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第二章 函数、导数及其应用


第二章 函数、导数及其应用

第二节

函数的单调性与最值

1.增函数、减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D?I,如果对于任意 x1,x2∈D,且 x1<x2,则有: (1)f(x)在区间 D 上是增函数? (2)f(x)在区间 D 上是减函数? 2.单调区间的定义 若函数 y=f(x)在区间

D 上是 叫做 y=f(x)的单调区间. 3.函数的最值 前提 条件 结论 [试一试] 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) B.y=- x+1 ) 1 C.y= 2 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈I,都有 ②存在 x0∈I,使得 M 为最大值 ①对于任意 x∈I,都有 ②存在 x0∈I,使得 M 为最小值 ; 或 ,则称函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性, ;

()

x

1 D.y=x+ x

2.函数 f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区间为______;f(x)max=________.

1.判断函数单调性的四种方法 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论; (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数; (3)图像法:如果 f(x)是以图像形式给出的,或者 f(x)的图像易作出,可由图像的直观性判断函数单调性. (4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性. 2.求函数最值的五个常用方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图像法:先作出函数的图像,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. (4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. 提醒:在求函数的值域或最值时,应先确定函数的定义域. [练一练] 1

1.(2013· 北京高考)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( A.y= 1 x B.y=e
-x

)

C.y=-x2+1

D. y=lg|x|

1 2.函数 f(x)= 2 在区间[2,3]上的最大值是________,最小值是________. x +1

考点一

|

求函数的单调区间

1.函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________. 2.函数 y=x-|1-x|的单调增区间为________. [类题通法] 求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即: (1)定义法;(2)复合法;(3)图像法;(4)导数法. 考点二函数单调性的判断 [典例] ax 试讨论函数 f(x)= (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1

[针对训练] 判断函数 g(x)= -2x 在 (1,+∞)上的单调性. x-1

考点三

|

函数单调性的应用

函数单调性的应用比较广泛是每年高考的重点和热点内容.归纳起来常见的命题角度有: ?1?求函数的值域或最值; ?2?比较两个函数值或两个自变量的大小; ?3?解函数不等式; ?4?求参数的取值范围或值.?

角度一

求函数的值域或最值

2 1.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; 2

(2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

角度二

比较两个函数值或两个自变量的大小 ) D.f(x1)>0,f(x2)>0

1 2.已知函数 f(x)=log2x+ ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( 1-x A.f(x1)<0,f(x2)<0 角度三 解函数不等式 B.f(x1)<0,f(x2)>0

C.f(x1)>0,f(x2)<0

3.已知定义在 R 上的函数 f(x)是增函数,则满足 f(x)<f(2x-3)的 x 的取值范围是________. 角度四 求参数的取值范围或值 f?x1?-f?x2? <0 成立,则实数 a 的 x1-x2

?a-2?x,x≥2, ? ? 4.已知函数 f(x)=? 1 x ? 2 -1,x<2 ?

()

满足对任意的实数 x1≠x2,都有

取值范围为(

) 13 B. -∞, 8

A.(-∞,2)

(

]

C.(-∞,2]

D.

,2) [13 8

[课堂练通考点] 1.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x ) C.[0,2] D.[2,+∞) ) C.f(x)=- 1 x+1 D.f(x)=-|x|

2.函数 f(x)=|x-2|x 的单调减区间是( A.[1,2] B.[-1,0]

1 3.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,若 m<n,则 f(m)______f(n);若 f? x ?<f(1),则实数 x 的取值范围是 ? ? ________. 1 4.函数 f(x)= 3

||

( ) -log (x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________.
x 2

ax+1 5.函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是递增的,求实数 a 的取值范围. x+2

3

第三节

函数的奇偶性及周期性

4

1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定 义 , 图像特点 关于 对称

如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都 有 ,那么函数 f(x)是奇函数

奇函数 2.周期性 (1)周期函数:

关于

对称

对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个

,那么

就叫做 f(x)的最小正周期.

