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2014年韶关一模


2014 届高三年级调研测试 数 学(理 科)

本试卷共 4 页,共 21 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将答题卡试卷类型(A)填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试 室号、座位号,将相应的试室号、座位号信息

点涂黑. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要 求作答的答案无效. 4.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

参考公式:棱锥的体积公式: V ?

1 sh , s 是棱锥底面积, h 是棱锥的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 设集合 A ? ??2, 0, 2, 4? , B ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,,则 A ? B ? (
2

?

?



A.?0?
2.已知 a 是实数,

B.?2?

C.?0,2?

D.?0,2,4?

a?i 是纯虚数,则 a 等于( ) 1? i

A.

1
0.5

B.

?1

C.

2

D. ? 2
).

3. 若 a ? 2 , b ? log? 3, c ? log 2

2 ,则有( 2

A. a ? b ? c
4. 已知椭圆与双曲线 椭圆的离心率等于(

B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

D. b ? c ? a

x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 10 ,那么 4 12
)

A.

3 5

B.

4 5

C.

5 4

D.

3 4

·1 ·

5. 函数 y ? 1 ? 2 sin ( x ?
2

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为

3? ) 是( 4

) B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

6. 已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( A.

)
3 3

1 2

B. 1

C.

3 2

D. 3

???? 0 7. 已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120 ,且 AB ? 2, AC ? 3 ,若
AP ? ? AB ? AC ,且, AP ? BC ,则实数 ? 的值为(


1 正视图 2 1 2

1 侧视图

俯视图

3 A. 7

B. 13

C. 6

12 D. 7

?x ? 2 y ? 6 ? 8. 设实数 x、y 满足 ? 2 x ? y ? 6 ,则 z ? max ?2 x ? 3 y ? 1, x ? 2 y ? 2? 的取值范围是( ? x ? 0, y ? 0 ?
A. [2,5] B. [2,9] C. [5,9] D. [?1,9]

)

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? 1, a3 ? 2 ,则 S 4=

10. 已知函数 f ( x) ? x ? 4ln x ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方程为 ___________. 11. 已知实数 x ?[0,10] ,执行如图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 47 的概 率为 .
·2 ·

12. 不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 1 解集是_____________________.

?log 2 x, x ? 0 13. 已知函数 f ( x) ? ? x , 且关于 x 的方程 f ( x) ? x ? a ? 0 有且只有一个实根,则实数 3 , x ? 0 ?

a 的取值范围是________.
D E A O B

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
C

14.(几何证明选讲选做题)如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使

BC ? CD , 过 C 作 圆 O 的 切 线 交 AD 于 E . 若 AB ? 8 ,, DC ? 4 则 DE ? _________.
15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 ? ? 4 sin ? 的圆心到直线 ? ? 的距离是

?
3

(? ? R)

·3 ·

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)
? 2 5 如图,在 ?ABC 中, ?B ? 45 , AC ? 10 , cos ?C ? ,点 D 是 AB 的中点, 求:

5

(1)边 AB 的长; (2) cos A 的值和中线 CD 的长.
B D

A

C

17. (本小题满分 12 分) 某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据绘制成频率分 布直方图(如图) ,其中,上学路上所需时间的范围是 [0,100] ,样本数据分组为 [0, 20) , [20, 40) ,

[40, 60) , [60,80) , [80,100] .
(1)求直方图中 x 的值; (2)如果上学路上所需时间不少于 60 分钟的学生可申请在学 校住宿,请估计学校 1000 名新生中有多少名学生可以申请住宿; (3)现有6名上学路上时间小于 40 分钟的新生,其中2人上 学路上时间小于 20 分钟. 从这6人中任选2人,设这2人中上学 路上时间小于 20 分钟人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.
x

频率/组距

0.0125 0.0065 0.003

时间
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

O

18. (本小题满分 14 分) 如图所示的多面体中, ABCD 是菱形, BDEF 是矩形, ED ? 平面 ABCD , ?BAD ?

?
3



AD ? 2 .
(1) 求证:平面 FCB∥平面 AED ; (2) 若二面角 A ? EF ? C 为直二面角,求直线 BC 与平面 AEF 所成的角 ? 的正弦值.

