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中学数学不等式的证明方法


中学数学不等式证明方法
数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业

【摘要】本文从高考复习的角度出发,介绍了中学数学不等式证明的重要性及其主要证法,包括比
较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、换元法、构造法、数学归纳法、均值不等式、柯西不等式、导 数法等常见方法。每种方法都提供了例题,目的是熟悉各种证法的解题思路,并掌握相应的步骤、技巧和

注意事项。

【关键词】不等式、证明、方法、中学数学

1、引言
不等式,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用。因此不等式应用问题体现 了一定的综合性、灵活多样性,对数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用。在解 决问题时,要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不 等式的求解或证明。而不等式的证明,方法灵活多样,还和很多内容结合,它是中学数学教 学中的难点,也是高考的难点,近年也演变为竞赛命题的热点,因其证明不仅蕴涵了丰富的 逻辑推理、非常讲究的恒等和不等变形技巧,而且证明过程千姿百态,极易出错。以下我将 针对有关不等式证明的几种方法和类型题进行分析,探究。

2、证明方法
2、1 比较法:
所谓比较法,就是通过两个实数 a 与 b 的差或商的符号(范围)确定 a 与 b 大小关系的 方法,即通过“a-b>0,a-b=0,a-b<0;或 方法,前者为作差法,后者为作商法。 例 1:已知 a,b,c 求证: 证明:? a,b 均为正数

a a a >0, =0, <0”来确定 a,b 大小关系的 b b b

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2a 2b 2c a ? b b ? c c ? a

?
同理

1 1 1 b(a ? b) ? a(a ? b) ? 4ab ( a ? b) 2 ? + = = 0 4 a 4b a ? b 4ab(a ? b) 4ab(a ? b)

1 1 1 (b ? c)2 1 1 1 (c ? a ) 2 + ? ? ?0, ? ? ? ?0 4b 4 c b ? c 4bc(b ? c) 4c 4a c ? a 4ac(a ? c)
三式相加,可得

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?0 2a 2b 2c a ? b b ? c c ? a ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2a 2b 2c a ? b b ? c c ? a

总结:在比较两个代数式的大小时,可借助它们的差的正负符号来判断。步骤一般为: 作差——变形——判断(正号、负号、零) 。变形时常用的方法有:配方、通分、因式分解、 和差化积、应用已知定理、公式等。在用商值比较法证明不等式时,要注意作商后的式子变 形,分母、分子的正、负号,判断其商与 1 的比较大小以确定不等号的方向。在用商值比较 法证明不等式时,要注意分母的正、负号,以确定不等号的方向。

2.2 综合法:
从已知或证明过的不等式出发, 根据不等式的性质推导出欲证的不等式, 推导出所要证 明的不等式成立,这种证明不等式的方法叫做综合法。 例 2:已知 a,b,c>0,求证

bc ca ab ? ? ? a?b?c. a b c

证明:



bc ca bc ca ? ?2 ? ? 2c a b a b

同理

ca ab ab bc ? ? 2a, ? ? 2b b c c a ?( 2


bc ca ab ? ? ) ? 2(a ? b ? c) a b c

bc ca ab ? ? ? a?b?c a b c

总结: 用综合法证明不等式的基本思路是: 找一个基本不等或已知结论作为出发点, 进行不等式的变形,最后推出要证明的结论,有的不等式其一边具备某个定理的条件(或变 形后具备),则可以直接由定理推出另一边,从而完成不等式的证明,可见综合法证明不等 式是一种“执因导果”的证明方法,其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧。

