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【考前30天绝密资料】2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之 四(课标理科专用)


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专题限时集训(四)A [第 4 讲 导数在研究函数性质中的应用及定积分] (时间:10 分钟+35 分钟)

2012 二轮精品提分必练 ) 1.函数 y=x·e 的图象在点(1,e)处的切线方程为( A.y=ex B.y=x-1+e C.y=-2ex+3e D.y=2ex-e 2.已知函数

f(x)的图象如图 4-1 所示,f′(x)是 f(x)的导函数,则下列数值排序正确的 是( ) 2012 二轮精品提分必练 图 4-1 A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2) B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3) 2 ?x ,x∈[0,1], ? 3.设 f(x)=?1 ) (其中 e 为自然对数的底数),则?e f(x)dx 的值为( ?0 ?x,x∈(1,e] ? 4 5 A. B. 3 4 6 7 C. D. 6 5
x

1 4.若函数 f(x)= x3-f′(1)x2+x+5,则 f′(1)的值为( ) 3 A.-2 B.2 2 2 C.- D. 3 3 2012 二轮精品提分必练 1.曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15 π 2.若曲线 f(x)=xsinx+1 在 x= 处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直,则实数 a 等 2 于( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 cosx 3.已知函数 f(x)= x ,则函数 f(x)的图象在点(0,f(0))处切线方程为( ) e A.x-y+1=0 B.x+y-1=0 C.cosx·x+y-1=0 D.ex·x+cosx·y+1=0 4.抛物线 x2=2y 和直线 y=x+4 所围成的封闭图形的面积是( ) A.16 B.18 C.20 D.22 5.已知 f(x)=x3+ax2-2x 是奇函数,则其图象在点(1,f(1))处的切线方程为________.
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1 6.?-2 dx=________. ? x
-3

7.已知函数 f(x)=x2-alnx(a∈R). (1)若 a=2,求证:f(x)在(1,+∞)上是增函数; (2)求 f(x)在[1,e]上的最小值.

8.已知函数 f(x)=(x2+ax+2)ex(x,a∈R). (1)当 a=0 时,求函数 f(x)的图象在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数 y=f(x)为单调函数,求实数 a 的取值范围; 5 (3)当 a=- 时,求函数 f(x)的极小值. 2

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专题限时集训(四)B [第 4 讲 导数在研究函数性质中的应用及定积分] (时间:10 分钟+35 分钟)

2012 二轮精品提分必练 x+1 1.过点(0,1)且与曲线 y= 在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为( ) x-1 A.2x-y+1=0 B.2x+y-1=0 C.x+2y-2=0 D.x-2y+2=0 2. 已知直线 y=x+2 与函数 y=ln(ex+a)的图象相切, 为自然对数的底数, a 为( e 则 ) e e A. B.- C.2e D.-2e 2 2 3.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等 于( ) A.2 B.3 C.6 D.9 4.如图 4-2,设 T 是直线 x=-1,x=2 与函数 y=x2 的图象在 x 轴上方围成的直角梯 形区域,S 是在 T 上函数 y=x2 图象下方的点构成的区域(图中阴影部分).向 T 中随机投一 点,则该点落入 S 中的概率为( ) 2012 二轮精品提分必练 图 4-2 2 1 1 1 A. B. C. D. 5 3 2 5 2012 二轮精品提分必练 π 1.∫ 0(x-sinx)dx 等于( ) 2 2 2 π π A. -1 B. -1 4 8 2 2 π π D. +1 C. 8 8
2 2.函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图象如图 4-3 所示,则 x2+x2等于( ) 1 2012 二轮精品提分必练 图 4-3 8 10 A. B. 9 9 16 4 C. D. 9 5 ?2x3+3x2+1(x≤0), ? 3.函数 f(x)=? ax 在[-2,2]上的最大值为 2,则 a 的范围是( ) ? ?e (x>0) 1 1 A.?2ln2,+∞? B.?0,2ln2? ? ? ? ? 1 ? C.(-∞,0] D.?-∞,2ln2? ? 4.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,若 f(x)在区间(-1,0)上单调递减,则 a2+b2 的取值 范围是( ) 9 9 A.?4,+∞? B.?0,4? ? ? ? ? 9 9? C.?5,+∞? D.?0,5? ? ? ?

