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第二章 函数、导数及其应用


第二章 函数、导数及其应用

第二节

函数的单调性与最值

1.增函数、减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D?I,如果对于任意 x1,x2∈D,且 x1<x2,则有: (1)f(x)在区间 D 上是增函数? (2)f(x)在区间 D 上是减函数? 2.单调区间的定义 若函数 y=f(x)在区间

D 上是 叫做 y=f(x)的单调区间. 3.函数的最值 前提 条件 结论 [试一试] 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) B.y=- x+1 ) 1 C.y= 2 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈I,都有 ②存在 x0∈I,使得 M 为最大值 ①对于任意 x∈I,都有 ②存在 x0∈I,使得 M 为最小值 ; 或 ,则称函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性, ;

()

x

1 D.y=x+ x

2.函数 f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区间为______;f(x)max=________.

1.判断函数单调性的四种方法 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论; (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数; (3)图像法:如果 f(x)是以图像形式给出的,或者 f(x)的图像易作出,可由图像的直观性判断函数单调性. (4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性. 2.求函数最值的五个常用方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图像法:先作出函数的图像,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. (4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. 提醒:在求函数的值域或最值时,应先确定函数的定义域. [练一练] 1

1.(2013· 北京高考)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( A.y= 1 x B.y=e
-x

)

C.y=-x2+1

D. y=lg|x|

1 2.函数 f(x)= 2 在区间[2,3]上的最大值是________,最小值是________. x +1

考点一

|

求函数的单调区间

1.函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________. 2.函数 y=x-|1-x|的单调增区间为________. [类题通法] 求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即: (1)定义法;(2)复合法;(3)图像法;(4)导数法. 考点二函数单调性的判断 [典例] ax 试讨论函数 f(x)= (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1

[针对训练] 判断函数 g(x)= -2x 在 (1,+∞)上的单调性. x-1

考点三

|

函数单调性的应用

函数单调性的应用比较广泛是每年高考的重点和热点内容.归纳起来常见的命题角度有: ?1?求函数的值域或最值; ?2?比较两个函数值或两个自变量的大小; ?3?解函数不等式; ?4?求参数的取值范围或值.?

角度一

求函数的值域或最值

2 1.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; 2

(2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

角度二

比较两个函数值或两个自变量的大小 ) D.f(x1)>0,f(x2)>0

1 2.已知函数 f(x)=log2x+ ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( 1-x A.f(x1)<0,f(x2)<0 角度三 解函数不等式 B.f(x1)<0,f(x2)>0

C.f(x1)>0,f(x2)<0

3.已知定义在 R 上的函数 f(x)是增函数,则满足 f(x)<f(2x-3)的 x 的取值范围是________. 角度四 求参数的取值范围或值 f?x1?-f?x2? <0 成立,则实数 a 的 x1-x2

?a-2?x,x≥2, ? ? 4.已知函数 f(x)=? 1 x ? 2 -1,x<2 ?

()

满足对任意的实数 x1≠x2,都有

取值范围为(

) 13 B. -∞, 8

A.(-∞,2)

(

]

C.(-∞,2]

D.

,2) [13 8

[课堂练通考点] 1.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x ) C.[0,2] D.[2,+∞) ) C.f(x)=- 1 x+1 D.f(x)=-|x|

2.函数 f(x)=|x-2|x 的单调减区间是( A.[1,2] B.[-1,0]

1 3.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,若 m<n,则 f(m)______f(n);若 f? x ?<f(1),则实数 x 的取值范围是 ? ? ________. 1 4.函数 f(x)= 3

||

( ) -log (x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________.
x 2

ax+1 5.函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是递增的,求实数 a 的取值范围. x+2

3

第三节

函数的奇偶性及周期性

4

1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定 义 , 图像特点 关于 对称

如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都 有 ,那么函数 f(x)是奇函数

奇函数 2.周期性 (1)周期函数:

关于

对称

对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个

,那么

就叫做 f(x)的最小正周期.

1.判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的一个必要条件. 2.判断函数 f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个 x,均有 f(-x)=-f(x),而不能说存在 x0 使 f(- x0)=-f(x0)、f(-x0)=f(x0). 3.分段函数奇偶性判定时,f(-x0)=f(x0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个 定义域上的奇偶性是错误的. [试一试] 1. (2013· 广东高考)定义域为 R 的四个函数 y=x3, y=2x, y=x2+1, y=2sin x 中, 奇函数的个数是( A.4
2

)

B.3

C.2

D.1 )

2.已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( A.- 1 3 1 B. 3 1 C. 2 1 D.- 2

1.判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法:

5

(2)图像法:

2.周期性常用的结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a; (2)若 f(x+a)= 1 ,则 T=2a; f?x? 1 ,则 T=2a.(a>0) f?x?

(3)若 f(x+a)=- [练一练]

3 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f x+2 ,且 f(1)=2,则 f(2 014)=________.

( )

考点一

|

函数奇偶性的判断

判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 1-x2+ x2-1; (3)f(x)=3x-3 x;


(2)f(x)= 3-2x+ 2x-3; 4-x2 (4)f(x)= ; |x+3|-3

2 ?x +x,x>0, (5)f(x)=? 2 ?x -x,x<0.

[类题通法] 判断函数奇偶性除利用定义法和图像法,应学会利用性质,具体如下: (1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇· 奇”是偶,“奇÷ 奇”是偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶· 偶”是偶,“偶÷ 偶”是偶; 6

(3)“奇· 偶”是奇,“奇÷ 偶”是奇. 考点二 [典例]

|

函数奇偶性的应用

1 (1)(2013· 山东高考)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x2+ , x ) B.0 C.1 D.2

则 f(-1)=( A.-2

(2)已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2], 且在区间[-2,0]上递减, 求满足 f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的 取值范围.

本例(2)中条件在区间[-2,0]上“递减”变为“递增”,试想 m 的范围改变吗?若改变,求 m 的取值范围.

[类题通法] 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值: 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式: 将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于 f(x)的方程 (组),从而得到 f(x)的解析式. (3)求函数解析式中参数的值: 利用待定系数法求解,根据 f(x)± f(-x)=0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或 方程(组),进而得出参数的值. (4)画函数图像和判断单调性: 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性. [针对训练] 1.设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________.


2.已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若 f(a)≥f(2),则实数 a 的取值范围是 ________. 考点三 [典例]

|

函数的周期性及其应用

定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时, )

f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 012)=(

7

A.335 [类题通法]

B.338

C.1 678

D.2 012

函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为 T,函数的周期性 常与函数的其他性质综合命题. (2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论: 若 T 是函数的周期,则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期. [针对训练] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式.

[课堂练通考点] 5 1.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f -2 =( A.- 1 2 B.- 1 4 1 C. 4 1 D. 2 )

( )

)

2. (2014· 大连测试)下列函数中, 与函数 y=-3|x|的奇偶性相同, 且在(-∞, 0)上单调性也相同的是( A.y=- 1 x B.y=log2|x| C.y=1-x2 D.y=x3-1

3.设函数 f(x)=x3cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 4.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 5.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[-2,0]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),求实数 m 的取值范围.

8

第四节

函数的图像

1.利用描点法作函数图像 其基本步骤是列表、描点、连线,具体为: 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性); 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点); 最后:描点,连线. 2.利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换: a>0,右移a个单位 y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― → y=f(x-a); a<0,左移|a|个单位 (2)伸缩变换:
? y=f(x) ???????? 1 ? y=f(ωx); y=f(x) ? ?1,缩短为原来的 ?
1 0?? ?1,伸长为原来的 倍

b>0,上移b个单位 y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=f(x)+b. b<0,下移|b|个单位

A>1,伸为原来的A倍 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=Af(x). 0<A<1,缩为原来的A倍

(3)对称变换: 关于x轴对称 y=f(x) ― ― ― ― ― ― → y=-f(x); 关于原点对称 y=f(x) ― ― ― ― ― ― → y=-f(-x). (4)翻折变换: y=f(x) 去掉y轴左边图,保留y轴右边图 留下x轴上方图 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=f(|x|);y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― → y=|f(x)|. 将y轴右边的图像翻折到左边去 将x轴下方图翻折上去 关于y轴对称 y=f(x) ― ― ― ― ― ― → y=f(-x);

1.在解决函数图像的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的 x,y 变换”的原则,写出每一次的 变换所得图像对应的解析式,这样才能避免出错. 2.明确一个函数的图像关于 y 轴对称与两个函数的图像关于 y 轴对称的不同,前者也是自身对称,且 为偶函数,后者也是两个不同函数的对称关系. [试一试] (2014· 安徽“江南十校”联考)函数 y=log2(|x|+1)的图像大致是( )

1.数形结合思想

9

借助函数图像,可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质;利用函数的图像,还 可以判断方程 f(x)=g(x)的解的个数、求不等式的解集等. 2.分类讨论思想 画函数图像时,如果解析式中含参数,还要对参数进行讨论,分别画出其图像. [练一练] 若关于 x 的方程|x|=a-x 只有一个解,则实数 a 的取值范围是________.

考点一

|

作函数的图像

分别画出下列函数的图像: (1)y=|lg x|; (2)y=2x 2;


(3)y=x2-2|x|-1. [类题通法] 画函数图像的一般方法 (1)直接法. 当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时, 就可根据这些函数的特征直接作出; (2)图像变换法. 若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、 翻折、 对称得到, 可利用图像变换作出, 但要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变 换单位及解析式的影响. 考点二 [典例]

|

识图与辨图 )

(1)(2013· 福建高考)函数 f(x)=ln(x2+1)的图像大致是(

(2)(2012· 湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图像如图所示,则 y=- f(2-x)的图像为( )

[类题通法] 识图常用的方法 10

(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图像的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析 解决问题; (2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题; (3)函数模型法:由所提供的图像特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题. [针对训练] 1.(2014· 潍坊高三期末)函数 y=xsin x 在[-π,π]上的图像是( )

2.如图,函数 f(x)的图像是曲线 OAB,其中点 O,A,B 的坐标分别为(0,0),(1,2), 1 (3,1),则 f?f?3??的值等于________.

?

?

考点三

|

函数图像的应用

函数图像是函数的一种表达形式, 它形象地揭示了函数的性质, 为研究函数的数量关系提供了“形” 的直观性.归纳起来图像的应用常见的命题角度有: ?1?确定方程根的个数;?2?求参数的取值范围;?3?求不等式的解集.

角度一

确定方程根的个数

?|lg x|,x>0, 1.(2014· 日照一模)已知 f(x)=? |x| 则函数 y=2f2(x)-3f(x)+1 的零点个数是________. ?2 ,x≤0, 角度二 求参数的取值范围

?a,a-b≤1, 2.对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? 设函数f?x?=(x2-2)?(x-1),x∈R.若函数 y ?b,a-b>1. =f(x)-c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( A.(-1,1]∪(2,+∞) 角度三 求不等式的解集 B.(-2,-1]∪(1,2] ) D.[-2,-1]

C.(-∞,-2)∪(1,2]

3.函数 f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图像如图所示,那么 f?x? 不等式 <0 的解集为________. cos x

[课堂练通考点]

11

1.函数 y=x|x|的图像经描点确定后的形状大致是(

)

. 2. (2013· 北京高考)函数 f(x)的图像向右平移 1 个单位长度, 所得图像与曲线 y=ex 关于 y 轴对称, 则 f(x) =( ) A.ex
+1

B.ex

-1

C.e

-x+1

D.e

-x-1

3.(2013· 湖南高考)函数 f(x)=ln x 的图像与函数 g(x)=x2-4x+4 的图像的交点个数为 ( A.0 B.1 C.2
2

)

D.3

4.已知函数 f(x)的图像如图所示,则函数 g(x)=log

f(x)的定义域是________.

5.设函数 f(x)=|x+a|,g(x)=x-1, 对于任意的 x∈R, 不等式 f(x)≥g(x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.

第五节 12

二次函数与幂函数

1.五种常见幂函数的图像与性质 函数 特征 性质 y=x y=x2 y=x3
1

y=x 2

y=x

-1

图像 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 增 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (-∞,0)和(0, +∞)减

R R 奇 增

R {y|y≥0} 偶 (-∞, 0]减, (0, +∞)增

R R 奇 增 (1,1)

2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0); (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 3.二次函数的图像和性质 a>0 图像 a<0

定义域 值域

x∈R

?4ac-b ,+∞? ? 4a ?
b 在 -∞,-2a 上递减,在

2

?-∞,4ac-b ? 4a ? ?
b 在 -∞,-2a 上递增,

2

单调性

( ] [-2ba,+∞)上递增

( ] b 在[-2a,+∞)上递减

奇偶性

b=0 时为偶函数,b≠0 时既不是奇函数也不是偶函数 b ①对称轴:x=- ; 2a

图像特点

b 4ac-b2? ②顶点:?- , 4a ? ? 2a

13

1.研究函数 f(x)=ax2+bx+c 的性质,易忽视 a 的取值情况而盲目认为 f(x)为二次函数.
1

2.形如 y=xα(α∈R)才是幂函数,如 y=3x 2 不是幂函数. [试一试] 1.若 f(x)既是幂函数又是二次函数,则 f(x)可以是( A.f(x)=x -1
2

) C.f(x)=-x2 D.f(x)=x2 ) 1 D. -20,0

B.f(x)=5x

2

2.已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图像在 x 轴上方,则 a 的取值范围是( 1 A. 0,20

(

)

1 B. -∞,-20

(

)

1 C. 20,+∞

(

)

(

)

1.函数 y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x),如果定义域内有不同两点 x1,x2 且 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)的图像关于 x = x1+x2 对称. 2 (2)二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x, 都有 f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数 y=f(x)的图像关于直 线 x=a 对称(a 为常数). 2.与二次函数有关的不等式恒成立两个条件 ?a>0, (1)ax2+bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. ?a<0, (2)ax2+bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. 3.两种数学思想 (1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法. 特别是涉及二次方程、 二次不等式的时候常常要结合图形 寻找思路. (2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论. 比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位 置关系,讨论二次方程根的大小等. [练一练] 如果函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线 x=1 对称,则函数 f(x)的最小值为________.

考点一

|

幂函数的图像与性质 )

1.幂函数 y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的图像是(

1 2.图中曲线是幂函数 y=xα 在第一象限的图像.已知 n 取± 2,± 四个值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 2 的 α 值依次为________.

14

3 3.设 a= 5 [类题通法]

()

2 5

2 ,b= 5

()

3 5

2 ,c= 5

()

2 5

,则 a,b,c 的大小关系是________.

1.幂函数 y=xα 的图像与性质由于 α 的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查: (1)α 的正负:α>0 时,图像过原点和(1,1),在第一象限的图像上升;α<0 时,图像不过原点,在第一象 限的图像下降. (2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1 时,曲线下凸;0<α<1 时,曲线上凸;α<0 时,曲线下凸. 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数.借助其单调性进行比较,准确掌握 各个幂函数的图像和性质是解题的关键. 考点二 [典例] 式.

|

求二次函数的解析式

已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数的解析

[类题通法] 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,规律如下:

[针对训练] 已知 y=f(x)为二次函数,且 f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=-5,求此二次函数的解析式. 考点三

|

二次函数的图像与性质

研究二次函数在闭区间上的最值解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称 轴与区间的关系进行分类讨论.归纳起来常见的命题角度有: ?1?轴定区间定求最值;?2?轴动区间定求最值;?3?轴定区间动求最值. 角度一 轴定区间定求最值

1. 已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6],当 a=-2 时,求 f(x)的最值.

角度二

轴动区间定求最值

2.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值.

角度三

轴定区间动求最值 15

2. 设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为 g(a),求 g(a).

