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河北省衡水中学2016届高三上学期二调数学试卷【解析版】(理科)


2015-2016 学年河北省衡水中学高三(上)二调数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1.设全集 U=R,集合 A={x|1og2x≤2},B={x|(x﹣3) (x+1)≥0},则(CUB)∩A=( A. (﹣∞,﹣1] B. (﹣∞,﹣1]∪(0,3) C.

[0,3) D. (0,3) )

2.正项等比数列{an}中,存在两项 am、an 使得 值是( ) A. B.2 C. D.

=4a1,且 a6=a5+2a4,则

的最小

3.设向量 , 满足| |=2, 在 方向上的投影为 1,若存在实数 λ,使得 与 ﹣λ 垂直, 则 λ=( A. ) B.1 C.2 D.3

4. 已知函数 y=Asin (ωx+φ) +m 的最大值为 4, 最小值为 0, 两个对称轴间的最短距离为 直线 A. C. 是其图象的一条对称轴,则符合条件的解析式是( B. D. )



5.在△ ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,若 S△ ABC=2 =2cosC,则 c=( A.2 ) B.4 C.2 D.3

,a+b=6,

6.设 M 是△ ABC 所在平面上的一点,且 为( A. ) B. C.1 D.2

+

+

= ,D 是 AC 中点,则

的值

7. 已知锐角 A 是△ ABC 的一个内角, a, b, c 是三角形中各角的对应边, 若 sin A﹣cos A= , 则下列各式正 确的是( )[来源:学&科&网 Z&X&X&K] A.b+c=2a B.b+c<2a C.b+c≤2a D.b+c≥2a

2

2

8.已知函数 g(x)=a﹣x ( ≤x≤e,e 为自然对数的底数)与 h(x)=2lnx 的图象上存在关 于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( )

2

A.[1,

+2]

B.[1,e ﹣2]

2

C.[

+2,e ﹣2]

2

D.[e ﹣2,+∞)

2

9.已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,a1=1,a2=2,a3=3,数列{an+an+1+an+2}是公差为 2 的等 差数列,则 S25=( ) A.232 B.233 C.234 D.235 10.函数 f(x)=cosπx 与函数 g(x)=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为( A.2 B.4 C.6 D.8 )

11.已知向量是单位向量 , ,若 ? =0,且| ﹣ |+| ﹣2 |= ( ) B.[ ] C.[ , ] D.[ ,3]

,则| +2 |的取值范围是

A.[1,3]

12.已知定义在(0,+∞)上的单调函数 f(x) ,对?x∈(0,+∞) ,都有 f[f(x)﹣log2x]=3, 则方程 f(x)﹣f′(x)=2 的解所在的区间是( ) A. (0, ) B. (1,2) C. ( ,1) D. (2,3)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.若 tanα+ = ,α∈( , ) ,则 sin(2α+ )+2cos cos α 的值为__________.
2

14.已知函数 f(x) (x∈R)满足 f(1)=1,且 f(x)的导数 f′(x)< ,则不等式 f(x )

2



的解集为__________.
*

15.已知 Sn 是等差数列{an}(n∈N )的前 n 项和,且 S6>S7>S5,有下列五个命题: ①d<0;

②S11>0; ③S12<0; ④数列{Sn}中的最大项为 S11; ⑤|a6|>|a7|. 其中正确的命题是__________(写出你认为正确的所有命题的序号)

16.已知函数 f(x)为偶函数且 f(x)=f(4﹣x) ,又 f(x)=
|x|



函数 g (x) = ( ) +a, 若F (x) =f (x) ﹣g (x) 恰好有 4 个零点, 则 a 的取值范围是__________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.设数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1 (1)求{an}的通项公式; (2)记 bn=log2(an+1) ,求数列{bn?an}的前 n 项和为 Sn. 18.已知△ ABC 的内角 A、B、C 所对边分别为 a,b,c,设向量





(1)求 tanA?tanB 的值; (2)求

的最大值.

19.已知函数 (I)求函数 f(x)在区间

的最小正周期为 3π. 上的最大值和最小值; ,求

(II)在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 a<b<c, 角 C 的大小; (Ⅲ)在(II)的条件下,若
x

,求 cosB 的值.

