,0 ? ,且与直线 x ? ? 相切,其中 p ? 0 。 ? ? 2 2
p
p

?

?

(I)求动圆圆心 C 的轨迹的方程; (II)设 A、B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点,直线 OA 和 OB 的 倾斜角分别为 ? 和 ? , ? , ? 变化且 ? ? ? 为定值 ? (0 ? ? ? ? ) 时, 当 证明直 线 AB 恒过定点,并求出该定点的坐标。 解析: (I)如图,设 M 为动圆圆心, ? ,0 ? 为记为 F ,过点 M 作 ? ? ?2 ?
p

直线 x ? ? 的垂线,垂足为 N ,由题意知: MF ? MN 即动点 M 到定 点 F 与定直线 x ? ? 的距离相等,由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为 抛 物 线 , 其 中 F ? ,0 ? 为 焦 点 , x ? ? 为 准 线 , 所 以 轨 迹 方 程 为 ? ? 2 2
p
p p 2

p 2

?

?

y 2 ? 2 px(P ? 0) ;

(II)如图,设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意得 x1 ? x2 (否则 ? ? ? ? ? ) 且 x1, x2 ? 0 所 以 直 线 AB 的 斜 率 存 在 , 设 其 方 程 为 y ? kx ? b , 显 然
2 y12 y2 x , 将 y ? k? x1 ? , x2 ? 2p 2p

b 与 y2 ? 2 px(P ? 0) 联 立 消 去 x , 得
2p 2 pb , y1 ? y2 ? ① k k

2 k y?2 p?2 y

p 由韦达定理知 y1 ? y2 ? ?b 0

( 1 ) 当 ??

?
2

时 , 即 ? ?? ?

?

2

时 , t a ?n?

?? n所 以 t a 1

2 2 pb y1 y2 y12 y2 ? 4 p2 所 知: ? ? 1, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 2 ? y1 y2 ? 0 所以 y1 y2 ? 4 p 2 由① k x1 x2 4p

以。因此直线 AB 的方程可表示为 y ? kx ? 2Pk ,即 k (x ?2P) ?y ?0 ,所以 直线 AB 恒过定点 ? ?2 p,0? 。 (2)当 ? ?
?
2

时,由 ? ? ? ? ? ,

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得 tan ? ? tan(? ? ? ) =

tan ? ? tan ? 2 p( y1 ? y2 ) = , 1 ? tan ? tan ? y1 y2 ? 4 p 2
2p 2p ? 2 pk , , 所以 b ? tan ? b ? 2 pk

将① 式代入上式整理化简可得: ? ? tan

x 此 时 , 直 线 AB 的 方 程 可 表 示 为 y ? k ?

2p ? 2 pk 即 t a ?n

2p ? 2p ? ? ? k ( x ? 2 p) ? ? y ? ? ? 0 ,所以直线 AB 恒过定点 ? ?2 p, ?。 tan ? ? tan ? ? ? ?

所以由 (2) 当 ? ? (1) 知, 时直线 AB 恒过定点 ? ?2 p, ?
?

?
2

时, 直线 AB 恒过定点 ? ?2 p,0? , ? ? 当

?
2

2p ? ?。 tan ? ?

点评:该题是圆与圆锥曲线交汇题目,考察了轨迹问题,属于难 度较大的综合题目。 例 12.如图, O1 与圆 O2 的半径都是 圆
O 1, 1O2 ? 4 . 过动点 P 分别作圆 O2 、 O2 的 圆
N PN 切线 PM , ( M , 分别为切点) ,使得

PM ? 2 PN

. 试建立适当的坐标系,并求

动点 P 的轨迹方程。 解析:以 O1O2 的中点 O 为原点,O1O2 所在直线为 x 轴,建立如图所
0) 0) 示的平面直角坐标系,则 O1 (?2, , O2 (2, 。

由已知 PM ?