[类题通法] 影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法: (1)最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关. (2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解,在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得最值. 当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论.

[课堂练通考点] 1.下面给出 4 个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应是( )

1

1
-1

1

A.①y=x 3 ,②y=x2,③y=x 2 ,④y=x C.①y=x ,②y=x ,③y=x
2 3

B.①y=x3,②y=x2,③y=x 2 ,④y=x D.①y=x ,②y=x
1 3

-1

1 2

,④y=x

-1

1 2

,③y=x2,④y=x

-1

2.(2013· 张家口模拟)已知函数 h(x)=4x2-kx-8 在[5,20]上是单调函数,则 k 的取值范围是( A.(-∞,40] C.(-∞,40]∪[160,+∞) B.[160,+∞) D.?

)

3.二次函数的图像过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式为________. 4.若二次函数 f(x)=ax2-4x+c 的值域为[0,+∞),则 a,c 满足的条件是________. 5.已知函数 f(x)=(m2-m-1)x
-5m-3

,m 为何值时,f(x)是幂函数,且在(0,+∞)上是增函数?

第六节

指数与指数函数

1.根式的性质

16

n (1)( a)n=a. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念: ①正分数指数幂:a ②负分数指数幂:a
m n
?

?a ?a≥0?, n n (2)当 n 为奇数时 an=a;当 n 为偶数时 an=? ?-a ?a<0?.

n = am(a>0,m,n∈N*,且 n>1). =

m n

1 a
m n



1 n

(a>0,m,n∈N*,且 n>1).

am

③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质: ①aras=ar s(a>0,r,s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).


3.指数函数的图像与性质 y=ax a>1 0<a<1

图像

定义域 值域

R (0,+∞) 过定点(0,1)

性质

当 x>0 时,y>1;x<0 时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是增函数

当 x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1 在(-∞,+∞)上是减函数

1.在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不能同时含有根号和分数指数幂, 也不能既有分母又含有负指数. 2.指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图像和性质跟 a 的取值有关,要特别注意区分 a>1 或 0<a<1. [试一试]
1

1.化简[(-2) ] A.-9

6 2

-(-1)0 的结果为( B.7

) C.-10 D.9

2.若函数 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数 a 的取值范围是________.

1.对可化为 a2x+b· ax+c=0 或 a2x+b· ax+c≥0(a2x+b· ax+c≤0)的指数方程或不等式,常借助换元法解 决. 2.指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的,因此解题时通常对底数 a 按 0<a<1 和 a>1 进行分类讨 论. [练一练]

17

1.函数 y=

1 1- 2

( ) 的定义域为________.
x

2.若函数 f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a=________.

考点一

|
0

指数幂的化简与求值

求值与化简: 3 (1) 25
1

( )
2

1 - +2 2· 24
1

( )
? 1

?

1 2

-(0.01)0.5;
2 1

? 5 - - - (2) a 3 · b 2· (-3a 2 b 1)÷ (4a 3 · b 3) 2 ; 6

?a 3 · b ?1 ? 2 · a 2· b3 (3) 6 a·5 b
[类题通法] 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质 来解答. 考点二 [典例]

?

1

1

|

指数函数的图像及应用 )

(1)(2012· 四川高考)函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图像可能是(

1 (2)已知实数 a,b 满足等式 2

( ) =(1 3) ,下列五个关系式:
a b

①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有( A.1 个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个

[类题通法] 指数函数图像的画法及应用 1 (1)画指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), -1,a . (2)与指数函数有关的函数的图像的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图 像.

(

)

18

(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解. [针对训练] 1 1.(2014· 北京模拟)在同一坐标系中,函数 y=2x 与 y= 2 A.关于 y 轴对称
x

( ) 的图像之间的关系是(
x

)

B.关于 x 轴对称

C.关于原点对称

D.关于直线 y=x 对称

2.方程 2 =2-x 的解的个数是________. 考点三 [典例]

|

指数函数的性质及应用 a - (ax-a x)(a>0,且 a≠1). a2-1

已知 f(x)=

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性.

在本例条件下,当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围.

[类题通法] 利用指数函数的性质解决问题的方法 求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次 要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断, 最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决. [针对训练] 1 已知函数 f(x)= 3

()

ax 2-4x+3

.

(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值.

19

[课堂练通考点] 1.已知 f(x)=2x+2 x,若 f(a)=3,则 f(2a)等于(


) D.11 )

A.5 2.已知 f(x)=3 A.[9,81]
x-b

B.7

C.9

(2≤x≤4,b 为常数)的图像经过点(2,1),则 f(x)的值域( B.[3,9]


C.[1,9]

D.[1,+∞)

3.(2014· 南昌一模)函数 y=8-23 x(x≥0)的值域是________. 4.已知正数 a 满足 a2-2a-3=0,函数 f(x)=ax,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m,n 的大小关系为 ________. a 5.函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 ,求 a 的值. 2

第七节

对数与对数函数

1.对数的定义 20

如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数. 2.对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a>0 且 a≠1): ①loga1=0;②logaa=1;③alogaN=N. (2)对数的换底公式 logcb 基本公式:logab= (a,c 均大于 0 且不等于 1,b>0). logca (3)对数的运算法则: 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(M· N)=logaM+logaN, 3.对数函数的图像与性质 a>1 0<a<1 M ②loga =logaM-logaN, N ③logaMn=nlogaM(n∈R).

图像

定义域 值域 定点 单调性 函数值正负 4.反函数

(0,+∞) R 过点(1,0) 在(0,+∞)上是增函数 当 x>1 时,y>0; 当 x>1 时,y<0; 在(0,+∞)上是减函数 当 0<x<1,y<0 当 0<x<1 时,y>0

指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)互为反函数,它们的图像关于直线 y=x 对称.

1.在运算性质 logaMn=nlogaM 中,易忽视 M>0. 2.解决与对数函数有关的问题时易漏两点: (1)函数的定义域; [试一试] 1 1.(2013· 重庆高考)函数 y= 的定义域是( log2?x-2? A.(-∞,2) B.(2,+∞) ) C.(2,3)∪(3,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞) (2)对数底数的取值范围.

2.(2013· 四川高考)lg 5+lg 20的值是________.

1.对数值的大小比较的基本方法 (1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法; (3)利用中间量(0 或 1); (4)化同真数后利用图像比较. 2.明确对数函数图像的基本点 21

(1)当 a>1 时,对数函数的图像“上升”; 当 0<a<1 时,对数函数的图像“下降”. 1 (2)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像过定点(1,0),且过点(a,1) a,-1 ,函数图像只在第一、四 象限. [练一练] 1.函数 y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图像经过定点 A,则 A 点坐标是( 2 A. 0,3 )

(

)

( )

2 B. 3,0

( )

C.(1,0)

D.(0,1) ) D.c>a>b

2.(2013· 全国卷Ⅱ)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a

考点一

|

对数式的化简与求值 )

1.(2013· 陕西高考)设 a,b,c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是( A.logab· logcb=logca C.loga(bc)=logab· logac 2.计算下列各题: 3 (1)lg +lg 70-lg 3- ?lg 3?2-lg 9+1; 7 1 32 4 (2) lg - lg 8+lg 245 2 49 3 [类题通法] 对数运算的一般思路 B.logab· logca=logcb D.loga(b+c)=logab+logac

(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数 运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、 差、 倍数运算, 然后逆用对数的运算性质, 转化为同底对数真数的积、 商、幂的运算. 考点二 [典例]

|

对数函数的图像及应用 )

(1)已知 lg a+lg b=0,则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图像可能是(

1 (2)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( 2 A.?0,

) B.? 2 ? ? 2 ,1?

?

2? 2?

C.(1, 2)

D.( 2,2)

22

若本例(2)变为: 若不等式(x-1)2<logax 在 x∈(1,2)内恒成立, 则实数 a 的取值范围为________.

[类题通法] 应用对数型函数的图像可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、 零点时,常利用数形结合思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解. [针对训练] (2014· 安徽皖南八校三联)若函数 f(x)=loga(x+b)的大致图像如图,其中 a,b 常数,则函数 g(x)=ax+b 的大致图像是( ) 为

考点三 [典例]

|

对数函数的性质及应用

已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3).

(1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

[类题通法] 求复合函数 y=f(g(x))的单调区间的步骤 (1)确定定义域; (2)将复合函数分解成基本初等函数 y=f(u),u=g(x); (3)分别确定这两个函数的单调区间; (4)若这两个函数同增或同减,则 y=f(g(x))为增函数,若一增一减,则 y=f(g(x))为减函数,即“同增异 减”. [针对训练] 已知 f(x)=loga(ax-1)(a>0 且 a≠1).

23

(1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的单调性.

[课堂练通考点] 1.(2014· 深圳调研)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log3(1+x), 则 f(-2)=( A.-1 ) B.-3 lg?x+1? 的定义域是( x-1 C.1 ) C.(-1,1)∪(1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞) D.3

2.(2013· 广东高考)函数 y= A.(-1,+∞) 3.函数 y=lg

B.[-1,+∞) )

1 的大致图像为( |x+1|

1 x ?2 ,x≤1, 4.设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( ?1-log2x,x>1,


)

A.[-1,2]

B.[0,2]

C.[1,+∞)

D.[0,+∞)

1+a2 5.(2013· 南京模拟)若 log2a <0,则 a 的取值范围是________. 1+a

?log1x,x≥1, 6.(2013· 北京高考)函数 f(x)=? 2 ?2x,x<1

的值域为________.

第八节

函数与方程

1.函数零点的定义 对于函数 y=f(x)(x∈D),把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)(x∈D)的零点. 2.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系 24

Δ>0 二次函数 y=ax +bx+c (a>0)的 图像 与 x 轴的交点 零点个数 (x1,0),(x2,0) 两个
2

Δ=0

Δ<0

(x1,0) 一个

无交点 零个

3.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一 分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

1.函数 y=f(x)的零点即方程 f(x)=0 的实根,易误为函数点. 2.由函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出 f(a)· f(b)<0,如图所示. 所以 f(a)· f(b)<0 是 y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. [试一试] 1.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是( A.0,2 1 B.0, 2 1 C.0,- 2 ) D.(1,2) 1 D.2,- 2 )

2.函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) B.(-1,0)

C.(0,1)

1.函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点; (2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且 f(a)· f(b)<0,还必须 结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点; (3)利用图像交点的个数:画出两个函数的图像,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值, 就有几个不同的零点. 2.三个等价关系(三者相互转化)

3.用二分法求函数零点近似值的步骤 第一步:确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε; 第二步:求区间(a,b)的中点 c. 第三步:计算 f(c); ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); ③若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). 25

第四步:判断是否达到精确度 ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或 b),否则重复第二、三、四步. [练一练] (2014· 中山模拟)函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) ) D.(1,2)

考点一

|

函数零点所在区间的判定 ) D.(3,4) )

1.(2014· 保定调研)函数 f(x)=log3x+x-2 的零点所在的区间为( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)

2 2.(2013· 朝阳模拟)函数 f(x)=2x- -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是( x A.(1,3)
2

B.(1,2)

C.(0,3)

D.(0,2)

3.函数 f(x)=x -3x-18 在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点. [类题通法] 判断函数零点所在区间的方法 判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体题目灵活处理.当能直接求出零点时,就直接求出进 行判断;当不能直接求出时,可根据零点存在性定理判断;当用零点存在性定理也无法判断时可画出图像判 断. 考点二 [典例] A.4
1

|

判断函数零点个数 )

?x+1,x≤0, (1)已知函数 f(x)=? 则函数 y=f(f(x))+1 的零点个数是( ?log2x,x>0, B.3
x

C.2 )

D.1

1 (2)函数 f(x)=x 2 - 2 A.0 [类题通法]

( ) 的零点个数为(
C.2

B.1

D.3

函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数,其步骤是: (1)令 f(x)=0; (3)作出 y1,y2 图像; [针对训练] πx 函数 f(x)=3cos -log 1 x 的零点的个数是( 2
2

(2)构造 y1=f1(x),y2=f2(x); (4)由图像交点个数得出结论.

) D.5

A.2 . 考点三 [典例]

B.3

C.4

|

函数零点的应用

若函数 f(x)=xln x-a 有两个零点,则实数 a 的取值范围为________.

26

若函数变为 f(x)=ln x-x-a,其他条件不变,则 a 的取值范围是________. [针对训练]
x ?2 -a,x≤0 (2013· 福建质检)若函数 f(x)=? 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是________. ?ln x,x>0

[课堂练通考点]
x ?2 -1,x≤1, 1.已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点为( ?1+log2x,x>1,

) D.0 )

1 A. ,0 2

B.-2,0

1 C. 2

1 1 2.设 f(x)=x3+bx+c 是[-1,1]上的增函数,且 f -2 · f 2 <0,则方程 f(x)=0 在[-1,1]内( A.可能有 3 个实数根 B.可能有 2 个实数根 C.有唯一的实数根

( )()

D.没有实数根

3.(2013· 河北质检)若 f(x)是奇函数,且 x0 是 y=f(x)+ex 的一个零点,则-x0 一定是下列哪个函数的零 点( ) A.y=f(-x)ex-1 B.y=f(x)e x+1


C.y=exf(x)-1

D.y=exf(x)+1

4.用二分法求函数 y=f(x)在区间(2,4)上的近似解,验证 f(2)· f(4)<0,给定精确度 ε=0.01,取区间(2,4) 的中点 x1= 2+4 =3,计算得 f(2)· f(x1)<0,则此时零点 x0∈________(填区间). 2

?x-2,x>0, 5.已知函数 f(x)=? 2 满足 f(0)=1,且 f(0)+2f(-1)=0,那么函数 g(x)=f(x)+x 的零 ?-x +bx+c,x≤0 点个数为________.

第九节

函数模型及其应用

1. 几种常见的函数模型 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 函数解析式 f(x)=ax+b(a,b 为常数,a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b,n 为常数,a≠0,n≠0)

27

2.三种函数模型性质比较 y=ax(a>1) 在(0,+∞)上 的单调性 增长速度 图像的变化 增函数 越来越快 随 x 值增大,图像 与 y 轴接近平行 y=logax(a>1) 增函数 越来越慢 随 x 值增大,图像 与 x 轴接近平行 y=xn(n>0) 增函数 相对平稳 随 n 值变化而不同

1.易忽视实际问题的自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域. 2.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性. [试一试] 据调查,苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次,其中变速车存 车费是每辆一次 0.3 元,普通车存车费是每辆一次 0.2 元,若普通车存车数为 x 辆次,存车费 总收入为 y 元,则 y 关于 x 的函数关系是( A.y=0.1x+800(0≤x≤4 000) B.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000) C.y=-0.1x+800(0≤x≤4 000) D.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000) 解析:选 D y=0.2x+(4000-x)×0.3=-0.1x+1 200.(0≤x≤4 000) )

解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建 立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下:

28

[练一练] (2013· 陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的 内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x 为________(m). 解析:设矩形花园的宽为 y m,则 x 40-y = ,即 y=40-x,矩形花园 40 40

的面积 S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,当 x=20 m 时,面积最大. 答案:20

考点一| 一次函数与二次函数模型 1.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种 方式是月租 0 元.一个月的本地网内通话时间 t(分钟)与电话费 s(元)的 函数关系如图所示,当通话 150 分钟时,这两种方式电话费相差( A.10 元 C.30 元 B.20 元 40 D. 元 3 )

解析:选 A 依题意可设 sA(t)=20+kt,sB(t)=mt, 又 sA(100)=sB(100), ∴100k+20=100m, 得 k-m=-0.2, 于是 sA(150)-sB(150)=20+150k-150m=20+150×(-0.2)=-10, 即两种方式电话费相差 10 元,选 A. 2.(2013· 北京西城区抽检)将进货单价为 80 元的商品按 90 元出售时,能卖出 400 个.若 该商品每个涨价 1 元,其销售量就减少 20 个,为了赚取最大的利润,售价应定为每个( A.115 元 C.95 元 B.105 元 D.85 元 )

解析:选 C 设售价定为(90+x)元,卖出商品后获得利润为:y=(90+x-80)(400-20x) =20(10+x)(20-x)=20(-x2+10x+200)=-20(x2-10x-200)=-20[(x-5)2-225],∴当 x =5 时,y 取得最大值,即售价应定为:90+5=95(元),选 C. 3.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采 用了新工艺, 把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品. 已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:y= 1 2 x -200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元. 2 该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多
29

少元才能使该单位不亏损? 解:设该单位每月获利为 S, 则 S=100x-y 1 2 ? =100x-? ?2x -200x+80 000? 1 =- x2+300x-80 000 2 1 =- (x-300)2-35 000, 2 因为 400≤x≤600, 所以当 x=400 时,S 有最大值-40 000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元,才能不亏损. [类题通法] 求解一次函数与二次函数模型问题的关注点 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义 域,否则极易出错; (2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; (3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题. 考点二| 分段函数模型 [典例] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大

桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度 达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0 千米/小时;当车流密度不超过 20 辆/千米 时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一 次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式. (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时). [解] (1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60; 当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b.
? ?200a+b=0, 由已知得? 解得 ?20a+b=60, ?