20.已知函数 f(x)=e ﹣ax+a,其中 a∈R,e 为自然对数的底数. (1)讨论函数 f(x)的单调性,并写出对应的单调区间; (2)设 b∈R,若函数 f(x)≥b 对任意 x∈R 都成立,求 ab 的最大值. 21.设函数 f(x)=(1+x) ﹣mln(1+x) ,g(x)=x +x+a. (1) 当 a=0 时, f (x) ≥g (x) 在 (0, +∞) 上恒成立, 求实数 m 的取值范围; [来源:Zxxk.Com]
2 2

(2)当 m=2 时,若函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在[0,2]上恰有两个不同的零点,求实数 a 的取值范围; (3)是否存在常数 m,使函数 f(x)和函数 g(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若 存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 22.已知函数 f(x)=ln(x+1)+ax ﹣x,a∈R. (Ⅰ)当 a= 时,求函数 y=f(x)的极值; (Ⅱ)若对任意实数 b∈(1,2) ,当 x∈(﹣1,b]时,函数 f(x)的最大值为 f(b) ,求 a 的取值范围.
2

2015-2016 学年河北省衡水中学高三(上)二调数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1.设全集 U=R,集合 A={x|1og2x≤2},B={x|(x﹣3) (x+1)≥0},则(CUB)∩A=( ) A. (﹣∞,﹣1] B. (﹣∞,﹣1]∪(0,3) C.[0,3) D. (0,3) 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】根据题意,先求出集合 A,B,进而求出 B 的补集,进 而根据交集的定义,可得答 案. 【解答】解:∵集合 A={x|1og2x≤2}=(0,4], B={x|(x﹣3) (x+1)≥0}=(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) , ∴CUB=(﹣1,3) , ∴(CUB)∩A=(0,3) , 故选:D 【点评】本题考查集合混合运算,注意运算的顺序,其次要理解集合交、并、补的含义. [来源:学科网] 2.正项等比数列{an}中,存在两项 am、an 使得 值是( ) =4a1,且 a6=a5+2a4,则 的最小

A. B.2 C. D. 【考点】基本不等式在最值问题中的应用;等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 【分析】由 a6=a5+2a4,求出公比 q,由 等式即可求出则 的最小值. 【解答】解:在等比数列中,∵a6=a5+2a4, ∴
2

=4a1,确定 m,n 的关系,然后利用基本不



即 q ﹣q﹣2=0, 解得 q=2 或 q=﹣1(舍去) , ∵ ∴
m+n﹣2 4

=4a1, ,

即2 =16=2 , ∴m+n﹣2=4,即 m+n=6,

∴ ∴

, =( ) = ,

当且仅当 ,即 n=2m 时取等号. 故选:A. 【点评】本题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用,涉及的知识点较多,要 求熟练掌握基本不等式成立的条件.

3.设向量 , 满足| |=2, 在 方向上的投影为 1,若存在实数 λ,使得 与 ﹣λ 垂直, 则 λ=( )

A. B.1 C.2 D.3 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】利用向量投影的意义可得 ,再利用向量垂直与数量积的关系即可得出.

【解答】解:∵向量 , 满足| |=2, 在 方向上的投影为 1, ∴ = =2×1=2.

∵存在实数 λ,使得 与 ﹣λ 垂直, ∴
2

=

=0,

∴2 ﹣2λ=0, 解得 λ=2. 故选:C. 【点评】本题考查了向量投影的意义、向量垂直与数量积的关系,属于基础题.

4. 已知函数 y=Asin (ωx+φ) +m 的最大值为 4, 最小值为 0, 两个对称轴间的最短距离为 直线 A. 是其图象的一条对称轴,则符合条件的解析式是( B. )



C. D. 【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】计算题. 【分析】由题意可得 A+m=4,A﹣m=0,解得 A 和 m 的值,再根据周期求出 ω,根据函数 图象的对称轴及 φ 的范围求出 φ,从而得到符合条件的函数解析式.

【解答】解:由题意 m=2. A=±2, 再由两个对称轴间的最短距离为 ,可得函数的最小正周期为 π 可得 ∴函数 y=Asin(ωx+φ)+m=±2sin(2x+φ)+2. 再由 是其图象的一条对称轴, 可得 +φ=kπ+ , k∈z, 即 φ=kπ ,解得 ω=2,

, 故可取 φ=



故符合条件的函数解析式是 y=﹣2sin(2x+ )+2, 故选 B 【点评】本题主要考查利用 y=Asin(ωx+?)的图象特征,由函数 y=Asin(ωx+?)的部分 图象求解析式,属于中档题.

