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物理竞赛数学知识——微积分


第二讲
上讲回忆

导数的应用

如果你学完上一讲有隔岸观火、雾里看花的感觉,甚至有神魂颠倒、飘飘欲仙的感觉,请不要害 怕,不要彷徨,因为包括牛顿在内的大师们当年的感觉,和你们是一样一样的。也不要害怕掌握不熟, 对以后学习有什么影响,我们帮你把今后要用的东西给你准备好了:

( f ( x) ± g ( x))

' = f '( x) ± g '( x) ; ( f ( x) ? g ( x)) ' = f '( x) g ( x) + f ( x) g '( x) ;

(

f ( x) f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) )' = ; f ( g ( x)) ' = f '( g ) g '( x) ; g ( x) g ( x) 2
1 ; (e x ) ' = e x x

( x n ) ' = nx n ?1 ; (sin x) ' = cos x ; (cos x) ' = ? sin x ; (ln x) ' =

本讲目标 在本讲讲详细介绍导数的各种应用。在练习中体会深化巩固求导的概念和运算。 洛比达法则:这是计算极限的一种常用方法,也可以用来比较小量的阶数. 函数求极值:掌握极值和最值的区别,体会能量取极值的意义。 多元函数极值和条件极值:这是导数与实际生活联系最紧密的领域。不仅物理问题,许多经济学 问题,生活问题都可以用这些方法解决。 小量展开:这是导数在物理竞赛中应用得最多的部分。小量展开体现的一种逐阶展开、通过 抓住主要矛盾来抽象物理本质的思想。在使用小量展开中注意体会小量阶数的比较与取舍的关 系。 讲义的风格与上将类似,一个类目的纯数学例题尽量只有一个,但复杂的提供自学例题课后复习 提高。 知识模块 第一部分 洛比达法则

知识点睛
x2 + x 有时候会遇到 0/0 型的极限式,即分子分母的极限分别为 0,例如 lim 3 。当 x → 0 的时 x →0 x + 2 x 2
候, x << x << x ,可见 x 的高阶量相对于低阶量可以忽略。对于多项式求导可以降低阶数,当阶
3 2

数降到 0 的时候,极限不再是 0,可以直接计算了。按照这条思路前人发明了洛比达法则:

lim
x →a

u ( x) u '( x) = lim ;如果 lim u ( x ) = 0且 lim v ( x ) = 0 x → a v '( x ) x →a x→a v( x)

我们不打算证明这个定理,只做如下说明: 如果 u (0) = 0, u '(0) = a ; v(0) = 0, v '(0) = b ,则

u ( x) 0 + ax a ≈ = 。 v( x) 0 + bx b
讲述高端的真正的物理学

高一·物理·竞赛班·第 2 讲·教师版

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当然,如果分子分母的一阶导数是 0,可以继续使用洛比达法则,直到不再是 0/0 型为止。

例题精讲
【例1】 利用洛比达法则计算下列极限:

lim
x →0

1 + x ?1 1 ? cos x ex ?1 ? x tan x ? sin x ; lim ; lim ; lim ; 2 2 x →0 x →0 x→0 x x x x3

[解析]

1 1 1 1 , , , 2 2 2 2

第二部分 函数的单调性和极值

知识点睛
如果函数在某点切线斜率为正,导数大于 0,则显然在这个点附近函数是增函数,反之如果函数 在某点切线斜率为负,导数小于 0,则在这个点附近函数是减函数。利用求导数的办法可以判定函数 的增减性。在画复杂函数图像的时候可以先画一个特殊点,然后判定函数的增减性,从而画出函数的 大致形状。 如果一个连续的可导函数在开区间 (a, b) 上有最大 y 值,则在函数取最大值 x0 那一点,一定型如下图,最大 值在一个“山包的顶上” 。这一点的切线显然是 0,换句 话说这一点的一阶导数为 0。如若不然,设 f '( x0 ) < 0 ,

