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2016届人教A版 立体几何 单元测试


2016 届人教 A 版 立体几何 单元测试
A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是 A.球的三视图总是三个全等的圆 B.正方体的三视图总是三个全等的正方形 C.水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 答案 A 解析 画几何

体的三视图要考虑视角,但对于球无论选择怎样的视角,其三视图总是三 个全等的圆. 2. 设 α、 β、 γ 是三个互不重合的平面, m、 n 是两条不重合的直线, 下列命题中正确的是( A.若 α⊥β,β⊥γ,则 α⊥γ B.若 m∥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n C.若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β D.若 α∥β,m?β,m∥α,则 m∥β 答案 D 解析 对于 A,若 α⊥β,β⊥γ,α,γ 可以平行,也可以相交,A 错;对于 B,若 m∥α, n∥β,α⊥β,则 m,n 可以平行,可以相交,也可以异面,B 错;对于 C,若 α⊥β,m⊥α, 则 m 可以在平面 β 内,C 错;易知 D 正确. 3. 设 α、β、γ 为平面,l、m、n 为直线,则 m⊥β 的一个充分条件为 A.α⊥β,α∩β=l,m⊥l C.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ 答案 B 解析 如图①知 A 错;如图②知 C 错;如图③在正方体中,两侧面 α 与 β 相交于 l,都 与底面 γ 垂直,γ 内的直线 m⊥α,但 m 与 β 不垂直,故 D 错; 由 n⊥α,n⊥β,得 α∥β.又 m⊥α,则 m⊥β,故 B 正确. B.n⊥α,n⊥β,m⊥α D.α⊥γ,β⊥γ,m⊥α ( ) ) ( )

4. 如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB1、BC1 的中点,

则下列结论不成立的是 A.EF 与 BB1 垂直 B.EF 与 BD 垂直 C.EF 与 CD 异面 D.EF 与 A1C1 异面 答案 D 解析 连接 B1C,AC,则 B1C 交 BC1 于 F, 且 F 为 B1C 的中点, 1 又 E 为 AB1 的中点,所以 EF 綊 AC, 2 而 B1B⊥平面 ABCD,所以 B1B⊥AC, 所以 B1B⊥EF,A 正确; 又 AC⊥BD,所以 EF⊥BD,B 正确; 1 显然 EF 与 CD 异面,C 正确;由 EF 綊 AC,AC∥A1C1, 2 得 EF∥A1C1.故不成立的选项为 D. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

(

)

5.三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,则三棱 锥 P-ABC 的体积等于________. 答案 3

解析 ∵PA⊥底面 ABC, ∴PA 为三棱锥 P-ABC 的高,且 PA=3. 1 1 ∵底面 ABC 为正三角形且边长为 2, ∴底面面积为 ×22×sin 60° = 3, ∴VP-ABC= × 3 2 3 ×3= 3. 6. 已知四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,点 E、F 分别是棱 PC、 PD 的中点,则 ①棱 AB 与 PD 所在直线垂直; ②平面 PBC 与平面 ABCD 垂直; ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积; ④直线 AE 与直线 BF 是异面直线. 以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号) 答案 ①③ 解析 由条件可得 AB⊥平面 PAD, ∴AB⊥PD,故①正确;

若平面 PBC⊥平面 ABCD,由 PB⊥BC, 得 PB⊥平面 ABCD,从而 PA∥PB,这是不可能的,故②错; 1 1 S△PCD= CD· PD,S△PAB= AB· PA, 2 2 由 AB=CD,PD>PA 知③正确; 由 E、F 分别是棱 PC、PD 的中点, 可得 EF∥CD,又 AB∥CD, ∴EF∥AB,故 AE 与 BF 共面,④错. 7. 三棱锥 S-ABC 中,∠SBA=∠SCA=90° ,△ABC 是斜边 AB=a 的等腰直角三角形,则 以下结论中: ①异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90° ; ②直线 SB⊥平面 ABC; ③平面 SBC⊥平面 SAC; 1 ④点 C 到平面 SAB 的距离是 a. 2 其中正确结论的序号是________. 答案 ①②③④ 解析 由题意知 AC⊥平面 SBC,故 AC⊥SB,SB⊥平面 ABC,平面 SBC⊥平面 SAC,①②③正确;取 AB 的中点 E,连接 CE,(如图)可 1 证得 CE⊥平面 SAB,故 CE 的长度即为 C 到平面 SAB 的距离 a,④ 2 正确. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90° ,M,N 分别为 A1B,B1C1 的中点.求证: (1)BC∥平面 MNB1; (2)平面 A1CB⊥平面 ACC1A. 证明 (1)因为 BC∥B1C1,

