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河北省定州中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题(含解析)


河北定州中学高一期中考试 数学试题
评卷人 得分 一、选择题:共 12 题 每题 5 分 共 60 分 1 . 记全集 U ? ? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8? ,A ? ? 1, 2, 3, 5? ,B ? ?2, 4, 6? ,则图中阴影部分所表示的集合是 ( )

6, 7, 8? A. ?4,
a b

B. ?2?

8? C. ?7,


1, 2, 3, 4, 5, 6? D. ?

2. “ 2 ? 2 ”是“ log2 a ? log 2 b ”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. “ a ? 2 ”是直线 ax ? 2 y ? 3 与直线 x ? (a ? 1) y ? 1相交的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.以下判断正确的个数是( ) ①相关系数 r, r 值越小,变量之间的相关性越强. ②命题“存在 x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“不存在 x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ” . ③“ p ? q ”为真是“ ? p ”为假的必要不充分条件.

? ? 1.23x ? 0.08 . ④若回归直线的斜率估计值是 1.23,样本点的中心为 (4,5) ,则回归直线方程是 y
2 ⑤在根据身高预报体重的线性回归模型中, R ? 0.64 说明了身高解释了 64%的体重变化. A.2 B.3 C.4 D.5

1 1 ? ? tan ? ? (0 ? ? ? ) 无实数解,命题 tan ? sin ? 4 1 1 q : ex ? ? ln x ? x 无实数解. 则下列命题错误的是( ) ln x e A. p 或 q B. (? p )或 (?q ) C. p 且(? q ) D. p 且 q
5.命题 p : sin ? ?
2? x ? 0}, N ? { y | y ? ln x} x ?1 6.已知集合 ,则. M ? N ? ( ) A. (0,2] B. (?1,2] C. (?1,??) D.R 7 . 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0, ??) 单 调 递 增 . 若 实 数 a 满 足 ) f (log 2 a ) ? f (log 1 a ) ? 2 f (1) , 则 a 的最小值是( M ? {x |
2

3 A. 2

B.1

C.

8.函数 f ( x) ? log 0.8 (2 x 2 ? ax ? 3) 在 ? ?1, ?? ? 为减函数,则 a 的范围( A. (-5,-4

1 2

D.2 )

?

B.(- ? ,-4)

C. ?5, ?4

?

?

D. ? ??, ?4?

x 9. 已知定义 R 在上的函数 f(x)的对称轴为直线 x=-3,且当 x≥-3 时,f(x)= 2 ? 3 若函数 f(x)在区间上(k-1,k)( k ? Z )上有零点,则 k 的值为 A 1 或-8 B 2 或-8 C 1 或-7 D 2 或-7

10.设定义在区间( - b, b)上的函数 f ( x) ? lg

1 ? ax b 是奇函数, (a,b ? R,且 a ? -2) ,则 a 的 1? 2x
1

取值范围是( A. 1, 2

?

?


x

B. 0, 2

?

?
x

C. 1, 2
x

?

?

D. 0, 2

?

?

11 . 设 f ( x) ? 3 ? 3x ? 8 , 用 二 分 法 求方程 3 ? 3x ? 8 ? 0 在 x ? (1, 2) 内 近 似 解 的 过程 中, ) f (1) ? 0, f (1.5) ? 0, f (1.25) ? 0 ,则方程的根落在区 间( A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5, 2) D.不能确定 12.若函数 f ( x) ? 3 ? 3 与 g ( x) ? 3 ? 3
x ?x ?x

的定义域均为 R,则 (

)

A. f ( x) 与 g ( x) 与均为偶函数 C. f ( x) 与 g ( x) 与均为奇函数

B. f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D. f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数

2

评卷人

得分 二、填空题:共 4 题 每题 5 分 共 20 分

13. 函数 f ( x) ? log 2
2

x x 1 ? log 2 ? 4 2 4

最小值 ________

14. 若函数 f(x)=|x -4x|-a 的零点个数为 3,则 a=________ 15.设命题 p : 实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q : 实数 x 满足 2 x ? 7 ? 5 ,且 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围为________. 16 . 设 A, B 是 非空 集合 ,定义 A ? B ={ x x ? A ? B 且 x ? A ? B } ,已 知 A ? x 0 ? x ? 2 ,

B ? ?y y ? 0?,则 A ? B 等于
评卷人 得分

?

