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湖北省襄阳市2015届高三第一次调研考试数学(文)试题


2015 年高考襄阳市普通高中第一次调研统一测试

数 学(文史类)
本试卷共 4 页,共 22 题,全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 1. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。) 1. 集合 A = {x ?x2-2x≤0},B = {x ? y ? l

g(1 ? x) },则 A∩B 等于 A.{x ?0 < x≤1} B.{x ?1≤x < 2} C.{x ? 1 < x≤2} 2. 直线 2 x ? (m ? 1) y ? 4 ? 0 与直线 mx ? 3 y ? 2 ? 0 平行,则 m = A.-2 B.-3 C.2 或-3 x ? 2 y ? 3 ≤ 0 ? ? 3. 已知 x、y 满足不等式组 ? x ? 3 y ? 2 ≥ 0 ,则 z = x-y 的最大值是 ? ? y ≤1 A.6 B.4 C.0 a1 a2 a3 4. 等差数列{an}中,a5 + a6 = 4,则 log2 (2 2 2 2a10 ) ? A.10 B.20 C.40 5. 已知圆 M 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 ,则下列说法中不正确的是 A.圆 M 的圆心为(4,-3) C.圆 M 的半径为 25 6. 已知双曲线 B.圆 M 被 x 轴截得的弦长为 8 D.圆 M 被 y 轴截得的弦长为 6 D.{x ?0≤x < 1} D.-2 或-3

D.-2 D. 2 ? log 2 5

[来源:Zxxk.Com]

6 x2 y 2 ,则此双曲线的渐近线方程为 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 2 a b A . y ? ?2 x B. y ? ? 2 x

C. y ? ?

2 x 2

D. y ? ?

1 x 2
1

1

7. 若某多面体的三视图如右图所示 ,则此多面体外接球的 表面积是 A.6 C.2 ? B.
18 ? 14 4

1

正视图

侧视图

1

D.3 ?

俯视图

8. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1 = 5.06x-0.15x2 和 L2 = 2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利润为 A.45.60 6 万元 B.45.6 万元 C.45.56 万元 D.45.51 万元
[来源:学科网]

9. 设 f (x)为奇函数且在(-∞,0)内是增函数,f (-2) = 0,则 xf (x) > 0 的解集为 A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-2,0)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2)
? x 2 ? ( a ? b) x ? 2 x ≤ 0 10. 若 a、b 是方程 x ? lg x ? 4 、 x ? 10 x ? 4 的解,函数 f ( x) ? ? ,则关于 x 的方程 f x?0 ?2 (x) = x 的解的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4
1

二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。将答案填在答题卡相应位置上。) 11. 已知幂函数 y = f (x)图象过点(2, 2 ),则 f (9) = 12. 已知 .

sin ? ? cos ? ? 1 ? 2 ,则 tan 2? ? sin ? ? cos ?



13. 已知定义在 R 上的可导函数 y = f (x) 的图象在点 M(1 , f (1)) 处的 切线方程为 y = - x + 2 ,则
f (1) ? f ? (1) ?

. .

14. 已知两个单位向量 a、b 的夹角为 60° ,且满足 a⊥(tb-a),则实数 t 的值是 15. 已知 x >-1,y > 0 且满足 x + 2y = 1,则 16. 已知数列 an ?
1 2 ? 的最小值为 x ?1 y



n ?1 ,则数列{an}最小项是第 3n ? 16

项.

17. 若函数 y = f (x)在定义域内给定区间[a,b]上存在 x0 (a < x0 < b),满足 f ( x0 ) ?

f (b) ? f (a) ,则称函数 b?a

y = f (x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0 是它的一个均值点.例如 y = | x |是[-2,2]上的“平均值函 数”,0 就是它的均值点. (1)若函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 1 是[-1,1]上的“平均值函数”,则实数 m 的取值 范围是 (2)若 f ( x) ? ln x 是区间[a,b] (b > a≥1)上的“平均值函数”,x0 是它的一个均值点,则 1 的大小关系是 . ln x0与 ab 三.解答题(本大题共 5 小题,满分 65 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 18. (本大题满分 12 分) 2 ? 2 ? 定义在区间 [? ? , ? ] 上的函数 y = f (x) 的图象关于直线 x ? 对称,当 x ?[? ? , ] 时函数 3 6 3 6 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 图象如图所示. y 2 2 (1)求函数 y = f (x)在 [? ? , ? ] 的表达式; 3 ? ? ? 6 (2)设 ? ? [ , ] ,若 f (? ) ? , 求 sin(2? ? ) 的值. ? O ? x 2? 6 2 3 5 6 6
?
?



3

2

19. (本大题满分 12 分) 数列{an}中, 已知 a1 = 1,n≥2 时, an ? (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

1 2 2 an?1 ? n?1 ? .数列{bn}满足: bn ? 3n?1 (an ? 1) . 3 3 3

20. (本大题满分 13 分). 如图,四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O ⊥平面 ABCD ,
AB ? 2 ,AA1 = 2 .

