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2015-2016高中数学 第2章 章末质量评估检测 新人教A版选修2-2


第二章章末质量评估检测
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.自然数是整数,4 是自然数,所以 4 是整数.以上三段论推理( ) A.正确 B.推理形式不正确 C.两个“自然数”概念不一致 D.“两个整数”概念不一致 解析:三段论中的大前提、小前提

及推理形式都是正确的. 答案:A 9 2.已知{bn}为等比数列,b5=2,则 b1b2b3?b9=2 .若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类 似结论为( ) 9 9 A.a1a2a3?a9=2 B.a1+a2+?+a9=2 C.a1a2?a9=2×9 D.a1+a2+?+a9=2×9 解析:由等差数列性质,有 a1+a9=a2+a8=?=2a5.易知 D 成立. 答案:D 2f?x? * 3.已知 f(x+1)= ,f(1)=1(x∈N ),猜想 f(x)的表达式为( ) f?x?+2 4 2 A.f(x)= x B.f(x)= 2 +2 x+1 1 2 C.f(x)= D.f(x)= x+1 2x+1 2 2 2 2 解析:f(2)= ,f(3)= ,f(4)= ,猜想 f(x)= . 2+1 3+1 4+1 x+1 答案:B y 4.下列四类函数中,具有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足[f(x)] =f(xy)” 的是( ) A.指数函数 B.对数函数 C.一次函数 D.余弦函数 x y x y xy 解析:当函数 f(x)=a (a>0,a≠1)时,对任意的 x>0,y>0,有[f(x)] =(a ) =a = f(xy),即指数函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)满足[f(x)]y=f(xy),可以检验,B,C,D 选项均 不满足要求. 答案:A 5.下列推理正确的是( ) A.把 a(b+c)与 loga(x+y)类比,则有 loga(x+y)=logax+logay B.把 a(b+c)与 sin(x+y)类比,则有 sin(x+y)=sinx+siny x+y x+y x y C.把 a(b+c)与 a 类比,则有 a =a +a D.把(a+b)+c 与(xy)z 类比,则有(xy)z=x(yz) 解析:(xy)z=x(yz)是乘法的结合律,正确. 答案:D 2 2 3 3 4 4 5 5 10 6.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a 10 +b =( ) A.28 B.76 C.123 D.199 n n 解析:记 a +b =f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7; f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则 f(6) =f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)= 10 10 76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以 a +b =123.
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答案:C

x y a b 展到空间直角坐标系内,在 x,y,z 轴上的截距分别为 a,b,c(abc≠0)的平面方程为( x y z x y z A. + + =1 B. + + =1 a b c ab bc ca xy yz zx C. + + =1 D.ax+by+cz=1 ab bc ca 解析:类比到空间应选 A.另外也可将点(a,0,0)代入验证.

7.在平面直角坐标系内,方程 + =1 表示在 x,y 轴上的截距分别为 a,b 的直线,拓 )

答案:A 8.求证: 2+ 3> 5. 证明:因为 2+ 3和 5都是正数, 所以为了证明 2+ 3> 5, 2 2 只需证明( 2+ 3) >( 5) , 展开得 5+2 6>5,即 2 6>0, 此式显然成立, 所以不等式 2+ 3> 5成立. 上述证明过程应用了( ) A.综合法 B.分析法 C.综合法、分析法配合使用 D.间接证法 解析:证明过程中的“为了证明??”,“只需证明??”这样的语句是分析法所特有 的,是分析法的证明模式. 答案:B 9.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时,假设正确的是 ( ) A.假设三内角都不大于 60° B.假设三内角都大于 60° C.假设三内角至多有一个大于 60° D.假设三内角至多有两个大于 60° 解析:假设应为“三内角都大于 60°”. 答案:B 1 1 10.数列{an}满足 a1= ,an+1=1- ,则 a2 013 等于( ) 2 an 1 A. B.-1 2 C.2 D.3 1 1 解析:∵a1= ,an+1=1- , 2 an 1 ∴a2=1- =-1,