?a=-3, ? 200 ?b= 3 ,

1

故函数 v(x)的表达式为

30

60,0≤x≤20, ? ? v(x)=?200-x ? ? 3 ,20<x≤200. (2)依题意并由(1)可得 60x,0≤x≤20, ? ? f(x)=?x?200-x? ,20<x≤200. ? 3 ? 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200; 1 1 x+200-x?2 10 000 当 20<x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ ? 3 3? 2 ?= 3 . 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 所以当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值. 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 f(x)max= 10 000 ≈3 333,即当车流 3

密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时. [类题通法] 应用分段函数模型的关注点 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构 成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏. (3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者). [针对训练] 某公司研制出了一种新产品,试制了一批样品分别在国内和国外上市销售,并且价格根 据销售情况不断进行调整,结果 40 天内全部销完.公司对销售及销售利润进行了调研,结果 如图所示,其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上 市时间的关系,图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系.

(1)分别写出国外市场的日销售量 f(t)与上市时间 t 的关系及国内市场的日销售量 g(t)与上 市时间 t 的关系; (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于 6 300 万元?若有,请说明是上市 后的第几天;若没有,请说明理由. 解:(1)图①是两条线段,由一次函数及待定系数法,
31

? ?2t,0≤t≤30, 得 f(t)=? ?-6t+240,30<t≤40. ?

图②是一个二次函数的部分图像, 3 故 g(t)=- t2+6t(0≤t≤40). 20
?3t,0≤t≤20, ? (2)每件样品的销售利润 h(t)与上市时间 t 的关系为 h(t)=? ?60,20<t≤40. ?

故国外和国内的日销售利润之和 F(t)与上市时间 t 的关系为

? ? 3 ? F(t)=?60? ?-20t +8t?,20<t≤30, 3 ? t +240?,30<t≤40. ?60??-20 ?
2 2

3 2 ? 3t? ?-20t +8t?,0≤t≤20,

3 9 - t2+8t?=- t3+24t2, 当 0≤t≤20 时,F(t)=3t? ? 20 ? 20 27 27 48- t?≥0, ∴F′(t)=- t2+48t=t? 20 ? ? 20 ∴F(t)在[0,20]上是增函数, ∴F(t)在此区间上的最大值为 F(20)=6 000<6 300. 3 2 ? 当 20<t≤30 时,F(t)=60? ?-20t +8t?. 由 F(t)=6 300,得 3t2-160t+2 100=0, 70 解得 t= (舍去)或 t=30. 3 3 2 ? 当 30<t≤40 时,F(t)=60? ?-20t +240?. 由 F(t)在 (30,40]上是减函数,得 F(t)<F(30)=6 300. 故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于 6 300 万元,为上市后的第 30 天. 考点三| 指数函数模型 [典例] 一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等, 当砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 1 2 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 . 4 2 (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? [解] (1)设每年降低的百分比为 x(0<x<1).则
32

1 1 a(1-x)10= a,即(1-x)10= , 2 2 1? 1 解得 x=1-? ?2?10. (2)设经过 m 年剩余面积为原来的
m

2 ,则 2

a(1-x)m= 解得 m=5.

1? 10 ?1? 2 m 1 2 a,即? 2? =?2? ,10=2, ? 2

1

故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,以后砍了 n 年, 则 n 年后剩余面积为 令 2 a(1-x)n. 2

2 1 2 a(1-x)n≥ a,即(1-x)n≥ , 2 4 4
n

?1? 10 ≥?1? 2 , n ≤3,解得 n≤15. ?2? ?2? 10 2
故今后最多还能砍伐 15 年. [类题通法] 应用指数函数模型应注意的问题 (1)指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、 细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决. (2)应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验 证,确定参数,从而确定函数模型. (3)y=a(1+x)n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解. 提醒:解指数不等式时,一定要化为同底,且注意对应函数的单调性. [针对训练] (2013· 长春联合测试)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先 经历了 n 次涨停(每次上涨 10%), 又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%), 则该股民这支股票的盈 亏情况(不考虑其他费用)为( A.略有盈利 C.没有盈利也没有亏损 ) B.略有亏损 D.无法判断盈亏情况

3

解析:选 B 设该股民购这支股票的价格为 a,则经历 n 次涨停后的价格为 a(1+10%)n =a×1.1n,经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n= 0.99n· a<a,故该股民这支股票略有亏损.

33

[课堂练通考点] 1.(2014· 南昌质检)往外埠投寄平信,每封信不超过 20 g,付邮费 0.80 元,超过 20 g 而 不超过 40 g,付邮费 1.60 元,依此类推,每增加 20 g 需增加邮费 0.80 元(信的质量在 100 g 以内).如果某人所寄一封信的质量为 72.5 g,则他应付邮费( A.3.20 元 C.2.80 元 B.2.90 元 D.2.40 元 )

解析:选 A 由题意得 20×3<72.5<20×4,则应付邮费 0.80×4=3.20(元).故选 A. 2.(2014· 广州模拟)在某个物理实验中,测量得变量 x 和变量 y 的几组数据,如下表: x y 0.50 -0.99 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00

则对 x,y 最适合的拟合函数是( A.y=2x C.y=2x-2

) B.y=x2-1 D.y=log2x

解析:选 D 根据 x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除 A;根据 x=2.01,y=0.98, 代入计算,可以排除 B、C;将各数据代入函数 y=log2x,可知满足题意.故选 D. 3. 一种产品的成本原为 a 元, 在今后的 m 年内, 计划使成本平均每年比上一年降低 p%, 成本 y 是关于经过年数 x(0<x≤m)的函数,其关系式 y=f(x)可写成__________________. 解析:依题意有 y=a(1-p%)x(0<x≤m). 答案:y=a(1-p%)x(0<x≤m) 4.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(万元)与年产量 x2 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y= -48x+8 000,已知此生产线年产量最大为 5 210 吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润? 最大利润是多少? y 解:(1)每吨平均成本为 (万元). x y x 8 000 则 = + -48≥2 x 5 x x 8 000 当且仅当 = , 5 x 即 x=200 时取等号. ∴年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低,最低为 32 万元. x 8 000 · -48=32, 5 x

34

(2)设可获得总利润为 R(x)万元, x2 x2 则 R(x)=40x-y=40x- +48x-8 000=- +88x-8 000 5 5 1 =- (x-220)2+1 680(0≤x≤210). 5 ∵R(x)在[0,210]上是增函数, ∴x=210 时, 1 R(x)有最大值为- (210-220)2+1 680=1 660. 5 ∴年产量为 210 吨时,可获得最大利润,最大利润是 1 660 万元. [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.设甲、乙两地的距离为 a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟,在 乙地休息 10 分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟,则小王从出发到返回原地 所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图像为( )

解析:选 D 注意到 y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,用定性 分析法不难得到答案为 D. 2.某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台,第二个月销售 200 台,第三个月销售 400 台,第四个月销售 790 台,则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是( A.y=100x C.y=50×2x ) B.y=50x2-50x+100 D.y=100log2x+100

解析:选 C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型. 3.一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如图丙所示.

给出以下 3 个论断:①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水;③4 点到 6 点不进水不出水,则一定正确的是( A.① ) B.①②

35

C.①③

D.①②③

1 解析:选 A 由甲、乙两图知,进水速度是出水速度的 ,所以 0 点到 3 点不出水,3 点 2 到 4 点也可能一个进水口进水,一个出水口出水,但总蓄水量降低,4 点到 6 点也可能两个 进水口进水,一个出水口出水,一定正确的是①. 4.某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克, 如图所示 为函数 y=f(x)的图像,当血液中药物残留量不小于 240 毫克时, 治疗有效.设某人上午 8:00 第一次服药,为保证疗效,则第二 次服药最迟的时间应为( A.上午 10:00 C.下午 4:00 解析:选 C 当 x∈[0,4]时,设 y=k1x, 把(4,320)代入,得 k1=80, ∴y=80x.当 x∈[4,20]时,设 y=k2x+b.
?4k2+b=320, ? 把(4,320),(20,0)代入得? ?20k2+b=0. ? ?k2=-20, ? 解得? ? ?b=400.

) B.中午 12:00 D.下午 6:00

∴y=400-20x.
? ?80x,0≤x≤4, ∴y=f(x)=? ?400-20x,4<x≤20. ?

由 y≥240,
?0≤x≤4, ?4<x≤20, ? ? 得? 或? ?80x≥240, ?400-20x≥240. ? ?

解得 3≤x≤4 或 4<x≤8, ∴3≤x≤8. 故第二次服药最迟应在当日下午 4:00.故选 C. 5.某大楼共有 12 层,有 11 人在第 1 层上了电梯,他们分别要去第 2 至第 12 层,每层 1 人.因特殊原因,电梯只允许停 1 次,只可使 1 人如愿到达,其余 10 人都要步行到达所去 的楼层. 假设乘客每向下步行 1 层的“不满意度”增量为 1, 每向上步行 1 层的“不满意度” 增量为 2,10 人的“不满意度”之和记为 S.则 S 最小时,电梯所停的楼层是( A.7 层 C.9 层 B.8 层 D.10 层 )

解析:选 C 设所停的楼层为 n 层,则 2≤n≤12,由题意得:S=2+4+?+2(12-n)

36

+1+2+3+?+(n-2)=

?12-n??26-2n? ?n-2?[1+?n-2?] 3 2 53 + = n - n+157,其对称轴为 2 2 2 2

53 n= ∈(8,9),又 n∈N*且 n 离 9 的距离较近,故选 C. 6 6.一高为 H,满缸水量为 V 的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞 ,满 缸水从洞中流出.若鱼缸水深为 h 时的水的体积为 v,则函数 v=f(h)的大致图像 可能是图中的________.

H 解析:当 h=0 时,v=0 可排除①、③;由于鱼缸中间粗两头细,∴当 h 在 附近时,体 2 H H 积变化较快;h 小于 时,增加越来越快;h 大于 时,增加越来越慢. 2 2 答案:② 7.如图, 书的一页的面积为 600 cm2, 设计要求书面上方空出 2 cm 的边, 下、左、右方都空出 1 cm 的边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的 长、宽应分别为________. 解析:设长为 a cm,宽为 b cm,则 ab=600 cm,则中间文字部分的面 积 S=(a-2-1)(b-2)=606-(2a+3b)≤606-2 6×600=486, 当且仅当 2a=3b, 即 a=30, b=20 时,S 最大=486 cm2. 答案:30 cm,20 cm 8.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七 月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、 八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是 ________. 解析:七月份的销售额为 500(1+x%),八月份的销售额为 500(1+x%)2,则一月份到十 月份的销售总额是 3 860+500+2 [500(1+x%)+500(1+x%)2],根据题意有 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7 000, 即 25(1+x%)+25(1+x%)2≥66, 令 t=1+x%,则 25t2+25t-66≥0, 6 11 6 解得 t≥ 或者 t≤- (舍去),故 1+x%≥ , 5 5 5 解得 x≥20. 答案:20 9.(2013· 昆明质检)某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了“阶梯水价”计
37

费方法,具体方法:每户每月用水量不超过 4 吨的每吨 2 元;超过 4 吨而不超过 6 吨的,超 出 4 吨的部分每吨 4 元;超过 6 吨的,超出 6 吨的部分每吨 6 元. (1)写出每户每月用水量 x(吨)与支付费用 y(元)的函数关系; (2)该地一家庭记录了去年 12 个月的月用水量(x∈N*)如下表: 月用水量 x(吨) 频数 3 1 4 3 5 3 6 3 7 2

请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到 1 元); (3)今年干旱形势仍然严峻,该地政府号召市民节约用水,如果每个月水费不超过 12 元 的家庭称为“节约用水家庭”,随机抽取了该地 100 户的月用水量作出如下统计表: 月用水量 x(吨) 频数 1 10 2 20 3 16 4 16 5 15 6 13 7 10

据此估计该地“节约用水家庭”的比例. 解:(1)y 关于 x 的函数关系式为 2x,0≤x≤4, ? ? y=?4x-8,4<x≤6, ? ?6x-20,x>6. (2)由(1)知:当 x=3 时,y=6; 当 x=4 时,y=8;当 x=5 时,y=12; 当 x=6 时,y=16;当 x=7 时,y=22. 所以该家庭去年支付水费的月平均费用为 1 (6×1+8×3+12×3+16×3+22×2)≈13(元). 12 (3)由(1)和题意知:当 y≤12 时,x≤5, 77 所以“节约用水家庭”的频率为 =77%,据此估计该地“节约用水家庭”的 100 比例为 77%. 10.已知某物体的温度 θ(单位:摄氏度)随时间 t(单位:分钟)的变化规律是 θ=m· 2t+21 t(t≥0,并且 m>0).


(1)如果 m=2,求经过多长时间,物体的温度为 5 摄氏度; (2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度,求 m 的取值范围. 1 - 2t+ t?, 解:(1)若 m=2,则 θ=2· 2t+21 t=2? 2 ? ? 1 5 当 θ=5 时,2t+ t= , 2 2
38

1 5 令 2t=x(x≥1),则 x+ = , x 2 即 2x2-5x+2=0, 1 解得 x=2 或 x= (舍去),此时 t=1. 2 所以经过 1 分钟,物体的温度为 5 摄氏度. (2)物体的温度总不低于 2 摄氏度,即 θ≥2 恒成立, 2 亦 m· 2t+ t≥2 恒成立, 2 1 1? 亦即 m≥2? ?2t-22t?恒成立. 1 令 t=y,则 0<y≤1, 2 ∴m≥2(y-y2)恒成立, 1 由于 y-y2≤ , 4 1 ∴m≥ . 2 1 ? 因此,当物体的温度总不低于 2 摄氏度时,m 的取值范围是? ?2,+∞?. 第Ⅱ组:重点选做题 1.(2014· 威海高三期末)对于函数 f(x),如果存在锐角 θ,使得 f(x)的图像绕坐标原点逆 π 时针旋转角 θ,所得曲线仍是一函数,则称函数 f(x)具备角 θ 的旋转性,下列函数具备角 的 4 旋转性的是( A.y= x 1?x C.y=? ?2? ) B.y=ln x D.y=x2

π 解析:选 C 函数 f(x)的图像绕坐标原点逆时针旋转角 ,相当于 x 轴、y 轴绕坐标原点 4 π 顺时针旋转角 ,问题转化为直线 y=x+k 与函数 f(x)的图像不能有两个交点,结合图像可知 4 1?x y=? ?2? 与直线 y=x+k 没有两个交点,故选 C. 2. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元, 此外每生产 1 件该产品还需要增 加投资 1 万元,年产量为 x(x∈N*)件.当 x≤20 时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当 x>20 时, 年销售总收入为 260 万元. 记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元, 则 y(万 元)与 x(件)的函数关系式为________, 该工厂的年产量为________件时, 所得年利润最大. (年 利润=年销售总收入-年总投资). 解析:当 x≤20 时,y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100;当 x>20 时,y=260-100
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2 ? ?-x +32x-100,0<x≤20, -x=160-x.故 y=? (x∈N*). ?160-x,x>20. ?