D1 A1 B1

C1

(1)证明:AA1⊥BD; (2)证明: 平面 A1BD∥ 平面 CD1B1 ; (3)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积. D A 21. (本大题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx , g ( x) ? ln x .

C O B

(1)当 a = 1,b = 2 时,求函数 y = f (x)-g (x)的图象在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若 2a = 1-b(b > 1),讨论函数 y = f (x)-g (x)的单调性; (3)若对任意的 b∈[-2,-1],均存在 x∈(1,e)使得 f (x) < g (x),求实数 a 的取值范围.

22. (本大题满分 14 分) 己知曲线 x2 ? ? y ? 8 与 x 轴交于 A、B 两点,动点 P 与 A、B 连线的斜率之积为 ? (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2) MN 是动点 P 的轨迹 C 的一条弦,且直线 OM、ON 的斜率之积为 ? ①求 OM ? ON 的最大值; ②求△OMN 的面积.

1 . 2

1 . 2

3

2015 年 1 月襄阳市普通高中调研统一测试 数学(文史类)参考答案及评分标准
说明

[来源:学科网 ZXXK]

1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神 进行评分。 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解 答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时 ,可视影响程 度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半,如果有较严重的概念性错 误,就不给分。 3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。
[来源:学科网]

一.选择题:DCABC 二.填空题:11.3

CDBAC 12.1 13.0 14.2 15. 3分

9 2

16.5

17.(1) (0,2) 2 分 (2) ln x0 ? 三.解答题:

1 ab

2 ? T ? 2? ? 18.(1)解:当 x ?[? ? , ] 时,由图象知:A = 2, ? ? ? (? )? 3 6 4 6 3 2 ∴ T ? 2? ,故 ? ? 1 ? ? ? 2? 又 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 过 (? , 2) (0 ? ? ? ? ) ,∴ ? ? ? ? ? ?? 6 6 2 3 2? ∴ f ( x) ? 2sin( x ? ) 3
∵函数 y = f (x)的图象关于直线 x ? 当

2分

4分 6分

?

2? ? ? ? ? 2? ≤ ? x ≤ ,∴ f ( x) ? f ( ? x) ? 2sin( ? x ? ) ? 2sin x 3 3 6 3 3 3 2? 2 ? ? 2sin( x ? ) ? ? ≤x? ? ? 3 3 6 ∴ f ( x) ? ? 8分 ? ?2sin x ≤ x ≤? ? 6 ?

?

6

对称,∴ f ( x) ? f (

?

3

? x)

6

≤ x ≤ ? 时, ?

? ? 6 3 6 (2)解:∵ ? ? [ , ] ,∴由 f (? ) ? 得: 2sin ? ? ? sin ? ? 6 2 5 5 5 4 因此, cos ? ? 5 ? ? ? 3 sin(2? ? ) ? sin 2? cos ? cos 2? sin ? sin ? cos ? ? (cos 2 ? ? sin 2 ? ) 3 3 3 2 3 4 3 16 9 24 ? 7 3 ? ? ? ( ? )? . 5 5 2 25 25 50
1 2 2 an?1 ? n?1 ? 得: 3n?1 an ? 3n?2 an?1 ? 2 ? 2 ? 3n?2 3 3 3 n?1 n?1 n?1 n?2 ∴ 3 (an ? 1) ? 3 an ? 3 ? 3 an?1 ? 2 ? 3n?2 ? 3n?2 (an?1 ? 1) ? 2 即 bn ? bn?1 ? 2 ? bn ? bn?1 ? 2(n ≥ 2)
19.(1)证:由 an ? 又 b1 ? 3 (a1 ? 1) ? 2 ∴数列{bn}是首项为 2,公差为 2 的等差数列.
4
1?1

10 分

12 分 2分

4分 6分

(2)解:由(1)知, bn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ,∴ 3n?1 (an ? 1) ? 2n ? an ?

2n ?1 3n?1

8分

2 4 6 2n 1 2 4 ? ? 2 ? ? n?1 ,则 Tn ? ? 2 ? 1 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 2n 两式相减得: Tn ? 2(1 ? ? 2 ? ? n?1 ) ? n 3 3 3 3 3 1 n 2[1 ? ( ) ] 3 ? 2n ? 3 ? 2n ? 3 ? 1 3n 3n 1? 3 9 2n ? 3 ∴ Tn ? ? 2 2 ? 3n?1 9 2n ? 3 因此, Sn ? Tn ? n ? ? ?n 2 2 ? 3n?1
记 Tn ?

?