2、3 分析法:
证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明

这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题。 如果能够肯定这些条件都已具备, 那么就 可以断定原不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法。 例 3:已知 a ? 3 ,求证 a ? a ?1 ? a ? 2 ? a ? 3 . 证明:要证原式,只需证

a ? a ? 3 ? a ?1 ? a ? 2 ,
即证

( a ? a ? 3)2 ? ( a ?1 ? a ? 2)2

2a ? 3 ? 2 a(a ? 3) ? 2a ? 3 ? 2 (a ?1)(a ? 2) a(a ? 3) ? (a ?1)(a ? 2)
即证

a 2 ? 3a ? a 2 ? 3a ? 2
即证

0?2
因为上式成立,所以原式也成立. 总结:当我们用分析法证明不等式时,从要证明的结论出发,一步一步地推导,最 后达到命题的已知条件(可明显成立的不等式、已知不等式等) 。用分析法证明问题时,一 定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语。另分析法与综合法 是对立统一的两个方面, 前者执果索因, 利于思考, 因为它方向明确,思路自然,易于掌握; 后者是由因导果,宜于表述,因为它条理清晰,形式简洁,适合人们的思维习惯。

2、4 换元法:
解不等式题时, 把某个式子看成一个整体, 用一个变量去代替它, 从而使问题得到简化, 这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换 研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题 简单化,变得容易处理。 换元的方法有:均值换元、三角换元、几何换元等。 2.4.1 三角换元 三角换元法的基本思想是根据已知条件, 引进新的变量----三角函数, 把一个复杂的不 等式问题转化为三角不等式的问题, 再利用三角函数的性质及三角恒等式去证明, 从而使不 等式得证。

例 4:若 p ? q ? r ? 1 ,且 0 ? p, q, r ? 1 ,求证:

p ? q ? r ? 3.

2 2 2 2 2 解:由 p ? q ? r ? 1 ,可令 p ? cos ? , q ? sin ? cos ? , r ? sin ? cos ? ,

其中 则

? ? , ? ? [0, ]
2

p ? q ? r ? cos 2 ? ? sin 2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? sin 2 ?

? cos? ? sin ? cos ? ? sin ? sin ?

? cos? ? sin ? ?cos? ? sin ? ?
? cos ? ? 2 sin ? sin( ? ? ) 4
? cos? ? 2 sin ?

?

3 sin(? ? art tan
2.4.2 均值换元

2 )? 3 2

使用均值换元法能达到减元的目的,使证明更加简捷直观有效。 例 5: 设 x ? 2 y ? 3z ? 12 ,求证: x ? 2 y ? 3z ? 24 .
2 2 2

分析: x ? y ? y ? z ? z ? z ? 12 ,故平均值为 2. 令

x ? 2 ? t1 , y ? 2 ? t2 , z ? 2 ? t3 ,


t1 ? 2t2 ? 3t3 ? 0 .
? x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? ? 2 ? t1 ? ? 2 ? 2 ? t2 ? ? 3 ? 2 ? t3 ?
2 2 2

? 24 ? 4 ?t1 ? 2t2 ? 3t3 ? ? t12 ? 2t22 ? 3t32

? 24 .
又证

1 2 1 1 x ? 2 ? 2 x, ? 2 y 2 ? 4 ? 4 y , ? 3 z 2 ? 6 ? 6 z , 2 2 2
三式相加:

1 2 ? x ? 2 y 2 ? 3z 2 ? ? 12 ? 2 ? x ? 2 y ? 3z ? ? 24 , 2

? x 2 ? 2 y 2 ? 3z 3 ? 24 ,
等号当且仅当

1 2 1 1 x ? 2, ? 2 y 2 ? 4, ? 3z 2 ? 6 , 2 2 2

即 再证

x ? y ? z ? 2 时取得。

?1 ? 2 ? 3? ? x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? ? ? x ? 2 y ? 3z ?
? x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 24 .
2.4.3 几何换元

2

? 144

根据不等式已知条件的结构特点,构出适合条件的图形,通过图形启发思维,找到解题 捷径。 例 6:已知 a , b, c 是 ?ABC 三边的长,求证:

a3b ? b3c ? c3a ? a 2b2 ? b2c2 ? c2 a 2 .
分析:(如图)作 ?ABC 的内切圆,设 D, E, F 为切点,
? 令 x ? BD, y ? CD, z ? AE, (其中 x, y, z ? R ),

