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数列专项练习题


数列练习题 1 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a n ?1 ? a n ? 2.已知无穷数列 ? an ? 前 n 项和 S n ?

1 3 n ?1

?n ? N *? ,则 lim a n n??

?



1 an ? 1 ,则数列 ? an ? 的各项

和为 3 1 3.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? n
A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n D. 1 ? n ? ln n



4.某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第 k 棵树种植在 点 P ( xk,yk ) 处,其中 x1 ? 1 , y1 ? 1 ,当 k ≥ 2 时, k

? ? ? k ?1 ? ? k ? 2 ?? ? xk ? xk ?1 ? 1 ? 5 ?T ? ? ?T ? ??, ? ? 5 ?? ? ? 5 ? ? ? y ? y ? T ? k ? 1 ? ? T ? k ? 2 ?. k ?1 ? ? ? ? ? k ? 5 ? ? 5 ? ?
T (a) 表示非负实数 a 的整数部分,例如 T (2.6) ? 2 , T (0.2) ? 0 .
按此方案,第 6 棵树种植点的坐标应为 ;第 2008 棵树种植点的坐标应为 .

5.已知数列 {an } 和 {bn } 满足: 1 ? ? , an ?1 ? a 实数, n 为正整数.

2 an ? n ? 4, bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21), 其中 ? 为 3

(Ⅰ )对任意实数 ? ,证明数列 {an } 不是等比数列; (Ⅱ )试判断数列 {bn } 是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ 设 0 ? a ? b , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和. ) 是否存在实数 ? , 使得对任意正整数 n , 都有 a ? Sn ? b ?若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由. 6 数列 ?an ? 满足a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos (Ⅰ )求 a3 , a4 , 并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )设 bn ?
2

n? n? )an ? sin 2 , n ? 1, 2,3,?. 2 2

1 a2 n?1 S , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn . 证明:当 n ? 6时, n ? 2 ? . n a2 n

7 在数列 {an } 中, a1 ? 1 , 2an ?1 ? (1 ? ) an .
2

1 n

(Ⅰ )求 {an } 的通项公式;

(Ⅱ )令 bn ? an ?1 ?

1 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ; 2

(Ⅲ )求数列 {an } 的前 n 项和 Tn . 8 已知数列 ?an ? , an ? 0 , a1 ? 0 , an?1 ? an?1 ? 1 ? an (n ? N ? ) .记:
2 2

S n ? a1 ? a2 ? ? ? an . Tn ?
求证:当 n ? N 时, (Ⅰ an ? an ?1 ; ) (Ⅱ S n ? n ? 2 ; ) (Ⅲ Tn ? 3 . )
?

1 1 1 . ? ??? 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ?(1 ? a n )

9. (1)设 a1 , a2 ,?, an 是各项均不为零的 n ( n ? 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 ,若将此 数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列. (i)当 n ? 4 时,求

a1 的数值; d

(ii)求 n 的所有可能值. 10 求证:对于给定的正整数 n (n ? 4) ,存在一个各项及公差均不为零的等差数列

?, b1,b2, bn ,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.
11.已知函数 f1 ( x) ? 3
x ? p1

, f2 ( x) ? 2 ? 3

x ? p2

( x ? R, p1 , p2 为常数) .函数 f ( x ) 定义为:

对每个给定的实数 x , f ( x) ? ?

? f1 ( x), 若f1 ( x) ? f 2 ( x) ? f 2 ( x), 若f1 ( x) ? f 2 ( x)

(1)求 f ( x) ? f1 ( x) 对所有实数 x 成立的充分必要条件(用 p1 , p2 表示) ; (2)设 a , b 是两个实数,满足 a ? b ,且 p1 , p2 ? (a, b) .若 f (a) ? f (b) ,求证:函数 f ( x ) 在 区间 [ a, b] 上的单调增区间的长度之和为

b?a 。 (闭区间 [m, n] 的长度定义为 n ? m ) 2

12 在数列 ?an ? ,?bn ? 中, a1 ? 2, b1 ? 4 ,且 an , bn , an?1 成等差数列, bn , an?1 , bn?1 成等比数列

n? N *。
⑴ 求 a2 , a3 , a4 及 b2 , b3 , b4 ,由此猜测 ?an ? ,?bn ? 的通项公式,并证明你的结论;

⑵ 证明:

1 1 1 5 ? ??? ? . a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 12

13 设 p, q 为实数, ?,? 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的两个实根。数列 {xn } 满足 x1 ? p ,

4, . x2 ? p2 ? q , xn ? pxn?1 ? qxn?2 ( n ? 3, …)
(1)证明: ? ? ? ? p , ?? ? q ; (2)求数列 {xn } 的通项公式; (3)若 p ? 1 , q ? 14 已知函数 f ( x) ? 2 ?
x

1 ,求 {xn } 的前 n 项和 Sn . 4

1 。 x 2

⑴ 若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值; ⑵ 若 2t f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ??1, 2? 恒成立,求实数 m 的取值范围。

?an ? c,???an ? 3, ? 15 已知以 ?a1? 为首项的数列 ?an ? 满足: an ?1 ? ? a n ? d ,???????an ? 3.????? ?
⑴ 当 a1 ? 1, c ? 1, d ? 3 时,求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵ 当 0 ? a1 ? 1, c ? 1, d ? 3 时,试用 ?a1? 表示数列 ?an ? 的前 100 项的和 S100 ; ⑶ 当 0 ? a1 ?

1 1 1 (m 是正整数) c ? , ,正整数 d ? 3m 时,求证:数列 a2 ? , m m m

a3m ? 2 ?

