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2015-2016天津市河西区一模文科数学试卷含答案


河西区 2015—2016 学年度第二学期高三年级总复习质量调查 (一)

数 学 试 卷(文史类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 7 页。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用 条形码。答卷时,考生务必将答案涂

写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将 本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式:
·柱体的体积公式 V ·如果事件

? Sh
1 ? Sh 3

A , B 互斥,那么

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

·锥体的体积公式 V

其中 S 表示柱(锥)体的底面面积

h 表示柱(锥)体的高
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设 i 是虚数单位,若复数 z 满足 (2 ? 5i ) z ? 29 ,则 z = (A) 2 ? 5i (C) ? 2 ? 5i (B) 2 ? 5i (D) ? 2 ? 5i

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(2)在区间 [?

?
2



?

1 3 1 (C) 2
(A)

1 ] 上随机取一个 x ,则 cos x 的值在 0 到 之间的概率为 2 2 2 (B) ? 2 开始 (D) 3

n ?1
(3)如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 值为

S ?1
(A) 12

n ? n ?1
(B) 24
S ? S?n

(C) 48 (D) 120

n?5
否 输出 S 结束



(4)“ a ?

1 ”是函数“ y ? cos 2 2ax ? sin2 2ax 的最小正周期为 ? ”的 2
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

(5)直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 将圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 分割成的两段圆弧长之比为 (A) 1:1 (C) 1: 3 (6)已知函数 f ( x) ? ln x ?
x (A) ln x0 ? x0 2 ? 2 0 1 1

(B) 1: 2 (D) 1: 4

1 的零点为 x 0 ,则下列结论正确的是 x
(B) 2
x0

? ln x0 ? x0 2

1

(C) 2

x0

? x0 2 ? ln x0
高三数学试卷(文科)

x (D) x0 2 ? 2 0 ? ln x0

1

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(7)已知双曲线 C 1 :

x2 y2 ? ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )的焦距是实轴长的 2 倍,若抛物线 C2 : a2 b2

x 2 ? 2 py ( p ? 0 )的焦点到双曲线 C 1 的渐近线的距离为 2 ,则抛物线 C2 的方程为
(A) x 2 ?

8 3 y 3

(B) x 2 ?

16 3 y 3

(C) x 2 ? 8 y

(D) x 2 ? 16 y

( 8 )如图所示,在 ?ABC 中, AD ? DB ,点 F 在线段 CD 上,设 AB ? a , AC ? b ,

AF ? x a ? y b,则

1 4 ? 的最小值为 x y

(A) 6 ? 2 2 (B) 9 3 (C) 9 (D) 6 ? 4 2

C F A B

D

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数 学 试 卷(文史类)
第Ⅱ卷
注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上。 2.本卷共 12 小题,共 110 分。 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.

B ? {x ∣ x 2 ? 2x ? 0} , (9) 设全集 U ? R , 集合 A ? {x ∣ x 2 ? 1} , 则 A ? (C R B) =
(10)某空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 .

.

( 11 ) 若 曲 线 f ( x) ? a cos x 与 曲 线 g ( x) ? x 2 ? bx ? 1 在 交 点 ( 0 , m) 处 有 公 切 线 , 则

a ?b ?

.

( 12)已知等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a 3 , a 9 构成等比数列 {bn } 的前 3 项,则

a1 ? a3 ? a6 = a2 ? a4 ? a10

.

(13)如图,以 AB ? 4 为直径的圆与 ?ABC 的两边分别 交于 E , F 两点, ?ACB ? 60? ,则 EF ? .

(14) 若关于 x 的不等式 3 ? x ? a ? x 2 至少有一个负数解, 则实数 a 的取值范围是
高三数学试卷(文科) 第 4 页 (共 7 页)(一)

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, ?A , ?B , ?C 所对的边长分别为 a , b , c ,其中 b ? 6 , ?ABC 的 面积为 15 ,其外接圆的半径为 5 . (Ⅰ)求 sin 2B 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的周长.

(16)(本小题满分 13 分) 某营养学家建议:高中生每天的蛋白质摄入量控制在 [60 , 90] (单位:克),脂肪 的摄入量控制在 [18 , 27] (单位:克).某学校食堂提供的伙食以食物 A 和食物 B 为主, 1 千克食物 A 含蛋白质 60 克,含脂肪 9 克,售价 20 元;1 千克食物 B 含蛋白质 30 克,含 脂肪 27 克,售价 15 元. (Ⅰ) 如果某学生只吃食物 A , 判断他的伙食是否符合营养学家的建议, 并说明理由; (Ⅱ)为了花费最低且符合营养学家的建议,学生需要每天同时食用食物 A 和食物 B 各多少千克?并求出最低需要花费的钱数.