则原不等式可转化为:



y2 z2 x2 ? z) ? ( ? x) ? ( ? y) ? 2x ? 2 y ? 2z z x y

利用重要不等式: a ? b ? 2 ab 可证该不等式,因此可以通过上述换元证明原不等 式。 证明:设 D, E, F 为切点,令 x ? BD, y ? CD, z ? AE, 则原不 等式可转化为:
A



y2 z2 x2 ? z) ? ( ? x) ? ( ? y) ? 2x ? 2 y ? 2z z x y
?

E F

又因为 x, y, z ? R ,则有

B D

C

y2 z2 x2 ? z ? 2 y, ? x ? 2z , ? y ? 2x , z x y
所以(1)式成立,因此原不等式成立。 总结:利用代换法解决不等式问题,可以起到事半功倍的效果,大大的提高了解题的速 度,降低了试题的难度,但如何选取合理的代换方式,还有待与研究和深思,寻求合理的代 换方式将是进一步研究的方向。

2、5 反证法:
对于一些较复杂的不等式,有时很难直接入手求证,这时可考虑采用间接证明的方法。 所谓间接证明即先假定要证不等式的反面成立,然后推出与已知条件(或已知真命题)和矛 盾的结论,从而断定反证假定错误,因而要证不等式成立。这种方法叫做反证法。 利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤: 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论; 第二步 作出与所证不等式相反的假定; 第三步 从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步 断定产生矛盾结果的原因, 在于开始所作的假定不正确, 于是原证不等式成立。 方法规律:至多、至少、存在问题从正面论证较为困难,宜用反证法。 例 7:设 a, b, c, d 都是小于 1 的正数,求证 4a(1 ? b), 4b(1 ? c), 4c(1 ? a) 这四个的积不 可能都大于 1. 证明:假设这四个的积都大于 1,由 4a(1 ? b) ? 1 得 2 a(1 ? b) ? 1

同理得

2 b(1 ? c) ? 1,2 c(1 ? d ) ? 1,2 d (1 ? a) ? 1 , 2 b(1 ? c) ? 1,2 c(1 ? d ) ? 1,2 d (1 ? a) ? 1 ,

从而得 而从另一方面

因为 a ? 0, 0 ? b ? 1,所以 1 ? b ? 0 , 2 a ?1 ? b ? ? a ? ?1 ? b ? ,

同理

2 b(1 ? c) ? b ? (1? c) , 2 c(1 ? d ) ? c ? (1 ? d ) , 2 d (1 ? a) ? d ? (1 ? a)

从而

2 a(1 ? b) ? 2 b(1 ? c) ? 2 c(1 ? d ) ? 2 d (1 ? a) ? 4 .

这样便得出矛盾,所以假设不能成立,即欲证的命题成立.

2、6 放缩法:
所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过 程,在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度” ,否则就不能同向传递了,此法既可以单独 用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。放缩法的常见技巧: (1)舍掉(或加进)一些项。 (2)在分式中放大或缩小分子或分母。 (3)应用基本不等式放缩。 (4)应用函数的单调性进行放缩。 (5)根据题目条件进行放缩。 例 8:已知 a,b,c,d>0,求证 1 ? 证明:

a b c d ? ? ? ? 2. a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c

a b c d ? ? ? a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c
>

a b c d ? ? ? ? 1; a ?b?d ?c b?c?a ?d c ?d ?b?a d ?a ?c ?b a b c d ? ? ? a?b?d b?c?a c?d?b d?a?c
<

a b c d ? ? ? ? 2. a?b b?a c?d d ?c

例 9:求证

n(n ? 1) n(n ? 2) ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? n ? n(n ? 1) ? , (n ? N ? ) . 2 2