1.判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的一个必要条件. 2.判断函数 f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个 x,均有 f(-x)=-f(x),而不能说存在 x0 使 f(- x0)=-f(x0)、f(-x0)=f(x0). 3.分段函数奇偶性判定时,f(-x0)=f(x0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个 定义域上的奇偶性是错误的. [试一试] 1. (2013· 广东高考)定义域为 R 的四个函数 y=x3, y=2x, y=x2+1, y=2sin x 中, 奇函数的个数是( A.4
2

)

B.3

C.2

D.1 )

2.已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( A.- 1 3 1 B. 3 1 C. 2 1 D.- 2

1.判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法:

5

(2)图像法:

2.周期性常用的结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a; (2)若 f(x+a)= 1 ,则 T=2a; f?x? 1 ,则 T=2a.(a>0) f?x?

(3)若 f(x+a)=- [练一练]

3 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f x+2 ,且 f(1)=2,则 f(2 014)=________.

( )

考点一

|

函数奇偶性的判断

判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 1-x2+ x2-1; (3)f(x)=3x-3 x;


(2)f(x)= 3-2x+ 2x-3; 4-x2 (4)f(x)= ; |x+3|-3

2 ?x +x,x>0, (5)f(x)=? 2 ?x -x,x<0.

[类题通法] 判断函数奇偶性除利用定义法和图像法,应学会利用性质,具体如下: (1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇· 奇”是偶,“奇÷ 奇”是偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶· 偶”是偶,“偶÷ 偶”是偶; 6

(3)“奇· 偶”是奇,“奇÷ 偶”是奇. 考点二 [典例]

|

函数奇偶性的应用

1 (1)(2013· 山东高考)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x2+ , x ) B.0 C.1 D.2

则 f(-1)=( A.-2

(2)已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2], 且在区间[-2,0]上递减, 求满足 f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的 取值范围.

本例(2)中条件在区间[-2,0]上“递减”变为“递增”,试想 m 的范围改变吗?若改变,求 m 的取值范围.

[类题通法] 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值: 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式: 将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于 f(x)的方程 (组),从而得到 f(x)的解析式. (3)求函数解析式中参数的值: 利用待定系数法求解,根据 f(x)± f(-x)=0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或 方程(组),进而得出参数的值. (4)画函数图像和判断单调性: 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性. [针对训练] 1.设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________.


2.已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若 f(a)≥f(2),则实数 a 的取值范围是 ________. 考点三 [典例]

|

函数的周期性及其应用

定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时, )

f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 012)=(

7

A.335 [类题通法]

B.338

C.1 678

D.2 012

函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为 T,函数的周期性 常与函数的其他性质综合命题. (2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论: 若 T 是函数的周期,则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期. [针对训练] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式.

[课堂练通考点] 5 1.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f -2 =( A.- 1 2 B.- 1 4 1 C. 4 1 D. 2 )

( )

)

2. (2014· 大连测试)下列函数中, 与函数 y=-3|x|的奇偶性相同, 且在(-∞, 0)上单调性也相同的是( A.y=- 1 x B.y=log2|x| C.y=1-x2 D.y=x3-1

3.设函数 f(x)=x3cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 4.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 5.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[-2,0]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),求实数 m 的取值范围.

8

第四节

函数的图像

1.利用描点法作函数图像 其基本步骤是列表、描点、连线,具体为: 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性); 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点); 最后:描点,连线. 2.利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换: a>0,右移a个单位 y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― → y=f(x-a); a<0,左移|a|个单位 (2)伸缩变换:
? y=f(x) ???????? 1 ? y=f(ωx); y=f(x) ? ?1,缩短为原来的 ?
1 0?? ?1,伸长为原来的 倍

b>0,上移b个单位 y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=f(x)+b. b<0,下移|b|个单位

A>1,伸为原来的A倍 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=Af(x). 0<A<1,缩为原来的A倍

