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高中数学必修4知识点总结归纳


高中数学必修 4 知识点总结
第一章 三角函数(初等函数二)
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则 称 ? 为第几象限角. 第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?

?

? ? ? ?

第二象限角的集合为 ? k ? 360? ? 90? ? k ? 360? ? 180? , k ? ?

?

第三象限角的集合为 ? k ? 360? ? 180? ? ? ? k ? 360? ? 270? , k ? ?

?

第四象限角的集合为 ? k ? 360? ? 270? ? ? ? k ? 360? ? 360? , k ? ? 终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? , k ? ?

?

?

? ? ? ?

终边在 y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? ? 90? , k ? ? 终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 90? , k ? ?

?

?

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360? ? ? , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

?

从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对 ? 应的标号即为 终边所落在的区域. n 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度. l 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? . r
? 180 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?
?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再 n
*

?

?

?

8、若扇形的圆心角为 ? ?? 为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则
1 1 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2

9、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点的距离

-1-

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为 正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .

是 r r ? x 2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1
sin ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? , cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ; ? 2 ? cos? ? tan ? ?
sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

y P T v O M A x

13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos ? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ? ? ? . ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ? 3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4 ? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 14、 函数 y ? sin x 的图象上所有点向左 (右) 平移 ? 个单位长度, 得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; 再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长 (缩短) 到原来的
1 倍 (纵 ?

坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点 的纵坐标伸长 (缩短) 到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 到函数
y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

1 倍(纵坐标不变) ,得 ?

? 个单位长度, ?

得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸
-2-

长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?
2?

?

;③频率: f ?

1 ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? ? 2?

函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值
1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

为 ymax ,则 ? ?
函 质





y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义 域 值域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

? ?1,1?
当 x ? 2 k? ? 时 ,

? ?1,1?
?k ? ??
当 x ? 2k? ? k ? ? ? 时,
ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?

R

?
2

ymax ? 1 ; 当

最值
x ? 2 k? ?

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
周期 性 奇偶 性
2? 2?

?
奇函数

奇函数

偶函数

? ?? ? 在 ? 2 k? ? , 2 k? ? ? 2 2? ?
单调 性

在 ? 2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ? 上 是增函数; ? 2k? , 2k? ? ? ? 在

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? ? 2 k? ? 2 , 2 k? ? 2 ? ? ?

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? k ? ? ? 上是减函数.
-3-

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k? , 0 ?? k ? ? ? 对称 性 对
x ? k? ?





















?
2

? k ? ??

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ? ? ?

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

无对称轴

第二章

平面向量

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

? ? ? ? ? ? ⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;

?

?

?

?

? ? ? ? ? ③a ?0 ? 0?a ? a .

C

? a

?

? b

?

??? ? ? ? ????- 4 - ? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

? ? ? ? ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ? ? ? ? ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
??? ? 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

19、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ? ? ① ?a ? ? a ; ? ? ? ? ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? ? ? 0 时, ? a ? 0 .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑵运算律:① ? ? ? a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a ;③ ? a ? b ? ? a ? ? b .

?

?

? ? ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ? a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .

? ? ? ? ? ? 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? 设 a ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、b b ? 0

?

?

共线.
?? ?? ? 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平 ?? ?? ? ?? ?? ? ? ? 面内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、?2 ,使 a ? ?1e1 ? ? e2 . (不共线的向量 e1 、e2 2

作为这一平面内所有向量的一组基底) 22、 分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ?1? 2 上的一点,?1 、? 2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? ,
??? ? ???? ? x ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , 当 ?1? ? ? ?? 2 时,点 ? 的坐标是 ? 1 ?. 1? ? ? ? 1? ?

23、平面向量的数量积: ? ? ? ? ? ? ? ? ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0? ? ? ? 180? .零向量与任一向量的数量积为 0 .

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑵性质: a 和 b 都是非零向量, 设 则① a ? b ? a ? b ? 0 . ②当 a 与 b 同向时,a ? b ? a b ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b .
-5-

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c .

?

?

? ?

?

?

? ? ? ? ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .
? ? ?2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x 2 ? y 2 ,或 a ? x 2 ? y 2 .

? ? ? ? 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

? ? ? ? ? ? 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则 ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? . 2 2 a b x12 ? y12 x2 ? y2

第三章
⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ? ⑹ tan ?? ? ? ? ?

三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
1 ? cos 2? ) . 2



cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 2



sin 2 ? ?

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
? . ?

26、 ? sin ? ? ? cos ? ? ? 2 ? ? 2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

-6-

-7-



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