1 1 1 , a6 m ? 2 ? , a9 m ? 2 ? 成等比数列当且仅当 d ? 3m 。 m m m
n

16 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n ?1 (Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;

?

?

(Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式 17 在数列 ?a n ?与 ?bn ?中, a1 ? 1, b1 ? 4 ,数列 ?a n ?的前 n 项和 S n 满足

nSn?1 ? ?n ? 3?S n ? 0 , 2a n ?1 为 bn 与 bn ?1 的等比中项, n ? N * .
(Ⅰ)求 a 2 , b2 的值;

(Ⅱ)求数列 ?a n ?与 ?bn ?的通项公式; (Ⅲ)设 Tn ? ?? 1? 1 b1 ? ?? 1? 2 b2 ? ? ? ?? 1? n bn , n ? N * .证明 Tn ? 2n 2 , n ? 3 .
a a a

18 对于每项均是正整数的数列 A:a1,a2, ,an ,定义变换 T1 , T1 将数列 A 变换成数列 ?

n , , T1 ( A):,a1 ?1 a2 ?1 ?,an ?1 .
对于每项均是非负整数的数列 B:b1,b2, ,bm , 定义变换 T2 ,T2 将数列 B 各项从大 ? 到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列 T2 ( B) ;又定义
2 2 S (B) ? 2(b1 ? 2b2 ? ?? mbm ) ? b12 ? b2 ? ?? bm .

设 A0 是每项均为正整数的有穷数列,令 Ak ?1 ? T2 (T1 ( Ak ))(k ? 0,2, ) . 1,? (Ⅰ)如果数列 A0 为 5,3,2,写出数列 A1,A2 ; (Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列 A ,证明 S (T1 ( A)) ? S ( A) ; (Ⅲ) 证明: 对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0 , 存在正整数 K , k ≥ K 时, 当

S ( Ak ?1 ) ? S ( Ak ) .
19 将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
……

记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1. Sn 为数列{bn}的前 n 项 和,且满足=

2bn 1=(n≥2). bn S N ? S 2 n
1 }成等差数列,并求数列{bn}的通项公式; Sn
4 时,求上表中第 k(k≥3)行所有项和的和. 91
2

(Ⅰ)证明数列{

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公 比为同一个正数.当 a81 ? ?

20 已知曲线 C: f ( x) ? 3x ? 1 ,C 上的两点 A, An 的横坐标分别为 2 与 an (n ? 1, 2,3, ???) , 数列 ?xn ? 满足 xn ?1 ? a1 ? 4 ,

t 1 ? f ( xn ? 1) ? 1? ? 1 (t ? 0且t ? , t ? 1) .设区间 Dn ? ?1, an ? 3 2

(an ? 1) ,当 x ? Dn 时,曲线 C 上存在点 pn ( xn , f ( xn )) ,使得点 pn 处的切线与 AAn 平行.
(I)建立 xn 与 an 的关系式; (II)证明: log t

?

( xn ?1)

? 1 是等比数列;

?

(III)当 Dn ?1 ? Dn 对一切 n ? N? 恒成立时,求 t 的范围. ? 20. (本小题满分 12 分) 在数列 | an | , | bn | 是各项均为正数的等比数列,设 cn ? (Ⅰ )数列 | cn | 是否为等比数列?证明你的结论; (Ⅱ )设数列 | ln an | , | ln bn | 的前 n 项和分别为 Sn , Tn .若 a1 ? 2 , 求数列 | cn | 的前 n 项和. 21 在直角坐标平面 xOy 上的一列点 A ? 1, a1 ? , 1

bn ( n ? N* ) . an

Sn n , ? Tn 2n ? 1

A2 ? 2, a2 ? , ?,

An (n, an ), ?,简
?

记为 ? An ? .若由 bn ? An An?1 ? j 构成的数列 ? bn ? 满足 bn?1 ? bn , n ? 1, 2,? ,其中 j 为方向 与 y 轴正方向相同的单位向量,则称 ? An ? 为 T 点列. (1) 判断 A1 ? 1, 1? , 点列,并说明理由; (2)若 ? An ? 为 T 点列,且点 A2 在点 A 的右上方.任取其中连续三点 Ak、Ak ?1、 k ?2 , A 1 判断△ Ak Ak ?1 Ak ? 2 的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形) ,并予以证明; ( 3 ) 若 ? An ? 为 T 点 列 , 正 整 数 1 ? m ? n ? p ? q 满 足 m ? q ? n ? p, 求 证 :

??????? ?

1? ? A2 ? 2, ? , 2? ?

1? ? A3 ? 3, ? , ?, 3? ?

? 1? 是否为 T An ? n, ? , ? , ? n?

????? ? ?????? ? ? An Aq ? j> A Ap? . j m
22 等差数列 {an } 各项均为正整数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 中, b1 ? 1 ,且

b2 S2 ? 64 , {ban } 是公比为 64 的等比数列。
(1)求 an 与 bn ;

(2)求证

1 1 1 3 ? ??? ? . S1 S2 Sn 4

23 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)记 f ( x ) 在区间 ? 0, n? (n∈N*)上的最小值为 b n ,令 an ? ln(1 ? n) ? bn . ① 如果对一切 n,不等式 an ?

an? 2 ?

c 恒成立,求实数 c 的取值范围; an? 2

(ⅱ) 求证:

a a ??? a2 n?1 a1 a1a3 ? ? ??? ? 1 3 ? 2an ? 1 ? 1 . a2 a2 a4 a2 a4 ??? a 2 n


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