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1 x 2?7 -32a x 2 - 的展开式中 x 的系数,则∫1 ?e -x?dx=________. ? ? 2 x? ? 1 6. 设函数 f(x)是定义在 R 上的可导偶函数, 且图象关于点?2,1?对称, f′(1)+f′(2) 则 ? ? +f′(22)+…+f′(2100)=________.

5.已知实数 a 为?

a 7.已知函数 f(x)=?1-x?ex(x>0),其中 e 为自然对数的底数. ? ? (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的面积; (2)若函数 f(x)存在一个极大值点和一个极小值点,且极大值与极小值的积为 e5,求 a 的 值.

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8.已知函数 f(x)=alnx-x2+1. (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 4x-y+b=0,求实数 a 和 b 的值; (2)求证:f(x)≤0 对任意 x>0 恒成立的充要条件是 a=2; (3)若 a<0,且对任意 x1、x2∈(0,+∞),都|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|,求 a 的取值范围.

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专题限时集训(四)A 【基础演练】 1.D 【解析】 因为 y′=ex+xex,所以在点 x=1 处函数的导数值是 y′|x=1=e+e= 2e,所以在点(1,e)处函数图象的切线方程是 y-e=2e(x-1),即 y=2ex-e. 2.B 【解析】 根据函数图象可得函数的导数是单调递减的,函数在[2,3]上的平均变 f(3)-f(2) <f′(2), 化率小于在点 2 的瞬时变化率、大于在点 3 的瞬时变化率.所以 0<f′(3)< 3-2 即 0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2). 1 1 1 3.A 【解析】 ?e f(x)dx=?1f(x)dx+?e f(x)dx=?1x2dx+?e dx= x3|1+lnx|e = +1= 1 x 3 0 3 ? ? ? ? ?
0 0 1 0 1

4 . 3 2 4.D 【解析】 由已知得 f′(x)=x2-2f′(1)x+1?f′(1)=1-2f′(1)+1?f′(1)= . 3 【提升训练】 1.C 【解析】 因为 y′=3x2,所以 k=y′|x=1=3,所以过点 P(1,12)的切线方程为 y -12=3(x-1),即 y=3x+9,所以与 y 轴交点的纵坐标为 9. π π 2.D 【解析】 f′(x)=sinx+xcosx,f′?2?=1,即曲线 f(x)=xsinx+1 在点 x= 处 ? ? 2 a a 的切线的斜率是 1,而直线 ax+2y+1=0 的斜率是- ,所以?-2?×1=-1,解得 a=2. ? ? 2 -sinx·ex-cosx·ex 3.B 【解析】 由于 f′(x)= ,所以 f′(0)=-1,又 f(0)=1,所以 e2x 函数 f(x)的图象在点(0,f(0))处切线方程为 y-1=-(x-0),即 x+y-1=0. 4.B 【解析】 根据 x2=2y 以及 y=x+4,得 x2-2x-8=0,解得 x=-2、4,故所 1 2 1 2 1 3 4 64 8 求的面积 S=?4-2?x+4-2x ?dx= ?2x +4x-6x ??-2=24- +6- =18. ? ? ? ?? 6 6 ? 5.x-y-2=0 【解析】 函数 f(x)是奇函数可得 a=0,此时 f(x)=x3-2x,所以 f′(x) =3x2-2,故所求切线的斜率是 1,切点坐标是(1,-1),切线方程是 y+1=x-1,即 x-y -2=0. 3 6.ln 2 1 3 【解析】 ?-2 dx=ln|x||3=ln3-ln2=ln . 2 x 2 ?
-3

7. 【解答】 (1)当 a=2 时,f(x)=x2-2lnx, 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)= 2(x2-1) >0, x

所以 f(x)在(1,+∞)上是增函数. 2x2-a (2)f′(x)= (x>0), x 当 x∈[1,e],2x2-a∈[2-a,2e2-a]. 若 a≤2,则当 x∈[1,e]时,f′(x)≥0, 所以 f(x)在[1,e]上是增函数, 又 f(1)=1,故函数 f(x)在[1,e]上的最小值为 1.
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若 a≥2e2,则当 x∈[1,e]时,f′(x)≤0, 所以 f(x)在[1,e]上是减函数, 又 f(e)=e2-a,所以 f(x)在[1,e]上的最小值为 e2-a. 若 2<a<2e2,则: 当 1≤x< 当 又 f? a 时,f′(x)<0,此时 f(x)是减函数; 2

a <x≤e 时,f′(x)>0,此时 f(x)是增函数. 2

?

