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2016高三数学一轮复习 第2章 第9课时 函数模型及其应用课时训练 文 新人教版


【高考领航】 2016 高三数学一轮复习 第 2 章 第 9 课时 函数模型及 其应用课时训练 文 新人教版

A 级 基础演练 1.(2015·南昌质检)往外埠投寄平信,每封信不超过 20 g,付邮费 0.80 元,超过 20 g 而 不超过 40 g,付邮费 1.60 元,依此类推,每增加 20 g 需增加邮费 0.80 元(信的质量在 100 g 以内).如果某人所寄一封信的质量为 72.5 g,则他应付邮费( A.3.20 元 C.2.80 元 B.2.90 元 D.2.40 元 )

解析:选 A.由题意得 20×3<72.5<20×4,则应付邮费 0.80×4=3.20(元).故选 A. 2.(2015·长春模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳 定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运 输任务 Q0,各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效 率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )

解析:选 B.由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得,曲线上的点的切线斜率应逐渐增 大,故函数的图象应一直是下凹的,故选 B. 3.(2015·广州模拟)在某个物理实验中,测量得变量 x 和变量 y 的几组数据,如下表:

x y

0.50 -0.99 )

0.99 0.01

2.01 0.98

3.98 2.00

则对 x,y 最适合的拟合函数是( A.y=2x C.y=2x-2

B.y=x -1 D.y=log2x

2

解析:选 D.根据 x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除 A;根据 x=2.01,y=0.98, 代入计算,可以排除 B、C;将各数据代入函数 y=log2x,可知满足题意.故选 D. 4.(2015·深圳模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运, 据市场分析每辆客车 营运的总利润 y(单位:10 万元)与营运年数 x(x∈N )为二次函数关系(如图所 示),则每辆客车营运多少年时,其营运的平均利润最大( )
*

1

A.3 C.5

B.4 D.6

y 25 2 解析:选 C.由题图可得营运总利润 y=-(x-6) +11,则营运的年平均利润 =-x- + x x
12,∵x∈N ,∴ ≤-2 时营运的平均利润最大. 5.(2015·南昌质检)某地 2014 年底人口为 500 万,人均住房面积为 6 m ,如果该城市人口 平均每年增长率为 1%,为使 2024 年底该城市人均住房面积增加到 7 m ,平均每年新增住房 面积至少为(1.01 ≈1.104 6)( A.90 万 m C.85 万 m
2 10 2 2 *

y x

x· +12=2,当且仅当 x= ,即 x=5 时取“=”,∴x=5 x x

25

25

) B.87 万 m D.80 万 m
10 2

2

2

500×?1+1%? ×7-500×6 2 解析:选 B.由题意得 ≈87(万 m ). 10 6.(2015·湛江一中模拟)铁道机车运行 1 h 所需的成本由两部分组成:固定部分 m 元,变 动部分(元)与运行速度 x(km/h)的平方成正比, 比例系数为 k(k>0). 如果机车从甲站匀速开 往乙站,甲、乙两站间的距离为 500 km,则机车从甲站运行到乙站的总成本 y(元)与机车运 行速度 x 之间的函数关系为__________. 解析:∵1 h 的成本为(m+kx ),从甲站到乙站需运行
2

500 500 ?m ? 2 h,y= (m+kx )=500? +kx?.

x

x

?x

?

? ? 答案: y=500? +kx?
m ?x

?
2

7.如图,书的一页的面积为 600 cm ,设计要求书面上方空出 2 cm 的边,下、 左、右方都空出 1 cm 的边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、 宽应分别为__________. 解析:设长为 a cm,宽为 b cm,则 ab=600 cm,则中间文字部分的面积 S =(a-2-1)(b-2)=606-(2a+3b)≤606-2 6×600=486,当且仅当 2a =3b,即 a=30,b=20 时,S 最大=486 cm . 答案:30 cm,20 cm 8.(2014·高考福建卷)要制作一个容积为 4 m ,高为 1 m 的无盖长方体容器,已知该容器 的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是 __________(单位:元). 4 80 ? 4? 解析:设底面长为 x m,宽为 m,造价为 y 元,y=4×20+2?x+ ?×10=80+20x+ ≥80
3 2

x

?

x?

x

+2

80 80 20x· =160,当且仅且 20x= ,即 x=2 时,等号成立,所以最低造价为 160 元.

x

x

2

答案:160 9.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用 了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:y 1 2 = x -200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元. 2 该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元 才能使该单位不亏损? 解析:设该单位每月获利为 S, 则 S=100x-y

?1 2 ? =100x-? x -200x+80 000? ?2 ?
1 2 =- x +300x-80 000 2 1 2 =- (x-300) -35 000, 2 因为 400≤x≤600, 所以当 x=400 时,S 有最大值-40 000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元,才能不亏损. B 级 能力突破 1. (2015·北京东城月考)某企业投入 100 万元购入一套设备, 该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每 年的维护费都比上一年增加 2 万元. 为使该设备年平均费用最低, 该企业需要更新设备的年 数为( A.10 C.13 ) B.11 D.21

解析:选 A.设该企业需要更新设备的年数为 x,设备年平均费用为 y 万元,则 x 年后的设备 100+0.5x+x?x+1? 维护费用为 2+4+?+2x=x(x+1)万元, 所以 x 年的平均费用为 y=

x

100 100 =x+ +1.5,由基本不等式得 y=x+ +1.5≥2

x

x



100

x

+1.5=21.5,

100 当且仅当 x= 取等号,∴x=10.