2 PN ,得 PM 2 ? 2 PN 2 。

因为两圆半径均为 1,所以 PO12 ? 1 ? 2( PO22 ? 1) 。
y 设 P( x , ) ,则 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 ? 2[( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1] ,

即 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 33 (或 x 2 ? y 2 ? 12x ? 3 ? 0 )。 点评:本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力。

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题型 7:课标创新题 例 13.已知实数 x、y 满足 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ,求 z ? 最小值。
y ?1 表示过点 A(0,-1)和圆 x ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 上的动点(x,y)的直线 y ?1 的最大值与 x

解析:

的斜率。 如下图,当且仅当直线与圆相切时, 直线的斜率分别取得最大值和最小值。 设 切 线 方 程 为 y ? kx ? 1 , 即 kx ? y ? 1 ? 0 , 则
k? 4? 7 。 3

| 2k ? 2 | k 2 ?1

?1 , 解 得

因此, z max ?

4? 7 4? 7 ,z min ? 3 3

点评:直线知识是解析几何的基础知识,灵活运用直线知识解题具有 构思巧妙、直观性强等特点,对启迪思维大有裨益。下面举例说明其 在最值问题中的巧妙运用。 例 14.设双曲线 xy ? 1 的两支分别为 C1、C2 ,正三角形 PQR 的三 顶点位于此双曲线上。若 P? ?1, ? 1? 在 C2 上,Q、R 在 C1 上, 求顶点 Q、 R 的坐标。

分析:正三角形 PQR 中,有 PQ ? PR ? QR ,

则 以 P? ?1, ? 1?

为圆心, PR 为半径的圆与双曲线交于 R、Q 两点。

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根据两曲线方程可求出交点 Q、R 坐标。 解 析 : 设 以 P 为 圆 心 , PR ? r (r ? 0) 为 半 径 的 圆 的 方 程 为 :

? x ? 1?2 ? ? y ? 1?2 ? r 2 ,
?? x ? 1?2 ? ? y ? 1?2 ? r 2 ? 由? 得: x 2 ? 1 ? r 2 ? 1 x ? 1 ? 0 。 ( 其 中 , 可 令 ? xy ? 1 ? 1 t ? x ? 进行换元解之) x

?

?

设 Q、 两点的坐标分别为 ? x1,y1 ?, ? x2 ,y2 ? , ? R 则 即 ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? 4 x1x2 ?
2 2

?x ? x ? r 2 ? 1 ? 1 ? 1 2 。 ? x1 x2 ? 1 ?

同理可得: ? y1 ? y2 ? ?
2

?
2

?

r2 ?1 ?1 ? 4 ,

r2 ?1 ?1 ? 4 ,

?

?

2

2

且因为△PQR 是正三角

形,则
2



即 r 2 ? ? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? 2? r 2 ? 1 ? 1 ? 4? ,得 r 2 ? 24 。 ? ? ? ?
2

?

?

代入方程 x 2 ? 1 ? r 2 ? 1 x ? 1 ? 0 ,即 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 。
?x ? 2 ? 3 ?x ? 2 ? 3 ?x2 ? 4 x ? 1 ? 0 ? ? 由方程组 ? ,得: ? 1 或? 2 , ? y1 ? 2 ? 3 ? y2 ? 2 ? 3 ? xy ? 1 ? ?

?

?

所以,所求 Q、R 的坐标分别为 ?2 ? 3,2 ? 3?,?2 ? 3,2 ? 3? 点评:圆是最简单的二次曲线,它在解析几何及其它数学分支中 都有广泛的应用。对一些数学问题,若能作一个辅助圆,可以沟通题 设与结论之间的关系,从而使问题得解,起到铺路搭桥的作用。
五.思维总结

1.关于直线对称问题: (1)关于 l :Ax +By +C =0 对称问题:不论点,直线与曲 线关于 l 对称问题总可以转化为点关于 l 对称问题, 因为对称是由平