2(n ? 1) 2n ? n 3n?1 3
10 分

12 分 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10 分 12 分 13 分

20.(1)证:∵A1O⊥ 平面 ABCD,BD 在平面 ABCD 内,∴A1O⊥ BD 又 ABCD 是正方形,∴BD⊥ AC ∵A1O、AC 在平面 A1AC 内,∴BD⊥ 平面 A1AC 而 AA1 在平面 A1AC 内,∴AA1⊥BD. (2)证:∵在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,DD1∥ BB1 且 DD1 = BB1 ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形,故 BD∥ B1D1 又在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,A1D1∥ BC 且 A1D1 = BC ∴四边形 A1BCD1 是平行四边形,故 A1B∥ D1C 而 A1B、BD 是平面 A1BD 内的相交直线,D1C、B1D1 是平面 CD1B1 内的相交直线 ∴平面 A1BD∥ 平面 CD1B1

[来源:学科网 ZXXK]

1 AC ? 1 2 又 A1O⊥ 平面 ABCD,AC 在平面 ABCD 内,∴A1O⊥ AC
(3)解:在正方形 ABCD 中, AB ? 2 ,∴ AO ? 故 AO ? A1 A ? AO ? 3 1
2 2

∴ VABD? A1B1D1 ?

1 ? AB ? BC ? AO ?2 3 1 2 1 x

21.(1)解:令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ax2 ? bx ? ln x ,则 F ?( x) ? 2ax ? b ?

1分 2分 3分 5分 6分 7分 8分

当 a = 1,b = 2 时, F ?(1) ? 2a ? b ?1 ? 3 , F (1) ? a ? b ? 3 ∴函数 y = f (x)-g (x)的图象在点(1,f (1))处的切线方程为 y-3 = 3(x-1) 即 3x-y = 0 1 (1 ? b) x2 ? bx ? 1 [(b ? 1) x ? 1]( x ? 1) (2)解: F ?( x) ? (1 ? b) x ? b ? ? ?? ( x ? 0) x x x 1 1 1 当 ? 1 ,即 b > 2 时,F(x)的增区间为 ( , 1) ,减区间为 (0, ), (1, ? ?) b ?1 b ?1 b ?1 1 当 ? 1 ,即 b = 2 时,F(x)在(0,+∞)单调递减 b ?1 1 1 1 当 ? 1 ,即 b < 2 时,F(x)的增区间为 (1, ) ,减区间为(0,1), ( , ? ?) b ?1 b ?1 b ?1 (3)解:依题意,? b∈[-2,-1],?x∈(1,e)使得 f (x) < g (x)成立 即? b∈[-2,-1],?x∈(1,e),F(x) < 0 成立 ln x ? bx ln x ? bx 即? b∈[-2,-1], a ? 在(1,e)内有解, a ? ( )max 2 x x2
5

9分 10 分

ln x ? bx bx ? 1 ? 2 ln x ,则 G?( x) ? 2 x x3 ∵b∈[-2,-1],x∈(1,e),∴-2x + 1≤bx + 1≤-x + 1 < 0,-2ln x < 0 因此 G?( x) ? 0 ,∴G(x)在(1,e)内单调递减 又 G(1) =-b,∴G(x)max =-b∈[1,2] ∴a≤1,即实数 a 的取值范围是(-∞,1].
令 G( x) ? 22.(1)解:在方程 x2 ? ? y ? 8 中令 y = 0 得: x ? ?2 2 ∴A( ?2 2 ,0),B( 2 2 ,0) y y 1 设 P(x,y),则 k AP kBP ? ? ?? 2 x?2 2 x?2 2 2 2 x y 整理得: ? ?1 8 4 x2 y 2 ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 ? ?1 8 4 (2)解:设直线 MN 的方程为:y = kx + m,M(x1,y1),N(x2,y2) ? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 8 ? 0 ? ? 1 ? 4 ?8 ∴ x1 ? x2 ? ?

11 分 12 分 13 分 14 分

2分

4分

5分

4km 2m2 ? 8 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
6分

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 ?
∵ kOM kON 即

2m2 ? 8 ?4km m2 ? 8k 2 2 ? km ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 y y 1 1 ? ? ,∴ 1 ? 2 ? ? x1 x2 2 2

m2 ? 8k 2 1 2m2 ? 8 ? ? ? ? m2 ? 4k 2 ? 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2 2m2 ? 9 m2 ? 8k 2 4 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? 2? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ∴ ?2 ≤ OM ? ON ? 2 当直线 MN 的斜率不存在时,设 M(x1,y1),则 N(x1,-y1) y2 1 ? ? ? x12 ? 2 y12 则 kOM kON ? ? 1 2 x1 2


7分 8分 9分 10 分

x12 y12 ? ? 1 ,∴ y12 ? 2 8 4 OM ? ON ? x12 ? y12 ? y12 ? 2
12 分

∴ OM ? ON 的最大值为 2
1 |m| 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? 2 4k 2 ? m 2 ? 4 ? 2 2 2 1? k2 1 当直线 MN 的斜率不存在时, S OMN ? | x1 || 2 y1 |? 2 2 2 S
OMN

?

∴△OMN 的面积为 2 2 .

14 分

6


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