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指数函数
概念:一般地,函数 y=a^x (a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数 的定义域是 R。 注意:⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为 1,否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质:

规律: 1. 当 两 个 指 数

函数中的 a 互为倒数时

,两个函数关于 y 轴对称,但这两个函数都不具有 奇偶性。

2.当 a>1 时,底数越大,图像上升的越快,在 y 轴的右侧,图像越靠近 y 轴; 当 0<a<1 时,底数越小,图像下降的越快,在 y 轴的左侧,图像越靠近 y 轴。 在 y 轴右边 “ 底大图高 ” ;在 y 轴左边 “ 底大图低 ” 。

1

3.四字口诀: “大增小减” 。即:当 a>1 时,图像在 R 上是增函数;当 0<a<1 时, 图像在 R 上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 。

比较幂式大小的方法:
1. 当底数相同时,则利用指数函数的单调性进行比较; 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论; 3. 当底数不同,指数也不同时,则需要引入中间量进行比较; 4. 对多个数进行比较,可用 0 或 1 作为中间量进行比较

底数的平移:
在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。 在 f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。

对数函数
1.对数函数的概念
由于指数函数 y=ax 在定义域(-∞,+∞)上是单调函数,所以它存在反函数, 我们把指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的反函数称为对数函数,并记为 y=logax(a>0,a≠1). 因为指数函数 y=ax 的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数 y=logax 的 定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).

2.对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线 y=x. 据此即可以画 出对数函数的图像,并推知它的性质.
2

为了研究对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的性质,我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log2x,y=log10x,y=log10x,y=log 1 x,y=log 1 x 的草图
2 10

由草图,再结合指数函数的图像和性质,可以归纳、分析出对数函数 y=logax(a>0,a ≠1)的图像的特征和性质.见下表. a>1 a<1



象 (1)x>0 性 质 (2)当 x=1 时,y=0 (3)当 x>1 时,y>0 0<x<1 时,y<0 (4)在(0,+∞)上是增函数 补 充 性 质 (3)当 x>1 时,y<0 0<x<1 时,y>0 (4)在(0,+∞)上是减函数

设 y1=logax y2=logbx 其中 a>1,b>1(或 0<a<1 0<b<1) 当 x>1 时“底大图低”即若 a>b 则 y1>y2 当 0<x<1 时“底大图高”即若 a>b,则 y1>y2

比较对数大小的常用方法有:
3

(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断. (2)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数不同、真数相同,则可用换底公式化为同底再进行比较. (4)若底数、真数都不相同,则常借助 1、0、-1 等中间量进行比较.

3.指数函数与对数函数对比
名称 一般形式 定义域 值域 指数函数 y=ax(a>0,a≠1) (-∞,+∞) (0,+∞) 当 a>1 时, 函 数 值 变 化 情 况 单调性 当 a>1 时,ax 是增函数; 当 0<a<1 时,ax 是减函数. 图像 当 a>1 时,logax 是增函数; 当 0<a<1 时,logax 是减函数. 对数函数 y=logax(a>0,a≠1) (0,+∞) (-∞,+∞) 当 a>1 时

?? 1( x ? 0) ? a ?? 1( x ? 0) ?? 1( x ? 0) ?
x

?? 0( x ? 1) ? log a x ?? 0( x ? 1) ?? 0( x ? 1) ?
当 0<a<1 时,

当 0<a<1 时,

?? 1( x ? 0) ? a ?? 1( x ? 0) ?? 1( x ? 0) ?
x

?? 0( x ? 1) ? log a x ?? 0( x ? 1) ?? 0( x ? 1) ?

y=ax 的图像与 y=logax 的图像关于直线 y=x 对称.

幂函数
幂函数的图像与性质
幂函数 y ? x 随着 n 的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分
n

类记忆的方法.熟练掌握 y ? x ,当 n ? ?2 , ? 1 , ?
n

1 1 , , 3 的图像和性质,列表如下. 2 3

从中可以归纳出以下结论:

① 它们都过点 ?1, 1? ,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函 数图像都不过第四象限.

4

1 1 , , 1 , 2 , 3 时,幂函数图像过原点且在 ?0 , ? ?? 上是增函数. 3 2 1 ③ a ? ? , ? 1 , ? 2 时,幂函数图像不过原点且在 ? 0 , ? ? ? 上是减函数. 2
② a? ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点.

y ? xn

奇函数
y

偶函数
y

非奇非偶函数
y

n ?1
O

x

O

x

O

x

y

y

y

0 ? n ?1
O x O x O x

y

y

y

n?0
O

x

O

x

O

x

y?x
定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限的增减 性 R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

y ? x2
R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

y ? x3
R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

y?x

1 2

y ? x ?1

?x | x ? 0?
非奇非偶
在第Ⅰ象限 单调递增

?x | x ? 0?
奇 在第Ⅰ象限 单调递减

5

幂函数 y ? x ( x ?R,? 是常数)的图像在第

?