?



三、解答题:共 8 题 共 70 分

17.设命题 p:方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线;命题 q:? x0∈R,x02+2mx0+2﹣m=0 1 ? 2m m ? 2

(1) 若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围; (2) 若命题 q 为真命题,求实数 m 的取值范围; (3) 求使“p∨q”为假命题的实数 m 的取值范围.

18. 已知: 全集 U ? R , 函数 f ( x) ? (1)求 CU A ;

1 2 ? lg(3 ? x) 的定义域为集合 A , 集合 B ? x x ? a ? 0 . x?2

?

?

(2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的范围.

19.设 p : 实数 x 满足 a ? x ? 3a ,其中 a ? 0 ; q : 实数 x 满足 2 ? x ? 3 。 (1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 q 是 p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围。

3

20.设集合 A ? { y | y ? 2 x ,1 ? x ? 2},B={x| log3 x <1}, C ? {x | t ? 1 ? x ? 2t , t ? R} . (1)求 A ? B ; (2)若 A ? C ? C ,求 t 的取值范围.

21.已知函数 f ( x) ? lg

1? x 1? x

(1)判断 f ( x ) 奇偶性和单调性,并求出 f ( x ) 的单调区间 1 (2)设 h( x) ? ? f ( x) ,求证:函数 y ? h( x) 在区间 (?1,0) 内必有唯一的零点 t,且 ?1 ? t ? ? 1 . x 2

?2 x ? 2b 22.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x ?1 是奇函数. 2 ?a (1)求 a , b 的值; 1 2 (2)关于 x 的不等式 f(x) ?t ? t ? 0 ,对任意 x ? R 恒成立,求 t 取值范围 2

23.已知函数 f ( x) ? ln x ? kx ? 1 . (1)求函数 f ( x ) 的单调区间;
4

(2)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)证明:

ln 2 ln 3 ln n n( n ? 1) ? ?L ? ? (n ? N ? , n ? 1) . 3 4 n ?1 4

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1 (其中常数 a ? R ) . 3 2 (1)已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (2)已知不等式 f ?( x) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取值范围.
24.设函数 f ( x) ?

5

参考答案 1.C 【解析】 试 题分析 :由韦 恩图 可知 ,图中 阴影部 分可 表示 为 Cu ( A ? B). 且 A ? B ? {1,2,3,4,5,6}, 所 以

Cu ( A ? B). ? {7,8}. 故选 C.
考点:1、集合的交集、并集、补集运算;2、韦恩图表示集合. 【方法点晴】本题主要考查的是韦恩图表示集合和集合的交集、并集、补集运算,属于容易题,首 先要把韦恩图中的阴影部分翻译为集合语言 Cu ( A ? B). ,再进行集合的补集,交集运算.本题也可 以直接在韦恩图中标出阴影部分的所以元素,从而直接得到答案. 2.B 【解析】 试题分析:由于由“ 2 ? 2 ”不能推出“ log2 a ? log 2 b ”的,理由是: a , b 未必为正数;
a b a b 反之由“ log2 a ? log 2 b ”能推得: a ? b ,进而能得到“ 2 ? 2 ” ,这是因为对数函数 y ? log 2 x