x

2.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了 n 次涨停(每次 上涨 10%),又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他 费用)为( )
3

A.略有盈利 C.没有盈利也没有亏损

B.略有亏损 D.无法判断盈亏情况
n

解析:选 B.设该股民购这支股票的价格为 a,则经历 n 次涨停后的价格为 a(1+10%) =

a×1.1n,经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n
=0.99 ·a<a,故该股民这支股票略有亏损. 3.某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克,如图所示为函数 y=f(x)的图象,当血 液中药物残留量不小于 240 毫克时, 治疗有效. 设某人上午 8∶00 第一次服药, 为保证疗效, 则第二次服药最迟的时间应为( )
n

A.上午 10∶00 C.下午 4∶00 解析:选 C.当 x∈[0,4]时,设 y=k1x, 把(4,320)代入,得 k1=80, ∴y=80x.当 x∈[4,20]时,设 y=k2x+b.
?4k2+b=320, ? 把(4,320),(20,0)代入得? ? ?20k2+b=0.

B.中午 12∶00 D.下午 6∶00

解得?

? ?k2=-20, ?b=400. ?

∴y=400-20x.

? ?80x,0≤x≤4, ∴y=f(x)=? ?400-20x,4<x≤20. ? ?0≤x≤4, ? 由 y≥240,得? ?80x≥240, ? ?4<x≤20, ? 或? ?400-20x≥240. ?

解得 3≤x≤4 或 4<x≤8,∴3≤x≤8. 故第二次服药最迟应在当日下午 4∶00.故选 C. 4.某商品进价每件 50 元,根据市场调查,当销售价格(每件 x 元)在 50<x≤80 时,每天售 10 出的件数设为 P= 2.若某商店想每天获利最多,销售价应定为每件________元. ?x-40? 10 ?x-50? 解析:设售价定为每件 x 元(50<x≤80),每天获利 y 元.则 y=(x-50)·P= 2 ?x-40?
5 5

4

=-10 ?
6

? 1 ?2+105? 1 ?(50<x≤80), ? ?x-40? ?x-40? ? ?
1 1 =t,因为 50<x≤80,所以 ≤t< , 40 10



1

x-40

1 ?2 6 2 5 6? 则 y=-10 t +10 t=-10 ?t- ? +2 500. ? 20? 1 1 1 因为 ≤t< ,所以当 t= 时,ymax=2 500, 40 10 20 此时 1 1 = ,x=60. x-40 20

所以销售价格定为每件 60 元. 答案:60 5.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七月 份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、八 月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是 __________. 解析:七月份的销售额为 500(1+x%),八月份的销售额为 500(1+x%) ,则一月份到十月份 的销售总额是 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%) ], 根据题意有 3 860+500+2[500(1 +x%)+500(1+x%) ]≥7 000,即 25(1+x%)+25(1+x%) ≥66, 令 t=1+x%,则 25t +25t-66≥0, 6 11 6 解得 t≥ 或者 t≤- (舍去),故 1+x%≥ , 5 5 5 解得 x≥20. 答案:20 6.某公司研制出了一种新产品,试制了一批样品分别在国内和国外上市销售,并且价格根 据销售情况不断进行调整,结果 40 天内全部销完.公司对销售及销售利润进行了调研,结 果如图所示, 其中图①(一条折线)、 图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量 与上市时间的关系,图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系.
2 2 2 2 2

(1)分别写出国外市场的日销售量 f(x)与上市时间 t 的关系及国内市场的日销售量 g(t)与上 市时间 t 的关系;
5

(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于 6 300 万元?若有,请说明是上市后 的第几天;若没有,请说明理由. 解析:(1)图①是两条线段,由一次函数及待定系数法,
?2t,0≤t≤30, ? 得 f(t)=? ? ?-6t+240,30<t≤40.

图②是一个二次函数的部分图象, 3 2 故 g(t)=- t +6t(0≤t≤40). 20
? ?3t,0≤t≤20, (2)每件样品的销售利润 h(t)与上市时间 t 的关系为 h(t)=? ?60,20<t≤40. ?

故国外和国内的日销售利润之和 F(t)与上市时间 t 的关系为

? ? ? 3 ? F(t)=?60?- t +8t?,20<t≤30, ? 20 ? 3 ? ?60???-20t +240???,30<t≤40.
2 2

? 3 2 ? 3t?- t +8t?,0≤t≤20, ? 20 ?

9 3 ? 3 2 ? 2 当 0≤t≤20 时,F(t)=3t?- t +8t?=- t +24t , 20 20 ? ? 27 ? 27 2 ? ∴F′(t)=- t +48t=t?48- t?≥0, 20 ? 20 ? ∴F(t)在[0,20]上是增函数, ∴F(t)在此区间上的最大值为 F(20)=6 000<6 300.

? 3 2 ? 当 20<t≤30 时,F(t)=60?- t +8t?. ? 20 ?
由 F(t)=6 300,得 3t -160t+2 100=0, 70 解得 t= (舍去)或 t=30. 3 当 30<t≤40 时,
2 ? ? F(t)=60?- t +240?. 2

3

? 20

?

由 F(t)在(30,40]上是减函数,得 F(t)<F(30)=6 300. 故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于 6 300 万元,为上市后的第 30 天.

6



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