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江苏省范水高级中学高三第一轮复习训练题数学(14)(圆锥曲线2)


2007-2008 学年度范水高级中学高三第一轮复习训练题

数学(十四) (圆锥曲线 2)
一,选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.抛物线 y = x 2 上的点到直线 4 x + 3 y 8 = 0 距离的最小值是 A. 2. 椭圆

4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3

uuu uuur r x2 + y 2 = 1(a > 1) 的一个焦点为 F,点 P 在椭圆上,且 | OP |=| OF | (O 为坐标原点) ,则△ 2 a OPF 的面积 S 等于

A.

1 2
2 2

B.

7 5

C.

8 5

D.以上都不对

3.椭圆 ax + by = 1 与直线 y = 1 x 交于 A,B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为

3 a ,则 的值为 A 2 b
A.

3 2

B.

2 3 3

C.

9 3 2

D.

2 3 27

4.若动点 M(x,y)到点 F(4,0)的距离等于它到直线 x+4=0 距离,则 M 点的轨迹是 A.x+4=0 B.x-4=0
2

C. y = 8 x
2 2

D. y 2 = 16 x

5.直线 l 过点 ( 2, 0) 且与双曲线 x y = 2 仅有一个公共点,这样的直线有 A.1 条
2

B.2 条
2

C.3 条

D.4 条

6. 过双曲线 M: x

y = 1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相 b2
10 3 5 2

交于 B,C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 A. 10 B. 5 C. D.

7.椭圆

x2 y 2 + = 1 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2,N 是 M F1 的中点,则|ON|等于 25 9
B. 2 C.

A. 4

3 2

D. 8

1

8. 已知 a = ( ,

r

r r r x y x y ) , b = ( , ) ,曲线 a b = 1 一点 M 到 F(7,0)的距离为 11,N 5 2 6 5 2 6
21 2 1 2 21 1 或 2 2

是 MF 的中点,O 为坐标原点,则|ON|的值为 A.

11 2

B.

C.

D.

9.抛物线 x 2 = 2 y 离点 A(0,a)最近的点恰好是顶点,这个结论成立的充要条件是 A. a ≤ 0 B.

a≤

1 2

C. a ≤ 1

D. a ≤ 2

10.已知 F1 , F2 为椭圆 E 的两个左右焦点,抛物线 C 以 F1 为顶点, F2 为焦点,设 P 为椭圆与抛物 线的一个交点,如果椭圆离心率 e 满足 PF1 = e PF2 ,则 e 的值为

A.

3 3

B. 2 3

C.

2 2

D. 2

2

2 2 2 11.已知双曲线 x y = a ( a > 0) 的左,右顶点分别为 A,B,双曲线在第一象限的图像上有

一点 P, ∠PAB = α , ∠PBA = β , ∠APB = γ ,则 A, tan α + tan β + tan γ = 0 C, tan α + tan β + 2 tan γ = 0 12. 已知点 P 是椭圆 B, tan α + tan β tan γ = 0 D, tan α + tan β 2 tan γ = 0

x2 y 2 + = 1( x ≠ 0, y ≠ 0) 上的动点, F1 , F2 为椭圆的两个焦点,O 是坐标原 16 8 uuuur uuur uuuu r 点,若 M 是 ∠F1 PF2 的角平分线上一点,且 F1M MP = 0 ,则 OM 的取值范围是
A.[0,3] 题号 答案 1 2 B. (0, 2 2) 3 4 C. [2 2,3) 5 6 D.[0,4] 7 8 9 10 11 12

二,填空题:本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上. 13. 已知点 P(x,y)是抛物线 y2=x 上任意一点,且点 P 在直线 ax + y + a = 0 的上方,则实数 a 的取值范围为 . 14. 与双曲线

x2 y 2 = 1 有共同的渐近线, 且经过点 A( 3, 2 3) 的双曲线的一个焦点到一条渐 16 9

近线的距离等于
2

x2 + y 2 = 1 的一条准线方程为 x = 2 ,则 m = m +1 椭圆 C 上动点距离的最小值为 .
15.若椭圆 C :