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 3x (a ? 0)
3 2

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调区间;
·4 ·

(2)若 f ( x) 在 [1, 3] 的最大值为 8 ,求 a 的值.

20.(本小题满分 14 分) 已知 ?an ? 为公差不为零的等差数列,首项 a1 ? a , ?an ? 的部分项 ak1 、 ak2 、?、 akn 恰为等比 数列,且 k1 ? 1 , k 2 ? 5 , k 3 ? 17 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an (用 a 表示) ; (2)设数列 {k n } 的前 n 项和为 S n , 求证:

1 1 1 3 ? ?? ? ? ( n 是正整数). S1 S 2 Sn 2

21.(本小题满分 14 分) 设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 A(0, 2) ,线段 FA 的中点在抛物线上. 设动直线
2

l : y ? kx ? m 与抛物线相切于点 P ,且与抛物线的准线相交于点 Q ,以 PQ 为直径的圆记为圆 C .
(1)求 p 的值; (2)试判断圆 C 与 x 轴的位置关系; (3)在坐标平面上是否存在定点 M ,使得圆 C 恒过点 M ?若存在,求出 M 的坐标;若不存在, 说明理由.

2014 届高三年级第一次模拟测试 (理科)参考答案和评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供
·5 ·

参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相 应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. CAABA CDB 题目解析: 1. 解析: B ? ? x | ?1 ? x ? 3? ,所以 A ? B ? C.?0,2?,选 C 2.解析:

a ? i (a ? i)(1 ? i) a ? 1 ? (a ? 1)i 是纯虚数,则 a ? 1 ? 0 ; a ? 1 ,选 A ? ? 1? i 2 2
0.5

3. 解析:? a ? 2

? 20 ? 1 , b ? log? 3 ? ? 0,1? , c ? log 2

2 ? log 2 1 ? 0 ,? a ? b ? c 选 A. 2

4 选B 5 3? 3? 2 5. 解析:y ? 1 ? 2sin ( x ? 所以 f ( x) 是最小正周期为 ? 的奇函数, ) ? cos 2( x ? ) ? ? sin 2 x , 4 4
4. 解析: a ? 5 , c ?

4 ? 12 ? 4 , e ?

选A 6. 解析:由三视图易知,该几何体是底面积为

3 ,高为 3 的三棱锥,由锥体的体积公式得 2

1 3 3 V ? ? ? 3 ? .选 C 3 2 2
7. 解析: AP ? BC ? (? AB ? AC ) ? ( AC ? AB) ? 0 得

? AB ? AC ? ? ( AB) 2 ? ( AC ) 2 ? AC ? AB) ? 0 ? ?3? ? 4? ? 9 ? 3 ? 0 ? ? ?
8. 解析: :作出可行域如图,当平行直线系 2 x ? 3 y ? 1 ? z 在直 线 BC 与点 A 间运动时, 2 x ? 3 y ? 1 ? x ? 2 y ? 2 ,此时

12 ,选 D 7
y

z ? 2 x ? 3 y ? 1? ?5,9? ,平行直线线 x ? 2 y ? 2 ? Z 在点

B 3

A

6 c O 3 O 与 BC 之间运动时, 2 x ? 3 y ? 1 ? x ? 2 y ? 2 ,此时, z ? x ? 2 y ? 2 ? ? 2,8? . ? z ? ? 2,9? .x 选B 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.
·6 ·

9. 6

10. 3x ? y ? 4 ? 0 ,

11.

1 2

12. [1, ??)

13. (1, ?)

14. 2 15. 1 . 题目解析: 9. 解析:可已知可得, a1 ? a4 ? 3,? S4 ? 6 10. 解析:由几何概型得到输出的 x 不小于 47 的概率为 P= 11. 解析: f ' ( x) ? 1 ? =

4 ' , f (1) ? ?3 , f (1) ? 1 切线方程 y ? 1 ? ?3( x ? 1) ,即 3x ? y ? 4 ? 0 x

? ?3, x ? ?1 12. 解析:设 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 , 则 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ?2 x ? 1, ?1 ? x ? 2 . 由 2 x ?1 ? 1 , 解得 ?3, 2 ? x y ?