(3)对称变换: 关于x轴对称 y=f(x) ― ― ― ― ― ― → y=-f(x); 关于原点对称 y=f(x) ― ― ― ― ― ― → y=-f(-x). (4)翻折变换: y=f(x) 去掉y轴左边图,保留y轴右边图 留下x轴上方图 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=f(|x|);y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― → y=|f(x)|. 将y轴右边的图像翻折到左边去 将x轴下方图翻折上去 关于y轴对称 y=f(x) ― ― ― ― ― ― → y=f(-x);

1.在解决函数图像的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的 x,y 变换”的原则,写出每一次的 变换所得图像对应的解析式,这样才能避免出错. 2.明确一个函数的图像关于 y 轴对称与两个函数的图像关于 y 轴对称的不同,前者也是自身对称,且 为偶函数,后者也是两个不同函数的对称关系. [试一试] (2014· 安徽“江南十校”联考)函数 y=log2(|x|+1)的图像大致是( )

1.数形结合思想

9

借助函数图像,可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质;利用函数的图像,还 可以判断方程 f(x)=g(x)的解的个数、求不等式的解集等. 2.分类讨论思想 画函数图像时,如果解析式中含参数,还要对参数进行讨论,分别画出其图像. [练一练] 若关于 x 的方程|x|=a-x 只有一个解,则实数 a 的取值范围是________.

考点一

|

作函数的图像

分别画出下列函数的图像: (1)y=|lg x|; (2)y=2x 2;


(3)y=x2-2|x|-1. [类题通法] 画函数图像的一般方法 (1)直接法. 当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时, 就可根据这些函数的特征直接作出; (2)图像变换法. 若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、 翻折、 对称得到, 可利用图像变换作出, 但要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变 换单位及解析式的影响. 考点二 [典例]

|

识图与辨图 )

(1)(2013· 福建高考)函数 f(x)=ln(x2+1)的图像大致是(

(2)(2012· 湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图像如图所示,则 y=- f(2-x)的图像为( )

[类题通法] 识图常用的方法 10

(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图像的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析 解决问题; (2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题; (3)函数模型法:由所提供的图像特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题. [针对训练] 1.(2014· 潍坊高三期末)函数 y=xsin x 在[-π,π]上的图像是( )

2.如图,函数 f(x)的图像是曲线 OAB,其中点 O,A,B 的坐标分别为(0,0),(1,2), 1 (3,1),则 f?f?3??的值等于________.

?

?

考点三

|

函数图像的应用

函数图像是函数的一种表达形式, 它形象地揭示了函数的性质, 为研究函数的数量关系提供了“形” 的直观性.归纳起来图像的应用常见的命题角度有: ?1?确定方程根的个数;?2?求参数的取值范围;?3?求不等式的解集.

角度一

确定方程根的个数

?|lg x|,x>0, 1.(2014· 日照一模)已知 f(x)=? |x| 则函数 y=2f2(x)-3f(x)+1 的零点个数是________. ?2 ,x≤0, 角度二 求参数的取值范围

?a,a-b≤1, 2.对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? 设函数f?x?=(x2-2)?(x-1),x∈R.若函数 y ?b,a-b>1. =f(x)-c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( A.(-1,1]∪(2,+∞) 角度三 求不等式的解集 B.(-2,-1]∪(1,2] ) D.[-2,-1]

C.(-∞,-2)∪(1,2]

3.函数 f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图像如图所示,那么 f?x? 不等式 <0 的解集为________. cos x

[课堂练通考点]

11

1.函数 y=x|x|的图像经描点确定后的形状大致是(

)

. 2. (2013· 北京高考)函数 f(x)的图像向右平移 1 个单位长度, 所得图像与曲线 y=ex 关于 y 轴对称, 则 f(x) =( ) A.ex
+1

B.ex

-1

C.e

-x+1

D.e

-x-1

3.(2013· 湖南高考)函数 f(x)=ln x 的图像与函数 g(x)=x2-4x+4 的图像的交点个数为 ( A.0 B.1 C.2
2

)

D.3

4.已知函数 f(x)的图像如图所示,则函数 g(x)=log

f(x)的定义域是________.

5.设函数 f(x)=|x+a|,g(x)=x-1, 对于任意的 x∈R, 不等式 f(x)≥g(x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.