当 0<x≤20 时,y=-x2+32x-100=-(x-16)2+156,x=16 时,ymax=156.而当 x>20 时,160-x<140,故 x=16 时取得最大年利润.
?-x2+32x-100,0<x≤20, ? 答案:y=? (x∈N*) 16 ? 160 - x , x >20. ?

第十节

变化率与导数、导数的计算

1.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数: 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
Δx→0

lim

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x , Δx Δx→0Δx 0
Δx 0

即 f′(x0)= lim →

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim . Δx Δx→0 Δx

(2)导数的几何意义: 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 P(x0,y0)处的切线的斜 率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). (3)函数 f(x)的导函数: 称函数 f′(x)= lim →
Δx 0

f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数. Δx

2.基本初等函数的导数公式 (sin x)′=cos_x,(cos x)′=-sin_x,(ax)′=axln_a,(ex)′=ex,(logax)= 1 = . x 3.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (g(x)≠0). ?g?x??′= [g?x?]2 1 ,(ln x)′ xln a

40

1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 2.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而 后者包括了前者. 3. 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个, 这和研究直线与二次曲线相切时有差 别. [试一试] 1 . (2013· 江西高考 ) 若曲线 y = xα + 1(α ∈ R) 在点 (1,2) 处的切线经过坐标原点,则 α = ________. 解析:由题意 y′=αxα 1,在点(1,2)处的切线的斜率为 k=α,又切线过坐标原点,所以


2-0 α= =2. 1-0 答案:2 2.函数 y=xcos x-sin x 的导数为________. 解析:y′=(xcos x)′-(sin x)′ =x′cos x+x(cos x)′-cos x =cos x-xsin x-cos x =-xsin x. 答案:-xsin x

考点一| 利用导数的定义求函数的导数 利用导数的定义求函数的导数: 1 (1)y=x2;(2)f(x)= . x+2 Δy f?x+Δx?-f?x? 解:(1)因为 = Δx Δx = = ?x+Δx?2-x2 Δx x2+2x·Δx+?Δx?2-x2 =2x+Δx, Δx
Δx 0Δx

所以 y′= lim →

Δy = lim (2x+Δx)=2x. →
Δx 0

1 1 - x + Δ x + 2 x + 2 f ? x + Δ x ? - f ? x ? Δy (2)因为 = = Δx Δx Δx 1 =- ?x+Δx+2??x+2?
41

所以 y′= lim → [类题通法]

Δx 0Δx

Δy =- lim →

1

Δx 0?x+Δx+2??x+2?

1 =- . ?x+2?2

定义法求函数的导数的三个步骤 一差:求函数的改变量 Δy=f(x+Δx)-f(x). Δy f?x+Δx?-f?x? 二比:求平均变化率 = . Δx Δx 三极限:取极限,得导数 y′=f′(x)= lim → 考点二| 导数的运算 [典例] 求下列函数的导数. ex+1 (1)y=x2sin x;(2)y= x . e -1 [解] (1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. ?ex+1?′?ex-1?-?ex+1??ex-1?′ (2)y′= ?ex-1?2 = ex?ex-1?-?ex+1?ex -2ex = x . ?ex-1?2 ?e -1?2
Δx 0Δx

Δy .

[类题通法] 1.求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减 少运算量,提高运算速度,减少差错. 2. 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式, 但在求导前利用代数或三角恒等变形将函 数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量. [针对训练] π? ?π? 已知 f(x)=sin 2x,记 fn+1(x)=fn′(x)(n∈N*),则 f1? ?6?+f2?6?+?+f2 ________. 解析:由题意,可知 f2(x)=f1′(x)=(sin 2x)′=2cos 2x; f3(x)=f2′(x)=(2cos 2x)′=-4sin 2x; f4(x)=f3′(x)=(-4sin 2x)′=-8cos 2x; f5(x)=f4′(x)=(-8cos 2x)′=16sin 2x; ? 故 f4k+1(x)=24ksin 2x,f4k+2(x)=24k 1cos 2x,f4k+3(x)=-24k 2sin 2x,f4k+4(x)=-24k 3cos
+ + +

013

?π?+f2 ?6?

014

?π?= ?6?

2x(k∈N). π? ?π?+?+f2 014?π? 所以 f1? + f 2 ?6? ?6? ?6?

42

π? 1 ? π? 2 ? π? =20sin? ?2×6?+2 cos?2×6?-2 sin?2×6?- π? 4 2 ? π? 23cos ? ?2×6? + 2 sin ?2×6? + ? - 2
013 010

π? 2 sin ? ?2×6? - 2

011

π? 2 cos ? ?2×6? + 2

012

π? 2 sin ? ?2×6? + 2

π? cos? ?2×6? =(20-22+24-26+?+22 008-22
010

+22

012

π )sin +(21-23+25-27+?+22 009-22 3

011



π 22 013)cos 3 =
2 1 007 1×[1-?-22?1 007] 3 2×[1-?-2 ? ] 1 × + × 2 2 2 1-?-2 ? 1-?-22?

2 014 1+22 014 3 2×?1+2 ? 1 = × + × 5 2 5 2



? 3+2??1+22 014? 10

? 3+2??1+22 014? 答案: 10

导数的几何意义是每年高考的重点, 求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜 率,利用这一点可以解决有关导数的几何意义的问题.归纳起来常见的命题角度有: ?1?求切线方程; ?2?求切点坐标; ?3?求参数的值.? 考点三| 导数的几何意义 角度一 求切线方程 1.曲线 y=xex+2x-1 在点(0,-1)处的切线方程为( A.y=3x-1 C.y=3x+1 )

B.y=-3x-1 D.y=-2x-1

解析:选 A 依题意得 y′=(x+1)ex+2, 则曲线 y=xex+2x-1 在点(0,-1)处的切线的斜率为(0+1)e0+2=3, 故曲线 y=xex+2x-1 在点(0,-1)处的切线方程为 y+1=3x,即 3x-y-1=0,故选 A. 角度二 求切点坐标 2. (2013· 辽宁五校第二次联考)曲线 y=3ln x+x+2 在点 P0 处的切线方程为 4x-y-1=0, 则点 P0 的坐标是( A.(0,1) ) B.(1,-1)

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C.(1,3)

D.(1,0)

3 解析:选 C 由题意知 y′= +1=4,解得 x=1,此时 4×1-y-1=0,解得 y=3,∴ x 点 P0 的坐标是(1,3). 角度三 求参数的值 3.(2014· 郑州第一次质量预测)直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3),则 2a+b 的值为( A.2 C.1 ) B.-1 D.-2

解析:选 C ∵直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3),且 y=x3+ax+b 的 导数 y′=3x2+a, 3=k×1+1, ? ? 3 ∴?3=1 +a×1+b ? ?k=3×12+a, [类题通法] 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0); (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k; (3)已知过某点 M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时,常需设出切点 A(x0,f(x0)),利 f?x1?-f?x0? 用 k= 求解. x1-x0

,解得 a=-1,b=3,∴2a+b=1.

[课堂练通考点] 1.(2013· 全国大纲卷)已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(-1,a+2)处切线的斜率为 8, 则 a=( A.9 C.-9 ) B.6 D.-6

解析: 选 D y′=4x3+2ax, 由导数的几何意义知在点(-1, a+2)处的切线斜率 k=y′|x
=-1

=-4-2a=8,解得 a=-6. 2.(2014· 济宁模拟)已知 f(x)=x(2 012+ln x),f′(x0)=2 013,则 x0=( A.e2 C.ln 2 B.1 D.e )

1 解析:选 B 由题意可知 f′(x)=2 012+ln x+x· =2 013+ln x.由 f′(x0)=2 013,得 x

44

ln x0=0,解得 x0=1. 3.若曲线 y=x2+aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为 k,若 k 的最小值为 4,则此时 该切点的坐标为( A.(1,1) C.(3,1)
2

) B.(2,3) D.(1,4)

解析:选 A y=x +aln x 的定义域为(0,+∞), a 由导数的几何意义知 y′=2x+ ≥2 2a=4,则 a=2, x 当且仅当 x=1 时等号成立,代入曲线方程得 y=1, 故所求的切点坐标是(1,1). 4.已知 f(x)=x2+2xf′(1),则 f′(0)=________. 解析:∵f′(x)=2x+2f′(1), ∴f′(1)=2+2f′(1),即 f′(1)=-2. ∴f′(x)=2x-4.∴f′(0)=-4. 答案:-4 5. (2014· 黄冈一模)已知函数 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)· (x-4)(x-5), 则 f′(0)=________. 解析:f′(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]′, ∴f′(0)=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120. 答案:-120 1 6.已知点 M 是曲线 y= x3-2x2+3x+1 上任意一点,曲线在 M 处的切线为 l,求: 3 (1)斜率最小的切线方程; (2)切线 l 的倾斜角 α 的取值范围. 解:∵(1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1, 5 ∴当 x=2 时,y′=-1,y= , 3 5? ∴斜率最小的切线过点? ?2,3?, 斜率 k=-1, 11 ∴切线方程为 x+y- =0. 3 (2)由(1)得 k≥-1, ∴tan α≥-1, π? ?3π ? ∴α∈? ?0,2?∪? 4 ,π?. [课下提升考能]

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第Ⅰ组:全员必做题 1.函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2 的导数为( A.2(x2-a2) C.3(x2-a2) 解析:选 C ) B.2(x2+a2) D.3(x2+a2) f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2).

3 2.已知物体的运动方程为 s=t2+ (t 是时间,s 是位移),则物体在时刻 t=2 时的速度为 t ( 19 A. 4 15 C. 4 17 B. 4 13 D. 4 )

3 3 13 解析:选 D ∵s′=2t- 2,∴s′|t=2=4- = . t 4 4 1 3.(2014· 济南模拟)已知曲线 y1=2- 与 y2=x3-x2+2x 在 x=x0 处切线的斜率的乘积为 x 3,则 x0 的值为( A.-2 1 C. 2 ) B.2 D.1

1 解析:选 D 由题知 y′1= 2,y′2=3x2-2x+2,所以两曲线在 x=x0 处切线的斜率分 x 3x2 1 0-2x0+2 别为 2,3x2 ,所以 x0=1. 0-2x0+2,所以 x0 x2 0 4.已知 f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x),g(x)满足 f′(x)=g′(x),则 f(x)与 g(x)满足( A.f(x)=g(x) C.f(x)-g(x)为常数函数 ) B.f(x)=g(x)=0 D.f(x)+g(x)为常数函数

解析:选 C 由 f′(x)=g′(x),得 f′(x)-g′(x)=0, 即[f(x)-g(x)]′=0,所以 f(x)-g(x)=C(C 为常数). 2 5.已知函数 f(x)= x3-2ax2-3x(a∈R),若函数 f(x)的图像上点 P(1,m)处的切线方程为 3 3x-y+b=0,则 m 的值为( 1 A.- 3 1 C. 3 2 解析:选 A ∵f(x)= x3-2ax2-3x, 3 ) 1 B.- 2 1 D. 2

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∴f′(x)=2x2-4ax-3, ∴过点 P(1,m)的切线斜率 k=f′(1)=-1-4a. 又点 P(1,m)处的切线方程为 3x-y+b=0, ∴-1-4a=3,∴a=-1, 2 ∴f(x)= x3+2x2-3x.又点 P 在函数 f(x)的图像上, 3 1 ∴m=f(1)=- . 3 6. (2013· 广东高考)若曲线 y=ax2-ln x 在点(1, a)处的切线平行于 x 轴, 则 a=________. 1 1 解析:因为 y′=2ax- ,依题意得 y′|x=1=2a-1=0,所以 a= . x 2 1 答案: 2 7.已知函数 f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x-4,则 f′(1)=________. 1 解析:∵f′(x)= -2f′(-1)x+3, x f′(-1)=-1+2f′(-1)+3, ∴f′(-1)=-2,∴f′(1)=1+4+3=8. 答案:8 8.已知 f1(x)=sin x+cos x,记 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),?,fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*, π? ?π? ?π? n≥2),则 f1? ?2?+f2?2?+?+f2 014?2?=________. 解析:f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x, f3(x)=(cos x-sin x)′=-sin x-cos x, f4(x)=-cos x+sin x,f5(x)=sin x+cos x, 以此类推,可得出 fn(x)=fn+4(x), 又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0, π? ?π? ?π? ?π? ?π? ?π? ?π? ?π? ?π? ∴f1? + f 2 2 +?+f2 014 2 =503f1 2 +f2 2 +f3 2 +f4 2 +f1 2 +f2 2 =0. 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 答案:0 9.求下列函数的导数. (1)y=x· tan x; (2)y=(x+1)(x+2)(x+3). 解:(1)y′=(x· tan x)′=x′tan x+x(tan x)′ cos2x+sin2x ? sin x ?′=tan x+x· =tan x+x· ?cos x? cos2x =tan x+ x . cos2x
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(2)y′=(x+1)′[(x+2)(x+3)]+(x+1)[(x+2)(x+3)]′=(x+2)(x+3)+(x+1)·(x+2)+ (x+1)(x+3)=3x2+12x+11. 2 10.已知函数 f(x)=x- ,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在 x=1 x 处的切线斜率相同,求 a 的值,并判断两条切线是否为同一条直线. 解:根据题意有 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为 f′(1)=3, 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率为 g′(1)=-a. 所以 f′(1)=g′(1),即 a=-3. 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-f(1)=3(x-1),又 f(1)=-1, 得:y+1=3(x-1),即切线方程为 3x-y-4=0. 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 y-g(1)=3(x-1).又 g(1)=-6. 得 y+6=3(x-1),即切线方程为 3x-y-9=0, 所以,两条切线不是同一条直线. 第Ⅱ组:重点选做题 1. (2014· 东营一模)设曲线 y=sin x 上任一点(x, y)处切线的斜率为 g(x), 则函数 y=x2g(x) 的部分图像可以为( )

解析:选 C 根据题意得 g(x)=cos x,∴y=x2g(x)=x2cos x 为偶函数. 又 x=0 时,y=0,故选 C. ?x+1?2+sin x 2. (2013· 山西模拟)已知函数 f(x)= , 其导函数记为 f′(x), 则 f(2 012)+f′(2 x2+1 012)+f(-2 012)-f′(-2 012)=________. 2x+sin x 解析:由已知得 f(x)=1+ 2 , x +1 ?2+cos x??x2+1?-?2x+sin x?· 2x 则 f′(x)= ?x2+1?2 2x+sin x 令 g(x)=f(x)-1= 2 , 显然 g(x)为奇函数, f′(x)为偶函数, 所以 f′(2 012)-f′(- x +1 2 012)=0,f(2 012)+f(-2 012)=g(2 012)+1+g(-2 012)+1=2,
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所以 f(2 012)+f′(2 012)+f(-2 012)-f′(-2 012)=2. 答案:2

第十一节

导数的应用

1.函数的单调性 在(a,b)内可导函数 f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于 0. f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为增函数. f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为减函数. 2.函数的极值 (1)函数的极小值: 函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其它点的函数值都小,f′(a)=0, 而且在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值: 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近的其他点的函数值都大,f′(b)= 0, 而且在点 x=b 附近的左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0, 则点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函 数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.

