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2014年辽宁省大连市高三高考(文科)数学第一次模拟考试试题及答案(word版)


2014 年大连市高三一模测试


参考公式: 锥体体积公式 V ?

学(文科)

命题人:赵文莲、安道波、张宁、何艳国
1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高. 3 2 球的表面积公式: S ? 4?R ,其中 R 为半径.
第I卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.集合 A ? x 2 x ? 1 ,则?RA =( A. (- ? ,0]

?

?

)

B. (- ? ,0) C. [0,+ ? ) D. (0,+ ? ) 1 2.复数 z ? ( i 是虚数单位) ,则 z 的共轭复数 z 为( ) 1? i3 1 1 1 1 ? i A.1- i B.1+ i C. ? i D. 2 2 2 2 3.某学校礼堂有 30 排座位,每排有 20 个座位.一次心理讲座时礼堂中坐满了学生,会后为了了解有关 情况,留下座位号是 15 的 30 名学生.这里运用的抽样方法是( ) A.抽签法 B.随机数表法 C.系统抽样 D.分层抽样 4.向量 a = ( m,1) , b = (n,1) ,则 m ? n 是 a // b 的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 开始 5.若角 ? 的终边过点 (?1,2) ,则 cos 2? 的值为( ) A.

3 5

B. ?

3 5

C.

5 5

D. ?

5 5

输入x

2 ì ? ? 3 ? x 6.若函数 f(x) = í ? ? ? ? f([x]) 如[1.1]=1),则 f(8.8) = (

(x ? Z), ([x]表示不大于 x 的最大整数, (x ? Z),
) C. 2 D. 1

sin x ? cos x




y ? cos x

A. 8

B. 4

y ? sin x

7.函数 f ( x) ? sin(?x ?

?
3

)(? ? 0) 的周期是 ? ,将函数 f ( x) 的
输出y ) 结束 (第 8 题图)

? 图象沿 x 轴向左平移 得到函数 g ( x) 的图象,则函数 g ( x) 的解析式是( 6 1 ? ? A. g ( x) ? sin( x ? ) B. g ( x) ? sin( 2 x ? ) 2 4 6 2? ) C. g ( x) ? sin 2 x D. g ( x) ? sin( 2 x ? 3 8.执行如图所示的程序框图,若输入 x ? [0, ? ] ,则输出 y 的取值范围是(
A.[0,1] B. [

)

2 ,1] 2

C. [-

2 ,1] 2

D. [-1,1]

1

9. f ( x) 是 R 上的偶函数, f ( x ? 2) ? f ( x) , 0 ? x ? 1 时 f ( x) ? x 2 ,则函数 y ? f ( x) ? log5 x 的零点 的个数为 ( ) A. 4 个 B. 5 个 C.8 个 D. 10 个 10.在区间[-1,1]内随机取两个实数 x, y ,则满足 y ? x ? 1 的概率是( )

1 8 C. D. 9 9 x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 11.已知双曲线 C : 4 b2
A. B.

1 8

7 8

6 x , F1 , F2 分别为双曲线 C 的 2
)

左右焦点, P 为双曲线 C 上的一点, PF 1 ? PF2 的值是( 1 : PF 2 ? 3 : 1 ,则 PF A. 4 B. 2 6 C. 2 10 D.

6 10 5 x 12.已知 f ( x) ? e , g ( x) ? ln x ? 1,对 ?a ? R, ?b ? (0, ?? ) ,使得 f ( a) ? g (b) ,则 b ? a 的最小值为
( A. 1 ) B. 2 C. 2 e ?1 D. e ? 1
2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分, 第 13 题 ~ 第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据, 该几何体的表面积为 .

14.椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0) 的焦点在 x 轴上, 4a a ? 1


则它的离心率的最大值为

15.设 ?ABC 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且满足 c cos B ? b cos C ?