第五节 12

二次函数与幂函数

1.五种常见幂函数的图像与性质 函数 特征 性质 y=x y=x2 y=x3
1

y=x 2

y=x

-1

图像 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 增 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (-∞,0)和(0, +∞)减

R R 奇 增

R {y|y≥0} 偶 (-∞, 0]减, (0, +∞)增

R R 奇 增 (1,1)

2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0); (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 3.二次函数的图像和性质 a>0 图像 a<0

定义域 值域

x∈R

?4ac-b ,+∞? ? 4a ?
b 在 -∞,-2a 上递减,在

2

?-∞,4ac-b ? 4a ? ?
b 在 -∞,-2a 上递增,

2

单调性

( ] [-2ba,+∞)上递增

( ] b 在[-2a,+∞)上递减

奇偶性

b=0 时为偶函数,b≠0 时既不是奇函数也不是偶函数 b ①对称轴:x=- ; 2a

图像特点

b 4ac-b2? ②顶点:?- , 4a ? ? 2a

13

1.研究函数 f(x)=ax2+bx+c 的性质,易忽视 a 的取值情况而盲目认为 f(x)为二次函数.
1

2.形如 y=xα(α∈R)才是幂函数,如 y=3x 2 不是幂函数. [试一试] 1.若 f(x)既是幂函数又是二次函数,则 f(x)可以是( A.f(x)=x -1
2

) C.f(x)=-x2 D.f(x)=x2 ) 1 D. -20,0

B.f(x)=5x

2

2.已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图像在 x 轴上方,则 a 的取值范围是( 1 A. 0,20

(

)

1 B. -∞,-20

(

)

1 C. 20,+∞

(

)

(

)

1.函数 y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x),如果定义域内有不同两点 x1,x2 且 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)的图像关于 x = x1+x2 对称. 2 (2)二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x, 都有 f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数 y=f(x)的图像关于直 线 x=a 对称(a 为常数). 2.与二次函数有关的不等式恒成立两个条件 ?a>0, (1)ax2+bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. ?a<0, (2)ax2+bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. 3.两种数学思想 (1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法. 特别是涉及二次方程、 二次不等式的时候常常要结合图形 寻找思路. (2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论. 比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位 置关系,讨论二次方程根的大小等. [练一练] 如果函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线 x=1 对称,则函数 f(x)的最小值为________.

考点一

|

幂函数的图像与性质 )

1.幂函数 y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的图像是(

1 2.图中曲线是幂函数 y=xα 在第一象限的图像.已知 n 取± 2,± 四个值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 2 的 α 值依次为________.

14

3 3.设 a= 5 [类题通法]

()

2 5

2 ,b= 5

()

3 5

2 ,c= 5

()

2 5

,则 a,b,c 的大小关系是________.

1.幂函数 y=xα 的图像与性质由于 α 的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查: (1)α 的正负:α>0 时,图像过原点和(1,1),在第一象限的图像上升;α<0 时,图像不过原点,在第一象 限的图像下降. (2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1 时,曲线下凸;0<α<1 时,曲线上凸;α<0 时,曲线下凸. 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数.借助其单调性进行比较,准确掌握 各个幂函数的图像和性质是解题的关键. 考点二 [典例] 式.

|

求二次函数的解析式

已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数的解析

[类题通法] 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,规律如下:

[针对训练] 已知 y=f(x)为二次函数,且 f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=-5,求此二次函数的解析式. 考点三

|

二次函数的图像与性质

研究二次函数在闭区间上的最值解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称 轴与区间的关系进行分类讨论.归纳起来常见的命题角度有: ?1?轴定区间定求最值;?2?轴动区间定求最值;?3?轴定区间动求最值. 角度一 轴定区间定求最值

1. 已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6],当 a=-2 时,求 f(x)的最值.

角度二

轴动区间定求最值

2.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值.

角度三

轴定区间动求最值 15

2. 设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为 g(a),求 g(a).

[类题通法] 影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法: (1)最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关. (2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解,在区间