1.求函数极值时,误把导数为 0 的点作为极值点;极值点的导数也不一定为 0. 2.易混极值与最值:注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念. [试一试] 1.设函数 f(x)=xex,则( A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点
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)

D.x=-1 为 f(x)的极小值点 解析:选 D 求导得 f′(x)=ex+xex=ex(x+1),令 f′(x)=ex(x+1)=0,解得 x=-1, 易知 x=-1 是函数 f(x)的极小值点,所以选 D. 1 2.函数 y= x2-ln x 的单调递减区间为( 2 A.(-1,1] C.[1,+∞) ) B.(0,1] D.(0,+∞)

1 解析:选 B 函数 y= x2-ln x 的定义域为(0,+∞), 2 1 ?x-1??x+1? y′=x- = ,令 y′≤0,则可得 0<x≤1. x x

解决含参数问题及不等式问题中的两个转化 (1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类 讨论和数形结合思想的应用. (2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理. [练一练] 1 .函数 f(x) = x3 + 3ax2 + 3[(a + 2)x + 1] 既有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是 ________. 解析:f′(x)=3x2+6ax+3(a+2), 令 3x2+6ax+3(a+2)=0, 即 x2+2ax+a+2=0. 因为函数 f(x)既有极大值又有极小值, 所以方程 x2+2ax+a+2=0 有两个不相等的实根, 即 Δ=4a2-4a-8>0,解得 a>2 或 a<-1. 答案:a>2 或 a<-1 2.函数 y=2x3-2x2 在区间[-1,2]上的最大值是________. 2 解析:y′=6x2-4x,令 y′=0,得 x=0 或 x= . 3 2? 8 ∵f(-1)=-4,f(0)=0,f? ?3?=-27,f(2)=8. 所以最大值为 8. 答案:8 第一课时 导数与函数单调性

50

考点一| 判断或证明函数的单调性 x -?a+5?x,x≤0, ? ? [典例] (2013· 天津高考节选)设 a∈[-2,0],已知函数 f(x)=? 3 a+3 2 ? ?x - 2 x +ax,x>0. 证明 f(x)在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, +∞)内单调递增. a+3 2 [证明] 设函数 f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0),f2(x)=x3- x +ax(x≥0), 2 ①f1′(x)=3x2-(a+5),由于 a∈[-2,0], 从而当-1<x≤0 时,f1′(x)=3x2-(a+5)<3-a-5≤0, 所以函数 f1(x)在区间(-1,0]内单调递减. ②f2′(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1), 由于 a∈[-2,0],所以当 0<x<1 时,f2′(x)<0;当 x>1 时,f2′(x)>0,即函数 f2(x)在区间 [0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增. 综合①②及 f1(0)=f2(0),可知函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单 调递增. [类题通法] 导数法证明函数 f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (1)求 f′(x); (2)确认 f′(x)在(a,b)内的符号; (3)作出结论:f′(x)>0 时为增函数;f′(x)<0 时为减函数. [针对训练] 已知函数 f(x)=x2-ex 试判断 f(x)的单调性并给予证明. 解:f(x)=x2-ex,f(x)在 R 上单调递减, f′(x)=2x-ex,只要证明 f′(x)≤0 恒成立即可. 设 g(x)=f′(x)=2x-ex,则 g′(x)=2-ex, 当 x=ln 2 时,g′(x)=0, 当 x∈(-∞,ln 2)时,g′(x)>0, 当 x∈(ln 2,+∞)时,g′(x)<0. ∴f′(x)max=g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-2<0, ∴f′(x)<0 恒成立, ∴f(x)在 R 上单调递减. 考点二| 求函数的单调区间 [典例] (2012· 北京高考改编)已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值;
51
3

(2)当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间. [解] (1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b, f?1?=a+1=c, ? ? 由已知可得?g?1?=1+b=c, ? ?2a=3+b,

解得 a=b=3.

a2 a2 (2)令 F(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+ x+1,F′(x)=3x2+2ax+ ,令 F′(x)=0,得 x1= 4 4 a a - ,x2=- , 2 6 ∵a>0,∴x1<x2, a a 由 F′(x)>0 得,x<- 或 x>- ; 2 6 a a 由 F′(x)<0 得,- <x<- . 2 6 a a a a -∞,- ?,?- ,+∞?;单调递减区间为?- ,- ?. ∴单调递增区间是? 2 6 2 6? ? ? ? ? ?

在本例(2)中,若条件不变,讨论函数 f(x)+g(x)当 a>0 时,在区间(-∞,-1) 上的单调性. 解:当 0<a≤2 时,f(x)+g(x)在(-∞,-1)上为增函数; a? ? a ? 当 2<a≤6 时,f(x)+g(x)在? ?-∞,-2?上单调递增,在?-2,-1?上单调递减; a? a a? a ? 当 a>6 时, f(x)+g(x)在? 在? 在? ?-∞,-2?上单调递增, ?-2,-6?上单调递减, ?-6,-1? 上单调递增. [类题通法] 求函数的单调区间的“两个”方法 (1)方法一:①确定函数 y=f(x)的定义域; ②求导数 y′=f′(x); ③解不等式 f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; ④解不等式 f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. (2)方法二:①确定函数 y=f(x)的定义域; ②求导数 y′=f′(x),令 f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; ③把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序 排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间; ④确定 f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. [针对训练]

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(2013· 重庆高考)设 f(x) =a(x-5)2+6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切 线与 y 轴相交于点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 6 解:(1)因为 f(x)=a(x-5)2+6ln x,故 f′(x)=2a(x-5)+ . x 令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6-8a,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y -16a=(6-8a)· (x-1),由点(0,6)在切线上可得 6-16a=8a-6, 1 故 a= . 2 1 (2)由(1)知,f(x)= (x-5)2+6ln x(x>0), 2 6 ?x-2??x-3? f′(x)=x-5+ = . x x 令 f′(x)=0,解得 x1=2,x2=3. 当 0<x<2 或 x>3 时, f′(x)>0, 故 f(x)在(0,2), (3, +∞)上为增函数; 当 2<x<3 时, f′(x)<0, 故 f(x)在(2,3)上为减函数. 9 由此可知 f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)= +6ln 2, 在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+6ln 3. 2 考点三| 已知函数的单调性求参数的范围 1 [典例] (2013· 北京东城区统一检测)已知函数 f(x)= x3+mx2-3m2x+1,m∈R. 3 (1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若 f(x)在区间(-2,3)上是减函数,求 m 的取值范围. 1 [解] (1)当 m=1 时,f(x)= x3+x2-3x+1, 3 又 f′(x)=x2+2x-3,所以 f′(2)=5. 5 5 又 f(2)= ,所以所求切线方程为 y- =5(x-2), 3 3 即 15x-3y-25=0. 所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 15x-3y-25=0. (2)f′(x)=x2+2mx-3m2, 令 f′(x)=0,得 x=-3m 或 x=m. 当 m=0 时,f′(x)=x2≥0 恒成立,不符合题意. 当 m>0 时, f(x) 的单调递减区间是 ( - 3m , m) ,若 f(x) 在区间 ( - 2,3) 上是减函数,则
?-3m≤-2, ? ? 解得 m≥3. ? ?m≥3,

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当 m<0 时, f(x) 的单调递减区间是 (m ,- 3m) ,若 f(x) 在区间 ( - 2,3) 上是减函数,则
? ?m≤-2, ? 解得 m≤-2. ?-3m≥3, ?

综上所述,实数 m 的取值范围是 m≥3 或 m≤-2. [类题通法] 已知函数单调性,求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的 子集. (2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则 f′(x)≥0;若函数单调递减, 则 f′(x)≤0”来求解. 提醒:f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a,b)都有 f′(x)≥0 且在(a,b)内的任一 非空子区间上 f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解. [针对训练] 1 a (2014· 荆州质检)设函数 f(x)= x3- x2+bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 3 2 y=1. (1)求 b,c 的值; (2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=f(x)+2x,且 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数 a 的取 值范围. 解:(1)f′(x)=x2-ax+b,
? ? ?f?0?=1, ?c=1, 由题意得? 即? ?f′?0?=0, ? ? ?b=0.

(2)由(1)得,f′(x)=x2-ax=x(x-a)(a>0), 当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0, 当 x∈(0,a)时,f′(x)<0, 当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a). (3)g′(x)=x2-ax+2, 依题意,存在 x∈(-2,-1),使不等式 g′(x)=x2-ax+2<0 成立, 2? 即 x∈(-2,-1)时,a<? ?x+x?max=-2 2, 2 当且仅当“x= ”即 x=- 2时等号成立, x 所以满足要求的 a 的取值范围是(-∞,-2 2).

54

[课堂练通考点] 1.函数 f(x)=ex-x 的单调递增区间是( A.(-∞,1] C.(-∞,0] ) B.[1,+∞) D.(0,+∞)

解析:选 D ∵f(x)=ex-x,∴f′(x)=ex-1, 由 f′(x)>0,得 ex-1>0,即 x>0. ln x 2.若 f(x)= ,e<a<b,则( x A.f(a)>f(b) C.f(a)<f(b) ) B.f(a)=f(b) D.f(a)f(b)>1

1-ln x 解析: 选 A f′(x)= , 当 x>e 时, f′(x)<0, 则 f(x)在(e, +∞)上为减函数, f(a)>f(b). x2 3.若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调增函数,则 m 的取值范围是________. 解析:∵f(x)=x3+x2+mx+1, ∴f′(x)=3x2+2x+m. 又∵f(x)在 R 上是单调增函数, 1 ∴Δ=4-12 m≤0,即 m≥ . 3 1 ? 答案:? ?3,+∞? 2? 4.?创新题?已知函数 f(x)=x3+ax2-x+c,且 a=f′? ?3?. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=(f(x)-x3)· ex,若函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增,求实数 c 的取值范 围. 解:(1)由 f(x)=x3+ax2-x+c, 得 f′(x)=3x2+2ax-1. 2? 2 ?2?2+2a×?2?-1, 当 x= 时,得 a=f′? = 3 × ?3? ?3? ?3? 3 解之,得 a=-1. (2)由(1)可知 f(x)=x3-x2-x+c. 1? 则 f′(x)=3x2-2x-1=3? ?x+3?(x-1), 列表如下:
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x f′(x) f(x)

?-∞,-1? 3? ?
+ ?

1 - 3 0 极大值

?-1,1? ? 3 ?
- ?

1 0 极小值

(1,+∞) + ?

1? 所以 f(x)的单调递增区间是? ?-∞,-3?和(1,+∞); 1 ? f(x)的单调递减区间是? ?-3,1?. (3)函数 g(x)=(f(x)-x3)· ex =(-x2-x+c)· ex 有 g′(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex =(-x2-3x+c-1)ex, 因为函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增, 所以 h(x)=-x2-3x+c-1≥0 在 x∈[-3,2]上恒成立. 只要 h(2)≥0,解得 c≥11,所以 c 的取值范围是[11,+∞). [课下提升考能] 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.函数 f(x)=x+eln x 的单调递增区间为( A.(0,+∞) C.(-∞,0)和(0,+∞) ) B.(-∞,0) D.R

e 解析:选 A 函数定义域为(0,+∞),f′(x)=1+ >0,故单调增区间是(0,+∞). x 2.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) 解析:选 D ∵f(x)=(x-3)· ex, f′(x)=ex(x-2)>0,∴x>2. ∴f(x)的单调递增区间为(2,+∞). 3.函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)=f(2-x),且当 x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0, 1? 设 a=f(0),b=f? ?2?,c=f(3),则( A.a<b<c C.c<a<b ) B.c<b<a D.b<c<a ) B.(0,3) D.(2,+∞)

1 解析:选 C 依题意得,当 x<1 时,f′(x)>0,f(x)为增函数;又 f(3)=f(-1),且-1<0< 2
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1? ?1? <1,因此有 f(-1)<f(0)<f? ?2?,即有 f(3)<f(0)<f?2?,c<a<b. 1 1 ,+∞?上是增函数,则 a 的取值范围是( 4.若函数 f(x)=x2+ax+ 在? ? x ?2 A.[-1,0] C.[0,3] 解析:选 D B.[-1,+∞) D.[3,+∞) 1 1 ? f′(x)=2x+a- 2,因为函数在? ?2,+∞?上是增函数,所以 f′(x)≥0 在 x )

?1,+∞?上恒成立,即 a≥ 12-2x 在?1,+∞?上恒成立,设 g(x)= 12-2x,g′(x)=- 23-2, ?2 ? ?2 ? x x x
1 1 2 ,+∞?时,g′(x)<0,故 g(x)max=g? ?=4-1 令 g′(x)=- 3-2=0,得 x=-1,当 x∈? 2 ? ? ?2? x =3,所以 a≥3,故选 D. 5.函数 f(x)=1+x-sin x 在(0,2π)上的单调情况是________. 解析:在(0,2π)上有 f′(x)=1-cos x>0,所以 f(x)在(0,2π)上单调递增. 答案:单调递增 1 3 6.(2014· 河南省三市调研)若函数 f(x)= x3- x2+ax+4 恰在[-1,4]上单调递减,则实数 3 2 a 的值为________. 1 3 解析:∵f(x)= x3- x2+ax+4,∴f′(x)=x2-3x+a,又函数 f(x)恰在[-1,4]上单调递 3 2 减,∴-1,4 是 f′(x)=0 的两根,∴a=(-1)×4=-4. 答案:-4 ln x+k 7.(2014· 武汉武昌区联考)已知函数 f(x)= (k 为常数,e 是自然对数的底数),曲线 ex y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间. 1 -ln x-k x 解:(1)由题意得 f′(x)= , ex 1-k 又 f′(1)= =0,故 k=1. e 1 -ln x-1 x (2)由(1)知,f′(x)= . ex 1 1 1 设 h(x)= -ln x-1(x>0),则 h′(x)=- 2- <0,即 h(x)在(0,+∞)上是减函数. x x x 由 h(1)=0 知,当 0<x<1 时,h(x)>0,从而 f′(x)>0; 当 x>1 时,h(x)<0,从而 f′(x)<0.
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综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞). 8.已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)的单调区间. 解:(1)对 f(x)求导, 得 f′(x)=3x2-2ax-3. 1 3 x- ?. 由 f′(x)≥0,得 a≤ ? 2? x ? 1 3 x- ?,当 x≥1 时,t(x)是增函数, 记 t(x)= ? 2? x? 3 ∴t(x)min= (1-1)=0.∴a≤0. 2 (2)由题意,得 f′(3)=0, 即 27-6a-3=0, ∴a=4.∴f(x)=x3-4x2-3x, f′(x)=3x2-8x-3. 1 令 f′(x)=0,得 x1=- ,x2=3. 3 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x)

?-∞,-1? 3? ?
+ ?

1 - 3 0 极大值

?-1,3? ? 3 ?
- ?

3 0 极小值

(3,+∞) + ?