a1

a3=1- =2, a2 a4=1- = , a3 2 a5=1- =-1, a4
1 1 1

1

-2-

a6=1- =2, a5 * * ∴an+3k=an(n∈N ,k∈N ) ∴a2 013=a3+3×670=a3=2.
答案:C 11.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:“设 a>b>c,且 a+b+c=0,求证: 2 b -ac< 3a”最终的索因应是( ) A.a-b>0 B.a-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 2 解析:要证 b -ac< 3a 2 2 只需证 b -ac<3a ∵a+b+c=0,∴b=-a-c 2 2 只需证(-a-c) -ac<3a 只需证(c-a)(c+2a)<0 只需证(c-a)(c+a-b-c)<0 只需证(c-a)(a-b)>0 故选 C. 答案:C 1 3 1 1 5 1 1 1 7 12.观察式子:1+ 2< ,1+ 2+ 2< ,1+ 2+ 2+ 2< ,?,则可归纳出一般式子为 2 2 2 3 3 2 3 4 4 ( ) 1 1 1 1 A.1+ 2+ 2+?+ 2< (n≥2) 2 3 n 2n-1 1 1 1 2n+1 B.1+ 2+ 2+?+ 2< (n≥2) 2 3 n n 1 1 1 2n-1 C.1+ 2+ 2+?+ 2< (n≥2) 2 3 n n 1 1 1 2n D.1+ 2+ 2+?+ 2< (n≥2) 2 3 n 2n+1 解析:由合情推理可得. 答案:C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.“因为 AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线,所以 AC,BD 互相垂直且平分.”以上推理的 大前提是__________. 答案:菱形对角线互相垂直且平分 14.已知 x,y∈R,且 x+y>2,且 x,y 中至少有一个大于 1,在用反证法证明时,假设 应为________. 解析:“至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x,y 均不大于 1”,亦即“x≤1 且 y≤1”. 答案:x,y 均不大于 1(或者 x≤1 且 y≤1) 2 2 3 3 4 4 a a 15. 已知 2+ =2 , 3+ =3 , 4+ =4 , ?, 6+ =6 , 3 3 8 8 15 15 b b a,b 均为正实数,由以上规律可推测出 a、b 的值,则 a+b=__________. 解析:由题意归纳推理得 6+ =6

1

a b

a , b

b=62-1=35,a=6. ∴a+b=6+35=41.
答案:41

-3-

16.现有一个关于平面图形的命题:如图,同一平面内有两个边长都是 a 的正方形,其 中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间,有两 4 个棱长为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积 恒为__________. 解析:解法的类比(特殊化),易得两个正方体重叠部的体积为 . 8 8 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,并判断类比的结论是否成立. (1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交,则必和另一条相交; (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线,则这两条直线互相平行. 解析:(1)类比为:如果一个平面和两个平行平面中的一个相交,则必和另一个相交. 结论是正确的,证明如下:设 α ∥β ,且 γ ∩α =a,则必有 γ ∩β =b,若 γ 与 β 不 相交,则必有 γ ∥β . 又 α ∥β ,∴α ∥γ ,与 γ ∩α =a 矛盾, ∴必有 γ ∩β =b. (2)类比为:如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面互相平行,结论是错误 的,这两个平面也可能相交. 18.(本小题满分 12 分) 3 2C 2A △ABC 中,三边 a、b、c 成等比数列.求证:acos +ccos ≥ b. 2 2 2 证明:∵a、b、c 成等比数列, 2 ∴b =ac. a?1+cosC? c?1+cosA? 2C 2A ∴acos +ccos = + 2 2 2 2 1 1 = (a+c)+ (acosC+ccosA) 2 2 2 2 2 b2+c2-a2? 1 1? a +b -c +c· = (a+c)+ ?a· 2ab 2bc ? 2 2? ? 1 1 b = (a+c)+ b≥ ac+ 2 2 2 b 3 =b+ = b 2 2 3 2C 2A ∴acos +ccos ≥ b. 2 2 2 19.(本小题满分 12 分) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数; 2 2 ①sin 13°+cos 17°-sin13°cos17°; 2 2 ②sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°; 2 2 ③sin 18°+cos 12°-sin18°cos12°; 2 2 ④sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos48°; 2 2 ⑤sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
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a2

a3

答案:

