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江苏省淮海中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文


2014~2015 学年高二年级第五次阶段调查测试 数 学(文)
一、填空题(1-14 题每题 5 分,共 70 分) 1、设集合

U ? {1,3,5,7,9 },A ? {1,| a ? 1 |,9},CU A ? {5,7} ,则实数 a 的值为
2

? 2, ?? ? 上是增函数,则实数 a 的最小值 2、设函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? 1 在区间
为________. 3、如果复数 ?1 ? i ??1 ? mi? 是实数,则实数 m ? _________

?0, ??) 单调递增, 4、 已知偶函数 f ( x ) 在区间 则满足 f (2 x ? 1) <
5、已知函数

1 f( ) 3 的 x 取值范围是_____

?? x ? 2, x ? 0 f ?x ? ? ? ?log2 x, x ? 0

,则 f ? f ?? 2?? 的值为_________

6、若函数 y=f(x)的值域是[1,3],则函数 F(x)=1-2f(x+3)的值域是______

m?
7、 “

1 4 ”是“一元二次方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实数解的”
2

条件 (必要不充分或充分不

必要或充要或既不充分也不必要) 8、已知命题“ ?x ? R, x ? 2ax ? 1 ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围是

9、 定义两种运算: a ? b ?

a ? b , a ? b ? (a ? b) ,则函数
2 2

2

f ( x) ?

2? x ( x ? 2) ? 2

的图象关于 对称 10、不等式 mx2-mx-1<0的解集为 R,则实数 m 的取值范围是__________

x 11、已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,若 0 满足关于 x 的方程 2ax ? b ? 0 ,则下列选
2

项的命题中为假命题的是 (1) (3)

?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

(2) (4)

?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

3 a 12、边长为 a 的等边三角形内一点到三边的距离之和为定值,这个定值为 2 ,推广到空
间,棱长为 a 的正四面体内任一点到各个面距离之和为

-1-

ax ? 1, x ? 0 ? f (x) ? ? 2 ?x ? (2a ? 1)x ? 2 ? 3a, x ? 0 在 (??,??) 上是增函数,则实数 a 的取 13、已知函数
值范围是

??1,0? 上是增函数,下面关于 14. 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足: f (2 ? x) ? ? f ( x) ,且在
f ( x) 的判断:① f ( x) 是周期函数;② f (5) =0;③ f ( x) 在 ?1, 2? 上是减函数;④ f ( x) 在

??2, ?1? 上是减函数.其中正确的判断是
二、解答题(共 6 大题,共 90 分) 15、(本题满分 14 分)

(把你认为正确的判断都填上)

已知复数 z1 ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i , z 2 ? (m ? 1) ? (m ? 1)i , ( m ? R ),在复平面内对应的点
2

分别为 Z1 , Z 2 .

(1) 若 z 1 是纯虚数,求 m 的值;

(2) 若 z 2 在复平面内对应的点位于第四象限,求 m 的取值范围;

16.、(本题满分 14 分) 已知命题 p: ? x ? 6x ? 16 ? 0, q : x ? 4x ? 4 ? m ? 0(m ? 0) .
2 2 2

(1)若 p 为真命题,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 为 q 成立的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围.

17、(本题满分 15 分) . 经市场调查,某商品在过去 100 天内销售量和价格均为时间 t(天)的函数,

1 112 g (t ) ? ? t ? (1 ? t ? 100, t ? N ) 3 3 且日销售量近似地满足 . 前 40 天 的 价 格 为 1 1 f (t ) ? t ? 22(1 ? t ? 40, t ? N ), f (t ) ? ? t ? 52(41 ? t ? 100, t ? N ), 4 2 后 60 天价格为

-2-

(1)试求该商品的日销售额S(t)解析式; (2)当 t 取何值时,日销售额S(t)取最大值和最小值并求出最大值和最小值.

18、(本题满分 15 分) 二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间[-1,1]上,函数 y=f(x)的图像恒在直线 y=2x+m 的上方,试确定实数 m 的取值范 围.

19、 (本题满分 16 分)
x ?x 设函数 f ( x) ? e ? e .(1)判断函数 y ? f ( x) 奇偶性;

(2)讨论 f ( x ) 的单调性并求函数 y ? f ( x) 在区间 [2,3] 的最大值和最小值 (结果用分式表示)

? (3)证明: f ( x ) 的导数 f ( x) ? 2 ;

-3-

20、(本题满分 16 分) 已知 a ? R ,函数

f ( x) ? x x ? a



(Ⅰ)当 a =2 时,作出图形并写出函数 y ? f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 a =-2 时,求函数 y ? f ( x) 在区间 (? 2 ?1, 2] 的值域; (Ⅲ)设 a ? 0 ,函数 f ( x) 在 (m, n) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m、n 的取值范 围(用 a 表示) .

高二数学联考答案 2、 ? 2

1、2 或-4

1 2 3、-1 4、 ( 3 , 3 ) 5、 2
9、原点 10、 ?? 4,0?