1? ? 1 ? ∴f(x)的单调递增区间为? ?-∞,-3?,[3,+∞),f(x)的单调递减区间为?-3,3?. 第Ⅱ卷:提能增分卷 1.已知函数 f(x)=(x2-ax)ex(x∈R),a 为实数. (1)当 a=0 时,求函数 f(x)的单调增区间; (2)若 f(x)在闭区间[-1,1]上为减函数,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=0 时,f(x)=x2ex, f′(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex, 由 f′(x)>0?x>0 或 x<-2, 故 f(x)的单调增区间为(0,+∞)和(-∞,-2). (2)由 f(x)=(x2-ax)ex,x∈R ?f′(x)=(2x-a)ex+(x2-ax)ex=[x2+(2-a)x-a]ex.

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记 g(x)=x2+(2-a)x-a, 依题意,x∈[-1,1]时,g(x)≤0 恒成立,
?g?1?=3-2a≤0, ? 结合 g(x)的图像特征得? ?g?-1?=-1≤0, ?

3 3 ,+∞?. 即 a≥ ,所以 a 的取值范围是? 2 ? ? 2 2.(2014· 深圳第一次调研)已知函数 f(x)=ax+x2-xln a-b(a,b∈R,a>1),e 是自然对 数的底数. (1)试判断函数 f(x)在区间(0,+∞)上的单调性; (2)当 a=e,b=4 时,求整数 k 的值,使得函数 f(x)在区间(k,k+1)上存在零点. 解:(1)f′(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a. ∵a>1,∴当 x∈(0,+∞)时,ln a>0,ax-1>0, ∴f′(x)>0, ∴函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. (2)∵f(x)=ex+x2-x-4,∴f′(x)=ex+2x-1, ∴f′(0)=0, 当 x>0 时,ex>1,∴f′(x)>0, ∴f(x)是(0,+∞)上的增函数; 同理,f(x)是(-∞,0)上的减函数. 又 f(0)=-3<0,f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0, 当 x>2 时,f(x)>0, ∴当 x>0 时,函数 f(x)的零点在(1,2)内, ∴k=1 满足条件; 1 f(0)=-3<0,f(-1)= -2<0, e 1 f(-2)= 2+2>0, e 当 x<-2 时,f(x)>0, ∴当 x<0 时,函数 f(x)的零点在(-2,-1)内, ∴k=-2 满足条件. 综上所述,k=1 或-2. 3.(2014· 石家庄质检)已知函数 f(x)=ln x+mx2(m∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 A,B 是函数 f(x)图像上不同的两点,且直线 AB 的斜率恒大于 1,求实数 m 的取值 范围.

59

解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞), 1+2mx2 1 f′(x)= +2mx= . x x 当 m≥0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当 m<0 时,由 f′(x)=0 得 x= 当 x∈?0, 1 - . 2m - 1? 上单调递增; 2m?

? ?

1? 时,f′(x)>0,f(x)在?0, - 2m? ?

当 x∈?

1 ? ? - ,+∞ 时,f′(x)<0,f(x)在 2m ? ?

1 ? - ,+∞ 上单调递减. 2m ?

综上所述,当 m≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 m<0 时,f(x)在?0,

?

1? 上单调递增,在? - 2m? ?

1 ? - ,+∞ 上单调递减. 2m ?

(2)依题意,设 A(a,f(a)),B(b,f(b)),不妨设 a>b>0, 则 kAB= f?a?-f?b? >1 恒成立, a-b

即 f(a)-f(b)>a-b 恒成立, 即 f(a)-a>f(b)-b 恒成立, 令 g(x)=f(x)-x=ln x+mx2-x, 则 g(x)在(0,+∞)上为增函数, 2mx2-x+1 1 所以 g′(x)= +2mx-1= ≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立, x x 所以 2mx2-x+1≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立, 1 1?2 1 1 1 即 2m≥- 2+ =-? ? x-2? +4对 x∈(0,+∞)恒成立, x x 1 因此 m≥ . 8 1 ? 故实数 m 的取值范围为? ?8,+∞?. 第二课时 导数与函数极值、最值

考点一| 运用导数解决函数的极值问题 a [典例] (2013· 福建高考节选)已知函数 f(x)=x-1+ x(a∈R,e 为自然对数的底数). e (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值.

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a a [解] (1)由 f(x)=x-1+ x,得 f′(x)=1- x. e e 又曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴, a 得 f′(1)=0,即 1- =0,解得 a=e. e a (2)f′(x)=1- x, e ①当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数 f(x)无极值. ②当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 ex=a,即 x=ln a. x∈(-∞,ln a),f′(x)<0;x∈(ln a,+∞),f′(x)>0, 所以 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增, 故 f(x)在 x=ln a 处取得极小值,且极小值为 f(ln a)=ln a,无极大值. 综上,当 a ≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,f(x)在 x=ln a 处取得极小值 ln a,无极大值.

若把本例中 f(x)变为“f(x)=x-aln x(a∈R)”,试求函数的极值. a x-a 解:由 f′(x)=1- = ,x>0 知: x x (1)当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值; (2)当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0; 当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0, 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-aln a,无极大值. [类题通法] 求函数 f(x)极值的步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)解方程 f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; (4)列表检验 f′(x)在 f′(x)=0 的根 x0 左右两侧值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在 x0 处取极大值,如果左负右正,那么 f(x)在 x0 处取极小值. [针对训练] 1 设 f(x)=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f′(x), 若函数 y=f′(x)的图像关于直线 x=- 对称, 2 且 f′(1)=0.

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(1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 解:(1)因为 f(x)=2x3+ax2+bx+1, 故 f′(x)=6x2+2ax+b, a a2 x+ ?2+b- , 从而 f′(x)=6? ? 6? 6 a 即 y=f′(x)关于直线 x=- 对称. 6 a 1 从而由题设条件知- =- ,即 a=3. 6 2 又由于 f′(1)=0,即 6+2a+b=0, 得 b=-12. (2)由(1)知 f(x)=2x3+3x2-12x+1, 所以 f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2), 令 f′(x)=0, 即 6(x-1)(x+2)=0, 解得 x=-2 或 x=1, 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 即 f(x)在(-∞,-2)上单调递增; 当 x∈(-2,1)时,f′(x)<0, 即 f(x)在(-2,1)上单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 即 f(x)在(1,+∞)上单调递增. 从而函数 f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=21, 在 x=1 处取得极小值 f(1)=-6. 考点二| 运用导数解决函数的最值问题 [典例] 已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值. [解] (1)f′(x)=(x-k+1)ex. 令 f′(x)=0,得 x=k-1. f(x)与 f′(x)的情况如下: x f′(x) (-∞,k-1) - k-1 0 (k-1,+∞) +

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f(x)

?

- e k -1

?

所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞). (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递增,所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值 为 f(0)=-k; 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时, 由(1)知 f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以 f(x)在区间[0,1]上的最 小值为 f(k-1)=-ek 1;


当 k-1≥1 时,即 k≥2 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递减,所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值 为 f(1)=(1-k)e. 综上,在区间[0,1]上 k≤1 时,f(x)最小值为 f(0)=-k. 1<k<2 时,f(x)最小值为 f(k-1)=-ek 1.


k≥2 时,f(x)最小值为 f(1)=(1-k)e. [类题通法] 求函数 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点的函数值 f(a),f(b); (3)将函数 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个 为最小值. [针对训练] 1 设函数 f(x)=aln x-bx2(x>0),若函数 f(x)在 x=1 处与直线 y=- 相切, 2 (1)求实数 a,b 的值; 1 ? (2)求函数 f(x)在? ?e,e?上的最大值. a 解:(1)f′(x)= -2bx, x 1 ∵函数 f(x)在 x=1 处与直线 y=- 相切, 2 f′?1?=a-2b=0, a=1, ? ? ? ? ∴? 解得? 1 1 f?1?=-b=- , ? ? 2 ? ?b=2. 1-x2 1 1 (2)f(x)=ln x- x2,f′(x)= -x= , 2 x x 1 1 ∵当 ≤x≤e 时,令 f′(x)>0 得 ≤x<1; e e
63

1 ? 令 f′(x)<0,得 1<x≤e,∴f(x)在? ?e,1?上单调递增,在[1,e]上单调递减,∴f(x)max=f(1) 1 =- . 2 考点三| 函数极值和最值的综合问题 [典例] (2012· 重庆高考)已知函数 f(x)=ax3+bx+c 在点 x=2 处取得极值 c-16. (1)求 a,b 的值; (2)若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在[-3,3]上的最小值. [解] (1)因为 f(x)=ax3+bx+c,故 f′(x)=3ax2+b. 由于 f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16,
? ?f′?2?=0, 故有? ?f?2?=c-16, ? ? ? ?12a+b=0, ?12a+b=0, 即? 化简得? ?8a+2b+c=c-16, ?4a+b=-8, ? ? ?a=1, ? 解得? ?b=-12. ?

(2)由(1)知 f(x)=x3-12x+c; f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2=2. 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(-∞,-2)上为增函数; 当 x∈(-2,2)时,f′(x)<0, 故 f(x)在(-2,2)上为减函数; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(2,+∞)上为增函数. 由此可知 f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=16+c, f(x)在 x=2 处取得极小值 f(2)=c-16. 由题设条件知 16+c=28,解得 c=12. 此时 f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3, f(2)=-16+c=-4, 因此 f(x)在[-3,3]上的最小值为 f(2)=-4. [类题通法] 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的.求 函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过

64

单调性和极值情况,画出函数的大致图像,然后借助图像观察得到函数的最值. [针对训练] 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0,若 x 2 = 时,y=f(x)有极值. 3 (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. 解:(1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得 f′(x)=3x2+2ax+b.当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3, 可得 2a+b=0, 2? 2 当 x= 时,y=f(x)有极值,则 f′? ?3?=0,可得 4a+3b+4=0, 3 由①②,解得 a=2,b=-4.由于切点的横坐标为 1, 所以 f(1)=4. 所以 1+a+b+c=4.所以 c=5. (2)由(1), 可得 f(x)=x3+2x2-4x+5, f′(x)=3x2+4x-4.令 f′(x)=0, 解之, 得 x1=-2, 2 x2= . 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的取值及变化情况如下表所示: x f′(x) f(x) -3 + 8 (-3,-2) + ? -2 0 13 ① ②

?-2,2? 3? ?
- ?

2 3 0 95 27

?2,1? ?3 ?
+ ?

1 + 4

95 所以 y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为 . 27

[课堂练通考点] x3 1.函数 f(x)= +x2-3x-4 在[0,2]上的最小值是( 3 17 A.- 3 C.-4 解析:选 A f′(x)=x2+2x-3, 10 B.- 3 64 D.- 3 )

令 f′(x)=0 得 x=1(x=-3 舍去),

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17 10 又 f(0)=-4,f(1)=- ,f(2)=- , 3 3 17 故 f(x)在[0,2]上的最小值是 f(1)=- . 3 2.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 f(2)等于( A.11 或 18 C.18 B.11 D.17 或 18 )

解析:选 C ∵函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10, ∴f(1)=10,且 f′(1)=0,
?1+a+b+a2=10, ? 即? ? ?3+2a+b=0, ? ? ?a=-3, ?a=4, 解得? 或? ?b=3, ? ? ?b=-11. ? ?a=-3, 而当? 时,函数在 x=1 处无极值, ?b=3 ?

故舍去.∴f(x)=x3+4x2-11x+16, ∴f(2)=18.故选 C. 3.(2013· 郑州二模)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数 f′(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内的极大 值点有( ) B.2 个 D.4 个

A.1 个 C.3 个

解析: 选 B 依题意, 记函数 y=f′(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标自左向右依次为 x1, x2,x3,x4,当 a<x<x1 时,f′(x)>0;当 x1<x<x2 时,f′(x)<0;当 x2<x<x4 时,f′(x)≥0;当 x4<x<b 时,f′(x)<0.因此,函数 f(x)分别在 x=x1、x=x4 处取得极大值,选 B. 4.设 f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f′(x),求 g(x)的单调区间和最小值. 1 解:由题设知 f(x)=ln x,g(x)=ln x+ ,x>0, x x-1 所以 g′(x)= 2 ,令 g′(x)=0 得 x=1, x 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是 g(x)的单调递减区间; 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是 g(x)的单调递增区间, 因此,x=1 是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点, 所以 g(x)的最小值为 g(1)=1. 5. (2012· 江苏高考)若函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y= f(x)的极值点.已知 a,b 是实数,1 和-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点.
66

(1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g(x)的导函数 g′(x)=f(x)+2,求 g(x)的极值点. 解:(1)由题设知 f′(x)=3x2+2ax+b,且 f′(-1)=3-2a+b=0, f′(1)=3+2a+b=0,解得 a=0,b=-3. (2)由(1)知 f(x)=x3-3x.因为 f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以 g′(x)=0 的根为 x1=x2=1,x3 =-2,于是函数 g(x)的极值点只可能是 1 或-2. 当 x<-2 时,g′(x)<0;当-2<x<1 时,g′(x)>0,故-2 是 g(x)的极值点. 当-2<x<1 或 x>1 时,g′(x)>0,故 1 不是 g(x)的极值点. 所以 g(x)的极值点为-2. [课下提升考能] 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.(2013· 威海模拟)当函数 y=x· 2x 取极小值时,x=( 1 A. ln 2 C.-ln 2 解析:选 B 1 B.- ln 2 D.ln 2 1 y′=2x+x· 2xln 2=0,∴x=- . ln 2 )

2.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则下 列图像不可能为 y=f(x)图像的是( )

解析: 选 D 因为[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f(x)+f′(x)]ex, 且 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,所以 f(-1)+f′(-1)=0;选项 D 中,f(-1)>0,f′(-1)>0,不满足 f′(- 1)+f(-1)=0. 3.已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,若 m,n∈[-1,1],则 f(m)+f′(n) 的最小值是( A.-13 C.10 ) B.-15 D.15

解析:选 A 求导得 f′(x)=-3x2+2ax, 由函数 f(x)在 x=2 处取得极值知 f′(2)=0, 即-3×4+2a×2=0, ∴a=3. 由此可得 f(x)=-x3+3x2-4,

67

f′(x)=-3x2+6x, 易知 f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增, ∴当 m∈[-1,1]时, f(m)min=f(0)=-4. 又 f′(x)=-3x2+6x 的图像开口向下, 且对称轴为 x=1, ∴当 n∈[-1,1]时, f′(n)min=f′(-1)=-9. 故 f(m)+f′(n)的最小值为-13.故选 A. 4.(2014· 荆州质检)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数是 f′(x),且函数 f(x)在 x=-2 处 取得极小值,则函数 y=xf′(x)的图像可能是( )

解析:选 C

f(x)在 x=-2 处取得极小值,即 x<-2,f′(x)<0;x>-2,f′(x)>0,那么

y=xf′(x)过点(0,0)及(-2,0). 当 x<-2 时, x<0, f′(x)<0, 则 y>0; 当-2<x<0 时, x<0, f′(x)>0, y<0;当 x>0 时,f′(x)>0,y>0,故 C 正确. 5.已知函数 f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的取值 范围是________. 解析: f′(x)=3x2+2mx+m+6=0 有两个不等实根, 即 Δ=4m2-12×(m+6)>0.所以 m>6 或 m<-3. 答案:(-∞,-3)∪(6,+∞) 6.已知函数 y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值,其图像在 x=1 处的切线平行 于直线 6x+2y+5=0,则 f(x)极大值与极小值之差为________. 解析:∵y′=3x2+6ax+3b,
?3×22+6a×2+3b=0 ?a=-1, ? ? ? ?? 2 ?3×1 +6a+3b=-3 ? ? ?b=0.

