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【随堂优化训练】必修5课后作业:第3章 不等式


第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 3.1.1 不等关系与不等式的性质

1.平时我们写作文时,要求不能少于 800 字,若用 m 表示我们的写作字数,则该关系 我们可以用不等式表示为( ) A.m≥800 B.m>800 C.m<800 D.m≤800 2.已知 a>b,c>d,且 c,d 不为 0,那么下列不等式成立的是( ) A.a+c

>b+d B.ac>bc C.a-c>b-d D.ad>bc 3.设 x<a<0,则下列各不等式一定成立的是( ) A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2 C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax 4.如果 a<0,b>0,那么下列不等式正确的是( ) 1 1 A. < B. -a< b a b C.a2<b2 D.|a|>|b| 5.已知 a,b,c∈R,且 a>b,则下列等式中一定成立的是( ) A.a+c≥b-c B.a2b<ab2 c2 C. >0 D.(a-b)c2≥0 a-b 6.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是( ) A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<1 C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1 7.配制 A,B 两种药剂,需要甲、乙两种原料.已知配一剂 A 种药需甲料 3 克、乙料 5 克;配一剂 B 种药需甲料 5 克、乙料 4 克.今有甲料 20 克、乙料 25 克,若 A,B 两种药 至少各配一剂,设 A,B 两种药分别配 x,y 剂(x,y∈N),请写出 x,y 应满足的不等关系式.

8.(2013 年上海)如果 a<b<0,那么下列不等式成立的是( ) 1 1 2 A. < B.ab<b a b 1 1 C.-ab<-a2 D.- <- a b 9.已知 1≤α+β≤4,-2≤α-β≤-1,求 α,β,2α-β 的取值范围.

10.用若干辆载重为 8 吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装 4 吨,则剩下 20 吨货物; 若每辆汽车装 8 吨,则最后一辆汽车不满也不空.请问有多少辆汽车?

3.1.2 比较大小

1.若 m+n>0,则下列各式中正确的是( ) A.m>-n B.m>n C.m-n>0 D.m<n 2.若 M=3x2-x+1,N=2x2+x,则( ) A.M>N B.M<N C.M≤N D.M≥N 3.不等式①a2+2>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+b2>ab.其中恒成立的个数是( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 4.(2013 年新课标Ⅱ)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 5.35 与 53 的大小关系为( ) A.35>53 B.35<53 C.35=53 D.不能确定 6.比较大小: 7+ 10________ 4+ 13. 7.求证: 3+ 7<2 5.

)

x 8.一般的人,下半身长 x 与全身长 y 的比 在 0.57~0.6 之间,这个比值越接近黄金分 y 割值 0.618 就越美,为了追求这个比值,女士们穿高跟鞋,而芭蕾舞演员在表演时脚尖立起 以美的享受,用来解释这种现象的数学关系式为____________. 9.已知 a≥1,试比较 M= a+1- a和 N= a- a-1的大小.

10.设 a>0,且 a≠1,比较 loga(a3+1)与 loga(a2+1)的大小.

3.2 一元二次不等式及其解法 3.2.1 一元二次不等式及其解法

(

x-2 1.不等式 ≤0 的解集是( ) x+1 A.(-∞,-1)∪(-1,2] B.[-1,2] C.(-∞,-1)∪[2,+∞) D.(-1,2] 2.下列不等式的解集与不等式 x2-x-6>0 的解集相同的是( ) 2 A.x -2x-3>0 B.(x+2)(x-3)<0 C.2x2-2x-3>0 D.-2x2+2x+12<0 3.不等式 2x2-x-1>0 的解集是( ) 1 ? A.? ?-2,1? B.(1,+∞) C.(-∞,1)∪(2,+∞) 1 -∞,- ?∪(1,+∞) D.? 2? ? 4.下列四个不等式解集为 R 的是( ) A.-x2+x+1≥0 B.x2-2 5x+ 5>0 C.x2+6x+10>0 D.2x2-3x+4<0 5.在 R 上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足 x⊙(x-2)<0 的实数 x 的取值范围为 ) A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2) 6.若关于 x 的不等式 x2-ax-a<0 有解集,则实数 a 的取值范围是____________. 1 7.已知方程 ax2+bx+2=0 的两根为- 和 2. 2 (1)求 a,b 的值; (2)解不等式 ax2+bx-1>0.

?1? 8.不等式 ? ? ?2?

2x2-5x+6

?1? ≤? ? ?2?

x 2+x+6

的解集是________________.

9.不等式|x-2|· x+1>0 的解集为________________________.

10.已知 f(x)=x2-2ax-3. (1)当 a=1 时,解不等式 f(x)<0; (2)如果 g(x)=(1-3a2)x2-2,解不等式 f(x)<g(x).