a3

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解析:方法一: (1)选择②式,计算如下: 2 2 sin 15°+cos 15°-sin15°cos15° 1 1 3 =1- sin30°=1- = . 2 4 4 3 2 2 (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )= . 4 证明如下: 2 2 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) 2 2 =sin α +(cos30°cosα +sin30°sinα ) - sinα (cos30°cosα +sin30°sinα ) 3 3 1 3 1 3 3 2 2 2 2 2 = sin α + cos α + sinα cosα + sin α - sinα cosα - sin α = sin α + 4 2 4 2 2 4 4 3 2 cos α = . 4 方法二: (1)同方法一. 3 2 2 (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )= . 4 证明如下: 1-cos2α 1+cos?60°-2α ? 2 2 sin α + cos (30°- α ) - sinα cos(30°- α ) = + - 2 2 sinα ·(cos30°cosα +sin30°sinα ) 1 1 1 1 3 1 1 2 = - cos2α + + (cos60°cos2α +sin60°sin2α )- sinα cosα - sin α = - 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3 1 cos2α + + cos2α + ·sin2α - sin2α - (1-cos2α ) 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos2α - + cos2α = . 4 4 4 4 20.(本小题满分 12 分) 2an 若 a1>0,a1≠1,an+1= (n=1,2,?). 1+an (1)求证:an+1≠an; 1 (2)令 a1= , 写出 a2、 a3、 a4、 a5 的值, 观察并归纳出这个数列的通项公式 an(不要求证明). 2 2an 解析:(1)证明:若 an+1=an,即 =an, 1+an 解得 an=0 或 1. 从而 an=an-1=?=a2=a1=0 或 1, 这与题设 a1>0,a1≠1 相矛盾, 所以 an+1=an 不成立. 故 an+1≠an 成立. 1 2 (2)由题意得 a1= ,a2= , 2 3 4 8 16 a3= ,a4= ,a5= , 5 9 17 n-1 2 由此猜想:an= n-1 . 2 +1
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21.(本小题满分 12 分) 先解答(1),再通过结构类比解答(2). ? π ? 1+tanx; (1)求证:tan?x+ ?= 4 ? 1-tanx ? 1+f?x? (2)设 x∈R,a 为非零常数,且 f(x+α )= ,试问:f(x)是周期函数吗?证明 1-f?x? 你的结论. 解析:(1)证明:由两角和的正切公式得 π tanx+tan 4 tanx+1 ? π? tan?x+ ?= = , 4? π 1-tanx ? 1-tanx·tan 4 π ? ? 1+tanx,命题得证. 即 tan?x+ ?= 4 ? 1-tanx ? (2)猜想 f(x)是以 4a 为周期的周期函数. 证明过程如下: ∵f(x+2a)=f[(x+a)+a] 1+f?x? 1+ 1-f?x? 1+f?x+a? 1 = = =- . 1-f?x+a? 1+f?x? f?x? 1- 1-f?x? ∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a] 1 =- =f(x). f?x+2a? ∴f(x)是以 4a 为周期的周期函数. ∴f(x)是周期函数,其中一个周期为 4a. 22.(本小题满分 12 分) 5n ?1?n 已知 Cn=(n+1)·? ? ,设 Tn=C1+C2+?+Cn,试比较 Tn 与 的大小,并予以证明. 2 2 n +1 ? ? ?1?n 解析:∵Cn=(n+1)? ? , ?2? 1 ?1?2 ?1?3 ?1?n 故 Tn=2× +3×? ? +4×? ? +?+(n+1)? ? ,① 2 ?2? ?2? ?2? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?1? Tn=2×? ?2+3×? ?3+4×? ?4+?+(n+1)? ?n+1,② 2 ?2? ?2? ?2? ?2? 由①-②,得 1 ?1? ?1? ?1? ?1? Tn=1+? ?2+? ?3+?+? ?n-(n+1)? ?n+1 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?2? 1? ?1?n-1? 1-? ? ? ? 4? ?2? ? ?1?n+1 =1+ -(n+1)? ? 1 ?2? 1- 2 3 n+3 = - n+1 . 2 2 n+3 ∴Tn=3- n , 2 5n n+3 5n ∴Tn- =3- n - 2n+1 2 2n+1

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?n+3??2 -2n-1? , n 2 ?2n+1? 5n n 于是确定 Tn 与 的大小关系等价于比较 2 与 2n+1 的大小. 2n+1 2 3 4 5 由 2<2×1+1,2 <2×2+1,2 >2×3+1,2 >2×4+1,2 >2×5+1, ?可猜想当 n≥3 时, n 2 >2n+1,证明如下: ⅰ当 n=3 时,由上可知显然成立. k ⅱ假设当 n=k 时,2 >2k+1 成立. 那么,当 n=k+1 时, k+1 k 2 =2×2 >2(2k+1)=4k+2 =2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1, 所以当 n=k+1 时猜想也成立, n 综合ⅰ和ⅱ,对一切 n≥3 的正整数,都有 2 >2n+1. 5n 所以当 n=1,2 时,Tn< ; 2n+1 5n 当 n≥3 时,Tn> (n 为正整数). 2n+1 =

n

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