与指数函数 y ? 2x 均是增函数. 所以“ 2 ? 2 ”是“ log2 a ? log 2 b ”的必要不充分条件.
a b

故选 B. 考点:1.指数函数与对数函数的性质;2.充要条件. 3.B 【解析】 试题分析:当直线 ax ? 2 y ? 3 与直线 x ? (a ? 1) y ? 1平行时,有

a ? 2, 即当直线 ax ? 2 y ? 3 与直线 x ? (a ? 1) y ? 1相交时, a ? ?1 且 a ? 2 ;

a 2 3 ? ? ,解得: a ? ?1 或 1 a ?1 1

故知当 a ? 2 时,并不能推出已知两直线是相交的,但由已知两直线是相交的一定能推出 a ? 2 , 因此“ a ? 2 ”是直线 ax ? 2 y ? 3 与直线 x ? (a ? 1) y ? 1相交的必要不充分条件. 故选 B . 考点:1.两直线相交的判断;2.充要条件. 4.B 【解析】 试题分析: 对于①相关系数 r, r 值越小,变量之间的相关性越弱.故错误; 对于②命题“存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“任意 x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ” .故错误; 对于③“ p ? q ”为真,则 p, q 中至少有一个为真,但不一定是 p 为真,故“ ? p ”未必为假的, 但“ ? p ”为假的,则必有 p 为真,从而“ p ? q ”为真,故“ p ? q ”为真是“ ? p ”为假的必要 不充分条件.是正确的; 对于④若回归直线的斜率估计值是 1.23,样本点的中心为 (4,5) ,则 b ? 5 ? 1.23 ? 4 ? 0.08 ,所以 ? ? 1.23x ? 0.08 .是正确的; 回归直线方程是 y
2 2
2 对于⑤在根据身高预报体重的线性回归模型中, R ? 0.64 ? 0.75 ,说明了身高与体重变化之间的 线性相关系较弱.故不错误. 其中正确的命题有:③④. 故选 B. 考点:命题真假的判断. 5.D 【解析】

试题分析: f ( x) ? x ?

1 在 (0,1) 单调递减,由 0 ? sin ? ? tan ? ? 1 得 x

6

1 1 ? ? tan ? ? (0 ? ? ? ) ,命题 p 为真; sin ? tan ? 4 1 1 ln x ? e x x ? ln x ? x ? e x ? ln x ? x 又 e ? , ln x e e ln x 1 当 x ? 0 时,易知 e x ? ln x ? 0 ,∴ ln x ? ? x , e 1 1 由同一坐标系中 y ? ln x , y ? ? x 的图像知,存在 x0 ? (0,1) ,使 ln x0 ? ? x , e e0 1 1 x ? ln x ? x 有实数解,命题 q 为假.故 D 正确. 故e ? ln x e sin ? ?
考点:命题的真假. 6.B 【解析】

试题分析: M ? {x | ?1 ? x ? 2}, N ? R . ?M ? N ? ? ?1,2? .故 B 正确. 考点:集合的运算. 【易错点晴】本题主要考查的是分式不等式和集合交集的运算,属于容易题.解分式不等式时一定 要注意其分母不为 0,且对数的真数大于 0 ,否则很容易出现错误. 7.C 【解析】 试 题 分 析 : 由 于 f ( x ) 为 偶 函 数 , 所 以 f ( ? x) ? f ( x) 且

f (log2 a) ? f (log1 a) ? f (log2 a) ? f (? log2 a)
2

? 2 f (log2 a) ? 2 f (1) ? f (log2 a) ? f (1), 因 为 f ( x) 在 区 间 [0,??) 单 调 递 增 , 所 以 | log2 a |? 1 ? 1 1 ? 1 ? log 2 a ? 1 ? ? a ? 2, 即 a 的最小值为 . 故选 C. 2 2
考点:1、偶函数的定义;2、偶函数的性质;3、对数不等式的解法. 【方法点晴】本题主要考查的是偶函数的定义与单调性的综合应用,以及对数不等式的解法,属于 难题.解题时考虑到 f ( x) 的解析式不清楚,所以考虑 f (a) ? f (b) ?| a |?| b | . 这样,问题就转化为 绝对值不等式的解法. 8.C 【解析】 试题分析: f ( x) ? ?