3.2.2 一元二次不等式的实际应用

1.已知不等式 ax2+bx+1<0,(a≠0)的解集为 R,则( ) A.a<0,Δ>0 B.a<0,Δ<0 C.a>0,Δ<0 D.a>0,Δ>0 2.函数 y= 2x2-3x+1的定义域是( ) ? ? 2 ? A.?x?x≥-3 ? ? ? B.{x|x≤5} ? 1 ? x≥1或x≤ ? C.?x? 2 ? ? ? ? ?1 ? D.?x?2≤x≤1 ? ? 3.不等式(2-a)x2-2(a-2)x+4>0 对于一切实数都成立,则( ) A.{a|-2<a<2} B.{a|-2<a≤2} C.{a|a<-2} D.{a|a<-2 或 a>2} 4.在下列不等式中,解集是?的是( ) 2 A.2x -3x+2>0 B.x2+4x+4≤0 C.4-4x-x2<0 D.-2+3x-2x2>0 5. 某产品的总成本 y(单位: 万元)与产量 x(单位: 台)之间的函数关系式为 y=3000+20x 2 -0.1x (0<x<240,x∈R),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本(销售收入不小于 总成本)时最低产量是( ) A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 6.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的 过程.若该公司年初以来累积利润 s(单位:万元)与销售时间 t(单位:月)之间的关系(即前 t 1 个月的利润总和与 t 之间的关系)为 s= t2-2t,若累积利润 s 超过 30 万元,则销售时间 t(单 2 位:月)满足的取值范围为__________. 7.若函数 y= x2+2kx+k中自变量 x 的取值范围是一切实数,求实数 k 的取值范围.

?x+2 ? 8.已知函数 f(x)=? ? ?-x+2 A.[-1,1] B.[-2,2]

?x≤0?, ?x>0?,

则不等式 f(x)≥x2 的解集是(

)

C.[-2,1] D.[-1,2] 9.不等式(x-2) x2-2x-3≥0 的解集是________.

10.对于函数 f(x),若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点.已知函 数 f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0). (1)当 a=1,b=-2 时,求 f(x)的不动点; (2)若对于任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求实数 a 的取值范围.

3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

1.不等式 3x+2y-6≤0 表示的区域是(

)

? ?x≥2, 2.不等式组? 表示的平面区域是下列图中的( ?x-y+3≤0 ?

)

2x+y-6≥0, ? ? 3.不等式组?x+y-3≤0, ? ?y≤2 A.4 B.1 C.5 D.无穷大 4x+3y<12, ? ? 4.不等式组?x-y>-1, ? ?y≥0

表示的平面区域的面积是(

)

表示的平面区域内整点的个数是(

)

A.2 个 B.4 个 C.5 个 D.8 个 5.在平面直角坐标系中,不等式 x2-y2≥0 表示的平面区域是(

)

x-y+5≥0, ? ? 6.若不等式组?y≥a, ? ?0≤x≤2 是(

表示的平面区域是一个三角形,则实数 a 的取值范围

) A.a<5 B.a≥7 C.5≤a<7 D.a<5 或 a≥7 7 .已知点 (2,1) 和点 ( - 4,2) 在直线 3x - y + m = 0 的两侧,则实数 m 的取值范围是 __________. 8.设集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长},则 A 所表示的平面区域(不含 边界的阴影部分)是( )

9.已知点 P(x0,y0)与点 A(1,2)在直线 l:3x+2y-8=0 两侧,则( A.3x0+2y0>0 B.3x0+2y0<0 C.3x0+2y0>8 D.3x0+2y0<8

)

10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知平面区域 A={(x,y)|x+y≤1,且 x≥0,y≥0}, 求平面区域 B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积?

3.3.2 简单的线性规划问题(一)

1.线性规划中的可行域中的点(x,y)是( ) A.最优解 B.可行解 C.线性目标函数 D.可能不满足线性约束条件 ?x-3y+6≥0, ? 2.不等式组? 表示的平面区域是( ?x-y+2<0 ?

)

x+y≤2, ? ? 3.(2013 年福建)若变量 x,y 满足约束条件?x≥1, ? ?y≥0, 值分别为( ) A.4 和 3 C.3 和 2 B.4 和 2 D.2 和 0 则 z=x+y( )

则 z=2x+y 的最大值和最小

2x+y≥4, ? ? 4.设实数 x,y 满足?x-y≥1, ? ?x-2y≤2, A.有最小值 2,最大值 3 B.有最小值 2,无最大值 C.有最大值 3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值

?x+y≤1, 5. (2012 年广东)已知变量 x, y 满足约束条件?x-y≤1, ?x+1≥0,
A.3 C.-5 B.1 D.-6 x≥1, ? ? 6.已知变量 x,y 满足条件?x-y≤0, ? ?x+2y-9≤0, A.2 B.5 C.6 D.8 x+y≤5, ? ?2x+y≤6, 7.已知点(x,y)满足不等式组? x≥0, ? ?y≥0,

则 z=x+2y 的最小值为(

)

则 x+y 的最大值是(

)

求在这些点中,

(1)使目标函数 k=6x+8y 取得最大值的点 P 的坐标; (2)使目标函数 k=8x+6y 取得最大值的点 P 的坐标.

8.画出以点 A(3,-1),B(-1,1),C(1,3)为顶点的△ABC 的区域(包括各边),写出该区 域所表示的二元一次不等式组, 并求以该区域为可行域的目标函数 z=3x-2y 的最大值和最 小值.