x0
0

x

则 f ( x0 ? ?x ) > f ( x0 ) ;设 f '( x0 ) > 0 ,则

f ( x0 + ?x) > f ( x0 ) ,均与函数在 x0 那一点取最大值矛
y 盾。同理,如果一个连续的可导函数在开区间 (a, b) 上有 最小值,则函数取最大值 x0 那一点一阶导数为 0。注意, x 如果给定的是闭区间,则还有另一种可能性:函数的最 大最小值在边界取到。这时候并不能得出结论:最大最 小值点的一阶导数为 0。 反过来, 如果函数一阶导数为 0, 并不意味着函数取 最大最小值。如图所示。虽然在 x0 点导数为 0,让函数 站在一个山头上,但是一山更比一山高, x1 的函数值更大。山头的点虽然不是最大值,但是也确实不 用于其他点。我们把一阶导数为 0 的点叫做函数的极值点。当两阶导数大于 0 的时候叫做极小值,两 阶导数小于 0 的时候叫极大值,两阶导数等于 0 的时候可能是极大值,可能是极小值,也可能什么都 不是。 总结一下:求函数极值点只需要令其一阶导数等于 0;闭区间求有界函数最大值,需要先找出所
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x0
0

x1

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有极值点,然后找出边界点,比较这些点函数值,最大的是最大值;开区间求有界函数最大值,需要 先找出所有极值点函数值,然后找出边界上的函数的极限值,比较这些值,如果边界极限最大,则开 区间内无最大值,否则是最大的那个极值点。 举一个物理中的例子。在保守力(例如重力、弹力等只和位置有关的力)的作用下,物体平衡的 位置就是势能取极值的位置。比如用一根劲度系数为 k 弹簧吊着一个质量为 m 的物体,用 x 代表弹簧 的伸长量。这样可以把系统的势能写成 x 的函数。假设在一个外力作用下物体缓慢的从 x 移动到了

x + dx ,这段时间内外力(令 dx 方向为正方向)做的功是 dW = F外 dx 。由功能原理得到:势能变化

dE p = dW = F外 dx 。重力与弹力的合力应当与保持平衡的外力相反,所以 F = ?
对应的力之间的一般公式。现在令 x 为竖直向上方向。于是有 E ( x ) =

dE 。这就是势能和 dx

1 2 kx ? mgx ,显然有 2

F =?

dE dE = kx ? mg 。当 E 取极值时 F = ? = 0 ,正是所期待的力平衡方程。如果 E 是极大值, dx dx

则是不稳定平衡,如果 E 是极小值则是稳定平衡。

例题精讲
【例2】 判定下列函数在其定义域内是否有极值,求出极值并说明是否极大值、极小值。

y = x2 ; y = x2 +

1 ; y = x ? 2sin x ; y = x 3 , y = 1 ? x 2 x
?1/3

【答案】 1 极小:x=0,y=0 3 极小: x = π / 3 + 2nπ ,极大: x = ?π / 3 + 2nπ 4 极值: x = 0 ,不是极大也不是极小 4 极大: x = 0, y = 1 2 极小: x = 2 , y = 3 × 2 ?2/3

【例3】 求下列函数在各自区间上的最大值和最小值(自学)

1 y = x 2 + , x ∈ ( ?∞, ?1] U [1, ∞) ; y = x 2 + ax 4 , x ∈ (?∞, ∞), a ∈ R ; x ?1/3 【答案】 1 极值点:极小: x = 2 ,不在区间内。边界点 x = 1, y = 2; x = ?1, y = 0 ;由于函数连 续,有下界无上界,所以有最小值点,就在是边界取到: x = ?1, y = 0
2 极值点: 2 x + 4α x = 0 , x = 0; x = ± ?1 / 2α (α < 0)
3

α ≥ 0 时 x = 0, y = 0 为最小值

α < 0 时 x = ± 1 / 2α 为最小值
【例4】 一个弹性绳套质量为 m ,劲度系数为 k ,原长为 L