1 ? x ,所以解集为 [1, ??)
13. 解析:如图,在同一坐标系中分别作出 y ? f ( x) 与 y ? ? x ? a 的图象, O 其中 a 表示直线在 y 轴上截距,由图可知,当 a ? 1 时,直线 y ? ? x ? a 1 1 x
y ? ?x ? a

y ? ?x ? 1

与 y ? log 2 x 只有一个交点.
14. 解析:利用已知条件可得 ?ABC ~ ?CDE ,

AB BC 8 4 ? ? ? ? DE ? 2 DC DE 4 DE
?

15. 解析:如下图, 设圆心到直线距离为 d ,因为圆的半径为 2 , d ? 2 ? sin 30 ? 1
D E A
d

C O B

x o

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 解:解:由 cos ?C ?

2 5 ? 0 可知, ?C 是锐角, 5
2 5 2 5 ………………………….2 分 ) ? 5 5
·7 ·

所以, sin ?C ? 1 ? cos 2 ?C ? 1 ? (

由正弦定理

AC AB ? sin ?B si ? nC

AB ?

AC ? sin ?C ? sin ?B

10 ? 2 2

5 5 ?2

………………. ………………………………………………………………………5 分 (2) cos A ? cos(180? ? 45? ? C ) ? cos(135? ? C )

?

2 10 (? cos C ? sin C ) ? ? , ………………………………………………8 分 2 10

由余弦定理:

CD ? AD 2 ? AC 2 ? 2 AD ? AC cos A ? 1 ? 10 ? 2 ?1? 10 ? (?
………………. ………………………………………………12 分 17. (本题满分 12 分) (1)由直方图可得:

10 ) ? 13 10

频率/组距
x

20 ? x ? 0.0125 ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003? 2 ? 20 ? 1 .[ 学所以 x = 0.025 .???????????2 分
(2)新生上学所需时间不少于 60 分钟的频率为:

0.0125 0.0065 0.003

0.003? 2 ? 20 ? 0.12 ?????????????4 分
因为 1000 ? 0.12 ? 120

时间
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

O

所以 1000 名新生中有 120 名学生可以申请住宿.??????6 分 (3) X 的可能取值为 0,1,2. ?????????????7 分 所以 X 的可能取值为 0,1, 2 ????????????7分

P ( X ? 0) ?

0 2 C2 ? C4 2 ? 2 C6 5

P ( X ? 1) ?

1 1 C2 ? C4 8 ? 2 C6 15

2 0 C2 ? C4 1 P( X ? 2) ? ? 2 C6 15

所以 X 的分布列为:

X P

0

1

2

2 5

8 15

1 15
?????????11 分

·8 ·

2 8 1 2 EX ? ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ????????????12 分 5 15 15 3
18.(本小题满分 14 分) (1)矩形 BDEF 中, FB∥ED, --------1 分

FB ? 平面 AED , ED ? 平面 AED , FB ∥平面 AED ,-2 分 同理 BC ∥平面 AED ,-------3 分 又 FB ? BC ? B u?平面 FBC ∥平面 EDA. ------4 分 (2)取 EF 的中点 M .
由于 ED ? 面 ABCD , ED ∥ FB ,? ED ? AD, ED ? DC, FB ? BC, FB ? AB 又 ABCD 是菱形, BDEF 是矩形,所以, ?ADE, ?EDC, ?ABF , ?BCF 是全等三角形,

AE ? AF , CE ? CF ,
所以 AM ? EF , CM ? EF , ?AMC 就是二面角 A ? EF ? C 的平面角-------8 分

AM ? MC
解法 1(几何方法) : 延长 CB 到 G ,使 BC ? BG ,由已知可得, ADBG 是平行四边形,又 BDEF 矩形,所以 AEFG 是平行四边形, A, E, F , G 共面,由上证可知,
E M F D N
? 由 AD ? 2 , ?DAB ? 60 ,得 AC ? 2 3

AM ? MC CM ? EF , EF , AM 相交于 M , CM ? 平面 AEFG , ?CGM 为所求.
A

C B

等腰直角三角形 AMC 中, AC ? 2 3 ,可得 MC ? 直角三角形 GMC 中, sin ?CGM ?

