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2014.8学大伟业几何(学生讲义)


2014 年 8 月 1. 已知 ?ABC 是等腰三 角形 ,且 AB?AC , A 在 BC 上的投影为 D , P 为 ?ADC 内一 点, 且?APB?90?,?PBD??PAD??PCB。设直线 CP,BP 与 AD 分别交于点 Q,R,T 是线段 AB 上一点,S 是 AP 延长线上的点,且满足?TRB??DQC,?PSR?2?PAR,证明 RS?RT。 2.已知非等腰?ABC 的内切圆 I 与边 BC,CA,AB 分别切于点 A1,B1,C1,直线 AI 与?ABC 的外接 圆 O 分别交于点 A2,B2,C2,直线 B1C1,C1A1,A1B1 与 BC,CA,AB 分别交于点 A3,B3,C3,直线 A2A3,B2B3,C2C3 与线交于一点。 3.已知?ABC 的内切圆 O 分别交于点 A4,B4,C4, 证明 AA4,BB4,CC4 三 I 与边 BC,AC 分别切于点 D,E,过点 D 作 DP?BC,与 I 交于点 P,直线 AP 与 BC 交于点 M。N 为边 AC 上一点,且 AE?CN, 直线 BN 与 I,AM 分别交于点 Q,R,其中 Q 在 B,R 之间,证明 S?ABR?SPQMN。 4.已知非等腰?ABC 的外心、内心分别为 O,I,边 BC,CA,AB 的中点分别为 D,E,F,I 在边 AB 上的投影为 T, ?DEF 的外心为 P, 线段 OI 的中点为 Q, 若 A,P,Q 三点共线, 证明 AOBC??4。 ODAT 5.已知四边形 ABCD 内接于圆?,点 P 是 AC 的延长线上一点,且 PB,PD 与圆?相切,过点 C 作 圆?的切线,分别与直线 PD,AD 交于点 Q,R,直线 AQ 与圆?的另一个交点为 E,证明 B,E,R 三 点共线。 6.已知四边形 ABCD 内接于圆?,?ACD 和?ABC 的内心分别为 I1,I2,?ACD 和?ABC 的内切圆半 径分别为 r1,r2,且 r1?r2。圆??与边 AB,AD 相切,且与圆?内切于点 T,过 T,A 分别与圆?相 切的直线交于点 K,证明 I1,I2,K 三点共线。 7.在圆内接凸四边形 ABCD 中,BC?CD,以 C 为圆心的圆?ABD 的内心,证明过点 I,且与 AB 平行的直线与 C 相切。 C 与 BD 相切,I 为 8.已知圆?与圆?内切于点 P,圆?在圆?的内部,圆?的弦 AB 与圆?切于点 C,直线 PC 与圆?的 另一个交点为 Q,圆?的弦 QR,QS 分别为圆?的切线,I,X,Y 分别为?APB,?ARB,?ASB 的内心, 证明?PXI??PYI?90?。 1


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