且 B1C1?平面 MNB1, BC?平面 MNB1, 故 BC∥平面 MNB1. (2)因为 BC⊥AC,且 ABC-A1B1C1 为直三棱柱, 故 BC⊥平面 ACC1A1.因为 BC?平面 A1CB, 故平面 A1CB⊥平面 ACC1A1. 9. (12 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点

E 在线段 AD 上,且 CE∥AB. (1)求证:CE⊥平面 PAD; (2)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2,∠CDA=45° ,求四棱锥 P—ABCD 的体积. (1)证明 因为 PA⊥平面 ABCD,CE?平面 ABCD, 所以 PA⊥CE. 因为 AB⊥AD,CE∥AB,所以 CE⊥AD. 又 PA∩AD=A,所以 CE⊥平面 PAD. (2)解 由(1)可知 CE⊥AD.

在 Rt△ECD 中,DE=CD· cos 45° =1, CE=CD· sin 45° =1. 所以 AE=AD-ED=2. 又因为 AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形 ABCE 为矩形. 1 所以 S 四边形 ABCD=S 矩形 ABCE+S△ECD=AB· AE+ CE· DE 2 1 5 =1×2+ ×1×1= . 2 2 又 PA⊥平面 ABCD,PA=1, 1 1 5 5 所以 V 四棱锥 P—ABCD= S 四边形 ABCD· PA= × ×1= . 3 3 2 6 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 已知直线 l1,l2 与平面 α,则下列结论中正确的是 A.若 l1?α,l2∩α=A,则 l1,l2 为异面直线 B.若 l1∥l2,l1∥α,则 l2∥α C.若 l1⊥l2,l1⊥α,则 l2∥α D.若 l1⊥α,l2⊥α,则 l1∥l2 答案 D 解析 对于选项 A,当 A∈l1 时,结论不成立;对于选项 B、C,当 l2?α 时,结论不成 立. 2. 已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,有下面四个命题: ①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β. 其中正确的命题有 A.①② C.②④ B.①③ D.③④ ( ) ( )

答案 B 解析 ①中,
? α∥β? l⊥β ? ? ?? ??l⊥m,故①正确; ? ? l⊥α ? m?β?

②中,l 与 m 相交、平行、异面均有可能,故②错; ③中, l∥m? m⊥α? ? ? ?? ??α⊥β,故③正确; ? ? l⊥α ? m?β?

④中,α 与 β 也有可能相交,故④错误. 3. 如图所示,是一几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形,E、 F 分别为 PA、PD 的中点.在此几何体中,给出下面四个结论: ①直线 BE 与直线 CF 异面; ②直线 BE 与直线 AF 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD. 其中正确的有 A.①② 答案 B 解析 对于①,因为 E、F 分别是 PA、PD 的中点, 所以 EF∥AD.又因为 AD∥BC, 所以 EF∥BC.所以 BE 与 CF 共面.故①不正确. 对于②,因为 BE 是平面 APD 的斜线,AF 是平面 APD 内与 BE 不相交的直线,所以 BE 与 AF 不共面.故②正确. 对于③,由①,知 EF∥BC,所以 EF∥平面 PBC.故③正确. 对于④,条件不足,无法判断两平面垂直. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) π π 4. 有一个内接于球的四棱锥 P-ABCD,若 PA⊥底面 ABCD,∠BCD= ,∠ABC≠ ,BC 2 2 =3,CD=4,PA=5,则该球的表面积为________. 答案 50π 解析 由∠BCD=90° 知 BD 为底面 ABCD 外接圆的直径,则 2r= 32+42=5. 又∠DAB=90° ?PA⊥AB,PA⊥AD,BA⊥AD. 从而把 PA,AB,AD 看作长方体的三条棱,设外接球半径为 R,则(2R)2=52+(2r)2=52 +52, ∴4R2=50,∴S 球=4πR2=50π. 5. 矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面 AC,BC 边上存在点 B.②③ C.①④ D.②④ ( )