∴y′=3x2-6x,令 3x2-6x=0,得 x=0 或 x=2. ∴f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4. 答案:4 7.(2013· 江苏高考节选)设函数 f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中 a 为实数. 若 f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且 g(x)在(1,+∞)上有最小值,求 a 的取值范围. 1-ax 1 解:令 f′(x)= -a= <0,考虑到 f(x)的定义域为(0,+∞),故 a>0,进而解得 x>a x x

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-1

,即 f(x)在(a 1,+∞)上是单调减函数.


同理,f(x)在(0,a 1)上是单调增函数.由于 f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+


∞)?(a 1, +∞), 从而 a 1≤1, 即 a≥1.令 g′(x)=ex-a=0, 得 x=ln a. 当 x<ln a 时, g′(x)<0;
- -

当 x>ln a 时,g′(x)>0.又 g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以 ln a>1,即 a>e. 综上,a 的取值范围为(e,+∞). 8.已知函数 f(x)=x2-1 与函数 g(x)=aln x(a≠0). (1)若 f(x),g(x)的图像在点(1,0)处有公共的切线,求实数 a 的值; (2)设 F(x)=f(x)-2g(x),求函数 F(x)的极值. 解:(1)因为 f(1)=0,g(1)=0, 所以点(1,0)同时在函数 f(x),g(x)的图像上, 因为 f(x)=x2-1,g(x)=aln x, a 所以 f′(x)=2x,g′(x)= , x a 由已知,得 f′(1)=g′(1),所以 2= ,即 a=2. 1 (2)因为 F(x)=f(x)-2g(x)=x2-1-2aln x(x>0),
2 2a 2?x -a? 所以 F′(x)=2x- = , x x

当 a<0 时, 因为 x>0,且 x2-a>0,所以 F′(x)>0 对 x>0 恒成立, 所以 F(x)在(0,+∞)上单调递增,F(x)无极值; 当 a>0 时, 令 F′(x)=0,解得 x1= a,x2=- a(舍去), 所以当 x>0 时,F′(x),F(x)的变化情况如下表: x F′(x) F(x) (0, a) - 递减 a 0 极小值 ( a,+∞) + 递增

所以当 x= a时,F(x)取得极小值,且 F( a)=( a)2-1-2aln a=a-1-aln a. 综上,当 a<0 时,函数 F(x)在(0,+∞)上无极值; 当 a>0 时,函数 F(x)在 x= a处取得极小值 a-1-aln a. 第Ⅱ卷:提能增分卷 1 1 1.设 f(x)=- x3+ x2+2ax. 3 2 2 ? (1)若 f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间,求 a 的取值范围;
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16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3 1?2 1 解:(1)f′(x)=-x2+x+2a=-? ?x-2? +4+2a. 2 ? 当 x∈? ?3,+∞?时,f′(x)的最大值为 2? 2 2 1 f′? ?3?=9+2a.令9+2a>0,得 a>-9. 2 1 ? 所以当 a>- 时,f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间, 9 2 ? ? 1 ? 即 f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间时,a 的取值范围为?-9,+∞?. (2)令 f′(x)=0,得两根 x1= x2= 1+ 1+8a , 2 1- 1+8a , 2

所以 f′(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减, 在(x1,x2)上单调递增. 当 0<a<2 时,有 x1<1<x2<4, 所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2), 27 又 f(4)-f(1)=- +6a<0,即 f(4)<f(1). 2 40 16 所以 f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8a- =- , 3 3 得 a=1,x2=2, 10 从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)= . 3 2. (2013· 晋中名校联考)已知函数 f(x)=ax2-ex(a∈R, e 为自然对数的底数), f′(x)是 f(x) 的导函数. (1)解关于 x 的不等式:f(x)>f′(x); (2)若 f(x)有两个极值点 x1,x2,求实数 a 的取值范围. 解:(1)f′(x)=2ax-ex, f(x)-f′(x)=ax(x-2)>0. 当 a=0 时,无解; 当 a>0 时,解集为{x|x<0 或 x>2}; 当 a<0 时,解集为{x|0<x<2}. (2)设 g(x)=f′(x)=2ax-ex, 则 x1,x2 是方程 g(x)=0 的两个根.

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g′(x)=2a-ex, 当 a≤0 时,g′(x)<0 恒成立,g(x)单调递减,方程 g(x)=0 不可能有两个根; 当 a>0 时,由 g′(x)=0,得 x=ln 2a, 当 x∈(-∞,ln 2a)时,g′(x)>0,g(x)单调递增, 当 x∈(ln 2a,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减. ∴当 g(x)max>0 时,方程 g(x)=0 才有两个根, e ∴g(x)max=g(ln 2a)=2aln 2a-2a>0,得 a> . 2 3.(2014· 广东六校联考)已知 f(x)=3x2-x+m,(x∈R),g(x)=ln x. (1)若函数 f(x)与 g(x)的图像在 x=x0 处的切线平行,求 x0 的值; (2)求当曲线 y=f(x)与 y=g(x)有公共切线时,实数 m 的取值范围; 1 ? (3)在(2)的条件下,求函数 F(x)=f(x)-g(x)在区间? ?3,1?上的最值(用 m 表示). 1 解:(1)∵f′(x)=6x-1,g′(x)= (x>0), x 1 由题意知 6x0-1= (x0>0),即 6x2 0-x0-1=0, x0 1 1 解得 x0= 或 x0=- , 2 3 1 又∵x0>0,∴x0= . 2 1? 1 (2)若曲线 y=f(x)与 y=g(x)相切且在交点处有公共切线, 由(1)得切点横坐标为 , ∴f? ?2?= 2 1? 3 1 1 1 g? ?2?,∴4-2+m=ln 2,即 m=-4-ln 2,

1 数 形 结 合 可 知 , m> - - ln 2 时 , f(x) 与 g(x) 有 公 共 切 线 , 故 m 的 取 值 范 围 是 4

?-1-ln 2,+∞?. ? 4 ?
(3)F(x)=f(x)-g(x)=3x2-x+m-ln x, 1 故 F′(x)=6x-1- x 6x2-x-1 ?3x+1??2x-1? = = , x x

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1 ? 当 x 变化时,F′(x)与 F(x)在区间? ?3,1?的变化情况如下表: x F′(x) F(x) 1? 又∵F? ?3?=m+ln 3, 1? F(1)=2+m>F? ?3?, 1 ? ∴当 x∈? ?3,1?时, 1? F(x)min=F? ?2? 1 1 ? =m+ +ln 2? ?m>-4-ln 2?, 4 F(x)max=F(1) 1 m>- -ln 2?. =m+2? 4 ? ? 第三课时 导数与函数的综合问题

?1,1? ?3 2?
- ?

1 2 0 极小值

?1,1? ?2 ?
+ ?

考点一| 利用导数研究生活中的优化问题

[典例] (2013· 重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度). 设该蓄水池 的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建 造成本为 100 元/平方米, 底面的建造成本为 160 元/平方米, 该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. [解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh=200πrh(元),底面的总成本为 160πr2 元, 所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 又根据题意 200πrh+160πr2=12 000π, 1 所以 h= (300-4r2), 5r π 从而 V(r)=πr2h= (300r-4r3). 5 因为 r>0,又由 h>0 可得 r<5 3,
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故函数 V(r)的定义域为(0,5 3). π (2)因为 V(r)= (300r-4r3), 5 π 所以 V′(r)= (300-12r2). 5 令 V′(r)=0,解得 r1=5,r2=-5(因为 r2=-5 不在定义域内,舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0,故 V(r)在(5,5 3)上为减函数. 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8. 即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大. [类题通法] 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之 间的函数关系式 y=f(x); (2)求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和 f′(x)=0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; (4)回归实际问题作答. [针对训练] 某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到有关部门的关注,据有关统计数据显示,从上 午 6 点到中午 12 点,车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间 关系可近似地用如下函数给出: - t - t +36t- ,6≤t<9, ? 4 ? 8 4 y=?1 59 t+ ,9≤t≤10, 8 4 ? ?-3t +66t-345,10<t≤12,
2

13

32

629

求从上午 6 点到中午 12 点,通过该路段用时最多的时刻. 解:①当 6≤t<9 时, 3 3 y′=- t2- t+36 8 2 3 =- (t+12)(t-8). 8 令 y′=0,得 t=-12(舍去)或 t=8. 当 6≤t<8 时,y′>0, 当 8<t<9 时,y′<0, 故 t=8 时,y 有最大值,ymax=18.75.

73

1 59 ②当 9≤t≤10 时,y= t+ 是增函数, 8 4 故 t=10 时,ymax=16. ③当 10<t≤12 时,y=-3(t-11)2+18, 故 t=11 时,ymax=18. 综上可知,通过该路段用时最多的时刻为上午 8 点. 考点二| 利用导数研究恒成立问题及参数求解 ln x [典例] (2014· 广东韶关阶段检测)已知函数 f(x)=ln x-x,h(x)= . x (1)求 h(x)的最大值; (2)若关于 x 的不等式 xf(x)≥-2x2+ax-12 对一切 x∈(0,+∞)恒成立,求实数 a 的取 值范围. 1-ln x ln x [解] (1)因为 h(x)= (x>0),所以 h′(x)= ,由 h′(x)>0,且 x>0,得 0<x<e.由 x x2 h′(x)<0,且 x>0,得 x>e,所以函数 h(x)的单调增区间是(0,e],单调减区间是[e,+∞), 1 所以当 x=e 时,h(x)取得最大值 . e (2)因为 xf(x)≥-2x2+ax-12 对一切 x∈(0,+∞)恒成立, 即 xln x-x2≥-2x2+ax-12 对一切 x∈(0,+∞)恒成立, 即 a≤ln x+x+ 12 12 对一切 x∈(0,+∞)恒成立,设 φ(x)=ln x+x+ ,因为 φ′(x)= x x

x2+x-12 ?x-3??x+4? = , x2 x2 故 φ(x)在(0,3]上递减,在[3,+∞)上递增,φ(x)min=φ(3)=7+ln 3,所以 a≤7+ln 3. [类题通法] 利用导数解决参数问题主要涉及以下方面 (1)已知不等式在某一区间上恒成立,求参数的取值范围:一般先分离参数,再转化为求 函数在给定区间上的最值问题求解. (2)已知函数的单调性求参数的取值范围:转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立的问题. (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围:利用函数的单调性、极值画出函数的大致图 像,数形结合求解. [针对训练] 1 设函数 f(x)= x2+ex-xex. 2 (1)求 f(x)的单调区间; (2)若当 x∈[-2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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解:(1)函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞), ∵f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex), 若 x=0,则 f′(x)=0; 若 x<0,则 1-ex>0,所以 f′(x)<0; 若 x>0,则 1-ex<0,所以 f′(x)<0. ∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数, 即 f(x)的单调减区间为(-∞,+∞). (2)由(1)知,f(x)在[-2,2]上单调递减. 故[f(x)]min=f(2)=2-e2, ∴m<2-e2 时,不等式 f(x)>m 恒成立. 故 m 的取值范围为(-∞,2-e2). 考点三| 利用导数证明不等式问题 [典例] (2013· 河南省三市调研)已知函数 f(x)=ax-ex(a>0). 1 (1)若 a= ,求函数 f(x)的单调区间; 2 (2)当 1≤a≤1+e 时,求证:f(x)≤x. 1 1 [解] (1)当 a= 时,f(x)= x-ex. 2 2 1 f′(x)= -ex,令 f′(x)=0,得 x=-ln 2. 2 当 x<-ln 2 时,f′(x)>0; 当 x>-ln 2 时,f′(x)<0, ∴函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-ln 2),单调递减区间为(-ln 2,+∞). (2)证明:法一:令 F(x)=x-f(x)=ex-(a-1)x, (ⅰ)当 a=1 时,F(x)=ex>0, ∴f(x)≤x 成立. (ⅱ)当 1<a≤1+e 时,F′(x)=ex-(a-1)=ex-eln(a ∴当 x<ln(a-1)时,F′(x)<0; 当 x>ln(a-1)时,F′(x)>0, ∴F(x)在(-∞,ln (a-1))上单调递减,在(ln(a-1),+∞)上单调递增. ∴F(x)≥F(ln(a-1))=eln(a ∵1<a≤1+e, ∴a-1>0,1-ln(a-1)≥1-ln[(1+e)-1]=0, ∴F(x)≥0,即 f(x)≤x 成立. 综上,当 1≤a≤1+e 时,有 f(x)≤x.
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-1) -1)



-(a-1)· ln(a-1)=(a-1)[1-ln(a-1)],

法二:令 g(a)=x-f(x)=-xa+x+ex, 只要证明 g(a)≥0 在 1≤a≤1+e 时恒成立即可. g(1)=-x+x+ex=ex>0, g(1+e)=-x· (1+e)+x+ex=ex-ex, 设 h(x)=ex-ex,则 h′(x)=ex-e, 当 x<1 时,h′(x)<0;当 x>1 时,h′(x)>0, ∴h(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴h(x)≥h(1)=e1-e· 1=0, 即 g(1+e)≥0. 由①②知,g(a)≥0 在 1≤a≤1+e 时恒成立. ∴当 1≤a≤1+e 时,有 f(x)≤x. [类题通法] 利用导数方法证明不等式 f(x)>g(x)在区间 D 上恒成立的基本方法是构造函数 h(x)=f(x) -g(x),然后根据函数的单调性,或者函数的最值证明函数 h(x)>0,其中一个重要技巧就是 找到函数 h(x)在什么地方可以等于零,这往往就是解决问题的一个突破口. [针对训练] 已知 f(x)=xln x. f?x?+k (1)求 g(x)= (k∈R)的单调区间; x (2)证明:当 x≥1 时,2x-e≤f(x)恒成立. k 解:(1)g(x)=ln x+ , x x-k ∴令 g′(x)= 2 =0 得 x=k. x ② ①

∵x>0,∴当 k≤0 时,g′(x)>0. ∴函数 g(x)的增区间为(0,+∞),无减区间; 当 k>0 时 g′(x)>0 得 x>k;g′(x)<0 得 0<x<k, ∴单调递增区间为(k,+∞),单调递减区间为(0,k). (2)证明:设 h(x)=xln x-2x+e(x≥1), 令 h′(x)=ln x-1=0 得 x=e, h(x),h′(x)的变化情况如下: x h′(x) h(x) 1 -1 e-2 (1,e) - ?
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e 0 0

(e,+∞) + ?

故 h(x)≥0.即 f(x)≥2x-e.