3.3.3 简单的线性规划问题(二)

1.下列命题中正确的是( ) A.点(0,0)在区域 x+y≥0 内 B.点(0,0)在区域 x+y+1<0 内 C.点(1,0)在区域 y>2x 内 D.点(0,1)在区域 x-y+1>0 内
? ?x-3y+6≥0, 2.以原点为圆心的圆全部在区域? 内,则圆的面积的最大值为( ) ?x-y+2≥0 ? 18 9 A. π B. π 5 5 C.2π D.π 3.点 P(a,4)到直线 x-2y+2=0 的距离为 2 5,且点 P 在 3x+y-3>0 表示的区域内, 则 a=________.

x+2y≤8, ? ? 4. 已知实数 x, y 满足约束条件?2x+y≤8, ? ?x,y∈N*,

8 目标函数 z=3x+y, 某学生求得当 x= , 3

8 32 y= 时,zmax= , 这显然不合要求,正确答案应为 x=________, y=________, zmax= 3 3 ________. 2x-y-2≥0, ? ? 5.(2013 年山东)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+2y-1≥0, ? ?3x+y-8≤0 区域上的一动点,则直线 OM 斜率的最小值为( 1 1 A.2 B.1 C.- D.- 3 2 x+y≤4, ? ? 6.已知点 P(x,y)的坐标满足条件?y≥x, ? ?x≥1, 于________,最大值等于________. 2x-y≥0, ? ? 7. 若实数 x, y 满足?y≥x, ? ?y≥-x+b, 且 z=2x+y 的最小值为 3, 则实数 b 的值为________. ) 所表示的

点 O 为坐标原点,那么|PO|的最小值等

b 8.已知△ABC 的三边 a,b,c 满足 c+b≤2a,c+a≤2b,求 的取值范围. a

3.3.4 简单线性规划问题的实际应用

1.已知某家具厂现有方木料 90 m3,五合板 600 m2,准备加工成书桌和书橱出售,已 知生产每张书桌要方木料 0.1 m3、 五合板 2 m2, 生产每个书橱要方木料 0.2 m3 、 五合板 1 m2, 设生产书桌 x 张,书橱 y 个,则生产的约束条件为( ) ?0.1x+0.2y≤90, ?0.1x+0.2y≥90, ? ? A.? B.? ?2x+y≤600 ?2x+y≥600 ? ? 0.1x+0.2y≥90, ? ? C.?2x+y≥600, ? ?x,y∈N 0.1x+0.2y≤90, ? ? D.?2x+y≤600, ? ?x,y∈N

2.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨; 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙 产品可获得利润 3 万元,该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨,那么该企业可获得最大利润是( ) A.12 万元 B.20 万元 C.25 万元 D.27 万元 3.某人上午 7:00 乘汽车以匀速 v1 千米/时(30≤v1≤100)从 A 地出发到距 A 地 300 千 米的 B 地,在 B 地不作停留,然后骑摩托车以匀速 v2 千米/时 (4≤v2≤20)从 B 地出发到距 B 地 50 千米的 C 地,计划在当天 16:00 至 21:00 到达 C 地.设乘汽车、摩托车行驶的时 间分别是 x,y 小时,则在 xOy 坐标系中,满足上述条件的 x,y 的范围用阴影部分表示正确 的是( )

4.有两种物质 A 和 B,可用轮船和飞机两种方式运输,每天每艘轮船可运 A 和 B 分别 为 300 吨和 250 吨,每天每架飞机可运 A 和 B 分别为 150 吨和 100 吨,现一天中需运 A 和 B 分别为 2000 吨和 1500 吨,则每天应动用轮船________艘、飞机________架,既能完成运 输任务,又使所动用的轮船与飞机的总数最少. 5.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两种产品的市场需 求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品 的月供应量, 以使得总利润达到最大. 已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力, 通过调查,得到关于这两种产品的有关数据如下表: 单位产品所需资金/百元 资金 月资金供应量/百元 空调机 洗衣机 30 20 300 成本 5 10 110 劳动力(工资) 6 8 单位利润 试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少?

x-y+1≤0, ? ? 6.若实数 x,y 满足?x>0, ? ?x≤2, A.(0,2) B.(0,2] 3 ? C.(2,+∞) D.? ?2,+∞?

y 则 的取值范围是( x

)

7.某家具厂有方木料 90 m3,五合板 600 m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产 每张书桌需要方木料 0.1 m3,五合板 2 m2,生产每个书橱需要方木料 0.2 m3,五合板 1 m2, 出售一张书桌可获利润 80 元,出售一个书橱可获利润 120 元. (1)如果只安排生产书桌,可获利润多少? (2)如果只安排生产书橱,可获利润多少? (3)怎样安排生产可使所得利润最大?

a+b 3.4 基本不等式: ab≤ 2 3.4.1 基本不等式(一)

1.若 x2+y2=4,则 xy 的最大值是( ) 1 A. B.1 C.2 D.4 2 1 2.函数 f(x)=x+ -2(x>0)( ) x A.有最大值为 0 B.有最小值为 0 C.有最大值为 2 D.有最小值为 2 a+b 3.如果 a>0,b>0,A= ,B= ab,那么一定有( ) 2 A.ab≤AB B.ab≥AB C.ab=AB D.ab≠AB a2+b2 a+b?2 b a ?a+b?2 4.已知 a,b∈ R,且 ab≠0,则在① ≥ab;② + ≥2;③ ab≤? 2 a b ? 2 ? ;④ ? 2 ? 2 2 a +b ≤ 这四个不等式中,恒成立的个数有( ) 2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 1 5.设函数 f(x)=2x+ -1(x<0), 则 f(x)( ) x A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 2 6.若 x>0,则 x+ 的最小值为________. x t2-4t+1 7.已知 t>0,求函数 y= 的最小值. t

8.若 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则( ) 1 1 A.ab≤ B.ab≥ 2 2 2 2 C.a +b ≥2 D.a2+b2≤2 5 2 9.已知 lgx+lgy=1,则 + 的最小值是________. x y 10.有一台天平两臂之长略有不同,其他均精确,有人说要用它称量物体的质量,只需 将物体放在左、右托盘内各称一次,再将称量的结果相加后除以 2 就是物体的真实质量,你 认为这种说法对不对?证明你的结论. 如果不对的话, 你能找到一种用这台坏天平称量物体 的正确方法吗?