证明:

1? 2 ? 2 ? 3 ? n ? n(n ?1)
>

1?1 ? 2 ? 2 ? n ? n ? n
? 1? 2 ?? ? n
=

n(n ? 1) ; 2

1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1)
<

1? 2 2 ? 3 n( n ? 1) ? ?n ? 2 2 2

=

1 [(1 ? 2 ? n ? n) ? (2 ? 3 ? n ? ( n ? 1))] 2
=

1 n( n ? 1) n(n ? 3) [ ? ] 2 2 2
=

n( n ? 2) . 2

2、7 数学归纳法:
在证明不等式时数学归纳法的作用也很重要。 对于数学归纳法有很多种表达形式, 其中 最基本和最常用的是第一数学归纳法和第二数学归纳法. 第一数学归纳法 设 p ( n) 是一个(关于自然数 n )的命题.如果 (1)当 n ? 1 时, p ( n) 成立; (2) 假设 n ? k (k ? N ) 时 p ( n) 成立, 可推出 n ? k ? 1 时 p(k ? 1) 也成立.那么 p (n) 对 一切正整数都 n 成立. 第二数学归纳法 设 p ( n) 是一个(关于正整数 n )的命题.如果 (1)当 n ? 1 时, p ( n) 成立; (2)假设 n0 ? n ? k ( k 为任意正整数)时 p ( n) (1 ? n ? k ) 成立,可推出 p(k ? 1) 成 立.

那么 p ( n) 对一切正整数都 n 成立. 在遇到与正整数 n 有关的不等式时,往往可以采用数学归纳法去证明此题.

(1 ? ) ? n 例 10:证明:当 n ? 3 (n ? N ) 时,
n

1 n

( 1? ) ? ( )? 证明: (1)当 n ? 3 时,
3 3

1 3

4 3

64 81 ? ? 3 则原不等式成立. 27 27
1 k ) ? k 成立, k

(1 ? (2)假设 n ? k 时,原不等式成立,即


( 1?

1 k ?1 1 k 1 1 1 ) ? ( 1? ) ( 1? ) ? (1 ? ) k (1 ? ) k ?1 k ?1 k ?1 k k ?1 ? k (1 ? 1 k )?k? ? k ?1 k ?1 1? k

即当 n ? k ? 1 时,原不等式也成立. 所以原不等式对大于等于 3 的自然数都成立. 总结:此法一般用来证明与自然数 N 有关的不等式,在证明过程中需要分两个步骤,这 两个缺一不可.

2、8 柯西不等式证明法:
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据, 我们在教 学中应给予极大的重视。Cauchy 不等式的形式化写法就是:

? ai
i ?1

n

2

? bi ? (? aibi ) 2
2 i ?1 i ?1

n

n

例 11:若 x, y ? 0, x ? y ? 2 ,求证:

1 1 ? ?2 x y

此题在前面用均值不等式解的,也可以用柯西不等式解答。 证明:

1 1 1 1 1 ? ? ( x ? y )( ? ) x y 2 x y

?( x?

1 1 2 ? y? ) ?2 x y

当且仅当

y x

?

x 即 x ? 1, y ? 1 时等号成立 y

2、9 导数法:
用导数法证明不等式的实质就是构造函数,然后利用导数与函数的关系来证明不等式。 当 x 属于某区间,有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 单调递增;若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 单调递减. 推广之,若证 f ( x) ? g ( x) ,只须证 f (a) ? g (a) 及 f ?( x) ? g ?( x), ( x ? (a, b)) 即可.

例 12: 证明:

证明不等 e ? 1 ? x , x ? 0.
x

x x 设 f ( x) ? e ?1 ? x, 则 f ?( x) ? e ? 1. 故当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0, f 递增;当

x ? 0, f ?( x) ? 0, f 递减.
则当 x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0,

从而证得

ex ? 1 ? x, x ? 0.