;此时,定点 ( ,0) 与

1 2

16. 已 知 抛 物 线 x 2 = 2 y, 过点P (0,1) 的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于 A( x1, y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 两 点 , 则

y1 + y 2 的最小值是___________
三,解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤. 17.过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点作一条斜率为 k(k≠0)的弦,此弦满足:①弦长不超过 8;②弦所在 的直线与椭圆 3x2 + 2y2 = 2 相交,求 k 的取值范围.

y2 x2 18.若点 P 在椭圆 + = 1 上,设 | PF1 | | PF2 |= m(m ≥ 1) , (1)试用 m 表示 PF1 PF2 ; 4 3
(2)在(1)的条件下,求

PF1 PF2 | PF1 | | PF2 |

的最大值和最小值

x2 19.已知椭圆 + y 2 = 1 的左焦点为 F,O 为坐标原点. 2
B

y

(1)求过点 O,F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程; (2)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围. 20. (理)已知动点 M 到点 F ( 2 ,0)的距离与到直线 x =

l

F A

G

O

x

2 的距离之比为 2 . 2

(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)若过点 E(0,1)的直线与曲线 C 在 y 轴左侧交于不同的两点 A,B,点 P(-2,0) 满足 PN =

1 ( PA + PB ) ,求直线 PN 在 y 轴上的截距 d 的取值范围.. 2

(文)直线 l: y = kx + 1 与曲线 C : x 2 y 2 = 1 的左支交于不同的两点 A,B,直线 m 过点 P(-2,0)和 AB 的中点 M,求 m 在 y 轴上截距 b 的取值范围.

x2 y2 21. 已知椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) ,它的上下顶点分别是 A,B,点 M 是椭圆上的动点(不 a b
与 A,B 重合) ,直线 AM 交直线 y = 2b 于点 N,且 BM ⊥ BN . (1)求椭圆的离心率; (2)若斜率为 1 的直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,求证: OP + OQ 与向量 a =(-3,1)共线
3

(其中 O 为坐标原点)

x2 y 2 22.已知椭圆 C1: + = 1 ,抛物线 C2: ( y m) 2 = 2 px( p > 0) ,且 C1,C2 的公共弦 AB 过椭圆 4 3
C1 的右焦点. (1)当 AB⊥ x 轴时,求 m , p 的值,并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上; (2)是否存在 m , p 的值, 使抛物线 C2 的焦点恰在直线 AB 上?若存在, 求出符合条件的 m , p 的值;若不存在,请说明理由.

2007-2008 学年度范水高级中学高三第一轮复习训练题

数学(十四) (圆锥曲线)参考解答
一,选择题(本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.A 2.A 3. A 4.D 5.C 6.C 7.A 8.B 9.C 10.A 11. C 12.B 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. a >

1 . 2

14.2

15.1,

3 . 2

16.. 2

三,解答题 17.解:抛物线 y 2 = 4 x 的焦点为(1,0),设弦所在直线方程为 y = k ( x 1)
y 2 = 4x 由 y = k ( x 1)



k 2 x 2 2(k 2 + 2) x + k 2 = 0

2分

,x1 x 2 = 1 k2 4( k 2 + 2) 2 16( k 2 + 1) 故 ( x1 x 2 ) 2 = 4= k4 k4 16( k 2 + 1) 2 由 (1 + k 2 )( x1 x 2 ) 2 = ≤ 64 ,解得 k≥1 k4

∴ x1 + x 2 =

2( k 2 + 2)

3x 2 + 2 y 2 = 2 由 y = k ( x 1)



(3 + 2k 2 ) x 2 4k 2 x + 2(k 2 1) = 0

8分

由 = 16k 4 8(3 + 2k 2 )(k 2 1) > 0 ,解得 k2 < 3 ∴k 的取值范围是[ 3 ,-1]∪[1, 3 ]