, 因为 y ? log0.8 u 在定义域上为减函数,且复合函数 f ( x) 在 2 ?u ? 2 x ? ax ? 3 (?1,??) 上 为 减 函 数 , 所 以 u ? 2 x 2 ? ax ? 3 在 (?1,??) 上 必 为 增 函 数 , 所 以 ?a ? b ?? ? 1 ?a ? ?4 ?? ?? ? ?5 ? a ? ?4. 故选 C. 4 ? 2a 2 ? a ? 3 ? 0 ? ? ?u (?1) ? 0

? y ? log0.8 u

考点:1、对数函数的定义域;2、复合函数的单调性;3、二次函数的图像. 【方法点晴】本题主要考查的是复合函数的单调性和复合函数中参数的取值范围,属于难题,解题 时一定要注意考虑对数函数的定义域,否则很容易出错 .由于定义域中没有-1,所以当 x ? ?1 时, u ( x) ? 0 也可以,故 u ( x) ? 0. 9.D 【解析】
x 试题分析: 当 x ? ?3 时, f ( x) ? 2 ? 3 为单调递增函数, 且 f (1) ? ?1 ? 0, f (2) ? 1 ? 0, 所以 f ( x)

7

在 (1,2) 上有一个零点,令 k-1=1,则 k=2,当 x ? ?3 时,由于函数 f ( x) 关于 x ? ?3 对称,则 f ( x) 在 (-8,-7)上有一个零点,令 k ? 1 ? ?8,k ? ?7, 综上 k ? 2 或 k ? ?7. 故选 D. 考点:1、函数的零点;2、函数的对称性. 10.A 【解析】

1 ? ax 为奇函数, 所以 f (? x) ? f ( x) ? a ? ?2, 因为 a ? ?2 , 所以 a ? 2. 1 ? 2x 1 ? ax 1 ? 2x 1 1 ?0? ? 0 ? (2 x ? 1)(1 ? 2 x) ? 0 ? x ? (? , ), 又 因 为 f ?x ? 定 义 域 为 又由于 1 ? 2x 1 ? 2x 2 2 1 (?b, b) 且知 b ? 0, 所以 b ? (0, ), a b ? 2 b , 由 y ? 2 x 图像知 a b 取值范围为 (1, 2 ].故选 A. 2
试题分析: 函数 f ( x ) ? lg 考点:1、函数的奇偶性;2、分式不等式的解法;3 指数函数. 【方法点晴】本题主要考查的是函数奇偶性的应用,分式不等式的解法以及求指数函数的值域.属于 容易题,解题时一定要注意区间 (?b, b) 的隐含意义, b ? 0 以及 x 2 系数大于 0,否则很容易出错. 11.B 【解析】 试题分析: 方程 3 x ? 3x ? 8 ? 0 的解等价于 f ( x) ? 3 x ? 3x ? 8 的零点.由于 f ( x) 在 R 上连续且单调
x 递增, f (1.25) ? f (1.5) ? 0. 所 以 f ( x) 在 (1.25,1.5) 内有零点且唯一, 所以方 程 3 ? 3x ? 8 ? 0 的根 落在区间 (1.25,1.5) ,故选 B. 考点:1、函数的零点. 12.D 【解析】

试题分析: 由于 f ( x), g ( x) 的定义域均为 R, 关于原点对称, f (? x) ? 3? x ? 3 x ? f ( x), 所以 f ( x) 为 偶函数. g (? x) ? 3? x ? 3 x ? ?(3 x ? 3? x ) ? ? g ( x). 所以 g ( x) 为奇函数.故选 D. 考点:1、偶函数的定义;2、奇函数的定义. 13.4 【解析】 试题分析: f ( x) ? log 2

x x 1 1 ? log 2 ? ? (log 2 x ? log 2 4) ? (log 2 x ? log 2 2) ? 4 2 4 4 9 9 3 ? (log 2 x) 2 ? 3 log 2 x ? . 令 t ? log2 x, t ? R, f (t ) ? t 2 ? 3t ? , 当 t ? 时, f (t ) min ? 0. 4 4 2