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(17)(本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 A ? BCDE 中,平面 ABC ? 平面 BCDE , ?CDE ? ?BED ? 90? ,
AB ? CD ? 2 , DE ? BE ?1 , AC ? 2 , F 为 AD 的中点.

A F D C B

(Ⅰ)求证: EF ∥平面 ABC ; (Ⅱ)求证: AC ? 平面 BCDE ; (Ⅲ)求直线 AE 与平面 ABC 所成角的正切值.

E

(18)(本小题满分 13 分) 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 是等比数列,满足 a1 ? 3 , b1 ? 1 ,

b2 ? S 2 ? 10 , a5 ? 2b2 ? a3 .
(Ⅰ)求数列 {a n } 和 {bn } 通项公式;

(Ⅱ)令 cn ? ? S n

?2 ? , ( n为 奇 数) ? ? bn , ( n为 偶 数)

,设数列 {c n } 的前 n 项和 Tn ,求 T2 n .

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(19)(本小题满分 14 分) 如图,F1 ,F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、 右焦点,B 为上顶点, 连结 BF2 a2 b2

并延长交椭圆于点 A ,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C ,连结 F1C . (Ⅰ)若点 C 的坐标为 ( , ) ,且 BF2 ? 2 ,求椭圆的方程; (Ⅱ)若 F1C ? AB ,求椭圆的离心率 e .

4 3

1 3

y

B C F1 O F2 A
x

(20)(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ae x ( x ? 1) (其中 e ? 2,718 28? ) , 已知它们在 x ? 0 g ( x) ? x 2 ? bx ? 2 , 处有相同的切线. (Ⅰ)求函数 f ( x) , g ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [ t , t ? 1] ( t ? ? 3 )上的最小值; (Ⅲ)若对 ?x ? ?2 , kf ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

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数学试卷(文史类)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. BADA BCDD

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9) { x ∣ 0 ? x ? 1} (14) ? (10)

8?? 3

(11)1 (12)

5 8

(13)2

13 ?a?3 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. (15)(本小题满分 13 分)

b b 3 ? 2R ,所以 sin B ? ? , sin B 2R 5 1 又因为 ?ABC 的面积为 15 ,所以 S ? ac sin B ? 15 , 2
(Ⅰ)解:由正弦定理得, 所以 ac ? 50 ? b 2 , a , c 有一个比 b 大,即 ?B 是锐角, 所以 cos B ?

????2 分

????4 分

4 , 5
24 . 25
a2 ? c2 ? b2 4 ? , 2ac 5
????6 分 ????8 分

所以 sin 2 B ? 2 sin B cos B ?

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)及余弦定理得: cos B ? 所以 a 2 ? c 2 ? 116 , (a ? c) 2 ? 216 , 所以 a ? c ? 6 6 , 所以 ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 6 ? 6 6 . (16)(本小题满分 13 分)

????12 分 ????13 分

(Ⅰ)解:如果学生只吃食物 A ,则蛋白质的摄入量在 [60 , 90] (单位:克)时,食物 A 的重量在 [1 , 1.5] (单位:千克),其相应的脂肪摄入量在 [ 9 , 13.5] (单位:克),
高三数学试卷(文科) 第 8 页 (共 7 页)(一)

不符合营养学家的建议; 当脂肪的摄入量在 [18 , 27] (单位:克)时,食物 A 的重量在 [ 2 , 3 ] (单位:千克), 其相应的蛋白质摄入量在 [120 , 180 ] (单位:克), 不符合营养学家的建议. (Ⅱ)设学生每天吃 x 千克食物 A , y 千克食物 B , 每天的伙食费为 z ? 20 x ? 15 y , ????4 分 ????2 分

?60 ? 60 x ? 30 y ? 90 ?2 ? 2 x ? y ? 3 ? ? 由题意 x , y 满足 ? 18 ? 9 x ? 27 y ? 27 ,即 ? 2 ? x ? 3 y ? 3 , ? ? x ? 0, y ? 0 x ? 0, y ? 0 ? ?
可行域如图所示,

????7 分

????9 分

4 1 1 z ,得到斜率为 ? ,在 y 轴上截距为 z 的一族平 3 15 15 1 行直线.由图可以看出,当直线 z ? 20 x ? 15 y 经过可行域上的点 B 时,截距 z 最小. 15
把 z ? 20 x ? 15 y 变形为 y ? ? x ?