5.在△ ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,若 S△ ABC=2 =2cosC,则 c=( A.2 ) B.4 C.2 D.3

,a+b=6,

【考点】正弦定理;余弦定理. 【专题】三角函数的求值;解三角形. 【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式,化简可得角 C,再由面积公式和余 弦定理,计算即可得到 c 的值. 【解答】解: =

=

=1,

即有 2cosC=1, 可得 C=60°, 若 S△ ABC=2 ,则 absinC=2 , 即为 ab=8, 又 a+b=6, 2 2 2 2 由 c =a +b ﹣2abcosC=(a+b) ﹣2ab﹣ab 2 2 =(a+b) ﹣3ab=6 ﹣3×8=12, 解得 c=2 .

故选 C. 【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用,同时考查两角和的正弦公式和诱 导公式的运用,考查运算能力,属于中档题.

6.设 M 是△ ABC 所在平面上的一点,且 为( )

+

+

= ,D 是 AC 中点,则

的值

A. B. C.1 D.2 【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【专题】平面向量及应用. 【分析】结合题意,画出图形,利用图形,延长 MD 至 E,使 DE=MD,得到平行四边形 MAEC,求出 与 的关系,即可得出正确的结论.

【解答】解:如图所示, ∵D 是 AC 之中点,延长 MD 至 E,使得 DE=MD, ∴四边形 MAEC 为平行四边形, ∴ 又∵ ∴ = + =﹣ ( = ( + + + ) ;

= , )=﹣3 ;



=

= .

故选:A. 【点评】 本题考查了平面向量的应用问题, 解题时应根据题意画出图形, 结合图形解答问题, 解题的关键是画出平行四边形 MAEC,得出 与 的关系.

7. 已知锐角 A 是△ ABC 的一个内角, a, b, c 是三角形中各角的对应边, 若 sin A﹣cos A= , 则下列各式正确的是( ) A.b+c=2a B.b+c<2a C.b+c≤2a D.b+c≥2a 【考点】基本不等式在最值问题中的应用;余弦定理. 【专题】解三角形;不等式的解法及应用. 【分析】已知等式左边变形后利用二倍角的余弦函数公式化简,求出 cos2A 的值,由 A 为 锐角求出 A 的度数,利用余弦定理列出关系式,把 cosA 的值代入并利用基本不等式得出关 系式,即可做出判断.

2

2

【解答】解:由 sin A﹣cos A= ,得 cos2A=﹣ , 又 A 为锐角,∴0<2A<π, ∴2A= ,即 A= ,

2

2

由余弦定理有 a =b +c ﹣bc= (b+c) ﹣3bc≥ (b+c) ﹣ (b+c) =
2

2

2

2

2

2

2

, 即 4a ≥ (b+c)

2

, 解得:2a≥b+c, 故选:C.[来源:学&科&网 Z&X&X&K] 【点评】 此题考查了余弦定理, 以及基本不等式的运用, 熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

8.已知函数 g(x)=a﹣x ( ≤x≤e,e 为自然对数的底数)与 h(x)=2lnx 的图象上存在关 于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( )

2

A.[1,

+2]

B.[1,e ﹣2]

2

C.[

+2,e ﹣2]

2

D.[e ﹣2,+∞)

2

【考点】对数函数的图像与性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 由已知, 得到方程 a﹣x =﹣2lnx?﹣a=2l nx﹣x 在 2 =2lnx﹣x ,求出它的值域,得到﹣a 的范围即可. 【解答】解:由已知,得到方程 a﹣x =﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x 在
2 2 2 2 2

上有解, 构造函数 f (x)

上有解.

设 f(x)=2lnx﹣x ,求导得:f′(x)= ﹣2x= ∵ ≤x≤e,∴f′(x)=0 在 x=1 有唯一的极值点,
2



∵f( )=﹣2﹣

,f(e)=2﹣e ,f(x)极大值=f(1) =﹣1,且知 f(e)<f( ) ,
2 2

故方程﹣a=2lnx﹣x 在 上有解等价于 2﹣e ≤﹣a≤﹣1. 2 从而 a 的取值范围为[1,e ﹣2]. 故选 B. 2 【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围;关键是将已知转化为方程 a﹣x = ﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x 在
2

上有解.