考点:1、对数的运算;2、二次函数求 最值. 【思路点晴】本题主要考查的是对数的运算以及函数的最值,属于中档题.首先要对 f ( x) 进行化简, 再用换元法把 f ( x) 的最小值转化为二次函数的最小值问题, 做题时一定要注意换元之后新变量的取 值范围,否则很容易出错. 14.4 【解析】 试 题 分 析 : f ( x) ?| x ? 4x | ?a 的 零 点 等 价 于 | x ? 4 x | ?a ? 0 的 根 , 即 | x ? 4 x |? a , 令
2 2 2

y1 ?| x 2 ? 4x |, y2 ? a ,当 y 2 ? 4 时,方程 | x 2 ? 4x | ?a ? 0 恰有三个根,即 f ( x) 恰有三个零点, 所以 a ? 4.
考点:1、函数的零点;2、二次函数的图像. 【思路点晴】本题主要考查的是函数 f ( x) 的零点,属于中档题.解题时一定要注意把函数 f ( x) 的 零点问题转化为方程的根的问题,再应用数形结合法,做出图像,即方程的根问题又转化为两个函 数交点的问题. 15. ? ?2, ?1? 【解析】
8

试题分析: 对于命题 p : 实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ;可化为 ( x ? a)( x ? 3a) ? 0 , 可得解集; 对于命题 q : 实数 x 满足 2 x ? 7 ? 5 , 利用绝对值不等式的性质即可解出; 由于 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,所以 p 是 q 的充分不必要条件,所以前一个不等式的解集是后一个不等式解集 的真子集,从而可求得实数 a 的取值范围. 试题解析:对于命题 p : 实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ;可化为 ( x ? a)( x ? 3a) ? 0 , 解得: 3a ? x ? a ; 对于命题 q : 实数 x 满足 2 x ? 7 ? 5 ,解得: ?6 ? x ? ?1 , 因为 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,所以 p 是 q 的充分不必要条件,

?3a ? ?6 ,且两个等号不能同时成立, ?? ? a ? ?1 解得: ?2 ? a ? ?1 . 则实数 a 的取值范围为 ? ?2, ?1? ,
故答案为: ? ?2, ?1? 考点:1、不等式的解法;2、充要条件. 16. (2,??) 【解析】

试题分析: A ? B ? x x ? 0 , A ? B ? x 0 ? x ? 2 ,? A ? B ? x x ? 2 . 考点:集合的交集、并集. 17. (1) {m | m ? ?2或m ? } ; (2) {m | m ? ?2或m ? 1 ; (3) {m | ?2 ? m ? } . 【解析】

?

?

?

?

?

?

1 2

1 2

x2 y 2 y 2 x2 试题分析: (1)双曲线的标准方程是 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 或 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,因此一 a b a b x2 y2 2 2 ? ? 1 表示双 般方程 mx ? ny ? 1 表示双曲线的条件是 mn ? 0 ,由此结论可得当方程 1 ? 2m m ? 2 2 曲线时 m 的取值范围; (2)命题 q 为真命题时,说明方程 x0 +2mx0+2﹣m=0 有实解,由 Δ ? 0 可得 结
论; (3)当“p∨q”为假命题时,p,q 都是假命题.

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线, 1 ? 2m m ? 2 1 ∴(1﹣2m) (m+2)<0,解得 m<﹣2,或 m> , 2 1 ∴实数 m 的取值范围是{m|m<﹣2,或 m> }; 2
试题解析: (Ⅰ)当命题 p 为真命题时,方程 (Ⅱ)当命题 q 为真命题时,方程 x0 +2mx0+2﹣m=0 有解, 2 ∴△=4m ﹣4(2﹣m)≥0,解得 m≤﹣2,或 m≥1; ∴实数 m 的取值范围是{ m |m≤﹣2,或 m≥1}; (Ⅲ)当“p∨q”为假命题时,p,q 都是假命题,
2

1 ? 1 1 ? ?2 ? m ? ∴? 2 ,解得﹣2<m≤ ;∴m 的取值范围为(﹣2, ]. 2 2 ? ? ?2 ? m ? 1
考点:命题真假的应用,复合命题的真假. 18.(1) Cu A ? ?? ?, (2) a ? 4 . ? 2? ? ?3, ? ? ?;

9

【解析】 试题分析: (1) 先由 ?
?x ? 2 ? 0 ? A ? B ? A ,? B ? A . 得 A ? ? ?2 , 3? , ?CU A ? ? ?? , ? 2? ? ?3 , ? ? ? ; (2) 当 ?3 ? x ? 0

B ? ? 时, a ? 0 ;当 a ? 0 时, B ? (? a,a ) ,列不等式组 ?