一象限的分布规律是:

①所有幂函数 y ? x ( x ?R, ? 是常数)的图 像都过点 (1,1) ;

?

? ? 1,2,3,
②当 点 (0,0) ;

1 ? 2 时函数 y ? x 的图像都过原

③当 ? ? 1 时, y ? x 的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如 c2 ) ;
? ④当 ? ? 2,3 时, y ? x 的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如 c1 )

?

??
⑤当

1 ? 2 时, y ? x 的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如 c3 )
?

⑥当 ? ? ?1 时, y ? x 的的图像不过原点 (0,0) ,且在第一象限是“下滑”曲线(如 c4 )

当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x

?

有下列性质:

(1)图象都通过点 (0,0), (1,1) ; (2)在第一象限内都是增函数; (3)在第一象限内, ? ? 1 时,图象是向下凸的; 0 ? ? ? 1时,图象是向上凸的; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,图象向右上方无限伸展。

当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x
(1)图象都通过点 (1,1) ;

?

有下列性质:

(2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的; (3)在第一象限内,图象向上与

y 轴无限地接近;向右无限地与 x 轴无限地接近;

(4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,

?

越大,图象下落的速度越快。
?

无论 ? 取任何实数,幂函数 y ? x 的图象必然经过第一象限,并且一定不经
6

过第四象限。

对号函数
函数

y ? ax ?

b x

(a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(0,+∞)的图象似符号“√”

而得名,利用对号函数的图象及均值不等式,当 x>0 时,ax ?

b b b ? 2 (当且仅当 ax ? x x a

即x ?

b b 时取等号) ,由此可得函数 y ? ax ? (a>0,b>0,x∈R+)的性质: x a

当x?

b b b 时,函数 y ? ax ? (a>0,b>0,x∈R+)有最小值 2 ,特别地, 当 a=b=1 x a a b x

时函数有最小值 2。 函数 y ? ax ? (a>0,b>0) 在区间 (0, +∞)上是增函数。 因为函数 y ? ax ?

b b ) 上是减函数, 在区间 ( , a a

b b (a>0,b>0)是奇函数,所以可得函数 y ? ax ? (a>0,b>0,x∈R-) x x
7

的性质: 当x??

b b b 时, 函数 y ? ax ? (a>0,b>0,x∈R-) 有最大值- 2 , 特别地, 当 a=b=1 x a a b b (a>0,b>0)在区间(-∞,)上是增函数,在区 x a

时函数有最大值-2。函数 y ? ax ?

间(-

b ,0)上是减函 a

奇函数和偶函数
(1)如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x 值,都有 f(-x)=-(x).那么就称 f(x)为奇 函数. 如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x 值, 都有 f(-x)=f(x), 那么就称 f(x)为偶函数. 说 明: (1)由奇函数、 偶函数的定义可知, 只有当 f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时, 才有可能是奇 (2)判断是不是奇函数或偶函数,不能轻率从事,例如判断 f(x) 是不易的.为了便于判断 有时可采取如下办法:计算 f(x)+f(-x),视其结果而说明是否是奇函数.用这个方法判断此 函数较为方便:f(x) (3)判断函数的奇偶性时,还应注意是否对定义域内的任何 x 值,当 x≠0 时,显然有 f(- x)=-f(x),但当 x=0 时,f(-x)=f(x)=1,∴f(x)为非奇非偶函数. (4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形; 偶函数的图象特征是关于 y 轴为对称轴的对称图形. (5)函数的单调性与奇偶性综合应用时,尤其要注意由它们的定义出发来进行论证. 如果函数 f(x)是奇函数,并且在(0,+∞)上是增函数,试判断在(-∞,0)上的增减性. 解 设 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2<0 则有-x1>-x2>0, ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f(-x1)>f(-x2) 又∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(x)对任意 x 成立, ∴=-f(x1)>-f(x2) ∴f(x1)<f(x2).
8



∴f(x)在(-∞,0)上也为增函数. 由此可得出结论: 一个奇函数若在(0, +∞)上是增函数, 则在(-∞, 0)上也必是增函数, 即奇函数在(0,+∞)上与(-∞,0)上的奇偶性相同. 类似地可以证明,偶函数在(0,+∞)和(-∞,0)上的奇偶性恰好相反. 时,f(x)的解析式 解 ∵x<0,∴-x>0. 又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).

偶函数图象对称性的拓广与应用
我们知道, 如果对于函数 y=f(x)定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 y=f(x)就叫做偶函数.偶函数的图象关 于 y 轴对称,反之亦真.由此可拓广如下: 如果存在常数 a,b,对于函数 y=f(x)定义域内任意一个 x, a+x,b-x 仍在

(a+b-x,f(x)),而 f(a+b-x)=f[a+(b-x)]=f[b-(b- x)]=f(x),对称点 P'(a+b-x,

称;

9

10


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