6、[-5,-1] 7、充分不必要 8、 (??,?1) ? (1,??)

? 1? 6 ? 0, ? a 3 11、(3) 12、 13、 ? 3 ?

14、①、②、③

15、 (1)因为复数 z1 ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i ( m ? R )是纯虚数, 所以 m?m ? 1? ? 0 ,且 m ? 1 ? 0 ,解得 m ? 0 ; ??????7 分 (2)因为复数 z 2 ? (m ? 1) ? (m ? 1)i ( m ? R )在复平面内对应的点位于第四象限,
2

-4-

?m ? 1 ? 0 ? 2 m ? 1 ? 0 ,解之得 ? 1 ? m ? 1 ; ?????????14 分 所以 ?
16、(1) ?2 ? x ? 8 (2):求对 q 真等价于 ( 4分)

2?m ? x ? 2?m

(8 分)

[-2,8]是[2-m,2+m]的真子集 列不等式组并解对得

(10 分) (14 分)

? 1 112 1 (? t ? )( t ? 22), (1 ? t ? 40, t ? N ) ? ? 3 3 4 S (t ) ? ? ?(? 1 t ? 52)(? 1 t ? 112 )(41 ? t ? 100, t ? N ) ? 3 3 ? 2 17、17(1) S(t)=g(t)f(t); (7分)
若化简也可,化简错扣2分.

1 ? t ? 40, t ? N 时: (2) 当

S (t ) ? ?

1 2500 (t ? 12) 2 ? 12 3

768 ? S (40) ? S (t ) ? S (12) ?
此时

2500 3

(10 分)

当41 ? t ? 100, t ? N 时

S (t ) ?

1 8 (t ? 108) 2 ? 6 3 1491 2

8 ? S (100) ? S (t ) ? S (41) ?
此时

(13 分)

t ? 12时S (t )取最大值为
综上:当

2500 ;当t ? 100时最小值是  3 8.(15 分)

18、 (1)由 f(0)=1,可设 f(x)=ax2+bx+1(a≠0),故 f(x+1)-f(x)=a(x+1)2
?2a=2, ?a=1, ? ? +b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2ax+a+b,由题意,得? 解得? ? ? ?a+b=0, ?b=-1,

故 f(x)=x2-x+1. ?????7 分 (2)由题意,得 x2-x+1>2x+m,即 x2-3x+1>m,对 x∈[-1,1]恒成立.令 g(x)=x2-3x+1, 则问题可转化为 g(x)min>m,又因为 g(x)在[-1,1]上递减, 所以 g(x)min=g(1)=-1,故 m<- 1. ?????15 分

f ( x) ? e x ? e ? x ? e x ?
19、 (1)∵

1 e x , ex ? 0 ,
(2分)
-5-

函数 y ? f ( x) 的定义域为实数 R 关于原点对称

又∵ f (? x) ? e

?x

? ex ? ?(ex ? e? x ) ? ? f ( x)
(4 分)

∴函数 y ? f ( x) 为奇函数.

(2) f ( x ) 的导数

f ?( x) ? (e x ?

1 )?=ex ? e? x x e >0恒成立.所以函数 y ? f ( x) 定义域上 为
( 8分)

单调增函数(也可用定义证明)

所以函数 y ? f ( x) 在区间 [2,3] 上也单调递增;函数 y ? f ( x) 在 x ? 3 处取得最大值,且最大

f (3) ? e3 ? e?3 ?
值为

e6 ? 1 e3 f (2) ? e2 ? e?2 ? e4 ? 1 e2

在 x ? 2 处取得最小值,且最小值为

( 12分)

(3)由于 f ( x ) 的导数

f ?( x) ? (e x ?

1 )?=e x ? e ? x ? 2 ex ? e? x ? 2 ,故 f ?( x) ? 2 . ex
(16 分)

(当且仅当 x ? 0 时,等号成立) .

20、 (Ⅰ)解:作出图象 ????????(2 分) 当 a ? 2 时,

? x( x ? 2), x ? 2 ? f ( x) ? x | x ? 2 |? ? x(2 ? x), x ? 2
由图象可知, 单调递增区间为(- ? ,1],[2,+ ? )??(4 分) (Ⅱ)

? f(x)在(- 2 ?1, ?2)是增函数, 在(?2, ?1)是减函数, 在(?1, 2)是减函数, ?(6 分)


f ( x)min ? f (?1) ? ?1 ∴ f ( x)max ? 8
[?1,8] ∴ f ( x)的值域为

???(8 分) ??(10 分)

-6-

? x( x ? a), x ? a f ( x) ? ? ? x(a ? x), x ? a (Ⅲ)
当 a ? 0 时,图象如右图所示

? a2 ?y ? 4 ? ( 2 ? 1)a ? y ? x( x ? a) x ? 2 由? 得 ??(12 分)
0?m?


a a?n? 2,

2 ?1 a 2 ???(16 分)

-7-


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