因此 1≤k2 < 3

4

uuur uuuu r uuur 4 + m PF1 + PF2 = 4, PF = 2 , 1 uuuur 18.解: (1)因为 P 在椭圆上,故 uuur uuuu r PF1 PF2 = m, PF = 4 m . 2 2 uuuur 2 uuuur 2 uuuuu 2 r uuuur uuuur uuuur uuuur PF + PF F F m2 + 8 . PF1 PF2 = PF1 PF2 cos ∠F1PF2 = PF1 PF2 1 uuuur 2 uuuur 1 2 = 4 2 PF1 PF2
(2)

PF1 PF2 PF1 PF2

=

1 8 m + ,由平面几何知识 PF1 PF2 ≤ F1 F2 , 4 m

即 m ≤ 2 ,所以 m ∈ [1,2] ; 记

f (x ) = x +

8 ,设 x1 , x2 ∈ [1,2]且 x1 > x 2 , x

则 f ( x1 ) f ( x 2 ) = ( x1 x 2 )1



8 x1 x 2

< 0 ,所以 f ( x )在[1,] 上单调递减, 2

所以当 m = 1 时原式取最大值

9 3 ,当 m = 2 时原式取最小值 . 4 2

19.解: (1)Q a 2 = 2, b 2 = 1,∴ c = 1, F ( 1, 0), l : x = 2. Q 圆过点 O,F,

y

1 ∴ 圆心 M 在直线 x = 上. 2 1 设 M ( , t ), 则圆半径 2 1 3 r = ( ) (2) = . 2 2
由 OM = r , 得 ( ) + t =
2 2

B

l

F A

G

O

x

1 2

3 , 2

解得 t = ± 2.

1 9 ∴ 所求圆的方程为 ( x + )2 + ( y ± 2) 2 = . 2 4 (2)设直线 AB 的方程为 y = k ( x + 1)( k ≠ 0),
x2 + y 2 = 1, 整理得 (1 + 2k 2 ) x 2 + 4k 2 x + 2k 2 2 = 0. 2 Q 直线 AB 过椭圆的左焦点 F,∴ 方程有两个不等实根. 记 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), AB 中点 N ( x0 , y0 ),
代入
5

则 x1 + x2 =

4k 2 , 2k 2 + 1

1 ∴ AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y y0 = ( x x0 ). k 令 y = 0, 得 2k 2 k2 k2 1 1 xG = x0 + ky0 = 2 + 2 = 2 = + 2 . 2k + 1 2k + 1 2k + 1 2 4k + 2 1 Q k ≠ 0,∴ < xG < 0, 2 1 ∴ 点 G 横坐标的取值范围为 ( , 0). 2

20. (理)解: (1)设动点 M 的坐标为(x,y) ,由题设可知

(x + 2 )2 + y 2 x+ 2 2

= 2 , 整理得:x 2 y 2 = 1,

∴动点 M 的轨迹 C 方程为 x 2 y 2 = 1 (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由题设直线 AB 的方程为: y = kx + 1,



y = kx + 1

( x ≤ 1) 2 2 x y = 1

消去 y 得: (1 k 2 ) x 2 2kx 2 = 0( x ≤ 1), 由题意可得:

k 2 1 ≠ 0, 2 2 = 4k + 8(1 k ) > 0 解得 1 < k < 2 x1 + x 2 = 2k 2 < 0 1 k 2 >0 x1 x 2 = 1 k 2
∴ PN = 1 ( PA + PB ), 2 ∴ N为AB中点,设N ( x0 , y 0 )

6

则 x0 =

x1 + x 2 k 1 = , , y 0 = kx0 + 1 = 2 2 1 k 1 k 2

k 1 2 ∴ N( , ), P (2,0), Q(0, d )三点共线可知d = 2 2 2 1 k 1 k 2k + k + 2
令 f ( k ) = 2k + k + 2, 则f ( k )在(1, 2 ) 上为减函数.
2

∴ f ( 2 ) < f (k ) < f (1)且f (k ) ≠ 0, 则d < (2 + 2 )或d > 2 .
(文)解:由

y = kx + 1
2 2 x y = 1

消去 y 得: (1 k 2 ) x 2 + 2kx + 2 = 0( x ≤ 1),

k 2 1 ≠ 0, 2 2 = 4k + 8(1 k ) > 0 解得 1 < k < 2 x1 + x 2 = 2k 2 < 0 1 k 2 >0 x1 x 2 = 1 k 2
设 M(x0,y0) 则 x0 =

x1 + x 2 k 1 = , y 0 = kx0 + 1 = , 2 2 1 k 1 k 2

k 1 2 由( 2, p 0 ),M = ( , ), Q(0, 6) 三点共线 可知b = 2 2 2 1 k 1 k 2 k + k + 2
令 f ( k ) = 2k 2 + k + 2, 则f ( k )在(1, 2 ) 上为减函数.