a? a a a = - ln , 2? 2 2 2

a a a 所以 f(x)在[1,e]上的最小值为 - ln . 2 2 2 综上可知,当 a≤2 时,f(x)在[1,e]上的最小值为 1; a a a 当 2<a<2e2 时,f(x)在[1,e]上的最小值为 - ln ; 2 2 2 当 a≥2e2 时,f(x)在[1,e]上的最小值为 e2-a. 8. 【解答】 f′(x)=ex[x2+(a+2)x+a+2] (1)当 a=0 时,f(x)=(x2+2)ex,f′(x)=ex(x2+2x+2), f(1)=3e,f′(1)=5e, ∴函数 f(x)的图象在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-3e=5e(x-1),即 5ex-y-2e=0. (2)f′(x)=ex[x2+(a+2)x+a+2], 考虑到 ex>0 恒成立且 x2 系数为正, ∴f(x)在 R 上单调等价于 x2+(a+2)x+a+2≥0 恒成立. ∴(a+2)2-4(a+2)≤0, ∴-2≤a≤2,即 a 的取值范围是[-2,2], 5 5 2 (3)当 a=- 时,f(x)=?x -2x+2?ex, ? ? 2 1 1 2 f′(x)=ex?x -2x-2?, ? ? 1 令 f′(x)=0,得 x=- 或 x=1, 2 1 令 f′(x)>0,得 x<- 或 x>1, 2 1 令 f′(x)<0,得- <x<1, 2 x,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

?-∞,-1? 2? ?
+ ?

- 0

1 2

?-1,1? ? 2 ?
- ?

1 0 极小值

(1,+∞) + ?

极大值

1 所以,函数 f(x)的极小值为 f(1)= e. 2
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专题限时集训(四)B 【基础演练】 x+1 2 2 1 =1+ ,则 y′=- 1.A 【解析】 y= 2在 x=3 处的导数值为- ,故 2 x-1 (x-1) x-1 所求的直线的斜率是 2,直线方程为 y=2x+1,即 2x-y+1=0. e-a e 2.C 【解析】 对函数 y=ln(ex+a)求导得 y′= ,令 y′=1,解得 x= , e ex+a 此时代入函数 y=ln(ex+a)得 y=1,即切点坐标是? e-a e-a ? ? e ,1?,代入切线方程得 1= e +2,

解得 a=2e. 3.D 【解析】 f′(x)=12x2-2ax-2b, ∵f(x)在 x=1 处有极值, ∴f′(1)=0,即 12-2a-2b=0,化简得 a+b=6, ∵a>0,b>0, ∴ab≤? a+b?2 ? 2 ? =9,当且仅当 a=b=3 时,ab 有最大值,最大值为 9,故选 D.

4.B 【解析】 根据几何概型的意义,这个概率就是图中的阴影部分的面积和直角梯 1 2 形面积之比.根据定积分的几何意义,阴影部分的面积为?2-1x2dx= x3|-1 =3.直角梯形区 3 ? 4+1 15 3 2 ×3= ,故所求的概率是 = . 域的面积是 2 15 5 2 2 【提升训练】 1 2 π π π2 1.B 【解析】 ∫ 0(x-sinx)dx= ?2x +cosx?? 0= -1. ? ??2 8 2 2.C 【解析】 从函数图象上可知 x1,x2 为函数 f(x)的极值点,根据函数图象经过的 三个特殊点求出 b,c,d,根据函数图象得 d=0,且 f(-1)=-1+b-c=0,f(2)=8+4b+ 2c=0, 解得 b=-1, c=-2, f′(x)=3x2-2x-2.根据韦达定理 x2+x2=(x1+x2)2-2x1x2 故 1 2 4 4 16 = + = . 9 3 9 3.D 【解析】 当 x≤0 时,f′(x)=6x2+6x,函数的极大值点是 x=-1,极小值点 是 x=0,当 x=-1 时,f(x)=2,故只要在[0,2]上 eax≤2 即可,即 ax≤ln2 在(0,2]上恒成立, ln2 1 即 a≤ 在(0,2]上恒成立,故 a≤ ln2. x 2 4.C 【解析】 根据三次函数的特点,函数 f(x)在(-1,0)上单调递减等价于函数 f(x) 的导数 f′(x)=3x2+2ax+b 在区间(-1,0)上小于或者等于零恒成立,即 3-2a+b≤0 且 b≤0,把点(a,b)看作点的坐标,则上述不等式组表示的区域如下图.根据 a2+b2 的几何意 义得,最小值就是坐标原点到直线 3-2a+b=0 的距离的平方. 2012 二轮精品提分必练
r 5.e7-e-ln7 【解析】 ∵Tr+1=C7·?