(第 13 题图)

3 tan B a, 则 ? 5 tan C

B1


C1
Q

A1

16.如图,在棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱 A1 A和B1B 上各 有一个动点 P、 Q ,且满足 A1P ? BQ ,M 是棱 CA 上的 动点,则

B

P M A

VM ? ABPQ VABC ? A1B1C1 ? VM ? ABPQ

的最大值是



C

(第 16 题图)

2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ,等比数列 ?bn ? 的公比 (Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式 a n , bn ; (Ⅱ)求数列 ?an ? bn ?的前 n 项和 Tn .

1 ,有 S3 ? 15 , a1 ? 2b1 ? 3 , a2 ? 4b2 ? 6 . 2

18.(本小题满分 12 分) 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测,检测结果的频率分布直方图如图所示. 根据标准, 产品长度 在区间 [20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三 等品. (Ⅰ)用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 求其为二等品的概率; (Ⅱ)已知检测结果为一等品的有 6 件,现随机从三等品中有放回地连续取两次, 每次取 1 件,求取出的两件产品中恰有 1 件的长度在区间[30,35)上的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 为直角梯形, BC // AD , BC ? CD ,

(第 18 题图)

1 AD . 2 (Ⅰ)若 E 为 PD 中点,证明: CE // 平面 APB ; (Ⅱ)若 PA ? PB , PC ? PD ,证明:平面 APB ? 平面 ABCD . BC ? CD ?

P

E B
1

C

A (第 19 题图)

D

3

20. (本小题满分 12 分) 已知过抛物线 C : x2 ? 4 y 的焦点 F 直线与 C 交于 A, B 两点. (Ⅰ)求线段 AB 中点 Q 的轨迹方程; (Ⅱ)动点 P 是抛物线 C 上异于 A, B 的任意一点,直线 PA, PB 与抛物线 C 的准线 l 分别交于点 M , N , 求 FM ? FN 的值.

21.(本小题满分 12 分) 已知 f(x)= cosx ?

x2 ?1 2

(Ⅰ)求证: x ? 0,f(x) ? 0 ; (Ⅱ) a ? R, 证明: a ? 1 ,不等式 e
ax

? sin x ? cos x ? 2 对任意的 x ? 0 恒成立.

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答 题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图,以 Rt △ ABC 直角边 AC 上一点 O 为圆心 OC 为半径的⊙ O 与 AC 另一个交点 E ,

D 为斜边 AB 上一点,且 OD=OC, AD2 ? AE ? AC .
(Ⅰ)证明 AB 是⊙ O 的切线; (Ⅱ)若 DE ? OB ? 8 ,求⊙ O 的半径.
A E D O

B

C

23. 选修 4-4:极坐标与参数方程选讲(本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为 ?

(第 22 题图)

? x ? 1 ? t, ,以该直角坐标系的原点 (t 为参数) ? y ? 2 ? t,

O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆 C 2 的方程为 ? ? ?2 cos? ? 2 3 sin ? . (Ⅰ)求直线 C1 的普通方程和圆 C 2 的圆心的极坐标; (Ⅱ)设直线 C1 和圆 C 2 的交点为 A 、 B ,求弦 AB 的长.

24. 选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分)
? 设不等式 x ? 2 ? 3 ? x ? a(a ? N ) 的解集为 A ,且 2 蜗 A,

3 2

A.

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 的最小值.

4

2014 年大连市高三一模测试

数学(文科)参考答案与评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题

1.B 2.D 3.C 4.C
二.填空题 13. 33?

5.B 6.B 7.C 8.A 9.B 10.D 11.C

12.A

2 2 1 15. 4 1 16. 2
14. 三.解答题 17. 解: (Ⅰ)设 ?an ? 公差为 d ,

? a1 ? d ? 5, ? 所以 ? a1 ? 2b1 ? 3, ?a ? d ? 2b ? 6, 1 ? 1
1 , 2 1 n 所以 a n ? 3n ? 1, bn ? ( ) . 2
解得 a1 ? 2, d ? 3, b1 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知
………………4 分 ………………6 分