9.已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,a1=1,a2=2,a3=3,数列{an+an+1+an+2}是公差为 2 的等 差数列,则 S25=( )

A.232 B.233 C.234 D.235 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】由已知可得 an+3﹣an=(an+1+an+2+an+3)﹣(an+an+1+an+2)=2,故 a1,a4,a7,… 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,a2,a5,a8,…是首项为 2,公差为 2 的等差数列,a3, a6,a9,…是首项为 3,公差为 2 的等差数列,结合等差数列前 n 项和公式,和分组求和法, 可得答案. 【解答】解:∵数列{an+an+1+an+2}是公差为 2 的等差数列, ∴an+3﹣an=(an+1+an+2+an+3)﹣(an+an+1+an+2)=2, ∴a1,a4,a7,…是首项为 1,公差为 2 的等差数列, a2,a5,a8,…是首项为 2,公差为 2 的等差数列, a3,a6,a9,…是首项为 3,公差为 2 的等差数列, ∴S25=(a1+a4+a7+…+a25)+(a2+a5+a8+…+a23)+(a3+a6+a9+…+a24) = 故选:B + + =233,

【点评】本题考查的知识点是等差数列的前 n 项和公式,根据已知得到 an+3﹣an=2,是解答 的关键. 10.函数 f(x)=cosπx 与函数 g(x)=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为( A.2 B.4 C.6 D.8 【考点】函数的零 点;函数的图象. 【专题】作图题. 【分析】由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象,由对称性可得答案. 【解答】解:由图象变化的法则可知: y=log2x 的图象作关于 y 轴的对称后和原来的一起构成 y=log2|x|的图象, 在向右平移 1 个单位得到 y=log2|x﹣1|的图象,再把 x 轴上方的不动,下方的对折上去 可得 g(x)=|log2|x﹣1||的图象; 又 f(x)=cosπx 的周期为 =2,如图所示: 两图象都关于直线 x=1 对称,且共有 ABCD4 个交点, 由中点坐标公式可得:xA+xD=2,xB+xC=2 故所有交点的横坐标之和为 4, 故选 B )

[来源:Z。xx。k.Com] 【点评】本题考查函数图象的作法,熟练作出函数的图象是解决问题的关键,属中档题.

11.已知向量是单位向量 , ,若 ? =0,且| ﹣ |+| ﹣2 |= ( )

,则| +2 |的取值范围是

A.[1,3] B.[ ] C.[ , ] D.[ ,3] 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】 由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示, 借助于两点之间的距离公式以及几 何意义解答本题. 【解答】解:因为 ? =0,且| ﹣ |+| ﹣2 |= (x,y) , 则 则 =(x﹣1,y) , =(x,y﹣2) , , ,即表示点(1,0)和(0,2)之间 ,设单位向量 =(1,0) , =(0,1) , =

即(x,y)到 A(1,0)和 B(0,2)的距离和为 的线段, | +2 |= 直线 2x+y﹣2=0 的距离

表示(﹣2,0)到线段 AB 上点的距离,最小值是点(﹣2,0)到

所以| +2 |min=

,最大值为(﹣2,0)到(1,0)的距离是 3,

所以| +2 |的取值范围是[ ,3]; 故选:D. 【点评】本题考查了向量的坐标运算、两点之间的距离公式,点到直线的距离等;关键是利 用坐标法解答.

12.已知定义在(0,+∞)上的单调函数 f(x) ,对?x∈(0,+∞) ,都有 f[f(x)﹣log2x]=3, 则方程 f(x)﹣f′(x)=2 的解所在的区间是( ) A. (0, ) B. (1,2) C. ( ,1) D. (2,3) 【考点】导数的运算. 【专题】导数的综合应用. 【分析】设 t=f(x)﹣log2x,则 f(x) =log2x+t,又由 f(t)=3,即 log2t+t=3,解可得 t 的 值,可得 f(x)的解析式,由二分法分析可得 h(x)的零点所在的区间为(1,2) ,结合函 数的零点与方程的根的关系,即可得答案. 【解答】解:根据题意,对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f[f(x)﹣log2x]=3, 又由 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数, 则 f(x)﹣log2x 为定值, 设 t=f(x)﹣log2x,则 f(x)=log2x+t, 又由 f(t)=3,即 log2t+t=3, 解可得,t=2; 则 f(x)=log2x+2,f′(x)= 将 f(x)=log2x+2,f′(x)= 可得 log2x+2﹣ 即 log2x﹣ =2, =0, , <0,h(2)=1﹣ >0, , 代入 f(x)﹣f′(x)=2,

