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2.4正态分布


-执教老师:陈凤珠

课题:正态分布
三维目标:
1.利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲 线所表示的意义 . 2.了解变量落在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ] 的概率大小 . 3.会用正态分布去解决实际问题.

教学重难点 :
重点:正态分布密度曲线的特点及

其所表示的意义 难点:在现实生活中什么样的随机变量服从正态分布, 正态分布密度曲线所表示的意义

教学时间:2012年5月10日第十四周星期四

回顾
X P 0
0 n CM CN ?M n CN

1.两点分布: 2.超几何分布:
1

X P

0 1-p

1 p … … k
k n ?k CM CN ?M n CN

… …

n
n 0 CM CN ?M n CN

1 n ?1 CM CN ?M n CN

3.二项分布:
X P 0 1 … … k
C nk p k q n ?k



n

1 1 n-1 C n0 p 0q n C n pq

… C nn p nq 0

4.由函数 y ? f ( x) 及直线 x ? a, x ? b, y ? 0 y b 围成的曲边梯形的面积S=_________ ? f ( x)dx ;
a
O a b x

导入

高尔顿板模型与试验

高尔顿板实验.swf

频率 组距

以球槽的编号为横坐 标,以小球落入各个 球槽内的频率值为纵 坐标,可以画出“频 随着重复次数的增加, 直方图的形状会越来 率分布直方图”。

越像一条“钟型”曲线。

11

正态分布密度曲线(简称 正态曲线)
Y

称为正态分布密度 函数

? 1 ?m ,s ( x) ? e 2?s

0

相应的函数解析式为:

X

( x ? m )2 2s 2

x ? (??,??)

式中的实数m、s是参数表示总体的均值与标准差

正态分布密度函数
? m , ? ( x) ?
当μ= 0,σ=1时
μ=0

1 2? s

e

?

( x? m )2 2s 2

x ? (??,??)
y

标准正态分布密度函数

σ=1
x2

? 0,1 ( x) ?

1 2?

e

?

-3 -2 -1 0

1 2 3 x

2

x ? (??,??)
标准正态曲线

例1、下列函数是正态密度函数的是( B )
A.

1 f ( x) ? e 2?s
2? f ( x) ? e 2?

( x ? m )2 2s 2

, m , s (s ? 0)都是实数

B.

x2 ? 2

C.

1 f ( x) ? e 2 2?

( x ?1)2 ? 4

D.

1 f ( x) ? e 2?

x2 2

赢在课堂P50自测1

思考:你能否求出小球落

在(a, b]上的概率吗?
0 a b

若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的 坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率(阴 影部分的面积)为:

P(a ? X ? b) ? ? ? m ,s ( x)dx
a

b

1.正态分布定义
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:

y

则称X 的分布为正态分布. 正态分布由参数m、s 唯一确定, m、s分别表示总体的平均数与标准差. 正态分布记作N( m,s2).其图象称为正态曲线. 如果随机变量X服从正态分布,则记作: X~N(m,s2) 其中EX= m ,DX= s

P(a ? X ? b) ? ? ?m ,s ( x)dx
a

b

0

a

b

x

在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从 正态分布:

在生产中,在正常生产条件下各种产品的质量指标;
在长度测量中,某一地区同年龄人群的身高; 在生物学中,同一群体的某一特征;……; 在气象中,某地每年七月份的平均气温、平均湿度
以及降雨量等,水文中的水位;

总之,正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。

正态分布在概率和统计中占有重要地位。

2.正态曲线的性质

? m ?s ( x ) ?
y μ= -1 σ=0.5

1

2?s

e
y

?

( x ? m )2 2s 2

, x ? ( ??, ?? )
y μ=1

μ=0 σ=1

σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

-3 -2 -1 0

1 2

x

-3 -2 -1 0

1 2 3 x

具有两头低、中间高、左右对称的基本特征

2.正态曲线的性质

? m ?s ( x ) ?
y μ= -1 σ=0.5

1

2?s y

e

?