3.4.2 基本不等式(二)

1 a? 1. 已知不等式(x+y)? y 恒成立, 则正实数 a 的最小值为( ?x+y?≥9 对任意正实数 x,

)

A.8 B.6 C.4 D.2 2.在算式“4×□+1× △ =30”的两个□,△ 中,分别填入两个正整数,使他们的倒数之和 最小,则这两个数构成的数对(□,△ )应为( ) A.(4,14) B.(6,6) C.(3,18) D.(5,10) na mb??ma nb? 3.已知 x=a+b,y= ? ? m + n ?? n + m ?(a,b,m,n 为正数),则两者的大小关系 是( ) A.x>y B.x<y C.x≥y D.x≤y 1?? 1? 1 ? 1?? 1? 4.已知 x,y 为正数,且 x≠y,记 M=? ?x+x??y+y?,N=?x+y??y+x?,P=xy+xy, 1 1? Q=(x+y)·? ) ? x+y?,则 M,N,P,Q 中最大的是( A.M B.N C.P D.Q 1 1 5.已知 a>0,b>0,则 + +2 ab的最小值是( ) a b A.2 B.2 2 C.4 D.5 6.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存 储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x=____________. 7.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项和 S3 的取值范围是( ) A.(-∞,-1] B.(-∞,0)∪ (1,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,-1]∪ [3,+∞) 8.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( ) A.3 B.4 9 11 C. D. 2 2 9.天文台用 3.2 万元购买一台观测仪,这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第 n n+49 天的维修保养费为 (n∈ N),问这台观测仪使用多少天报废最合算? 10

10.过定点 M(1,4)的直线 l 在第一象限内与坐标轴围成的三角形面积最小,求该直线的

方程.

3.4.3 基本不等式的实际应用

1 4? 1.若 x,y 是正实数,则(x+y)? ?x+y?的最小值为( A.6 B.9 C.12 D.15

)

6 (x>0)的最小值是( ) x2+1 A.3 2-3 B.-3 C.6 2 D.6 2-3 3.当点(x,y)在直线 x+3y-2=0 上移动时,则 3x+27y+1 的最小值为( ) A.3 B.5 C.1 D.7 4.某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f(t)与时间 t(0<t≤30)的关系大致满足 f(t)=t2+10t f(10)? 如前10天的平均售出为 +16,则该商场前 t 天平均售出? ) 10 ?的月饼最少为( ? A.18 B.27 C.20 D.16 5.建造一个容积是 8 m3,深 2 m 的无盖长方体水池,如果池底的造价为 120 元/m2,池 壁的造价为 80 元/m2,则这个水池的最低造价为( ) A.1760 元 B.1860 元 C.1960 元 D.1260 元 t2-4x+1 6.已知 t>0,则函数 y= 的最小值为________. t 7.围建一个面积为 360 m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维 修),其他三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图 K341,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:m). (1)将总造价 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x 的值,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 2.函数 y=3x2+

图 K341

1 1 8.设 a>0,b>0.若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为( ) a b A.8 B.4 1 C.1 D. 4 9. 某单位决定投资 3200 元建一仓库(长方体状), 高度恒定, 它的后墙利用旧墙不花钱, 正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米长造价 45 元,顶部每平方米造价 20 元,

求: (1)仓库底面积 S 的最大允许值是多少? (2)为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么铁栅应设计为多长?

10. 如图 K342, 要设计一张矩形广告, 该广告含有大小相等的左、 右两个矩形栏目(即 图中阴影部分),这两栏的面积之和为 18 000 cm2,四周空白的宽度为 10 cm,两栏之间的中 缝空白的宽度为 5 cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?

图 K342

第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 3.1.1 不等关系与不等式的性质 1.A 2.A 3.B 4.A 5.D 解析:若 c=0,则排除 A,C;又 a,b 正负性不定,故 B 选项不一定成立. 6.A 解析:∵α<β,∴α-β<0,排除 B,D;又 β<1,∴-β>-1.又 α>-1,∴α-β> -2.故选 A. 3x+5y≤20, ? ?5x+4y≤25, 7.解:x,y 应满足的不等关系式为? x≥1,x∈N, ? ?y≥1,y∈N. 1 1 1 1 1 8.D 由于 a<b<0,不妨令 a=-2,b=-1,可得 =- , =-1,∴ > .故 A 不 a 2 b a b 2 2 2 正确.可得 ab=2,b =1,∴ab>b .故 B 不正确.可得-ab=-2,-a =-4.∴-ab>- a2.故 C 不正确.故选 D. 9.解:∵1≤α+β≤4,-2≤α-β≤-1, 1 3 ∴两式相加,得-1≤2α≤3,即- ≤α≤ . 2 2 由-2≤α-β≤-1,得 1≤β-α≤2. 又∵1≤α+β≤4,∴1≤β≤3. 设 2α-β=m(α+β)+n(α-β), 1 m= , ?m+n=2, 2 ? ? ? 3 ? ?m-n=-1 n= . 2

? ? ?