Q,使得 PQ⊥QD,则实数 a 的取值范围是________. 答案 [2,+∞)

解析 如图,连接 AQ, ∵PA⊥平面 AC, ∴PA⊥QD,又 PQ⊥QD,PQ∩PA=P, ∴QD⊥平面 PQA,于是 QD⊥AQ, ∴在线段 BC 上存在一点 Q,使得 QD⊥AQ, a 等价于以 AD 为直径的圆与线段 BC 有交点,∴ ≥1,a≥2. 2 6. 两个不同的平面 α、β 的法向量分别为 m、n,向量 a、b 是平面 α 及 β 之外的两条不同 的直线的方向向量,给出四个论断: ①a⊥b;②m⊥n;③m∥a;④n∥b. 以其中的三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 ________. 答案 ①④③?②或④②③? ① 解析 依题意,可得以下四个命题: (1)①②③?④;(2)①②④?③;(3)①④③?②;(4)④②③?①.不难发现,命题(3)、(4) 为真命题,而命题(1)、(2)为假命题. 三、解答题 7. (13 分)如图所示,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为 等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F 分 别是棱 AD,AA1,AB 的中点. (1)证明:直线 EE1∥平面 FCC1 (2)求二面角 B-FC1-C 的余弦值. (1)证明 因为 F 为 AB 的中点,CD=2,AB=4,AB∥CD, 所以 CD 綊 AF. 因此四边形 AFCD 为平行四边形, 所以 AD∥FC. 又 CC1∥DD1,FC∩CC1=C, 所以 DD1∥平面 FCC1. 同理,AD∥平面 FCC1. 又 AD∩DD1=D,所以平面 ADD1A1∥平面 FCC1. 又 EE1?平面 ADD1A1, 所以 EE1∥平面 FCC1.

(2)解

方法一 如图,

取 FC 的中点 H,连接 BH, 由于 FC=BC=FB,所以 BH⊥FC. 又 BH⊥CC1,CC1∩FC=C, 所以 BH⊥平面 FCC1. 过 H 作 HG⊥C1F 于 G,连接 BG. 由于 HG⊥C1F,BH⊥平面 FCC1, 所以 BG⊥C1F. 所以∠BGH 为所求二面角的平面角. 在 Rt△BHG 中,BH= 3, 又 FH=1,且△FCC1 为等腰直角三角形, 所以 HG= 2 ,BG= 2 1 14 3+ = . 2 2

2 2 GH 7 因此 cos∠BGH= = = , BG 14 7 2 即所求二面角的余弦值为 7 . 7

方法二 过 D 作 DR⊥CD 交 AB 于 R, 连接 DB,以 D 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 D(0,0,0),F( 3,1,0),B( 3,3,0),C(0,2,0),C1(0,2,2), → → 所以FB=(0,2,0),BC1=(- 3,-1,2), → → DB=( 3,3,0),FC=(- 3,1,0). → → → → 因为DB· FC=0,所以DB⊥FC. → 又 CC1⊥平面 ABCD,得DB为平面 FCC1 的一个法向量. 设平面 BFC1 的一个法向量为 n=(x,y,z), → ? ?n⊥FB, 则由? → ?n⊥BC ? 1, ?0,2,0?=0, ??x,y,z?· 得? ?- 3,-1,2?=0, ??x,y,z?·

?2y=0, 即? ?- 3x-y+2z=0.

y=0, ? ? 3? ? 取 x=1,得? 3 因此 n=?1,0, 2 ?, ? ?z= 2 . → DB· n → 所以 cos〈DB,n〉= → |DB||n| = 3 3+9× 1 7 = = . 3 7 7 1+ 4 7 . 7

故所求二面角的余弦值为


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