4 3

?2 x ? y ? 2 4 2 解方程组 ? ,得点 B 的坐标为 ( , ) , 5 5 ?x ? 3y ? 2
所以 z ? 20 x ? 15 y ? 20 ? 0.8 ? 15 ? 0.4 ? 22 元,

????11 分 ????12 分

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第 9 页 (共 7 页)(一)

答:学生每天吃 0.8 千克食物 A , 0.4 千克食物 B ,既能符合营养学家的建议又花费最少. 最低需要花费 22 元. (17)(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:取 AC 的中点 G ,连结 FG , BG ,????1 分 因为 ?CDE ? ?BED ? 90? , 所以 BE ∥ CD , ????13 分

A F H B M G C

D

因为 BE ?1, CD ? 2 , F 为 AD 的中点, G 为 AC 的中点, E 所以 FG ∥ CD , FG ? 1 , 所以 FG ∥ BE , FG ? BE , 四边形 BEFG 为平行四边形, 所以 EF ∥ BG , EF ? 平面 ABC , BG ? 平面 ABC , 所以 EF ∥平面 ABC . (Ⅱ)证明:取 DC 的中点 H ,连结 BH , 由题意, BH ? 1 , CH ? 1 , BH ? CH , 所以 BC ? 2 , 又因为 AC ? 2 , AB ? 2 ,满足 AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ,所以 AC ? BC ,

????3 分

????4 分

????5 分

????7 分

因为平面 ABC ? 平面 BCDE ,平面 ABC ? 平面 BCDE ? BC , AC ? 平面 ABC , 所以 AC ? 平面 BCDE . (Ⅲ)解:过点 E 作 EM ? BC 交 BC 的延长线于点 M ,连结 AM , ????8 分 ????9 分

因为平面 ABC ? 平面 BCDE ,平面 ABC ? 平面 BCDE ? BC , EM ? 平面 BCDE , 所以 EM ? 平面 ABC , 所以 ?EAM 为直线 AE 与平面 ABC 所成角, ????11 分

2 , 2 26 在 Rt?ACM 中, AM ? , 2
经计算, EM ? MB ?
高三数学试卷(文科) 第 10 页 (共 7 页)(一)

所以 tan ?EAM ?

EM 13 ? . AM 13

????13 分

(18)(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设数列 {a n } 的公差为 d ,数列 {bn } 的公比为 q ,则

? b2 ? S 2 ? 10 ?d ? 2 由 a1 ? 3 , b1 ? 1 ,及 ? ,解得 ? , ?q ? 2 ?a5 ? 2b2 ? a3
所以 an ? 2n ? 1 , bn ? 2n?1 . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可得, S n ? n(n ? 2) ,

????4 分

????6 分

? 2 1 ?1 , (n为奇数) ? , (n为奇数) ? ? 则 c n ? ? n ( n ? 2) ,即 cn ? ? n n ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 , (n为偶数) ? ? 2 , (n为偶数) ?

????8 分

1 1 1 1 1 T2n ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (21 ? 23 ? ? ? 22n?1 ) 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2(1 ? 4 n ) 2 2 n ?1 ? 1 1 1 ? ? . ?1? ? 1? 4 3 2n ? 1 2n ? 1
(19)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由 BF2 ? 2 ,可知 a ? 2 , 设椭圆方程为

????9 分 ????13 分

????1 分

x2 y2 4 1 ? 2 ? 1 ,代入点 ( , ) , 2 b 3 3
????3 分

解得 b 2 ? 1 , 所以椭圆的方程为

x2 ? y2 ?1. 2

????4 分

(Ⅱ)解:设直线 AB 的方程为

x y ? ? 1, c b

? x ? ? ? c 联立方程组 ? 2 ?x ? ? ?a2

? y 2a 2 c ?1 x1 ? 2 ? ? b a ? c 2 或 ? x2 ? 0 , ,得 ? ? 2 2 2 y ? y ? b (c ? a ) ? y 2 ? b ? 1 1 ? b2 a2 ? c2 ?
高三数学试卷(文科) 第 11 页 (共 7 页)(一)

