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无棣一中高二数学导学案:空间向量运算的坐标表示


无棣一中高二数学导学案
制作人:李春阳
科 目 学习 目标 重点 难点 学法 指导 数学 课

审核人:


吴英利

张崇福

数学备课组
课型 新课

时间:
授课人

12.23

间向量运算的坐标表示

1、掌握空间向量的坐标运算,会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直; 2、掌握向量长度,两向量夹角和两点间距离公式。

空间向量的坐标运算及应用

类比学习法
学 习 过 程 学习笔记 (教学设计)

一、 ※温故知新※ 复习平面向量坐标运算:
1、给定点
?

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB ? (

)

已知 a ? ( x1 , y1 ) , 2、 a ? b ? 若 ? ? R ,则 ?
? ?

b ? (x

?

2

, y 2 ) ,回答 2、3、4 题

a ?b ?

?

?



a?


?

a

?

?

3、

a ?b ?
a ? b ,则坐标满足
? ?

?

?

cos ? a , b ??

? ?

4、若 若

a // b ,则坐标满足

?

?

二、※合作学习 ※ ,小组合作完成下列问题 探究一:阅读教材 3.1.5 节内容,完成下列问题:
空间中,设 a ? ( x1 , y1 , z1 ), 1、 a ? b ? 若 ? ? R ,则 ? a ? 2、给定点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ( 2、 a ? b ? 3、若 a ? b ,则坐标满足 若 a // b ,则坐标满足
? ?
? ?
? ?

?

b ? (x , y
2

?

2

, z 2 ) ,则


?

?


?

a ?b ?

?

?

)



4、 a

?

?

cos ? a , b ??

?

?

5、在空间直角坐标系中,已知点 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则:
AB ? (

),

其长度为:

三:※典例展示※
例 1. 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E1 , F1 分别是 A1 B1 , C1 D1 的一 个四等分点,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值.

[来源:]

B1E1 ? D1F1 ? 变式: 如上图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,

A1B1 3

, 求 BE1

与 DF1 所成角的余弦值

例 2. 如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是 BB1 , D1 B1 的中点, 求证: EF ? DA1 .

变式:如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1D1 中,点 M 是 AB 的中点,求 DB1 与 CM 所成 角的余弦值.

四: ※动手试试※
练 1. 已知 A(3,3,1)、B(1,0,5),求:⑴线段 AB 的中点坐标和长度; ⑵到 A、B 两点距离相等的点 P( x, y, z ) 的坐标 x、y、z 满足的条件.

练 2. 如图,正方体的棱长为 2,试建立适当的空间直角坐标系,写出正方体各 顶点的坐标,并和你的同学交流.

五、※总结提升※

※ 知识拓展※
在平面内取正交基底建立坐标系后,坐标平面内的任意一个向量,都可以 用二元有序实数对表示,平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组 表示,空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量统称为几何向量.

六、※ 当堂达标检测※(时量:5 分钟

满分:10 分) ? ? a1 a2 a3 ? ? 1. 若 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 b ? b ? b 是 a // b 的( 1 2 3



A.充分不必要条件 C.充要条件

2. 已知 a ? (2,?1,3), b ? (?4,2, x) ,且 a ? b ,则 x =
? ?

?

?

B.必要不充分条件 D.既不充分又不不要条件 .

? ? ? 3. 已知 A ?1,0,0 ? , B ? 0, ?1,1? , OA ? ?OB与OB 的夹角为 120°,
则 ? 的值为( A.
? 6 6

) B.
6 6

C.

?

? ? ? 2 4. 若 a ? ( x,2,0), b ? (3,2 ? x, x ) ,且 a , b 的夹角为钝角,
?

6 6

D. ? 6

则 x 的取值范围是( ) A. x ? ?4 B. ?4 ? x ? 0
?

? ? ? ? ? 5. 已知 a ? (1,2,- y ), b ? ( x,1,2) , 且 (a ? 2b ) //(2a ? b ) , 则 ( )
1 A. x ? , y ? 1 3

C. 0 ? x ? 4

D. x ? 4

B. x ?

1 , y ? ?4 2

C. x ? 2, y ? ?
七 、

1 4

D. x ? 1, y ? ?1

课后作业:
ABCD ? A' B 'C ' D ' 棱长为 a ,
⑵求证:

1. 如图,正方体 ⑴ 求

A' B, B'C

的夹角;

A' B ? AC ' .

2、设

a ? (1,5,?1),
? ?

?

(1)若 (k a ? b) // (a ? 3b) ,求 k 的值; b ? (?2,3,5) ,求:
? ?

?

?

?

?

?

(2)若 (k a ? b) ? (a ? 3b) ,求 k 的值。


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