6

G

CM 6 ? CG 4

解法 2 几何方法) :由 AM ? MC , AM ? EF , MC ? EF ? M 得 CM ? 平面 AEF ,欲求 直线 BC 与平面 AEF 所成的角,先求 BC 与 MC 所成的角. ------12 分 连结 BM ,设 BC ? 2. 则在 ?MBC 中, CM ?

2MN ? 2 ? 3 ? 6 , MB ? 2 ,用余弦定
z E M F

MC 2 ? BC 2 ? MB 2 6 ? ? . ? sin ? ? 6 . 理知 cos ?MCB ? 2MC ? BC 4 4
解法 3(向量方法) :以 D 为原点, DC 为 y 轴、 DE 为 z 轴

---14 分

D

C N B x

y

·9 ·

A

建立如图的直角坐标系,由 AD ? 2. 则 M (

3 1 , , 3) , 2 2 3 3 , ,? 3 ) , -------12 分 2 2

C (0,2,0) ,平面 AEF 的法向量 n ? MC ? (?
CB ? DA ? ( 3,?1,0) . cos n, CB ?
19.(本小题满分 14 分) 解:(1) f ( x) ? 3ax ? 6 x ? 3
' 2

n ? CB n CB

??

6 6 . ---14 分 . ? sin ? ? 4 4

???????????????.1 分

其判别式 ? ? 36 ? 36a ? 36(1 ? a) , 因为 a ? 1 , 所以, ? ? 0 ,对任意实数, f ( x ) ? 0 恒成立,
'

所以, f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数???????????????.4 分 (2) 当 a ? 1 时, 由 (1) 可知, f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数, 所以 f ( x) 在 [1, 3] 的最大值为 f (3) , 由 f (3) ? 8 ,解得 a ?

26 (不符合,舍去)???????????6 分 27
2

当 0 ? a ? 1时 , ? ? 36 ? 36a ? 36(1 ? a) ? 0 ,方程 3ax ? 6 x ? 3 ? 0 的两根为

x1 ?

1? 1? a 1? 1? a , x2 ? ,???????????????8 分 a a

f ' ( x) ? 3ax 2 ? 6 x ? 3 图象的对称轴 x ?
因为 x1 ? 1 ?

1 a

1? 1? a 1 ? a ( 1 ? a ? 1) ?1 ? ?0 a a

(或 x1 ?

1? 1? a 1 1 ? ? 1 ), 所以 0 ? x1 ? 1 ? ? x2 a a 1? 1? a

由 x2 ? 3 解得 a ? ①当 0 ? a ?

5 9

5 ' ' , x2 ? 3 ,因为 f (1) ? 3(1 ? a) ? 0 ,所以 x ? [1,3] 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 在 [1, 3] 9
·10·

是 减 函 数 , f ( x) 在 [1, 3] 的 最 大 值 ym a x ? f (1) , 由 f (1) ? 8, 解 得 a ? 8 ( 不 符 合 , 舍 去).?????????????.?????????12 分 ②当

5 ? a ? 1 , x2 ? 3 , x ? [1, x2 ] , f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 [1, x2 ] 是减函数, 当 x ? [ x2 ,3] 时, 9

f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 [ x2 ,3] 是增函数 . 所以 f ( x) 在 [1, 3] 的最大值 f (1) 或 f (3) ,由 f (1) ? 8 ,
,a ? f (3) ? 8 ,解得 a ? 8 (不符合,舍去) 综上所述 a ?

26 ????????14 分 27

26 27

20.(本小题满分 14 分) 解: (1)设数列 ?an ? 的公差为 d (d ? 0) , 由已知得 a1 =a , a5 ? a ? 4d , a17 ? a ? 16d 成等比数列, ∴

(a ? 4 d 2 ) ? a( a? 1 6d ,且 ) a ? 0 ???????????2 分

得d ? 0或d ?

a 2

∵ 已知 ?an ? 为公差不为零 ∴ ∴

d?

a n ?1 an ? a 1) d ? a ? (n ? 1 ) ? a . ???????????4 分 1 ?( n ? 2 2 k ?1 n ?1 (2)由(1)知 an ? ∴ akn ? n a a 2 2
???????????5 分 而等比数列 {akn } 的公比 q ? ∴

a , 2

???????????3 分

a5 a1 ? 4d ? ? 3. a1 a1
???????????6 分

akn ? a1 ? 3n ?1 ? a ? 3n ?1

因此 akn ? ∵ a?0

kn ? 1 a ? a ? 3n ?1 , 2
n ?1

∴ kn ? 2 ? 3

?1
1 n ?1

???????????7 分

∴ Sn ? (2 ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? 3
0

)?n ?