[课堂练通考点] 1.(2014· 宝鸡一模)已知函数 f(x)=x3-ax-1,若 f(x)在(-1,1)上单调递减,则 a 的取值 范围为( ) B.a>3 D.a<3

A.a≥3 C.a≤3

解析:选 A ∵f′(x)=3x2-a,又 f(x)在(-1,1)上单调递减; ∴f′(x)≤0 在(-1,1)上恒成立, 即 3x2-a≤0 在(-1,1)上恒成立. ∴a≥3x2 在(-1,1)上恒成立,又 0≤3x2<3, ∴a≥3. 经验证当 a=3 时,f(x)在(-1,1)上单调递减. 2.从边长为 10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖 的盒子,则盒子容积的最大值为( A.12 cm3 C.144 cm3 ) B.72 cm3 D.160 cm3

解析:选 C 设盒子容积为 y cm3,盒子的高为 x cm.则 y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2 +160x(0<x<5), ∴y′=12x2-104x+160. 20 令 y′=0,得 x=2 或 (舍去), 3 ∴ymax=6×12×2=144 (cm3). 3.直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图像有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是 ________. 解析:令 f′(x)=3x2-3=0,得 x=± 1,可得极大值为 f(-1)=2,极 小值为 f(1)=-2,如图,观察得-2<a<2 时恰有三个不同的公共点. 答案:(-2,2) ln x 4.(2013· 北京高考)设 L 为曲线 C:y= 在点(1,0)处的切线. x (1)求 L 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 1-ln x ln x 解:(1)设 f(x)= ,则 f′(x)= . x x2

77

所以 f′(1)=1,即 L 的斜率为 1. 又 L 过点(1,0),所以 L 的方程为 y=x-1. (2)证明:令 g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)>0(? x>0,x≠1). g(x)满足 g(1)=0,且 g′(x)=1-f′(x) x2-1+ln x = . x2 当 0<x<1 时,x2-1<0,ln x<0,所以 g′(x)<0,故 g(x)单调递减; 当 x>1 时,x2-1>0,ln x>0,所以 g′(x)>0,故 g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0(?x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. [课下提升考能] 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1? 1.(2014· 宜昌模拟)已知 y=f(x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax? ?a>2?,当 x∈(- 2,0)时,f(x)的最小值为 1,则 a 的值等于( 1 A. 4 1 C. 2 ) 1 B. 3 D.1

解析:选 D 由题意知,当 x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1. 1 1 令 f′(x)= -a=0,得 x= , x a 1 1 当 0<x< 时,f′(x)>0;当 x> 时,f′(x)<0. a a 1? ∴f(x)max=f? ?a?=-ln a-1=-1,解得 a=1. 2.函数 f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实 数 t 的最小值是( A.20 C.3
2

) B.18 D.0

解析:选 A 因为 f′(x)=3x -3=3(x-1)(x+1),令 f′(x)=0,得 x=± 1,所以-1,1 为函数的极值点. 又 f(-3)=-19, f(-1)=1, f(1)=-3, f(2)=1, 所以在区间[-3,2]上 f(x)max =1,f(x)min=-19.又由题设知在区间[-3,2]上 f(x)max-f(x)min≤t,从而 t≥20,所以 t 的最小 值是 20. 3.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数 a,b, 若 a<b,则必有( )
78

A.af(b)≤bf(a) C.af(a)≤f(b) 解析:选 A ∵xf′(x)≤-f(x),f(x)≥0, ∴? xf′?x?-f?x? -2f?x? f?x?? ′= ≤ 2 ≤0. x2 x ? x?

B.bf(a)≤af(b) D.bf(b)≤f(a)

f?x? f?a? f?b? 则函数 在(0,+∞)上是单调递减的,由于 0<a<b,则 ≥ .即 af(b)≤bf(a). x a b 4.(2013· 山西诊断)设 D 是函数 y=f(x)定义域内的一个区间,若存在 x0∈D,使 f(x0)= -x0, 则称 x0 是 f(x)的一个“次不动点”, 也称 f(x)在区间 D 上存在“次不动点”, 若函数 f(x) 5 =ax2-3x-a+ 在区间[1,4]上存在“次不动点”,则实数 a 的取值范围是( 2 A.(-∞,0) 1 ? C.? ?2,+∞? 1? B.? ?0,2? 1? D.? ?-∞,2? )

5 解析:选 D 设 g(x)=f(x)+x,依题意,存在 x∈[1,4],使 g(x)=f(x)+x=ax2-2x-a+ 2 4x-5 4x-5 1 5 =0.当 x=1 时, g(1)= ≠0; 当 x≠1 时, 由 ax2-2x-a+ =0 得 a= 2 .记 h(x)= 2 2 2 2?x -1? 2?x -1? -2x2+5x-2 1 (1<x≤4),则由 h′(x)= =0 得 x=2 或 x= (舍去).当 x∈(1,2)时,h′(x)>0; 2 ?x2-1?2 当 x∈(2,4)时,h′(x)<0,即函数 h(x)在(1,2)上是增函数,在(2,4)上是减函数,因此当 x=2 1 1 -∞, ?, 时,h(x)取得最大值,最大值是 h(2)= ,故满足题意的实数 a 的取值范围是? 2? ? 2 选 D. 1 39 5.电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系 y= x3- x2-40x(x>0),为使耗电量最 3 2 小,则速度应定为________. 解析:由 y′=x2-39x-40=0, 得 x=-1 或 x=40, 由于 0<x<40 时,y′<0; 当 x>40 时,y′>0. 所以当 x=40 时,y 有最小值. 答案:40 6.函数 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间,则 a 的取值范围是________. 解析:f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间,即函数 f(x)恰有两个极值点,即 f′(x)=0 有两个 不等实根. ∵f(x)=ax3+x,∴f′(x)=3ax2+1.
79

要使 f′(x)=0 有两个不等实根,则 a<0. 答案:(-∞,0) a 7.已知函数 f(x)=ln x- . x (1)若 a>0,试判断 f(x)在定义域内的单调性; (2)若 f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围. 解:(1)由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞), 1 a x+a 且 f′(x)= + 2= 2 . x x x ∵a>0,∴f′(x)>0, 故 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. a (2)∵f(x)<x2,∴ln x- <x2. x 又 x>0,∴a>xln x-x3. 令 g(x)=xln x-x3, h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2, 1-6x2 1 h′(x)= -6x= . x x ∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0, ∴h(x)在(1,+∞)上是减函数. ∴h(x)<h(1)=-2<0,即 g′(x)<0, ∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数. g(x)<g(1)=-1, ∴当 a≥-1 时,f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立. 8.(2014· 泰安模拟)某种产品每件成本为 6 元,每件售价为 x 元(6<x<11),年销售为 u 万 21 585 x- ?2 成正比,且售价为 10 元时,年销量为 28 万件. 件,若已知 -u 与? ? 4? 8 (1)求年销售利润 y 关于售价 x 的函数关系式; (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润. 21 585 x- ?2, 解:(1)设 -u=k? ? 4? 8 ∵售价为 10 元时,年销量为 28 万件, ∴ 21?2 585 -28=k? ?10- 4 ? ,解得 k=2. 8

21?2 585 2 ∴u=-2? ?x- 4 ? + 8 =-2x +21x+18. ∴y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6<x<11). (2)y′=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9).

80

令 y′=0,得 x=2(舍去)或 x=9, 显然,当 x∈(6,9)时,y′>0; 当 x∈(9,11)时,y′<0. ∴函数 y=-2x3+33x2-108x-108 在(6,9)上是递增的,在(9,11)上是递减的. ∴当 x=9 时,y 取最大值,且 ymax=135, ∴售价为 9 元时,年利润最大,最大年利润为 135 万元. 第Ⅱ卷:提能增分卷 1.(2013· 浙江十校联考)已知函数 f(x)=ln x+ax(a∈R). (1)求 f(x)的单调区间; (2)设 g(x)=x2-4x+2,若对任意 x1∈(0,+∞),均存在 x2∈[0,1],使得 f(x1)<g(x2),求 a 的取值范围. 1 ax+1 解:(1)f′(x)=a+ = (x>0). x x ①当 a≥0 时,由于 x>0,故 ax+1>0,f′(x)>0, 所以 f(x)的单调递增区间为(0,+∞). 1 ②当 a<0 时,由 f′(x)=0,得 x=- . a 1 1 0,- ?上,f′(x)>0,在区间?- ,+∞?上, 在区间? a ? ? ? a ? 1? f′(x)<0,所以函数 f(x)的单调递增区间为? ?0,-a?, 1 ? 单调递减区间为? ?-a,+∞?. 综上所述,当 a≥0 时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞), 1? 当 a<0 时,f(x)的单调递增区间为? ?0,-a?, 1 ? 单调递减区间为? ?-a,+∞?. (2)由题意得 f(x)max<g(x)max,而 g(x)max=2, 由(1)知,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为 R,故不符合题意. 1? ? 1 ? 当 a<0 时,f(x)在? ?0,-a?上单调递增,在?-a,+∞?上单调递减, 1 1 - ?=-1+ln?- ?=-1-ln(-a), 故 f(x)的极大值即为最大值, f? 所以 2>-1-ln(-a), ? a? ? a? 1 解得 a<- 3. e 1? 故 a 的取值范围为? ?-∞,-e3?. f′?1? x 1 2.(2014· 江南十校高三联考)已知函数 f(x)= · e -f(0)· x+ x2(e 是自然对数的底数). e 2 (1)求函数 f(x)的解析式和单调区间; 1 (2)若函数 g(x)= x2+a 与函数 f(x)的图像在区间[-1,2]上恰有两个不同的交点, 求实数 a 2 的取值范围.
81

f′?1? x 解:(1)由已知得 f′(x)= e -f(0)+x, e 令 x=1,得 f′(1)=f′(1)-f(0)+1, 即 f(0)=1. f′?1? 又 f(0)= ,所以 f′(1)=e. e 1 从而 f(x)=ex-x+ x2. 2 显然 f′(x)=ex-1+x 在 R 上单调递增且 f′(0)=0, 故当 x∈(-∞,0)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. ∴f(x)的单调递减区间是(-∞,0), 单调递增区间是(0,+∞). (2)由 f(x)=g(x)得 a=ex-x. 令 h(x)=ex-x,则 h′(x)=ex-1. 由 h′(x)=0 得 x=0. 所以当 x∈(-1,0)时,h′(x)<0; 当 x∈(0,2)时,h′(x)>0. ∴h(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,2)上单调递增. 1 又 h(0)=1,h(-1)=1+ ,h(2)=e2-2 且 h(-1)<h(2). e 1 1,1+ ?. ∴两个图像恰有两个不同的交点时,实数 a 的取值范围是? e? ? 3.(2014· 宁波月考)已知 f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2. 1 ? (1)如果函数 g(x)的单调递减区间为? ?-3,1?,求函数 g(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,求函数 y=g(x)的图像在点 P(-1,1)处的切线方程; (3)若不等式 2f(x)≤g′(x)+2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 1 ? 解:(1)g′(x)=3x2+2ax-1,由题意得 3x2+2ax-1<0 的解集是? ?-3,1?, 1 即 3x2+2ax-1=0 的两根分别是- ,1. 3 1 将 x=1 或 x=- 代入方程 3x2+2ax-1=0,得 a=-1. 3 ∴g(x)=x3-x2-x+2. (2)由(1)知,g′(x)=3x2-2x-1, ∴g′(-1)=4,∴点 P(-1,1)处的切线斜率 k=g′(-1)=4, ∴函数 y=g(x)的图像在点 P(-1,1)处的切线方程为 y-1=4(x+1),即 4x-y+5=0. (3)∵f(x)的定义域为(0,+∞),∴2f(x)≤g′(x)+2 恒成立,即 2xln x≤3x2+2ax+1 对 x ∈(0,+∞)上恒成立. 3x 1 可得 a≥ln x- - 在 x∈(0,+∞)上恒成立. 2 2x

82

3x 1 令 h(x)=ln x- - , 2 2x 1 3 1 则 h′(x)= - + 2 x 2 2x ?x-1??3x+1? =- . 2x2 1 令 h′(x)=0,得 x=1 或 x=- (舍). 3 当 0<x<1 时,h′(x)>0; 当 x>1 时,h′(x)<0. ∴当 x=1 时,h(x)取得最大值, h(x)max=h(1)=-2, ∴a≥-2. ∴a 的取值范围是[-2,+∞).

“函数与导数”类题目的审题技巧与解题规范

[技法概述] 解题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误,而解题的思维过程大多都是 围绕着结论这个目标进行定向思考的.有些问题的结论看似不明确或不利于解决,可以转换 角度,达到解决问题的目的. [适用题型] 高考中有以下几类解答题用到此种审题方法: 1.研究函数与导数中两函数图像交点、函数的零点、方程的根等问题; 2.一些不等式恒成立问题常转换求函数的最值; 3.圆锥曲线中的定点问题,常转换先求直线方程.

[典例] (2013· 陕西高考,节选)(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=ex,x∈R. (1)求 f(x)的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程; 1 (2)证明:曲线 y=f(x)与曲线 y= x2+x+1 有唯一公共点. 2

[解题流程] 第一步 利用斜率求切线 方程

[失分警示] g?x?=ln x?x>0?,设所求切 不说明两曲 ? 解:?1?f?x?的反函数为 1 ? ? 线的斜率为k,∵g′?x?=x ,∴k=g′?1?=1,于是在 线 公 共 点 的 个 数 ? 等于函数零点个 ?点?1,0?处切线方程为y=x-1.??2分?
83 1 ?2?证明:曲线y=ex与y= x2+x+1公共 2
x 2

? 构造新函数,将公? 的个数等于函数φ?x?=e -1x -x-1 ? 2
第二步

数,步骤不规范.

想不到第二 次求导即构造新 函 数 h(x) 导致 解 题中断.







φ′(x) 有最小值 0 导致扣分.

1.(2013· 兰州调研)已知实数 a>0,函数 f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值 32. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)求实数 a 的值.s 解:(1)f(x)=ax3-4ax2+4ax, f′(x)=3ax2-8ax+4a. 令 f′(x)=0,得 3ax2-8ax+4a=0. 2 ∵a>0,∴3x2-8x+4=0,∴x= 或 x=2. 3 2 -∞, ?或 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0. ∴当 x∈? 3? ?

84

2? ∴函数 f(x)的单调递增区间为? ?-∞,3?和(2,+∞); 2 ? ∵当 x∈? ?3,2?时,f′(x)<0, 2 ? ∴函数 f(x)的单调递减区间为? ?3,2?. 2? (2)∵当 x∈? ?-∞,3?时,f′(x)>0; 2 ? 当 x∈? ?3,2?时,f′(x)<0; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0, 2 ∴f(x)在 x= 时取得极大值, 3 2 2 ?2 -2 =32. 即 a· ? 3?3 ? ∴a=27. 2.设函数 f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求所有的实数 a,使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立.(注:e 为自然对数的底数.) 解:(1)因为 f(x)=a2ln x-x2+ax,其中 x>0, ?x-a??2x+a? a2 所以 f′(x)= -2x+a=- . x x 由于 a>0,所以 f(x)的递增区间为(0,a),递减区间为(a,+∞). (2)要使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立,则 f(1)≥e-1,得 a-1≥e-1,a≥e,由(1) 知 f(x)在[1,e]内递增,
?f?1?=a-1≥e-1, ? 只要? 2 2 2 ? ?f?e?=a -e +ae≤e ,

解得 a=e. 3.(2013· 大同模拟)已知函数 f(x)=ln(x+a)-x2-x 在 x=0 处取得极值. (1)求实数 a 的值; 5 (2)若关于 x 的方程 f(x)=- x+b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数解, 求实数 b 的取值 2 范围. 1 解:(1)∵f′(x)= -2x-1, x+a 又函数 f(x)在 x=0 处取得极值, 1 ∴f′(0)= -1=0,得 a=1. a (2)由(1)知 f(x)=ln(x+1)-x2-x.
85

5 3 令 g(x)=f(x)+ x-b=ln(x+1)-x2+ x-b, 2 2 x∈(-1,+∞),则 g′(x)= 令 g′(x)=0 得 x=1. 此时 g′(x),g(x)随 x 的变化情况如下表: x g′(x) g(x) (-1,1) + ? 1 0 极大值 (1,+∞) - ? 1 3 -?4x+5??x-1? -2x+ = . 2 x+1 2?x+1?

∴当 x=1 时,g(x)取得极大值也是最大值. 由题设可知函数 g(x)在区间[0,2]上有两个不同的零点, g?1?>0, ? ? ∴?g?0?≤0, ? ?g?2?≤0,

? ?ln 2+2-b>0, 即? -b≤0, ? ?ln 3-1-b≤0,

1

1 解得 ln 3-1≤b<ln 2+ , 2 1 ln 3-1,ln 2+ ?. ∴b 的取值范围是? 2? ?

86


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