? ?? a ? ?2 求解. ? a ? 3 ?

试题解析:(1)∵ ?

∴-2< x <3 ∴A=(-2,3),∴ Cu A ? ?? ?, ? 2? ? ?3, ? ?? (2)当 a ? 0 时, B ? ? 满足 A ? B ? A 当 a ? 0 时, B ? (? a,a ) .∵ A ? B ? A ,∴ B ? A ,∴ ?

?x ? 2 ? 0 ?3 ? x ? 0

∴ 0 ? a ? 4 .综上所述:实数 a 的范围是 a ? 4 考点:集合的补集、子集、函数的定义域. 19. (1) (2,3) ; (2) [1, 2] . 【解析】 试题分析: (1)若 a ? 1 ,求出命题 p , q 的等价条件,利用 p ? q 为真,则 p , q 为真,即可求实 数 x 的取值范围; (2)利用 q 是 p 的充分不必要条件,知 q ? p ,即可求实数 a 的取值范围. 试题解析:解: (1)当 a ? 1 时,若命题 p 为真,则 1 ? x ? 3 ;若命题 q 为真,则 2 ? x ? 3 , ∵ p ? q 为真,即 p , q 都为真, ∴ 2 ? x ? 3 ,即实数 x 的取值范围是 (2,3)

? ?? a ? ?2 ? ? a ?3

?a ? 0 ? (2)若 q 是 p 的充分不必要条件,则 ? a 剟2 ? 1 ?3a …3 ?

a? 2,

所以,实数 a 的取值范围是 [1, 2] 考点:复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 20. (1) {x | 2 ? x ? 3} ; (2) t ? 2 . 【解析】 试题分析: (1)根据条件解不等式得出集合 A, B ,然后借助数轴即可得到 A ? B ; (2)根 据 A ? C ? C 得到 C ? A ,然后即可列出不等式组得到 t 的取值范围. 试题解析: (1) A ? { y | 2 ? y ? 4} , B ? {x | 1 ? y ? 3} 所以 A ? B ? {x | 2 ? x ? 3} (2)因为 A ? C ? C ,所以 C ? A , 若 C 是空集,则 2t ? t ? 1 ,得到 t ? 1 ;

?t ? 1 ? 2 ? 若 C 非空,则 ?2t ? 4 ,得 1 ? t ? 2 ; ?t ? 1 ? 2t ?
综上所述, t ? 2 . 考点:集合间的基本关系. 21. (1) f ( x) 为奇函数,单调减区间为 (?1,1) ,无单调增区间; ( 2) 证明祥见解析. 【解析】 试题分析:(1) f ( x) 是由分式与对数复合而成的复合函数,要求 f ( x) 的奇偶性、单调性则先要求
10

出 f ( x) 的定义域.(2)先由(1)的结论可求得 h( x) 的解析式和定义域,从而可判断函数 h( x) 为 奇函数,那么要证函数 y ? h( x) 在区间 (?1,0) 内必有唯一的零点(假设为 t ) ,且 ? 1 ? t ? ? 只需证明函数在 (?1,0) 上是单调函数,且 h( ?1) ? h( ? ) ? 0 即可.