2(1 ? 3n ) ? n ? 3n ? n ? 1 1? 3
·11·

???????????9 分 ∵当 n ? 1 时, 3 ? (1 ? 2) ? Cn ? Cn ? 2 ? Cn ? 2 ? ? ? Cn ? 2
n n 0 1 2 2
0 1 n ? Cn ? Cn ? 2 ? Cn ? 2n ? 2n ? 2n ? 1 ? 2n ? n ? 1

n ?1

n ?1

n ? Cn ? 2n

∴ ∴

n (或用数学归纳法证明此不等式) 3n ? n ? 1? 2

1 1 1 ? n ? n (n ? 2 ) Sn 3 ? n ? 1 2
∴当 n ? 1 时,

???????????11 分

1 3 ? 1 ? ,不等式成立; S1 2

当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? 1? 2 ? 3 ? 4 ??? n S1 S 2 Sn 2 2 2 2

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 3 1 3 2 ? 1? 4 ? ? ( )n ? 1 2 2 2 1? 2
综上得不等式

1 1 1 3 ? ?? ? ? 成立. S1 S 2 Sn 2
???????????14 分

法二∵当 n ? 3 时, 3 ? (1 ? 2) ? Cn ? Cn ? 2 ? Cn ? 2 ? ? ? Cn ? 2
n n 0 1 2 2
0 1 2 ? Cn ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? 2n2 ? 1 ? n2 ? 2n ? 1

n ?1

n ?1

n ? Cn ? 2n

∴ ∴

3n ? n ? 1 ?n (n ? 1 ) (或用数学归纳法证明此不等式)

1 1 1 1 1 ? n ? ? ? (n ? 3) ???????????11 分 Sn 3 ? n ? 1 n( n? 1 ) n n ? 1 1 3 ? 1 ? ,不等式成立; S1 2

∴当 n ? 1 时,

当 n ? 2 时,

1 1 1 7 3 ? ? 1? 2 ? ? ,不等式成立; S1 S2 3 ? 2 ?1 6 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? 1 ? 2 ? ( ? ) ??? ( ? ) S1 S 2 Sn 3 ?1 ?1 3 ? 2 ?1 3 4 n n ?1
·12·

当 n ? 3 时,

1 1 3 1 3 ? 1? ? ? ? ? ? 6 3 2 n ?1 2
综上得不等式

1 1 1 3 ? ?? ? ? 成立. S1 S 2 Sn 2
???????????14 分

(法三) 利用二项式定理或数学归纳法可得: 3 所以, n ? 2 时, 3 ? (n ? 1) ? 3 ? 3
n n

n ?1

? n ? 1 (n ? 2)

n ?1

? 2 ? 3n ?1 ,

1 1 1 1 1 ? ??? ? 1? ( ? S1 S2 Sn 2 3

2

1 ? ??? ? 3

n? 1

1 5 ? ) ? 3 4?

n?

1 ? ? 1 4 3

5 4

3 2

n ? 1时,

1 1 1 3 1 ? 1 综上得不等式 ? ? ? ? ? 成立. S1 S1 S 2 Sn 2 p 2 p ) ,代入方程得 , 0) ,故线段 FA 的中点的坐标为 ( , 4 2 2
???????????2 分
2

20.(本小题满分 14 分) 解: ( 1 )利用抛物线的定义得 F (

2p?

p 1 ? ,解得 p ? 1 。 4 2

(2)由(1)得抛物线的方程为 y ? 2 x ,从而抛物线的准线方程为 x ? ?