1 1 ≤ ?α+β?≤2 2 2

? 5 1 ?- ≤2α-β≤ . 2 2 3 3? -3≤ ?α-β?≤- ? 2 2
10.解:设有 x 辆汽车,则货物重为 4x+20 吨,由题意有: 8?x-1?<4x+20, ? ? ?8x>4x+20, ? ?x∈N*, 解得 5<x<7 且 x∈N*,故只有 x=6 才满足要求. 所以有 6 辆汽车. 3.1.2 比较大小 1.A 2.D 3.C log25-log23 1 1 4. D 解析: 因为 a-b=log32-log52= - = >0, a>b, c=log23>1, log23 log25 log23log25 a<1,b<1,所以 c>a>b.故选 D. 5.A 6.> 解析:先平方,再比较大小. 7.证明:∵ 3+ 7和 2 5都是正数, 要证: 3+ 7<2 5, 只需证:( 3+ 7)2<(2 5)2, 整理,得 21<5.

即证:21<25. ∵21<25 显然成立. ∴原不等式成立. x+m x 8. > (x,y,m∈R+) y+m y 9.解:M-N=( a+1- a)-( a- a-1) 1 1 = - a+1+ a a+ a-1 = a-1- a+1 ? a+1+ a?? a+ a-1? .

∵a≥1,∴ a+1+ a>0, a+ a-1>0. 又∵1≤a<a+1,∴ a-1< a+1, 即 a-1- a+1<0. ∴M-N<0,故 M<N. 10.解:(a3+1)-(a2+1)=a2(a-1). (1)当 0<a<1 时,a3+1<a2+1. ∴loga(a3+1)>loga(a2+1). (2)当 a>1 时,a3+1>a2+1. ∴loga(a3+1)>loga(a2+1). 综上所述,当 a>0,且 a≠1 时,loga(a3+1)>loga(a2+1). 3.2 一元二次不等式及其解法 3.2.1 一元二次不等式及其解法 1.D 2.D 3.D 4.C 5.B 解析:根据定义 x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2<0,解得-2<x<1. 6.a<-4 或 a>0 解析:解 Δ=(-a)2-4×(-a)>0 即可. 1 7 . 解 : (1) ∵ 方 程 ax2 + bx + 2 = 0 的 两 根 为 - 和 2 , 由 根 与 系 数 的 关 系 , 得 2 1 b - +2=- , ?a=-2, 2 a ? 解得? 1 2 ?b=3. ? - ×2= , 2 a (2)由(1)知:ax2+bx-1>0 可变为-2x2+3x-1>0, 1 即 2x2-3x+1<0,解得 <x<1. 2 ? 1 ? <x<1 ?. ∴不等式 ax2+bx-1>0 的解集为?x? 2 ? ? ? 1?x ? 8.{x|x≤0 或 x≥6} 解析:y=?2? 是单调递减函数. 9.{x|x>-1 且 x≠2} 10.解:(1)当 a=1 时, 不等式 f(x)<0 为 x2-2x-3<0, 即(x-3)(x+1)<0,解得-1<x<3. ∴不等式 f(x)<0 的解集为(-1,3). (2)不等式 f(x)<g(x)可化为(ax-1)(3ax+1)<0, 当 a=0 时,不等式的解集为 R; 1 1? 当 a>0 时,不等式的解集为? ?-3a,a?; 1 1? 当 a<0 时,不等式的解集为? ?a,-3a?.

? ? ?

3.2.2 一元二次不等式的实际应用 1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 解析:3000+20x-0.1x2≤25x?x2+50x-30 000≥0,解得 x≤-200(舍去)或 x≥150. 1 6.t>10 解析:依题意有 t2-2t>30,解得 t>10 或 t<-6(舍去). 2 7.解:∵y= x2+2kx+k中自变量 x 的取值范围是 R, ∴x2+2kx+k≥0 恒成立. ∴Δ=4k2-4k≤0.∴0≤k≤1. 故实数 k 的取值范围是{k|0≤k≤1}. ? ? ?x≤0, ?x>0, ? 8.A 解析:依题意,得? 或 2 2 ?x+2≥x ?-x+2≥x ? ? ?-1≤x≤0 或 0<x≤1?-1≤x≤1.故选 A. 9.{x|x≥3 或 x=-1} 10.解:(1)当 a=1,b=-2 时, f(x)=x2-x-3=x?x2-2x-3=0 ?(x-3)(x+1)=0?x=3 或 x=-1, ∴f(x)的不动点为 x=3 或 x=-1. (2)对任意实数 b,f(x)恒有两个相异不动点 ?对任意实数 b,ax2+(b+1)x+b-1=x 恒有两个不等实根 ?对任意实数 b,Δ=b2-4a(b-1)>0 恒成立 ?对任意实数 b,b2-4ab+4a>0 恒成立 ?Δ′=16a2-16a<0 ?a(a-1)<0 ?0<a<1, ∴实数 a 的取值范围为(0,1). 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 1.D 2.D 3.D 4.C 解析:整点包括(0,0),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1)共 5 点. ? ? ?x-y≥0, ?x-y≤0, 5. B 解析: 不等式 x2-y2≥0 化为(x-y)(x+y)≥0, 等价于? 或? ?x+y≥0, ?x+y≤0. ? ? 6.C 7.-5<m<14 解析:依题意,得(3×2-1+m)(-4×3-2+m)<0,解得-5<m<14. 8.A x+y>1-x-y ? ? 解 析 : 由 于 x , y,1 - x - y 是 三 角 形 的 三 边 长 , 故 有 ?x+1-x-y>y ? ?y+1-x-y>x ?