令 h(x)=log2x﹣ 分析易得 h(1)= 则 h(x)=log2x﹣

的零点在(1,2)之间,

则方程 log2x﹣ =0,即 f(x)﹣f′(x)=2 的根在(1,2)上, 故选:B. 【点评】 本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用, 关键点和难点是 求出 f(x)的解析式. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.若 tanα+ = ,α∈( , ) ,则 sin(2α+ )+2cos cos α 的值为 0. 【考点】二倍角的余弦. 【专题】三角函数的求值.[来源:学科网] 【分析】由条件求得 tanα 的值,再利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式化简所给的 式子,求得结果.
2

【解答】解:∵tanα+ 则 sin(2α+ )+2cos

=
2

,α∈(



) ,∴tanα=3,或 tanα= + ?

(舍去) ,

cos α=sin2αcos

+cos2αsin

=

sin2α+

cos2α+

=

?

+

?

+

=

?

+

?

+

=

?

+

?

+

=0,

故答案为:0. 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用,属于基础题.

14.已知函数 f(x) (x∈R)满足 f(1)=1,且 f(x)的导数 f′(x)< ,则不等式 f(x )

2



的解集为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) .

【考点】导数的运算;其他不等式的解法. 【专题】压轴题;导数的概念及应用. 【分析】设 F(x)=f(x)﹣ x,根据题意可得函数 F(x)在 R 上单调递减,然后根据 f

(x )<

2

可得 f(x )﹣

2

<f(1)﹣ ,最后根据单调性可求出 x 的取值范围.

【解答】解:设 F(x)=f(x)﹣ x,则 F′(x)=f′(x)﹣ ∵f′(x)< ,∴F′(x)=f′(x)﹣ <0 即函数 F(x)在 R 上单调递减

而 f(x )<
2

2

即 f(x )﹣

2

<f(1)﹣

∴F(x )<F(1)而函数 F(x)在 R 上单调递减 2 ∴x >1 即 x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 【点评】本题主要考查了导数的运算,以及利用单调性解不等式和构造法的应用,同时考查 了运算求解的能力,属于中档题. 15.已知 Sn 是等差数列{an}(n∈N )的前 n 项和, 且 S6>S7>S5,有下列五个命题: ①d<0;
*

②S11>0; ③S12<0; ④数列{Sn}中的最大项为 S11; ⑤|a6|>|a7|. 其中正确的命题是①、②、⑤(写出你认为正确的所 有命题的序号) 【考点】等差数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】先由条件确定第六项和第七项的正负,进而确定公差的正负,再将 S11,S12 由第六 项和第七项的正负判定,结合 a6>0,a7<0,且 a6+a7>0 判断⑤. 【解答】解:由题可知等差数列为 an=a1+(n﹣1)d, 由 s6>s7 有 s6﹣s7>0,即 a7<0, 由 s6>s5 同理可知 a6>0, 则 a1+6d<0,a1+5d>0, 由此可知 d<0 且﹣5d<a1<﹣6d.





∴s11=11a1+55d=11(a1+5d)>0, s12=12a1+66d=12(a1+a12)=12(a6+a7) , ∵S7>S5,∴S7﹣S5=a6+a7>0, ∴s12>0. 由 a6>0,a7<0,且 a6+a7>0, 可知|a6|>|a7|. 即①②⑤是正确的,③④是错误的. 故答案为:①、②、⑤. 【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式的应用,体现了数学转化思想方法,是中档 题.

16.已知函数 f(x)为偶函数且 f(x)=f(4﹣x) ,又 f(x)=
|x|



函数 g(x)=( ) +a,若 F(x)=f(x)﹣g(x)恰好有 4 个零点,则 a 的取值范围是(2, ) . 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】易知函数 f(x) ,g(x)都是偶函数,所以只需判断 F(x)在(0,+∞)上有两个 不同的零点即可, 也就是函数 y=f (x) 与 y=g (x) 的图象在 y 轴右侧有两个不同交点即可. 画 出它们的函数图象,问题容易解决. 【解答】解:由题意可知 f(x)是周期为 4 的偶函数,对称轴为直线 x=2,且函数 g(x) 也是偶函数,因此只需做出 x>0 时 f(x) ,g(x)的图象,然后此时产生两个不同交点即 可.