1 2

???????????3 分

? y2 ? 2x k 2 由? 得方程 y ? y ? m ? 0 , 2 ? y ? kx ? m

?k ? 0 ?k ? 0 ? ?? 由直线与抛物线相切,得 ? 1 m? ?? ? 0 ? 2k ? 1 1 1 1 且 y ? ,从而 x ? ,即 P ( 2 , ) , k 2k 2 2k k

???????????4 分

???????????5 分

1 ? y ? kx ? ? 1 1? k 2 ? 2k ), 由? ,解得 Q ( ? , 2 2k ?x ? ? 1 ? ? 2
∴ PQ 的中点 C 的坐标为 C (

???????????6 分

1? k 2 3 ? k 2 , ) 4k 2 4k

·13·

圆心 C 到 x 轴距离 d ? (
2

3? k2 2 ) , 4k

1? k 2 2 1? k 2 2 2 PQ ? ( ) ?( ) 2k 2 2k 1 1 1? k 2 2 1? k 2 2 3? k2 2 2 2 ∵ ( PQ ) ? d ? [( ) ?( ) ]?( ) 2 4 2k 2 2k 4k 3k 2 ? 1 2 ?( ) 4k 2

???????????????8 分

∵ k ? 0, ∴ 当k ? ?

3 1 2 2 时, ( PQ ) ? d ? 0 ,圆 C 与 x 轴相切; 3 2

当k ? ?

3 1 2 2 时, ( PQ ) ? d ? 0 ,圆 C 与 x 轴相交;????????9 分 3 2

(或,以线段 PQ 为直径圆的方程为: ( x ?

1 1 1 1? k 2 )( x ? ) ? ( y ? )( y ? )?0 2k 2 2 k 2k ??( k2 ?1 2 1 ? 2k 2 (3k 2 ? 1)2 ) ? 4 ? ? ?0 2k 2 4k 2 4k 4

令 y ? 0得 x ?
2

k 2 ? 1 1 ? 2k 2 x? ?0 2k 2 4k 2



当k ? ?

3 时, ? ? 0 ,圆 C 与 x 轴相切; 3 3 时, ? ? 0 ,圆 C 与 x 轴相交;????????9 分 3

当k ? ?

(3)方法一:假设平面内存在定点 M 满足条件,由抛物线对称性知点 M 在 x 轴上,设点 M 坐标 为 M ( x1 , 0) ,????????????????????????????10 分

1 1? k 2 1 1 ) 由(2)知 P ( 2 , ) , Q ( ? , 2 2k 2k k
∴ MP ? (

????

? 1 1 ???? 1 1? k 2 ? x , ), MQ ? ( ? ? x , ) 。 1 1 2k 2 k 2 2k 1 1 1 1? k 2 ? x )( ? ? x ) ? ? ?0 1 1 2k 2 2 k 2k
·14·

由 MP ? MQ ? 0 得, (

???? ???? ?

所以 x1 ?
2

1? k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ,即 或 x ? ? 0 x ? x ? 1 1 1 2k 2 4k 2 2k 2 2
???????????13 分

所以平面上存在定点 M ( , 0) ,使得圆 C 恒过点 M . ???????????14 分 证法二:由(2)知 P (

1 2

1 1? k 2 1? k 2 3 ? k 2 1 1 , , 的中点 的坐标为 Q ( ? , ) C ( , ) PQ , ) C 2 2k 4k 2 4k 2k 2 k

1? k 2 2 1? k 2 2 2 PQ ? ( ) ?( ) 2k 2 2k
所以圆 C 的方程为 ( x ?

1? k 2 2 3 ? k 2 2 1 1? k 2 2 1? k 2 2 ) ? ( y ? ) ? [( ) ?( ) ] 4k 2 4k 4 2k 2 2k
???????????11 分

整理得 x ?
2

1 1 1 1 3? k2 x ? y 2 ? ? 2 ( ? x) ? ( )y ? 0 2 2 2k 2 2k
???????????12 分

上式对任意 k ? 0 均成立,

1 ? 2 1 2 ?x ? 2 x ? y ? 2 ? 0 1 ? ? ?1 ?x ? 当且仅当 ? ? x ? 0 ,解得 ? 2 ???????????13 分 ?2 ? ?y ? 0 ?y ? 0 ? ?

·15·


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