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2012高一数学 1.3.2 奇偶性 第二课时课件 新人教A版必修1


第二课时 函数奇偶性的应用

学习目标
1.巩固函数奇偶性概念. 2.能利用函数的单调性、奇偶性解决有关 问题.

课前自主学案 第二课时 课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 0 1.若函数f(x)是奇函数,则f(-x)+f(x)=__; 0 若函数f(x)是偶函数,则f(-x)-f(x)= __.

2.若函数y=f(x)具有奇偶性,则它的定义域 原点 关于_____对称.

知新益能 相同 1.奇函数在[a,b]和[-b,-a]上具有____ 的单调性. 相反 2.偶函数在[a,b]和[-b,-a]上具有____ 的单调性.

问题探究 若奇函数y=f(x)在[a,b]上有最大值M,那 么在[-b,-a]上其最值怎样?
提示:设x∈[-b,-a],则-x∈[a,b].

∴f(-x)≤M,∴-f(x)≤M,∴f(x)≥-M.
在[-b,-a]上有最小值-M.

课堂互动讲练

考点突破

利用函数奇偶性求函数值 若函数y=f(x)为偶函数,f(x0)=M,则f(-x0) =M. 若函数y=f(x)为奇函数,f(x0)=M,则f(-x0) =-M.

例1 已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=

10,那么f(2)等于________. 【思路点拨】 利用奇函数f(x)+f(-x)=0.

【解析】 f(x)+8=x5+ax3+bx为奇函数, f(-2)+8=18,∴f(2)+8=-18,∴f(2)= -26.
【答案】 -26 【名师点拨】 可设F(x)=f(x)+8为奇函数, 即本题利用了F(2)+F(-2)=0.

互动探究1 在本例中,若f(m)=10,则f(- m)=________. 解析:令F(x)=f(x)+8,则

F(m)+F(-m)=0,
∴f(m)+8+f(-m)+8=0,

∴f(-m)=-f(m)-16=-10-16=-26.
答案:-26

利用函数奇偶性求函数解 析式
奇偶函数的图象有对称性,根据对称性,可 求另一部分的解析式.
例2 若f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0

时,f(x)=x(2-x),求函数f(x)的解析式.
【思路点拨】 解答本题可将x>0的解析式 转化到x<0上求解.

【解】 法一:∵f(x)是定义在 R 上的 奇函数, ∴f(-x)=-f(x),f(0)=0. 当 x>0 时,-x<0,∴f(x)=-f(-x)= x(2+x). ∴函数 f(x)的解析式为
?x?2+x? ?x>0? ? f(x)=?0 ?x=0? ? ?x?2-x? ?x<0?

.

法二:∵f(x)是 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),f(0)=0.

令 t=-x,若 x<0,则 t>0,且 x=-t. ∵f(x)=x(2-x)(x<0), ∴f(-t)=-t(2+t), 即-f(t)=-t(2+t). ∴f(t)=t(2+t), ∴当 x>0 时,f(x)=x(2+x). ∴函数 f(x)的解析式为
?x?2+x? ?x>0? ? f(x)=?0 ?x=0? ? ?x?2-x? ?x<0?

.

【名师点拨】

此类问题的一般做法是:

①“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式, x就设在哪个区间内.
②要利用已知区间的解析式进行代入. ③利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从 而解出f(x).

互动探究2 若将题设中的“f(x)是奇函数” 改为“f(x)是偶函数,f(0)=0”,其他条件不 变,则f(x)的解析式又是什么?

解:设 x>0,则-x<0, ∴f(x)=f(-x)=-x(2+x), 又 f(0)=0,
?x?2-x? ? ∴f(x)=?0 ?x=0? ? ?-x?2+x?

?x<0? . ?x>0?

函数的奇偶性与单调性的 综合应用
函数的奇偶性是函数定义域内的整体性质, 函数的单调性是定义域内的局部性质,可根 据函数的奇偶性判断对称区间的单调性.
例3 设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间

[0,2]上单调递减,若f(m)+f(m-1)>0,求 实数m的取值范围.

【思路点拨】 → f?1-m?<f?m? → 解得m的范围

f?m?+f?m-1?>0 → 列不等式组

【解】 由 f(m)+f(m-1)>0, 得 f(m)>-f(m-1),即 f(1-m)<f(m). 又∵f(x)在[0,2]上为减函数且 f(x)在[- 2,2]上为奇函数, ∴f(x)在[-2,2]上为减函数.

?-2≤1-m≤2 ? ∴?-2≤m≤2 ? ?1-m>m ?-1≤m≤3 ? ?-2≤m≤2 即? ? 1 ?m< 2 ?



.

1 ∴-1≤m< . 2

【名师点拨】 本题易丢掉函数的定义域 [-2,2]而出错. 自我挑战3 设定义在[-2,2]上的偶函数g(x), 当x≥0时,g(x)单调递减,若g(1-m)<g(m) 成立,求m的取值范围. 解:∵g(x)在[-2,2]上是偶函数,
∴g(1-m)=g(|1-m|),

g(m)=g(|m|).

∵g(1-m)<g(m), ∴g(|1-m|)<g(|m|). 又 g(x)在[0,2]上单调递减,
?-2≤1-m≤2 ? ∴?-2≤m≤2 ? ?|1-m|>|m|

1 ,解得-1≤m< . 2

1 ∴-1≤m< . 2

方法感悟 方法技巧 1.利用奇偶性求对称区间的函数解析式, 先设x在这个区间内,利用-x在已知区间内 而求f(-x),再转化求f(x).(如例2)

2.单调性、奇偶性经常在同一个问题中出 现,其单调性要注意对称区间的变化.

失误防范

1.利用奇偶性求解析式,一般用分段函数 来表示.(如例2) 2.用单调性、奇偶性解决抽象不等式时, 切勿丢掉定义域.(如例3)



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