? ? 1 ?y<2, 1 ? . ?x<2

1 x+y> , 2 1 1 1 再分别在同一直角坐标系中作直线 x= ,y= ,x+y= ,易知 A 正确. 2 2 2

9.C

x+y≤1, ? ? 10.解:A={(x,y)|x+y≤1,且 x≥0,y≥0}实际上是平面区域?x≥0, ? ?y≥0 表现形式,B 中的(x,y)∈A. m+n m-n 令 x+y=m,x-y=n,则 x= ,y= , 2 2 m+n m-n ? ? 2 + 2 ≤1, ∴? m+n≥0, ?m-n≥0, ? m≤1, ? ? 即?m+n≥0, ? ?m-n≥0.

的另一种

画出其所表示的平面区域(如图 D28), 1 其平面区域的面积 S= ×2×1=1. 2

图 D28

3.3.2 简单的线性规划问题(一) 1.B 2.B x+y≤2, ? ? 3.B 解析:满足约束条件?x≥1, ? ?y≥0 的可行域如图 D29.

平移直线 2x+y=0,经过点 N(1,0)时,2x+y 最小,最小值为 2,则目标函数 z=2x+y 的最小值为 2.经过点 M(2,0)时,2x+y 最大,最大值为 4,则目标函数 z=2x+y 的最大值为 4.故选 B.

图 D29 4.B 解析:画出不等式表示的平面区域,如图 D30,由 z=x+y,得 y=-x+z,令 z =0,画出 y=-x 的图象,当它的平行线经过 A(2,0)时,z 取得最小值,最小值为 z=2,无 最大值.故选 B.

图 D30 1 1 5.C 解析:作出可行域,如图 D31.目标函数变形为 y=- x+ z,平移目标函数线, 2 2 ? ?x=-1, 显然当直线经过图中 A 点时,z 最小,由? 得 A(-1,-2),所以 zmin=-1-4= ?x-y=1 ? -5.故选 C.

图 D31 6.C 解析:如图 D32 得可行域为一个三角形,其三个顶点分别为(1,1),(1,4),(3,3), 代入验证知在点(3,3)时,x+y 最大值是 3+3=6.故选 C.

图 D32 7.解:作出可行域如图 D33 中的阴影部分.

图 D33 (1)作出直线 6x+8y=0.当 6x+8y=0 平移到 P1(0,5)时,k 取得最大值.∴点 P(0,5). (2)作出直线 8x+6y=0,当 8x+6y=0 平移到点 P2 时,k 取得最大值. ? ?x+y=5, 由? 得点 P2(1,4).∴点 P(1,4). ?2x+y=6, ? 8.解:如图 D34,连接点 A,B,C,则直线 AB,BC,CA 所围成的区域为所求△ABC 区域.直线 AB 的方程为 x+2y-1=0,BC 及 CA 的直线方程分别为 x-y+2=0,2x+y-5 =0.在△ABC 内取一点 P(1,1),分别代入 x+2y-1,x-y+2,2x+y-5,得 x+2y-1>0,x -y+2>0,2x+y-5<0. x+2y-1≥0 ? ? 因此所求区域的不等式组为?x-y+2≥0 ? ?2x+y-5≤0 ,

3 作平行于直线 3x-2y=0 的直线系 3x-2y=t(t 为参数),即平移直线 y= x,观察图形 2 可知: 3 1 1 当直线 y= x- t 过点 A(3,-1)时,纵截距- t 最小.此时 t 最大,tmax=3×3-2×(- 2 2 2 1)=11;

3 1 1 当直线 y= x- t 经过点 B(-1,1)时,纵截距- t 最大, 2 2 2 此时 t 有最小值为 tmin=3×(-1)-2×1=-5. 因此,函数 z=3x-2y 在约束条件 x+2y-1≥0,x-y+2≥0,2x+y-5≤0 下的最大值为 11,最小值为-5.

图 D34 3.3.3 简单的线性规划问题(二) 1.A 2.C |a-8+2| |a-6| 3.16 解析:d= = =2 5,∴a=-4 或 a=16.又∵点 P 在 3x+y-3>0 5 5 区域内,∴a=16. 4.3 2 11 解析:作一组平行直线 y=-3x+z,在可行域边界上的点且使 z 最大的 点坐标为(4,0),但 0?N*,可行域内在点(4,0)附近的整点为(3,1),(3,2)分别代入 z=3x+y 可 知:点(3,2)使 z=3x+y 最大,最大值为 11. 2x-y-2≥0, ? ? 5.C 解析:不等式组?x+2y-1≥0, ? ?3x+y-8≤0 表示的区域如图 D35,当 M 取点 A(3,-1)

-1 1 时,直线 OM 斜率取得最小,最小值为 k= =- .故选 C. 3 3

图 D35 6. 2 10 解析:当点 P 为(1,1)时,|PO|最小;当点 P 为(1,3)时,|PO|最大. 9 7. 4 8.解:由已知条件,得 a,b,c 之间存在的一些不等关系有: a<b+c≤2a, ? ?b<c+a≤2b, ?c<a+b, ? ?a>0,b>0,c>0, 1<x+y≤2, ? ?x<y+1≤2x, b c 令 x= ,y= ,则不等式组可化为? a a y<x+1, ? ?x>0,y>0.