∴ f ( 2 ) < f (k ) < f (1)且f (k ) ≠ 0, 则b < (2 + 2 )或b > 2
21 解: (1)设 M(x0,y0) ,又点 A(0,b) ,B(0,-b) ∴直线 AM: y =

y0 b x + b. x0

y = 2b, bx0 bx0 ∴ 得x = ,∴ N ( , 2b). y0 b y0 b y0 b y = x x + b 0

7

uuuu r uuur bx ∴ BM = ( x0 , y0 + b), BN = ( 0 , 3b) y0 b

uuuu uuur r Q BM BN = 0



2 bx0 + 3b( y0 + b) = 0, y0 b 2 a 2 y0 , b2



2 2 b( x0 + 3 y0 3b 2 ) x2 y2 = 0.又 Q 0 + 0 = 1 y0 b a2 b2

2 ∴ x0 = a 2

a 2 3b 2 = 0 ∴
2 b(a 2 3b 2 )( y0 + 1) =0 y0 b

即a 2 3(a 2 c 2 ) = 0,

解得:

c 6 6 = ,即离心率 e = . a 3 3

(2)设直线 l: y = x + m

y = x + m, 由 2 2 得(a 2 + b 2 ) x 2 + 2ma 2 x + a 2 m 2 a 2b 2 = 0 2 2 2 2 b x + a y = a b
2ma 2 2m 设p ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), 则x1 + x2 = 2 = 2 b2 a +b 1+ 2 a c 6 b2 1 2m 3 由(1), 知 = , 得 2 = ,∴ x1 + x2 = = m, 1 a 3 a 3 2 1+ 3
3 1 y1 + y2 = x1 + x2 + 2m = m + 2m = m 2 2 uuu uuur r 3 1 1 ∴ OP + OQ = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = ( m, m) = m(3,1), 2 2 2 uuu uuur r 故OP + OQ与a = (3,1)共线
22 解: (1)当 AB⊥x 轴时,点 A,B 关于 x 轴对称,所以 m=0,直线 AB 的方程为
3 3 )或(1,- ). 2 2 9 9 因为点 A 在抛物线上,所以 = 2 p ,即 p = . 4 8

x=1,从而点 A 的坐标为(1,

8

此时 C2 的焦点坐标为(

9 ,0) ,该焦点不在直线 AB 上. 16

(2) 当 C2 的焦点在 AB 时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y = k ( x 1) .
y = k ( x 1) 消去 y 得 (3 + 4k 2 ) x 2 8k 2 x + 4k 2 12 = 0 . 由 x2 y2 =1 + 3 4

……①

设 A,B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则 x1,x2 是方程①的两根,x1+x2=
8k 2 3 + 4k 2

.
y A O B x

因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦,又是过 C2 的焦点的弦,
1 1 1 所以 AB = (2 x1 ) + (2 x 2 ) = 4 ( x1 + x 2 ) ,且 2 2 2

p p ) + ( x2 + ) = x1 + x2 + p . 2 2 1 从而 x1 + x2 + p = 4 ( x1 + x2 ) . 2 82p 8k 2 82p 所以 x1 + x 2 = ,即 = . 2 3 3 + 4k 3 AB = ( x1 +
解得 k 2 = 6, 即k = ± 6 . 因为 C2 的焦点 F ′( , m) 在直线 y = k ( x 1) 上,所以 m = k . 即m = 当m =
6 6 或m = . 3 3 6 时,直线 AB 的方程为 y = 6 ( x 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y = 6 ( x 1) . 3 2 3 1 3

当m =

9

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