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等差数列前n项和课件


2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和

1.探索并掌握等差数列的前n项和公式的推导过程,

并能用公式解决简单的问题.(重点)
2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊 到一般,再从一般到特殊的思想方法,通过公式 的运用体会方程的思想.(难点)

1+2+3+…+98+99+100=? 高斯10岁时曾很快算出这一结 果,如何算的呢? 高斯 我们先看下面的问题.

(1777—1855)
德国著名数学家

怎样才能快速计算 出一堆钢管有多少根呢?

一 二 三 四 五 六 七

(1)先算出各层的根数, 每层都是14根; (2)再算出钢管的层数,共7层. 1 所以钢管总根数是: (4 ? 10) ? 7 ? 49(根) 2

4+10=14 5+9=14 6+8=14 7+7=14 8+6=14 9+5=14 10+4=14

探究点1:等差数列的前n项和公式 下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.
设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100 作 + + + + + + + 加 反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2 + 1 法

多少个 101 100个 101 ?

1 所以S100= (1+100)×100 =5 050 2

项 ? 数

尾 1 首 项 ? ? ? (    +  ) ? 项 数 2 项

n(a1 ? an ) Sn ? 2

这是不是一 般的等差数 列前n项和的 公式?

以下证明{an}是等差数列,Sn是其前n项和,则

n(a1 ? an ) Sn ? . 2 证:Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an, ? ? 即Sn= an+an-1+an-2+…+ a3+ a2 + a1,
?+?得:

2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1). ?

由等差数列的性质:当m+n=p+q时,am+an=ap+aq 知: a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1,所以?式可化为: 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an).

多少个 (a ? 共有n个 (a 1+a n) 1+a n)
n(a1 ? an ) Sn ? . 因此, 2

这种求和的 方法叫倒序 相加法!

探究点2:等差数列的前n项和公式的其他形式

(a1 ? an ) n Sn ? 2
(n ? 1) n d ????? ? Sn ? na1 ? 2
an ?a1 ?( n?1) d


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