1 ;就 2

1? x ? 0 ? (1 ? x) ? (1 ? x) ? 0 ? ?1 ? x ? 1, 1? x 所以 f ( x) 定义域为 (?1,1) 关于原点对称,
试题解析:(1)由题意知

1 2

1? x 1? x ?1? x ? f (? x) ? lg ? lg? ? ? f ( x), 所以, f ( x) 为奇函数. ? ? ? lg 1? x 1? x ?1? x ? 1? x 2 ? ? ?1 ?u ( x) ? 令? 所以, f ( x) 在 (?1,1) 上 1 ? x 1 ? x , 由于 u ( x) 在 (?1,1) 上单调减,y ? lg u 单调增, ? ? y ? lg u 是减函数,即 f ( x) 的单调减区间为 (?1,1) ,无单调增区间. 1 1 1? x 1 1? x ? ? lg 证明(2)由(1)可知, h( x) ? ? f ( x) ? ? lg . x x 1? x x 1? x 可求得函数 h( x) 的定义域为 D1 ? (?1,0) ? (0,1) . 1 1? x 1 1? x ? ? lg ? 0, 对任意 x ? D1 ,有 h( x) ? h( ? x) ? ? lg x 1? x ?x 1? x 所以,函数 y ? h( x) 是奇函数. 1 1? x 2 = ?1 ? 当 x ? (0,1) 时, 在 (0,1) 上单调递减, 在 (0,1) 上单调递减, x 1? x 1? x 1? x 于是, lg 在 (0,1) 上单调递减. 1? x 因此,函数 y ? h( x) 在 (0,1) 上单调递减.
依据奇函数的性质,可知, 函数 y ? h( x) 在 (?1,0) 上单调递减,且在 (?1,0) 上的图像也是不间断的光滑曲线. 又 h(? ) ? ?2 ? lg 3 ? 0, h( ?

?1

1 2

99 100 100 )?? ? lg199 ? 2 ? ? 0, 100 99 99
1 . 2

所以,函数 y ? h( x) 在区间 (?1,0) 上有且仅有唯一零点 t ,且 ?1 ? t ? ?

考点:1、函数的定义域;2、函数的奇偶性;3、函数的单调性;4、零点存在性定理. 【易错点晴】本题主要考查的是利用对数函数的性质求复合函数的奇偶性、单调性,并应用函数的 零点证明参数的取值范围,属于难题.(1)中要搞清楚 f ( x) 的奇偶性必须先搞清楚定义域,若定义域 不关于原点对称, 则 f ( x) 无奇偶性, 不考虑定义域而盲目的求奇偶性往往很容易出错.(2)证明 h( x) 在区间 (?1,0) 内零点唯一则要先证明 h( x) 为单调函数,只有 h( x) 单调,才能保证零点唯一. 22. (1) a ? 2, b ?

1 1 ; (2) t ? 1 或 t ? - . 2 2

【解析】 试题分析:(1)由已知 f ( x) 在 R 上为奇函数,则 f (0) ? 0, 且 f (? x) ? ? f ( x), 从而可求得 a=2.(2)
2 分离参数 f ( x) ? t ?

1 1 t , 则 t 2 ? t ? f ( x) max ,求出 f ( x) 最大值后则问题转化为关于 t 的一元二 2 2

次不等式. 试题解析:
11

(1)因为 f ( x) 是奇函数, 所以 f (0) ? 0 即, 解得 b ?

? 2x ?1 1 , 所以 f ( x) ? x ?1 , 又由 f (?1) ? ? f (1) 2 2 ?a

1 ? ?1 ? 2 ?1 知, ? ? 2 解得 a ? 2 . 4?a 1? a ? 2x ?1 1 1 f ( x) ? x ?1 ?? ? x , (2) 因 2 2 ?1 2 ?2 1 1 1 1 2 x ? 1 ? 1, ? x ? 1, ? ? ? x ? . 2 2 ?1 2 2 ?1 1 1 1 1 2 即 f ( x ) ? , 从而 t ? t ? , 解之 t ? ? 或t ? 1. 2 2 2 2
考点:1、指数函数;2、函数奇偶性;3、恒成立问题.