1 1 1 1 1 S n ? 2 ? ? 5 ? ( ) 2 ? 8 ? ( ) 3 + ? ? ? ?(3n ? 4)( ) n ?1 ? (3n ? 1)( ) n 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 ① ? 得 S n ? 2 ? ( ) ? 5 ? ( ) ? ? ? ? ? (3n ? 4)( ) ? (3n ? 1)( ) 2 2 2 2 2 2
①-②得

① ②……8 分

1 1 1 1 1 1 S n ? 2 ? ? 3 ? [( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 2

5

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 2 ? 1? 3 4 ? (3n ? 1)( ) n ?1 , 1 2 1? 2 1 n 整理得 S n ? ?(3n ? 5)( ) ? 5 . 2

………………10 分

………………12 分

18.解: (Ⅰ)由频率分布直方图可得产品数量在[10,15)频率为 0.1,在[15,20) 频率为 0.2,[20,25)之间的频 率为 0.3, 在[30,35)频率为 0.15, 所以在[25,30)上的频率为 0.25 , 所以样本中二等品的频率为 0.45, 所以该批产品中随机抽取一件, 求其为二等品的概率 0.45. ………………4 分 (Ⅱ)因为一等品 6 件, 所以在[10,15)上 2 件,在[30,35)上 3 件, ………………6 分 令[10,15)上 2 件为 a 1 , a2 ,在[30,35)上 3 件 b1 , b2 , b3 , 所以一切可能的结果组成的基本事件空间 ? ? {( a 1 , a 1 ) , ( a 1 , a2 ) , ( a 1 , b1 ) , ( a 1 , b2 ) , ( a 1 , b3 )……}由 25 个基本事件组成. 恰有 1 件的长度在区间[30,35)上的基本事件有 12 个 …………10 分 所 以 取 出 的 两 件 产 品 中 恰 有 1 件 的 长 度 在 区 间 [30,35) 上 的 概 率

p?

12 . 25

………………12 分

P

19.证明: (Ⅰ)取 PA 中点 F ,连接 EF , BF , F 1 1 因为 E 为 PD 中点,所以 EF // AD ,因为 BC // AD , 2 2 EF // BC , 所以 所以 EFBC 为平行四边形, ………………4 分 所以 BF // CE A 因为 BF ? 平面 APB , CE ? 平面 APB , ………………6 分 所以 CE // 平面 APB . B E
1

C

D

(Ⅱ)取 CD 中点 G , AB 中点 H ,连接 PG, HG , PH , ∵ PC ? PD , CD 中点 G , ∴ PG ? CD , ∵ ?APB 是等腰直角三角形, H 是 AB 中点, ∴ PH ? AB , HG ∥ AD 。∵ BC // AD , BC ? CD ,∴ HG ? CD ,………10 分 HG I PG ? G , HG ? 平面 PHG , PG ? 平面 PHG , P ∴ CD ? 平面 PHG 。 PH ? 平面 PHG ,∴ CD ? PH 。 ∵ AB ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD , AB 和 CD 相交, ………………12 分 ∴ PH ? 平面 ABCD .

B
20. 解:
2

C G D

H A

(Ⅰ) C : x ? 4 y 的焦点为 (0,1) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , AB 的中点 ( x, y ) 。
6

AB 的方程为: y ? kx ? 1 。
联立方程组 ?

? x 2 ? 4 y, ? y ? kx ? 1.

化简得: x ? 4kx ? 4 ? 0 ,得 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 。
2

x?

x1 ? x2 y ? y2 k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2k , y ? 1 ? ? 2k 2 ? 1 , 2 2 2 1 AB 中点的轨迹方程: y ? x 2 ? 1 。 2

………………4 分

2 x12 x0 ? x2 x2 4 (x ? x ) , (Ⅱ)设 P ( x0 , 0 ) ,则直线 PA 的方程为: y ? 1 ? 4 1 4 x1 ? x0 4

当 y ? ?1 时, x ?

?4 ? x1 x0 ?4 ? x1 x0 。即 M 点横坐标为 xM ? , x1 ? x0 x1 ? x0

同理可得 N 点横坐标为

xN ?