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分与垂直两部分组成,如求 P(x0 ,y0)关于 l :Ax +By +C =0 对称点 Q(x1 ,y1) .有 =0。 (2)解出 x1 与 y1 ;若求 C1 :曲线 f(x ,y)=0(包括直线) 关于 l :Ax +By +C1 =0 对称的曲线 C2 ,由上面的(1)(2)中 、 求出 x0 =g1 1 , 1) y0 =g2 1 , 1) 然后代入 C1 : [g1 1 , (x y 与 (x y , f (x y1) 2(x2 ,y2)]=0,就得到关于 l 对称的曲线 C2 方程:f [g1(x , ,g y) 2(x ,y)]=0。 ,g (3) l : +By +C =0 中的 x , 项系数|A|=1, |=1. 若 Ax y |B 就 可以用直接代入解之,尤其是选择填空题。如曲线 C1 :y2 =4 x - 2 关于 l : -y -4=0 对称的曲线 l2 的方程为: -4) 2 =4 y + x (x ( 4)-2.即 y 用 x -4 代,x 用 y +4 代,这样就比较简单了。 (4) 解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决。 点与圆位置关系:P(x0 ,y0)和圆 C :(x -a) 2 +(y -b) 2 = r2。 ① P 在圆 C 外有(x0 -a) 2 +(y0 -b) 2 >r2; 点 ② P 在圆上:(x0 -a) 2 +(y0 -b) 2 =r2; 点 ③ P 在圆内:(x0 -a) 2 +(y0 -b) 2 <r2 。 点 3.直线与圆的位置关系:l :f1(x ,y)=0.圆 C :f2(x , y)=0 消 y 得 F(x2)=0。 (1)直线与圆相交:F(x ,y)=0 中? >0;或圆心到直线距
x ?x y ?y A y0 ? y1 =- (1)与 A· 0 1 +B· 0 1 +C 2 2 B x0 ? x1

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离 d <r 。 直 线 与 圆 相 交 的 相 关 问 题 : ①弦 长 |AB| = 1? k 2 · 1 - x2| = |x 弦中点坐标( 1 ? k 2 · ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ,或|AB|=2 r 2 ? d 2 ;②
y1 ? y2 ) 弦中点轨迹方程。 ;③ 2
x1 ? x2 , 2

(2)直线与圆相切:F(x)=0 中? =0,或 d =r .其相关 问题是切线方程.如 P(x0 ,y0)是圆 x2 +y2 =r2 上的点,过 P 的 切线方程为 x0x +y0y =r2 ,其二是圆外点 P(x0 ,y0)向圆到两条 切线的切线长为 ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 或 x0 2 ? y0 2 ? r 2 ;其三是 P 0 , (x y0 ) 为圆 x2 +y2 =r2 外一点引两条切线, 有两个切点 A , , A , B 过 B 的直线方程为 x0x +y0y =r2 。 (3)直线与圆相离:F(x)=0 中? <0;或 d <r ;主要是 圆上的点到直线距离 d 的最大值与最小值,设 Q 为圆 C :(x -a) 2 +(y -b) 2 =r2 上任一点,|PQ|max =|PC|+r ;|PQ|min =|PQ|-r , 是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值. 4.圆与圆的位置关系:依平面几何的圆心距|O1O2|与两半径 r1 , r2 的和差关系判定. (1)设⊙ 1 圆心 O1 ,半径 r1 ,⊙ 2 圆心 O2 ,半径 r2 则: O O ① r1 +r2 =|O1O2|时⊙ 1 与⊙ 2 外切;② 1 -r2|=|O1O2| 当 O O 当|r 时,两圆相切;③ 1 -r2|<|O1O2|<r1 +r2 时两圆相交;④ 1 - 当|r 当|r r2|>|O1O2|时两圆内含;⑤ r1 +r2 <|O1O2|时两圆外离。 当 (2) O1 : 2 +y2 +D1x +E1y +F1 =0, O2 : 2 +y2 + 设⊙ x ⊙ x D2x +E2y +F2 =0。

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① 两圆相交 A 、B 两点,其公共弦所在直线方程为(D1 -D2) x +(E1 -E2)y +F1 -F2 =0; ② 经过两圆的交点的圆系方程为 x2 +y2 +D1x +E1y +F1 +? (x2 +y2 +D2x +E2y +F2)=0(不包括⊙ 2 方程) O 。

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