2、10 均值不等式法:
2 2 均值不等式公式:① a ? b ? 2ab ? ab ? ab,(a, b ? R) (当且仅当 a ? b 时取“ ? ” ) ;

② a ? b ? 2 ab ? ab ? ab ,(a, b ? R? ) (当且仅当 a ? b 时取“ ? ” ) 。 均值不等式是高考中一个重要知识点,其变形多,约束条件“苛刻“ (一正、二定,三 相等) 。 例 12:若 x, y ? 0, x ? y ? 2 ,求证:

1 1 ? ?2 x y

证明:因为 x, y ? 0, 所以

1 y x 1 1 1 1 1 ? ? ( x ? y )( ? ) ? (1 ? 1 ? ? ) ? 2 2 x y x y 2 x y

当且仅当

y x ? ,即 x ? 1, y ? 1 时等号成立 x y

2、11 构造法:
例 13:证明不等式:

x x ? ( x ? 0) x 1? 2 2
x x ? ( x ? 0) x 1? 2 2

证明:构造函数 f ( x) ?

∵ f (? x) ?

?x x ? x ? 2x x x x x ? ? x ? ? [1 ? (1 ? 2 x )] ? ? ?x x x 1? 2 2 2 ?1 2 1 ? 2 1? 2 2
? f ( x)

∴ f ( x) 是偶函数,其图像关于 y 轴对称。 当 x ? 0 时, 1 ? 2 ? 0 , f ( x) ? 0
x

当 x ? 0 时, - x ? 0 ,故 f ( x) ? f (? x) ? 0



x x x x ? <0,即 < x x 1-2 2 1? 2 2

总结: 构造法是通过构造一定的数学模型来完成解题的-种方法.倘若充分地挖掘题设与 结论的内在联系,把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来,并恰当地构造数 学模型,就可得到富有新意的独特解法.利用构造法解题,不仅构思精巧,形式优美,过程 简单,而且极富思维的灵活性和创造性.

3 结论:
不等式是中学数学的重点内容, 是进一步学习高等数学的基础和重要工具, 因而也是高 考数学考察的重点。 在不等式这一板块中, 难点是不等式的证明。 要想掌握好不等式的证明, 需要具备不等式的基础知识、基本技能、基本方法,还有有很强的逻辑思维能力、运算能力 以及分析问题和解决问题的能力; 在一些综合性较强的证明试题里面, 内容往往涉及到不等 式与函数、不等式与数列、不等式与几何等,体现了在知识网络交汇点上设计灵活的特征, 要求学生灵活运用不等式的性质,掌握不等式证明的多种方法,领悟各种证明方法的思想, 还有懂得多种方法的参透和融合运用。本文只是浅显的举例说明了一些关于不等式的内容, 更深层的知识有待学者继续研究。

参考文献: [1]李忠. 浅谈不等式证明中放缩法的几例应用.语数外学习.2013(8) [2]段明达. 不等式证明的若干方法.教学月刊.2007(11) [3]杨建辉 布春霞.导数在不等式中的应用.中学生数理化.2011(11) [4]吴中贤 李新卫. 对一道不等式的推广及证明.数学通报.2009(1) [5]胡汉明.不等式证明问题的思考方法.数学通讯,2001(9). [6]荣德基.点拨.高二数学(上) 「M」.北京:学院出版社,2005 [7]付荣强:讲透重点难点,吉林教育出版社,2007 年

On the Use Methods of Demonstrating High Inequality
Liu Ya-ping 2011031132 Advisor:QIN Song-xi

Major in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science
【Abstract】The demonstration of inequality is important in mathematics research. This paper introduces many important method about the inequality proof..This makes it easier to demonstrate the elementary functional inequality. Each method provides examples, is familiar with the various methods of problem-solving ideas, and master the appropriate steps, skills and the matters needing attention.

【Key words】Inequality;proot method; Teaching of middle school;


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