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专题10-1 数列的综合应用


2013 届高三数学二轮复习

编制:黄晓峰 审核:沈健

专题 10 数列的综合应用
班级__________姓名__________ 一、利用数列的性质讨论不等关系 题 2:将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比 题 1:已知 An (an,bn ) ( n ? N * )是曲线 上一行多两项的规则排成如下数表:

y ? ex 上的点,a1 ? a , Sn 是数列 {an } 的
2 2 前 n 项 和 , 且 满 足 Sn ? 3 n2 an ? Sn 1 , ?

3, …. an ? 0 , n ? 2,4,
(I)证明:数列 ?

? bn ? 2 ? ? ( n ≤ 2 )是常数 ? bn ?

成一个等差数列,记为 ?bn ? ,且 b2 ? 4 ,

a1 a3 a4 a5 a7 a8 a9 … 已知表中的第一列数 a1 , a2 , a5 ,? 构 a2 a6

数列; (II)确定 a 的取值集合 M ,使 a ? M 时, 数列 {an } 是单调递增数列;

b5 ? 10 . 表 中 每 一 行 正 中 间 一 个 数

a1 , a3 , a?构成数列 ?cn ? ,其前 n 项和为 7, Sn .

(1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若上表中,从第二行起,每一行中的数 按从左到右的顺序均构成等比数列,公比 为同一个正数,且 a13 ? 1 . ①求 Sn ;
* ②记 M ? n | ? n ? 1? cn ? ? , n ? N ,

?

?

若集合 M 的元素个数为 3 ,求实数 ? 的取 值范围.

1

2013 届高三数学二轮复习

编制:黄晓峰 审核:沈健

二、利用函数讨论数列的不等关系

题 3:设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知

题 4 : 首 项 为 正 数 的 数 列 ?an ? 满 足

1 1 1 n ? ?? ? ? ?n ? N* ? . S1 S2 Sn n ? 1 (1)求 S1 , S2 , Sn ;
(2)设 bn ? ?

an ?1 ?

1 2 (an ? 3 )n ? N ? . , 4

(I) 证明: a1 为奇数, 若 则对一切 n ? 2, an 都是奇数; (II) 若对一切 n ? N? 都有 an?1 ? an , a1 求 的取值范围。

?1? * ? ,若对一切 n ? N ,均有 ?2? n 16 ? ?1 ? bk ? ? m , m2 ? 6m ? 3 ? ,求实数 m 的 ? ? k ?1

an

取值范围.

2

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编制:黄晓峰 审核:沈健

三、数列的恒等关系或恒不等关系

题 5. 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项 和 为 Sn , 已 知 2a2 ? a1 ? a3 , 数 列

例 6. 已 知 数 列 {an } 中 , a1 ? 1 , 且

? S ? 是公差为 d 的等差数列.
n

n * an ?1 ? 2n ? 3n ? 2 (n ? 2 ,n? N . ) n ?1 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; an ?
(2)令 bn ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式(用 n, d 表示);

(2)设 c 为实数, 对满足 m ? n ? 3k ? m ? n? 的 任 意 正 整 数 m, n, k , 不 等 式

3n ?1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 an Sn ,试比较 S2n 与 n 的大小;

Sm ? Sn ? cSk 都成立.求证: c 的最大值
9 为 . 2

3

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编制:黄晓峰 审核:沈健

四、数列中的推理与证明 题 7. 在 正 项 数 列
n

?an ? 中 , 令



8









Sn ? ?
i ?1

(1)若 ?an ? 是首项为 25,公差为 2 的等差 数列,求 S100 ; (2)若 Sn ?

1 . ai ? ai ?1

A ? ?a1, a2 ,?an ??1 ? a1 ? a2 ? ?an , n ? 2?
具有性质 P ;对任意的 i, j ?1 ? i ? j ? n? ,

ai a j 与
np ( p 为正常数) a1 ? an?1

aj ai

两数中至少有一个属于 A .

对正整数 n 恒成立,求证 ?an ? 为等差数列; (3)给定正整数 k ,正实数 M ,对于满足
2 a12 ? ak ?1 ? M 的所有等差数列 ?an ? ,

(1)分别判断数集 ?1,3, 4? 与 ?1,2,3,6? 是 否具有性质 P ,并说明理由; ( 2 ) 证 明 :

a1 ? 1 , 且

求 T ? ak ?1 ? ak ?2 ???? ? a2k ?1 的最大值.

a1 ? a2 ? ? ? an ? an ; ? ? a1?1 ? a2 1 ? ? ? an 1
(3)证明:当 n ? 5 时,a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成 等比数列.

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