作出函数 f(x) 、g(x)的图象如下:

可知,若 F(x)恰有 4 个零点,只需 解得 .

,即



故答案为 . 【点评】 本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题, 需要学生对图象进行理 解,对学生的能力提出很高要求,属于难题 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )[来 源:Z.xx.k.Com] 17.设数列{an}满足 a 1=1,an+1=2an+1 (1)求{an}的通项公式; (2)记 bn=log2(an+1) ,求数列{bn?an}的前 n 项和为 Sn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)通过对 an+1=2an+1 变形可得(an+1+1)=2(an+1) ,进而可得{an+1}是以 2 为 公比、2 为首项的等比数列,计算即得结论; (2)通过 ,可得 bn?an=n?2 ﹣n,记 A=1×2 +2×2 +…+n?2 ,利用错位相减法计
n 1 2 n

算 A﹣2A 的值,进而计算可得结论.[来源:Zxxk.Com] 【解答】解: (1)∵an+1=2an+1, ∴(an+1+1)=2(an+1) ∵a1+1=2≠0,∴an+1≠0,





∴{an+1}是以 2 为公比、2 为首项的等比数列, ∴ ∴ (2)∵ ∴ ∴ 记 A=1×2 +2×2 +…+n?2 , 2 n n+1 ∴2A=1×2 +…+(n﹣1)?2 +n?2 , ∴﹣A=A﹣2A 2 n n+1 =2+2 +…+2 ﹣n?2
1 2 n

, ; , , ,

=
n+1

﹣n?2

n+1

=(1﹣n)?2 ﹣2, n+1 ∴A=(n﹣1)?2 +2,





【点评】本题考查求数列的通项及求和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中 档题. 18.已知△ ABC 的内角 A、B、C 所对边分别为 a,b,c,设向量





(1)求 tanA?tanB 的值; (2)求

的最大值.

【考点】 同角三角函数基本关系的运用; 基本不等式在最值问题中的应用; 余弦定理的应用. 【专题】计算题. 【分析】 (1) 利用两个向量的数量积公式以及两角和差余弦公式、 同角三角函数的基本关系, 求得 tanAtanB 的值.

(2)把余弦定理代入式子

,再应用基本不等式求出式子的最大值.

【解答】解: (1)∵





由已知

得:

(1 ﹣cos(A+B) )+

= ,



(1﹣cos(A+B) )+

= ,4cos(A﹣B)=5cos(A+B) ,

∴9sinAsinB=cosA cosB,tanAtanB= .

(2) (tanA+tanB)≤﹣

= ?2

=

tanC=﹣

tan(A+B)=﹣ ?

=﹣

=﹣ , (当且仅当 A=B 时等号成立) ,



的最大值为﹣ .

【点评】本题考查两个向量的数量积公式,两角和差余弦公式、同角三角函数的基本关系以 及余弦定理得应用.

19.已知函数 (I)求函数 f(x)在区间

的最小正周期为 3π. 上的最大值和最小值; ,求

(II)在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 a<b<c, 角 C 的大小;

(Ⅲ)在(II)的条件下,若 ,求 cosB 的值. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦定理;三角函数的最值. 【专题】三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】 (I)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式,利用周期公式可求 ω,由 时,可得: 解. (II)由已知 ,由正弦定理结合 sinA≠0,可得 求 C 的值.[来源:学。科。网 Z。X。X。K] (Ⅲ)由 得 与差的余弦函数公式即可求值. ,由(II)可求 sinA, ,结合 a<b<c,即可 ,根据正弦函数的图象和性质即可得

,从而利用两角和

【解答】解: (I)∵



由函数 f(x)的最小正周期为 3π,即 ∴ ∵ 时,可得: ,

,解得



,∴ 时,f(x)的最大值是 1. = ,



所以 x=﹣π 时,f(x)的最小值是﹣3, (II)由已知 又 sinA≠0, ∴ , 又因为 a<b<c, ∴ (Ⅲ)由 ∵ ∴ , .由 知 . 得 .