所以点 A 的坐标为 (

2a 2 c b (c 2 ? a 2 ) ), , 2 2 2 a ?c a ? c2 2a 2 c b( a 2 ? c 2 ) ), , a2 ? c2 a2 ? c2

????7 分

从而点 C 的坐标为 (

????8 分

所以直线 F1C 的斜率为

b( a 2 ? c 2 ) b ,直线 AB 的斜率为 ? , 2 3 3a c ? c c

????10 分

因为 F1C ? AB ,所以 整理得 a 2 ? 5c 2 , e ?

b( a 2 ? c 2 ) b ? (? ) ? ?1 ,又 b 2 ? a 2 ? c 2 , 2 3 3a c ? c c

5 5 5 . 5

????13 分 ????14 分

所以椭圆的离心率 e 为

(20)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解: f ' ( x) ? ae x ( x ? 2) , g ' ( x) ? 2 x ? b , 由题意,两函数在 x ? 0 处有相同的切线, 因为 f ' (0) ? 2a , g ' (0) ? b , 所以 2a ? b , f (0) ? a ? g (0) ? 2 , 所以 a ? 2 , b ? 4 , 所以 f ( x) ? 2e x ( x ? 1) , g ( x) ? x 2 ? 4x ? 2 . ????3 分

(Ⅱ)解: f ' ( x) ? 2e x ( x ? 2) ,由 f ' ( x) ? 0 得 x ? ?2 ;由 f ' ( x) ? 0 得 x ? ?2 , 所以 f ( x) 在 ( ?2 , ? ?) 上单调递增,在 (?? , ? 2 ) 上单调递减, 因为 t ? ? 3 ,所以 t ? 1 ? ?2 , 当 ? 3 ? t ? ?2 时, f ( x) 在 [ t , ? 2 ] 上单调递减,在 [ ?2 , t ? 1] 上单调递增, 所以 f ( x) min ? f (?2) ? ?2e?2 . 当 t ? ? 2 时, f ( x) 在 [ t , t ? 1] 上单调递增,

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第 12 页 (共 7 页)(一)

所以 f ( x) min ? f (t ) ? 2et (t ? 1) ,

? ? 2e ?2 , ? 3 ? t ? ?2 所以 f ( x) min ? ? t , ?2e (t ? 1), t ? ?2
(Ⅲ)解:令 F ( x) ? kf ( x) ? g ( x) ? 2ke x ( x ? 1) ? x 2 ? 4x ? 2 , 由题意知当 x ? ?2 时, F ( x) min ? 0 , 因为 ?x ? ?2 , kf ( x) ? g ( x) 恒成立, 所以 F (0) ? 2k ? 2 ? 0 ,所以 k ? 1 .

????7 分

????8 分

f ' ( x) ? 2ke x ( x ? 1) ? 2ke x ? 2x ? 4 ? 2( x ? 2)(ke x ? 1) ,
因为 x ? ?2 ,由 f ' ( x) ? 0 ,得 e x ? 由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ln

1 1 ,所以 x ? ln ; k k

1 , k 1 1 所以 F ( x) 在 (?? , ln ] 上单调递减,在 [ln , ? ?) 上单调递增, ????10 分 k k 1 ①当 ln ? ?2 ,即 k ? e 2 时, F ( x) 在 [ ?2 , ? ?) 上单调递增, k 2 F ( x)min ? F (?2) ? ?2ke ?2 ? 2 ? 2 (e 2 ? k ) ? 0 ,不满足 F ( x) min ? 0 . e 2 1 ②当 ln ? ?2 , 即 k ? e 2 时, 由①知,F ( x) min ? F (?2) ? 2 (e 2 ? k ) ? 0 , 满足 F ( x) min ? 0 . e k 1 1 1 ③当 ln ? ?2 ,即 1 ? k ? e 2 时, F ( x) 在 [ ?2 , ln ] 上单调递减,在 [ln , ? ?) 上单调 k k k 1 递增, F ( x) min ? F (ln ) ? ln k (2 ? ln k ) ? 0 ,满足 F ( x) min ? 0 . ????13 分 k
综上所述,满足题意的实数 k 的取值范围为 [1 , e 2 ] . ????14 分

高三数学试卷(文科)

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