x ? 7- r - ·(-1)r2rx r ?2?

r =(-1)r22r 7C7x



7-3r , 2

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7 7 ∴当 r=1 时,T2=- x2,∴x2 的系数为- . 32 32 7 ∴a=- . 32 1 - x 7 ∴∫1 32a ?e -x?dx=(ex-lnx)?1 ? ? ? =e7-e-ln7. 1 6.0 【解析】 根据函数图象关于?2,1?对称,可得 f(1-x)+f(x)=2,由于函数是偶 ? ? 函数可得 f(x-1)+f(x)=2,进而得 f(x)+f(x+1)=2,由此得 f(x+1)=f(x-1),进而 f(x+ 2)=f(x),即函数 f(x)是以 2 为周期的函数,由于函数是可导偶函数,其中在 x=0 的导数等 于零,根据周期性,在 x=2,22,…,2100 处的导数都等于零.再根据函数可导和 f(x-1)+ f(x)=2,可得 f′(x-1)+f′(x)=0,令 x=1 可得 f′(1)=0.故所求的结果是 0. x2-ax+a x 7. 【解答】 (1)f′(x)= e, x2 x2-2x+2 x e, 当 a=2 时,f′(x)= x2 1-2+2 1 f′(1)= ×e =e,f(1)=-e, 12 所以曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 y=ex-2e, 切线与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0),(0,-2e), 1 所以,所求面积为 ×2×|-2e|=2e. 2 (2)因为函数 f(x)存在一个极大值点和一个极小值点, 所以,方程 x2-ax+a=0 在(0,+∞)内存在两个不等实根,

? ??=a -4a>0, 则? ? ?a>0.

2

所以 a>4. 设 x1,x2 分别为函数 f(x)的极大值点和极小值点, 则 x1+x2=a,x1x2=a, 因为 f(x1)f(x2)=e5, x1-a x2-a 所以, ex1× ex2=e5, x1 x2 即 x1x2-a(x1+x2)+a2 ex1+x2=e5, x 1x 2

化简得 ea=e5, 解得 a=5,此时 f(x)有两个极值点, 所以 a=5. a 8. 【解答】 (1)f′(x)= -2x(x>0),f′(1)=a-2,又 f(1)=0,所以曲线 y=f(x)在 x= x 1 处的切线方程为 y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0, 由已知得 a-2=4,2-a=b,所以 a=6,b=-4.
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(2)证明:充分性: 当 a=2 时,f(x)=2lnx-x2+1, 2(1-x2) 2 此时 f′(x)= -2x= (x>0), x x 当 0<x<1 时,f′(x)>0,当 x>1 时,f′(x)<0, 所以 f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数, f(x)≤f(1)=0; a-2x2 a 必要性:f′(x)= -2x= (x>0), x x 当 a≤0 时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上是减函数,而 f(1)=0, 故 0<x<1 时,f(x)>0,与 f(x)≤0 恒成立矛盾, 所以 a≤0 不成立, 2 当 a>0 时,f′(x)= ? x? 当 0<x< a ?? +x 2 ?? a ? -x (x>0), 2 ? a 时,f′(x)<0, 2

a 时,f′(x)>0,当 x> 2

所以 f(x)在?0,

?

a? 上是增函数, 2?

在?

?

a ? ,+∞ 上是减函数, 2 ?

f(x)≤f?

?

a? a a a = ln - +1; 2? 2 2 2 a ≠1,f? 2 ? a? >f(1)=0 与 f? 2? ? a? ≤0 不符. 2?

因为 f(1)=0,又当 a≠2 时,

所以 a=2. 综上,f(x)≤0 对任意 x>0 恒成立的充要条件是 a=2; (3)当 a<0 时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数, 不妨设 0<x1≤x2,则|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1, ∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等价于 f(x1)-f(x2)≥x2-x1,即 f(x1)+x1≥f(x2)+x2, 令 g(x)=f(x)+x=alnx-x2+x+1,g(x)在(0,+∞)上是减函数, -2x2+x+a a ∵g′(x)= -2x+1= (x>0), x x ∴-2x2+x+a≤0 在 x>0 时恒成立, 1 ∴1+8a≤0,a≤- ,又 a<0, 8 1 ∴a 的取值范围是?-∞,-8?. ? ?

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