,由正弦定理,有 =



∴ . 【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,正弦函数的图象和性质, 属于基本知识的考查. 20.已知函数 f(x)=e ﹣ax+a,其中 a∈R,e 为自然对数的底数. (1)讨论函数 f(x)的单调性,并写出对应的单调区间; (2)设 b∈R,若函数 f(x)≥b 对任意 x∈R 都成立,求 ab 的最大值. 【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】 (1)通过函数 f(x) ,得 f′(x) ,然后结合 f′(x)与 0 的关系对 a 的正负进行讨论 即可; (2)对 a 的正负进行讨论:当 a<0 时,f(x)≥b 不可能恒成立;当 a=0 时,此时 ab=0; 当 a>0 时,由题结合(1)得 ab≤2a ﹣a lna,设 g(a)=2a ﹣a lna(a>0) ,问题转化为求 g (a)的最大值,利用导函数即可. x x 【解答】解: (1)由函数 f(x)=e ﹣ax+a,可知 f′(x)=e ﹣a, ①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在 R 上单调递增; x ②当 a>0 时,令 f′(x)=e ﹣a=0,得 x=lna, 故当 x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)<0,此时 f(x)单调递减;[来源:Z|xx|k.Com] 当 x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,此时 f(x)单调递增. 综上所述,当 a≤0 时,函数 f(x)在单调递增区间为(﹣∞,+∞) ; 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递减区间为(﹣∞,lna) ,单调递增区间为(lna,+∞) ;
2 2 2 2 x

(2)由(1)知,当 a<0 时,函数 f(x)在 R 上单调递增且当 x→﹣∞时,f(x)→﹣∞, ∴f(x)≥b 不可能恒成立; 当 a=0 时,此时 ab=0; 当 a>0 时,由函数 f(x)≥b 对任意 x∈R 都成立,可得 b≤fmin(x) , 2 2 ∵fmin(x)=2a﹣alna,∴b≤2a﹣alna,∴ab≤2a ﹣a lna, 2 2 设 g(a)=2a ﹣a lna (a>0) ,则 g′(a)=4a﹣(2alna+a)=3a﹣2alna, 由于 a>0,令 g′(a)=0,得 ,故 ,



时,g′(a)>0,g(a)单调递增;



时,g′(a)<0,g(a)单调递减.

所以

,即当



时,ab 的最大值为



【点评】本题考查函数的单调性及最值,利用导函数来研究函数的单调性是解题的关键,注 意解题方法的积累,属于中档题. 21.设函数 f(x)=(1+x) ﹣mln(1+x) ,g(x)=x +x+a. (1)当 a=0 时,f(x)≥g(x)在(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)当 m=2 时,若函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在[0,2]上恰有两个不同的零点,求实数 a 的取值范围; (3)是否存在常数 m,使函数 f(x)和函数 g(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若 存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的零点;利用导数研究函数的单调性. 【专题】导数的综合应用.
2 2

【分析】 (1)当 a=0 时,f(x)≥g(x)在(0,+∞)上恒成立?

,设 φ(x)

=

,则 f(x)≥g(x)在(0,+∞)上恒成立?m≤φ(x)min,利用导数研究函数

φ(x)的单调性极值最值即可; (2)函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在[0,2]上恰有两个不同的零点等价于方程 1+x﹣2ln(1+x) =a 在[0,2]上恰有两个相异实根.令 F(x)=1+x﹣2ln(1+x) , 利用导数研究其单调性极值与最值可得 Fmin(x)=F(1)=2﹣2ln2.只要 F(1)<a≤F(2) , 可使方程 h(x)在[0,2]上恰有两个不同的零点.

(3)存在

满足题意.f′(x)=2(1+x)﹣

=

,函数 f(x)的定义域

是(﹣1,+ ∞) ,对 m 分类讨论即可得出单调性,而函数 g(x)在(﹣1,+∞)上的单调递 减区间是 ,单调递增区间是 ,解出即可.

【解答】解: (1)当 a=0 时,f(x)≥g(x)在(0,+∞)上恒成立?