问题转化为在约束条件①下,确定 x 的取值范围. 作出可行域,如图 D36.

图 D36
? ?y+1=2x 2 1? , 由方程组? ,得 A? 3 3?, ? ?x+y=1 ? ?y+1=x ? 3 1? , 再由? ,得 C? 2 2?, ? ? ?x+y=2 2 3 b 2 b 3 不难看出, <x< ,于是 的取值范围是 < < . 3 2 a 3 a 2

3.3.4 简单线性规划问题的实际应用 1.D 2.D 解析:设甲、乙种两种产品各需生产 x、y 吨,可使利润 z 最大,且 x,y 满足约 3x+y≤13, ? ?2x+3y≤18, 束条件? x≥0, ? ?y≥0, 求目标函数 z=5x+3y 的最大值, ?x=3, ? 如图 D37,可求出最优解为? 故 zmax=15+12=27. ? ?y=4,

图 D37

3.B

30≤ ≤100, ? ? x 解析:由已知,得? 50 4≤ ≤20, y ? ?9≤x+y≤14,

300

3≤x≤10, ? ? ∴?2.5≤y≤12.5, 画出图象是 B. ? ?9≤x+y≤14. 4.7 0 解析:设每天动用轮船 x 艘,飞机 y 架.依题意,得约束条件为

300x+150y≥2000, ? ? ?250x+100y≥1500, ? ?x,y∈N,

6x+3y≥40, ? ? 即?5x+2y≥30, ? ?x,y∈N.

?6x+3y=40, ? 20 ? ,0 ,经调整为 目标函数 z=x+y,作出可行域.利用图解法由? 得? 3 ? ? ? ?y=0 (7,0),使 zmin=7. 5.解:设空调机月供应量为 x 台,洗衣机月供应量为 y 台,所得总利润为 z 元,那么

30x+20y≤300, ? ?5x+10y≤110, ?x≥0,y≥0, ? ?x,y∈N,

3x+2y≤30, ? ?x+2y≤22, 即? x≥0,y≥0, ? ?x,y∈N.

目标函数为 z=6x+8y. 作出不等式组所表示平面区域,即可行域,如图 D38.

图 D38 作出直线 l0:6x+8y=0,把直线向上方平移,使其经过可行域上的整点,当直线 l0 经 过(4,9)时,z=6x+8y 取得最大值,即当 x=4,y=9 时,zmax=6×4+8×9=96(百元). 答:空调机与洗衣机月供应量分别为 4 台、9 台时,最大利润为 9600 元. 6.D 7.解:(1)设只生产书桌 x 个,可获得利润 z 元, 0.1x≤90, ? ? 则?2x≤600, ? ?z=80x
? ?x≤900, ?? ?x≤300. ?x≤300 ?

所以当 x=300 时,zmax=80×300=24 000(元),即如果只安排生产书桌,最多可生产 300 张书桌,获得利润 24 000 元. (2)设只生产书橱 y 个,可获利润 z 元,则 0.2y≤90, ? ? y≤600, 则?1· ? ?z=120y
?y≤450, ? ?? ?y≤450. ? ?y≤600

所以当 y=450 时,zmax=120×450=54 000(元),即如果只安排生产书橱,最多可生产 450 个书橱,获得利润 54 000 元. (3)设生产书桌 x 张,书橱 y 个,利润总额为 z 元.

图 D39

? ?2x+y≤600, 则?x≥0, y≥0, ? ?x,y∈N.

0.1x+0.2y≤90,

? ?2x+y≤600, ??x≥0, y≥0, ? ?x,y∈N.
x+2y≤900,

z=80x+120y. 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域,即可行域.如图 D39. 作直线 l:80x+120y=0,即直线 l:2x+3y=0. 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上的点 M,此时 z=80x+120y 取得最大值. ?x+2y=900, ? 由? ?2x+y=600, ? 解得点 M 的坐标为(100,400). 所以当 x=100,y=400 时, zmax=80×100+120×400=56 000(元). 因此,生产书桌 100 张、书橱 400 个,可使所得利润最大. a+b 3.4 基本不等式: ab≤ 2 3.4.1 基本不等式(一) 1.C 2.B 3.A 4.C 5.A 2 2 6.2 2 解析: ∵x>0?x+ ≥2 2,当且仅当 x= ?x= 2时取等号. x x t2-4t+1 1 7.解:y= =t+ -4≥-2(∵t>0),当且仅当 t=1 时,ymin=-2. t t 8.C 9.2 10.解:题中所给出的天平称物的方法是不对的. 设物体的真实质量为 M,天平的两臂长分别为 l1,l2,两次称量的结果分别为 a,b,则 ?l1M=l2a, ? 由力矩平衡原理,得? 由此,得 M2=ab,所以 M= ab. ? l M = l b , ?2 1 a+b 由基本不等式可知: > ab(a≠b),所以用求算术平均数的方法不能称出物体的真 2 实质量.求物体的真实质量的方法是求两次称量所得结果的几何平均数. 3.4.2 基本不等式(二) 1.C 2.D 3.D 4.A 1 1 1 1 1 1 1 ? 5. C 解析: + +2 ab≥2 +2 ab=2? 当且仅当 = , 且 + ab ≥4, a b ab a b ab ? ab ? = ab,即 a=b=1 时,取“=”号. 400 6.20 解析:该公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,则需要购买 次, x 400 运费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万元,一年的总运费与总存储费用之和为 · 4 x 400 1600 +4x(万元), · 4+4x≥160,当 =4x,即 x=20 吨时,一年的总运费与总存储费用之 x x 和最小. 7.D 解析:a2=1,a1a3=a2 2=1,显然 a1,a3 同号. 当 a1,a3 同为正时,S3=a1+a2+a3≥2 a1a3+1=3; 当 a1,a3 同为负时,S3=a1+a2+a3

