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直线的两点式与截距式方程


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直线的两点式与截距式方程
适用学科 适用区域 知识点 教学目标
高中数学 全国 直线的两点式与截距式方程. (1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围; (2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

适用年级

高二

课时时长 (分钟) 60 分
<

br />教学重点 教学难点

直线方程两点式 两点式推导过程的理解

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教学过程
一、复习
写出下列直线的点斜式、斜截式方程,并求直线在 y 轴上的截距.

? ①经过点 A(-2,3),斜率是-1;②经过点 B(-3,0),斜率是 0;③经过点 C ? 2 ,2 ,倾斜角是 60 ;

?

?

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二、知识讲解
考点 1 直线的两点式方程
① 探讨:已知直线 l 经过 p1 ( x1 , y1 ), p2 ( x2 , y2 ) (其中 x1 ? x2 , y1 ? y2 )两点,如何求直线的点斜 y ? y1 y ? y1 ? 2 ( x ? x1 ) x2 ? x1 式方程? 两点式方程 : 由上述知 , 经过 p1 ( x1 , y1 ), p2 ( x2 , y2 ) ( 其中 x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 两点的直线方程为 y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1 ⑴, 我们称⑴为直线的两点式方程,简称两点式. 若点

x ? x2 ,或 y1 ? y2 ,此时这两点的直线方程是什么? P 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 ) 中有 1

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考点 2 直线的截距式方程
x
② 当直线 l 不经过原点时,其方程可以化为 a 中 直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b .

?

y ?1 b ⑵, 方程⑵称为直线的截距式方程,其

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考点 3 两点的中点坐标公式
x ?x ? x? 2 1 ? ? 2 ? ? y ? y2 ? y1 M ( x , y ) A ( x , y ), B ( x , y ) 2 ? 1 1 2 2 ,则 AB 的中点 中点:线段 AB 的两端点坐标为 ,其中 ?

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三、例题精析
【例题 1】
【题干】 .求过下列两点的直线的两点式方程,再化为截距式方程. ⑴ A(2,1), B (0, -3 ) ; ⑵ A(-4,- 5), B (0,0)

【答案】见解析

x y y?3 x?0 ? ?1 ? 3 1 ? 0 ,截距式方程为 4 3 【解析】 (1)两点式方程为 1 ? 3
y?5 x?4 5 ? y? x 4 (2)两点式方程为 0 ? 5 0 ? 4 ,截距式方程为

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【例题 2】
【题干】求经过点 A (–3,4),且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程.

【答案】x – y + 7 = 0 或 4x + 3y = 0.
x y ? ?1 【解析】 当直线 l 在坐标轴上截距都不为零时,设其方程为 a ?a .

?3 4 ? ?1 将 A(–3,4)代入上式,有 a ?a ,

解得 a = –7.

所以所求直线方程为 x – y + 7 = 0. 当直线 l 在坐标轴上的截距都为零时,设其方程为 y = kx.将 A(–3,4)代入方程得 4 = –3k, 4 ? 即k= 3. 所以所求直线的方程为 4x + 3y = 0.
y?? 4 3 x,即 4x + 3y = 0.故所求直线 l 的方程为 x – y + 7 = 0 或

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四、课堂运用
【基础】
1.已知正方形边长为 4,其中心在原点,对角线在坐标轴上,求正方形各边所在的直线的 方程.

【答案】见解析 【解析】 利用截距式可得 ,x ? y ? 2 2 ? 0 ,x ? y ? 2 2 ? 0 ,x ? y ? 2 2 ? 0 ,x ? y ? 2 2 ? 0

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【巩固】
已知 ?ABC 中 A(-8,2) ,AB 边上中线 CE 所在的直线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,AC 边上中 线 BD 所在的直线方程为 2 x ? 5 y ? 8 ? 0 ,求直线 BC 的方程.

【答案】 4 x ? y ? 20 ? 0
0 0 B( x0 , y0 ) , 则 AB 的 中 点 E 的 坐 标 为 ( 2 , 2 ) , 由 题 意 得 : 【解析】设

x ?8 y ? 2

?2 x0 ? 5 y 0 ? 8 ? 0 ? ? x0 ? x0 ? 8 y0 ? 2 ? ? 2 ? ? 5 ? 0 ? 2 y 2 ? ,解得 ? 0

?6 ?4
,同理得 C(5,0) ,故直线 BC 为 4 x ? y ? 20 ? 0 .

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【拔高】
)已知直线 l:kx-y+1+2k=0 (k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S,求 S 的最小值并求 此时直线 l 的方程. 【答案】 见解析 【解析】 (1)证明 直线 l 的方程是:k(x+2)+(1-y)=0,

?x+2=0 ? 令? ? ?1-y=0

?x=-2 ? ,解之得? ? ?y=1



∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1). (2)解 由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- 1+2k ,在 y 轴上的截距为 1+2k, k

1+2k ? ?- k ≤-2 要使直线不经过第四象限,则必须有? ?1+2k≥1 ? 当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意,故 k≥0.

,解之得 k>0;

? 1+2k ? ,0?, (3)解 由 l 的方程,得 A?- k ? ?
1+2k ? ?- k <0, B(0,1+2k).依题意得? ?1+2k>0, ? 解得 k>0 1 1 ?1+2k? ?·|1+2k| ∵S= ·OA·OB= ·? 2 2? k ?

? 1 1 1 1+2k 2 1? = · = ?4k+ +4?≥ ×(2×2+4)=4, k 2 k 2? ? 2

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1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= ,即 k= ,∴Smin=4,此时 l:x-2y+4=0. k 2

课程小结
(1) 、两点式.截距式.中点坐标. (2)到目前为止,我们所学过的直线方程的表达形式有多少种?它们之间有什么关系? (3)要求一条直线的方程,必须知道多少个条件?

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课后作业
【基础】
过两点 A(0,1),B(-2,3)的直线方程为____________.

【答案】 x+y-1=0. x-0 = , 3-1 -2-0 y-1

【解析】 :由两点式方程可得 整理得 x+y-1=0.

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【巩固】
直线 l 经过点 P(3,2)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点.△OAB 的面积为 12, 则直线 l 的方程是________

【答案】

y + =1, 6 4

x

x y 【解析】 设直线 l 的方程为 + =1(a>0,b>0). a b 3 2 1 则有 + =1,且 ab=12. a b 2 解得 a=6,b=4. x y 所以所求直线 l 的方程为 + =1, 6 4

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【拔高】
.若点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,则 m2+n2 的最小值是( A.2 B.2 2 C.4 D.2 3 )

【答案】 4 【解析】 因为点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,所以 4m+3n-10=0,利用 m2+ n2 表示为直线上的点到原点距离的平方的最小值来分析可知,m2+n2 的最小值为 4.

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