设 φ(x)=

,则 f(x)≥g(x)在(0,+∞)上恒成立?m≤φ(x)min,

∵φ′(x)=



当 x∈(0,e﹣1)时,φ′(x)<0;当 x∈(e﹣1,+∞)时,φ′(x)>0. 故 φ(x)在 x=e﹣1 处取得极小值,也是最小值,即 φ(x)min=φ(e﹣1)=e,故 m≤e. (2)函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在[0,2]上恰有两个不同的零点等价于方程 1+x﹣2ln(1+x) =a 在[0,2]上恰有两个相异实根,

令 F(x)=1+x﹣2ln(1+x) ,则 F′(x)=

,当(0,1]时,F′(x)<0,当(1,2]时,

F′(x)>0, 故 F(x)在(0,1]上递减,在(1,2]上递增, 故 Fmin(x)=F(1)=2﹣2ln2.且 F(0)=1,F(2)=3﹣2ln3, 因此 F(0)>F(2) , ∴只要 F(1)<F(2) ,即只要 F(1)<a≤F(2) ,可使方程 h(x)在[0,2]上恰有两个不 同的零点. 即 a∈(2﹣2ln2,3﹣2ln3].

(3)存在

满足题意.f′(x)=2(1+x)﹣

=

,函数 f(x)的定义域

是(﹣1,+∞) , 若 m≤0,意.f′(x)≥0,函数 f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,不合题意; 当 m>0 时,由 f′(x)>0,得 2(1+x) ﹣m>0,解得 x>﹣1+ 故 m>0 时, 函数 ( f x) 的增区间是 而函数 g(x)在(﹣1,+∞)上的单调递减区间是 ,
2

或 x<﹣1﹣

(舍去) , ,

, 单调递减区间是 ,单调递增区间是

故只需 =﹣ ,解得 m= . 【点评】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值, 考查了恒成立问题的等价转化 方法,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 22.已知函数 f(x)=ln(x+1)+ax ﹣x,a∈R. (Ⅰ)当 a= 时,求函数 y=f(x)的极值; (Ⅱ)若对任意实数 b∈(1,2) ,当 x∈(﹣1,b]时,函数 f(x)的最大值为 f(b) ,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】导数的综合应用. 【分析】 (Ⅰ)将 a= 时代入函数 f(x)解析式,求出函数 f(x)的导函数,令导函数等于 零,求出其根;然后列出 x 的取值范围与 f′(x)的符号及 f(x)的单调性情况表,从表就 可得到函数 f(x)的极值;
2

(Ⅱ)由题意首先求得:

,故应按 a<0,a=0,a>0 分

类讨论:当 a≤0 时,易知函数 f(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, 从而当 b∈(0,1)时 f(b)<f(0) ,则不 存在实数 b∈(1,2) ,符合题意;当 a>0 时, 令 f′(x)=0 有 x=0 或 ,又要按根 大于零,小于零和等于零分类讨论; 对各种情况求函数 f(x)x∈(﹣1,b]的最大值,使其最大值恰为 f(b) ,分别求得 a 的取 值范围,然而将所得范围求并即得所求的范围;若求得的 a 的取值范围为空则不存在,否则 存在. 【解答】解: (Ⅰ)当 a= 时, ,



,化简得

(x>﹣1) ,

列表如下: x (﹣1, 0 (0, 1) 1 (1, 0) +∞) + 0 0 + f′(x) ﹣ f(x) 增 极大值 减 极小值 增 ∴函数 f(x)在(﹣1,0) , (1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,且 f(0)=0, f(1)=ln2﹣ , ∴函数 y=f(x)在 x=1 处取到极小值为 ,在 x=0 处取到极大值为 0;

(Ⅱ)由题意



(1)当 a≤0 时,函数 f(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, 此时,不存在实数 b∈(1,2) ,使得当 x∈(﹣1,b)时,函数 f(x)的最大值为 f(b) ; (2)当 a>0 时,令 f′(x)=0 有 x=0 或 ①当 在( ,即 a> 时,函数 f(x)在( , )和(0,+∞)上单调递增,

)上单调递减,要存在实数 b∈(1,2) ,使得当 x∈(﹣1,b]时, )<f(1) ,代入化简得 ,

函数 f(x)的最大值为 f(b) ,则 f( 令 ∵ ∴a ②当 增, 时, (a> ) ,

恒成立,故恒有 恒成立; ,即 0<a< 时,函数 f(x)在(﹣1,0)和(



)上单调递

在(0, 又 1﹣ln2

)上单调递减,此时由题,只需

,解得 a≥1﹣ln2,



∴此时实数 a 的取值范围是 1﹣ln2≤a< ; ③当 a= 时,函数 f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,显然符合题意. 综上,实数 a 的取值范围是[1﹣ln2,+∞) . 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,着重考查 了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法, 解答该题要求考生具有较强的逻辑思维能 力,属难度较大的题目.


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