=-[(-a1)+(-a3)]+a2≤-2 ?-a1?· ?-a3?+1=-1. x+2y?2 8.B 解析: x+2y=8-x· (2y)≥8-? ? 2 ?, 整理,得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0, 即(x+2y-4)(x+2y+8)≥0,又∵x+2y>0,∴x+2y≥4. 当且仅当 x=2y 时等号成立. 9.解:设使用 n 天的平均费用为 1+49 2+49 3+49 n+49 32 000+ + + +?+ 10 10 10 10 n 32 000 49 n+1 32 000 n 99 = + + = + + n 10 20 n 20 20 32 000 n 99 1699 ≥2 · + = , n 20 20 20 32 000 n 当且仅当 = ,即 n=800 天报废最合算. n 20 k-4 10.解:设所求直线方程为 y=k(x-1)+4,则与 x 轴,y 轴的截距分别是 和 4-k, k k-4 ? ? >0, 由已知,得? k ?k<0. ? ?4-k>0 16 k-4? 1? 1 ?-k?+ +8? 三角形面积为 S,则 S= (4-k)? ?-k? ?≥8. 2 ? k ?=2? 当且仅当 k=-4 时等号成立. 所求直线方程为 4x+y-8=0. 3.4.3 基本不等式的实际应用 1.B 2.D 3.D 4.A 4 5.A 解析:∵容积是 8 m3,深 2 m,∴底面积为 4 m2,设长 x m,则宽 m,无盖长 x 16 16? ? 2 ? 方体水池有一个底面和四个侧面,侧面面积为 ? ?4x+ x ? m . ∴造价 y=4×120+?4x+ x ? 16 ×80≥1760,当且仅当 4x= ,即 x=2 时取等号.故选 A. x 6.-2 7.解:(1)如图 D40,设矩形的另一边长为 a m,

图 D40 则 y=45x+180(x-2)+180· 2a=225x+360a-360, 360 由已知 ax=360,得 a= , x 3602 ∴y=225x+ -360(x>0). x 3602 (2)∵x>0,∴225x+ ≥2 225×3602=10 800. x 3602 ∴y=225x+ -360≥10 440. x 3602 当且仅当 225x= 时,等号成立. x 即当 x=24 m 时,修建围墙的总费用最小,

最小总费用是 10 440 元. 1 1? 1 1 b a ba 8. B 解析: 因为 3a· 3b=3, 所以 a+b=1.则 + =(a+b)? · ?a+b?=2+a+b≥2+2 a b ab b a 1 =4,当且仅当 = ,即 a=b= 时“=”成立.故选 B. a b 2 9. 解: (1)设仓库的长为 x 米, 宽为 y 米, 依题意有 3200=40x+90y+20xy≥2 40x· 90y +20xy=120 xy+20xy, 即 3200≥20xy+120 xy(当 4x=9y 时取等号). 令 xy=a,则不等式变为 20a2+120a-3200≤0. 解不等式,得-16≤a≤10. 又∵a>0,∴0<a≤10,即 0<xy≤100. 又∵S=xy≤100, ∴仓库底面积 S 的最大允许值是 100 平方米. (2)当且仅当 4x=9y 时,S 才取得最大值 100,∴x=15. 故铁栅设计成长为 15 米,才能使 S 达到最大,且实际投资不超过预算. 10.解:方法一:设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm, 则 ab=9000. ① 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S=(a+20)(2b+25) =2ab+40b+25a+500=18 500+25a+40b ≥18 500+2 25a· 40b=18 500+2 1000ab=24 500. 5 当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b= a,代入①式,得 a=120,从而 b=75. 8 即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值为 24 500. 故高为 140 cm,宽为 175 cm 时,使广告的面积最小. y-25 方法二:设广告的高和宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20, , 2 其中 x>20,y>25. y-25 两栏面积之和为 2(x-20) =18 000, 2 18 000 由此,得 y= +25. x-20 18 000 18 000x 广告的面积 S=xy=x? x-20 +25?= ? ? x-20 +25x, 360 000 整理,得 S= +25(x-20)+18 500. x-20 因为 x-20>0, 360 000 所以 S≥2 ×25?x-20?+18 500=24 500. x-20 360 000 当且仅当 =25(x-20)时等号成立. x-20 此时有(x-20)2=14 400(x>20), 18 000 解得 x=140,代入 y= +25,得 y=175. x-20 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值为 24 500, 故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小.


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