2 x ? 0,





23. ( 1)当 k ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数;当 k ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ) 上是增函数,在

1 k

1 ( , ??) 上是减函数. ; (2) k ? 1 ; (3)证 明详见解析. k
【解析】

1 ? k .能求出函数 f ( x) 的单调区间. x (2)由(1)知 k ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数,而 f (1) ? 1 ? k ? 0 , f ( x) ? 0 不成 立,故 1 k ? 0 ,又由(1)知 f ( x) 的最大值为 f ( ) ,由此能确定实数 k 的取值范围. k (3) 由 (2) 知, 当 k ? 1 时, 有 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立, 且 f ( x ) 在 (1, ??) 上是减函数,f (1) ? 0 , 即 ln x ? x ? 1 在 [2, ??) x∈[2,+∞)上恒成立,由此能够证明. 1 试题解析: (1)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f '( x) ? ? k , x 1 当 k ? 0 时, f '( x) ? ? k ? 0 x ; f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数, 1 1 当 k ? 0 时,若 x ? (0, ) 时,有 f '( x) ? ? k ? 0 , k x 1 1 若 x ? ( , ??) 时,有 f '( x) ? ? k ? 0 , k x 1 1 则 f ( x ) 在 (0, ) 上是增函数,在 ( , ??) 上是减函数. k k (2)由(1)知 k ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数, 而 f (1) ? 1 ? k ? 0 , f ( x) ? 0 不成立,故 k ? 0 , 1 又由(1)知 f ( x ) 的最大值为 f ( ) ,要使 f ( x) ? 0 恒成立, k 1 则 f ( ) ? 0 即可. ,即 ? ln k ? 0 ,得 k ? 1 . k (3) 由 (2) 知, 当 k ? 1 时有 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立 , 且 f ( x ) 在 (1, ??) 上是减函数, f (1) ? 0 ,
试题分析: (1)由函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f '( x) ?
2 2 2 即 ln x ? x ? 1 ,在 x ??2, ??? 上恒 成立,令 x ? n ,则 ln n ? n ? 1,即 2ln n ? (n ? 1)(n ? 1) ,

12

从而

ln n n ? 1 ? , n ?1 2 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ? 1 n(n ? 1) ? ? ?L ? ? ? ? ?L ? ? 得证. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 4 5 n ?1 2 2 2 2 4

分 考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、函数恒成立;3、利用导数证明不等式. 【方法点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性,利用函数的最值求解恒成立问题,求参数的 范围问题.求解恒成立问题,主要是通过分离参数,构造函数,通过求函数的最值来进行解决. 利 用导数证明不等式,主要是利用导数研究函数的单调性,然后利用单调性来证明不等式. 24. (1) y 2 ? 4 x ; (2) ?? | ? ?

? ?

3 ? 且? ? 1? . 4 ?

【解析】 试题分析: (1)由函数的极值处函数导数的特征知: f ?(1) ? 0 且在 x ? 1 处左右两侧导数的符号不 同;因此我们先求出函数的导数,令 f ?(1) ? 0 求得 a 的值,然后再检验 f ?( x ) 在 x ? 1 处左右两侧导 数的符号是否不同,而得结果; (2)由不等式 f ?( x) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立,通过分离参数法,转化为 a ? g ( x) 对任意 a ? (0, ??) 都成立,从而得到 g ( x) ? 0 ,解此不等式即 x 得的取值范 围. 试题解析: (1) f ?( x) ? ax ? 3x ? a ? 1 ,因为 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,所以
2

f '(1) ? a ? 3 ? a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 , 2 此时 f ?( x) ? x ? 3x ? 2 ? ( x ?1)( x ? 2) , x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数; 1 ? x ? 2 是地, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数; 所以 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值,所以 a ? 1 符合题意;
( 2 ) f ?( x) ? ax2 ? 3x ? a ? 1 ? x2 ? x ? a ? 1 , a ?

x2 ? 2 x 对 任 意 a ? (0, ??) 都 成 立 , 所 以 x2 ? 2

x2 ? 2 x ? 0 ,所以 ?2 ? x ? 0 .
考点:1、函数极值与导函数的关系;2、不等式的恒成立. 【易错点晴】本题重点考查了函数极值与导函数的关系及不等式的恒成立.极值点不仅仅使导函数 值为零,这是不够的,由导函数值为零求出 a 的值后,还需检验检验 f ?( x ) 在极值点处左右两侧导 数的符号是否不同?这是许多学生最容易弄丢的一步.

13



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