?4 ? x2 x0 。 x2 ? x0

………………8 分

xM gxN ?
所以

2 2 ?4 ? x1 x0 ?4 ? x2 x0 16 ? 4 x0 ( x1 ? x2 ) ? x0 x1x2 ?4(?4 ? 4kx0 ? x0 ) g ? ? ? ?4 2 2 x1 ? x0 x2 ? x0 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) x0 ? x0 ?4 ? 4kx0 ? x0

FM ? FN = ? xM , ?2? ? ? xN , ?2? = xM gxN ? (?2) ? (?2) ? ?4 ? 4 ? 0

… …12 分

21. ( Ⅰ ) 证 明 :

x2 f ( x) ? c o sx? ? 1 ( x ? 0) , 则 f ' ( x) ? x ? s i nx , 设 ? ( x ) ? x? s i nx, 则 2
…………………………2 分

? ' (x )? 1 ? co xs,

当 x ? 0 时, ? '( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,即 f ' ( x) ? x ? sin x 为增函数,所以 f ' ( x) ? f ' (0) ? 0 , 即 f ( x) 在 x ? 0 时为增函数,所以 f ( x) ? f (0) ? 0
…………………………4 分

x2 n x , cos x ? ? ?1 , 所 以 ( Ⅱ ) 解 : 由 ( Ⅰ ) 知 x ? 0 时 , s ix ? 2 x2 ? x ? 1 ? s ix ? nc o x ?s2 , 2
设 G ( x) ? e ?
x

…………………………8 分

x2 ? x ? 1 ,则 G '( x) ? ex ? x ?1 ,设 g ( x) ? e x ? x ?1,则 g '( x) ? ex ?1 , 2

x x 当 x ? 0 时 g '( x) ? e ?1 ? 0 ,所以 g ( x) ? e ? x ? 1为增函数,所以 g ( x) ? g (0) ? 0 ,所以 G ( x) 为增函

) 数 , 所 以 G( x?
立.

G? ( 0 , ) 所 0 以 e x ? sin x ? cos x ? 2 对 任 意 的 x ? 0 恒 成
………………………10 分 7

ax x ax 又 x ? 0 , a ? 1 时 , e ? e , 所 以 a ? 1 时 e ? sin x ? cos x ? 2 对 任 意 的 x ? 0 恒 成

立.

………………………12 分

22. (Ⅰ)证明:连接 OD, CD ,∵ AD ? AE ? AC ,
2

B D E O
C

AD AC ? ,又∵ ?DAE ? ?DAC , AE AD A ∴△ DAE ∽△ CAD ,∴ ?ADE ? ?ACD , ∵ OD ? OC , ?ACD ? ?ODC ,又∵ CE 是⊙ O 的直径,
∴ ∴ ?ODE ? ?CDO ? 90 , ?ODA ? 90 ,
0 0

∴ AB 是⊙ O 的切线。

………………5 分

(Ⅱ)解:∵ AB 、 BC 是⊙ O 的切线,∴ OB ? DC ,∴ DE P OB ,∴ ?CED ? ?COB , ∵ ?EDC ? ?OCB ,∴△ CDE ∽△ BCO ,∴ ∴⊙ O 的半径为 2. 23. 解: (Ⅰ)由 C1 的参数方程消去参数 t 得普通方程为 x ? y ? 1 ? 0. 圆 C2 的直角坐标方程 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 4 , 所以圆心的直角坐标为 (?1, 3 ) , 所以圆心的一个极坐标为 (2,

DE CE 2 ? , DE ? OB ? 2R ? 8 , CO BO
………………10 分

2? ). 3

………………5 分

(答案不唯一,只要符合要求的都给分) (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 (?1, 3 ) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ? 所以 AB = 2 4 24. 解: (Ⅰ)由题可得 ?

? 1? 3 ? 1 2

?

6 , 2
………………10 分

6 = 4

10.

? a ? 1, ?a ? 2,
?

所以 1 ? a ? 2, 因为 a ? N , 所以 a ? 2. (Ⅱ)因为 x ? 2 ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 4 , 所以 f ( x) 的最小值是 4.
………………10 分 ………………5 分

8


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