( x ? m )2 2s 2

, x ? ( ??, ?? )
y μ=1

μ=0 σ=1

σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

-3 -2 -1 0

x=m

1 2

x

-3 -2 -1 0

x=m

1 2 3 x

(1)非负性:曲线在x轴的上方,与x轴不相交. (2)对称性:曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. 1 (3)最值性:曲线在x=μ处达到峰值(最高点) σ 2π (4)定值性:曲线与x轴之间的面积为1。

x=m

(5)方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1

y

μ=1

σ=0.5

若s 固定, 随m值 的变化而 沿x轴平 移, 故 m 称为位置 参数;

m3

m1

m2

x

(6)均数相等、方差不等的正态分布图示 y

μ=0

s=0.5

s=1

若 固定, s 大 时, 曲线“矮而 胖”; s 小时, 曲线 “瘦而高”s ,故 称 为形状参数。 s=2

m

σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散; σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.

m

x

正态曲线下的面积规律(重要) 概率
1.X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 2.对称区域面积相等即相应概率相等。

y

S(-?,-X)

S(X,?)=S(-?,-X)

-x

X=m

x

x

正态曲线下的面积规律(重要) 概率
3.对称区域面积相等即相应概率相等。

S(-x1, -x2)

S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

-x1 -x2

X=m

x2 x1

3.特殊区间的概率:
若X~N

(m,s 2 ),则对于任何实数a>0,概率
m ?a m ?a

P(m ? a ? x ≤ m ? a) ? ?
x=μ

? m ,s ( x )dx

m-a

m+a

特别地有(熟记)
P( m ? s ? X ? m ? s ) ? 0.6826, P( m ? 2s ? X ? m ? 2s ) ? 0.9544, P( m ? 3s ? X ? m ? 3s ) ? 0.9974.

P( m ? s ? X ? m ? s ) ? 0.6826, P( m ? 2s ? X ? m ? 2s ) ? 0.9544, P( m ? 3s ? X ? m ? 3s ) ? 0.9974.

我们从上图看到,正态总体在 ?m ? 2s , m ? 2s ? 以外取值的概率只有4.6%,在?m ? 3s , m ? 3s ?以外 取值的概率只有0.3 %。
正 态 总 体 的 X 取 值 几 乎 总 取 值5 于 区), 间 由于这些概率值很小(一般不超过 % 之内 , 其他区间取值几乎不可能 . 在实 ( m ? 3 s , m ? 3 s ) 通常称这些情况发生为小概率事件。

际运用中就只考虑这个区间 ,称为 3s 原则.

4.应用举例
例1若X~N(5,1),求P(6<X<7).课本P75B组2
解:因为X~N(5,1), 故正态密度曲线关于直线 x=5 对称, ? P(5 ? x ? 7) ? 1 ? P(3 ? x ? 7) ? 1 ? P (5 ? 2 ? 1 ? x ? 5 ? 2 ? 1) 2 2
? 1 ? 0.9544 ? 0.4772, 2 P(5 ? x ? 6) ? 1 ? P(4 ? x ? 6) ? 1 ? 0.6826 ? 0.3413, 2 2
? P(6 ? x ? 7) ? P(5 ? x ? 7) ? P(5 ? x ? 6) ? 0.4772 ? 0.3413 ? 0.1359.

例 2. 在某次数学考试中 , 考生的成绩 X 服从正态
分布 X ~ N(90,100).(1) 求考试成绩 X 位于区间 (70,110) 上的概率是多少 ?(2) 若此次考试共有 2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考 生大约有多少人? 解:依题意,X~N(90,100),? m ? 90, s ? 10.
? P (70 ? X ? 110) ? P ( m ? 2s ? X ? m ? 2s ) ? 0.9544. ? P (80 ? X ? 100) ? P( m ? s ? X ? m ? s ) ? 0.6826.

即考试成绩在(80,100)间的概率为0.6826. 考试成绩在(80,100)间的考生大约有 2000 ? 0.6826 ? 1365.

练一练:
1、若X~N(μ,σ2),问X位于区域(μ ,μ +σ )内的概率是多 少? 解:由正态曲线的对称性可得,

1 P( m ? x ? m ? s ) ? P( m ? s ? x ? m ? s ) ? 0.3413 2 2、已知X~N (0,1),则X 在区间 (??, ?2) 内取值的概率 D
A、0.9544 B、0.0456 C、0.9772 D、0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X ? 0)= 0.5 , 4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ?? ) 的概率为0.5,则 0.3 相应的正态曲线在x= 时达到最高点。 5、已知正态总体的数据落在(-3,-1)里的概率和落在(3,5)里 的概率相等,那么这个正态总体的数学期望是 1 。

P(?2 ? X ? 2) =

0.9544

.

1. 正态分布的定义 2 ( x?m ) ? 1 2s 2 f ( x) ? e x ? (??,??) 2? s 2.正态曲线 3. 正态曲线的性质 (1)非负性 (2)定值性 (3)对称性 (4)单调性 (5)最值性 (6)几何性. 4. 3σ原则
o

y

x

课后作业
课本第74页练习1、第75页A组第1,2题
赢在课堂:P50自测2、4、2-1 P51达标3


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