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2011上海高考数学理科


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)

理科数学
一、填空题(本大题满分 60 分)本大题共有 12 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。 1.若全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 1} ? {x | x ? 0} ,则 CU A ? 。

y

2 x2 ? ? 1 的一个焦点,则 m ? 2.设 m 为常数,若点 F (0,5) 是双曲线 m 9
3.在极坐标系中,直线 ? (2cos ? ? sin ? ) ? 2 与直线 ? cos ? ? 1 的夹角大小为





4.在相距 2 千米的 A . B 两点处测量目标 C ,若 ?CAB ? 750 , ?CBA ? 600 ,则 A . C 两点之间 的距离是 千米。 。 。
x P(ε=x) 1 ? 2 ! 3 ?

5.若圆锥的侧面积为 2? ,底面积为 ? ,则该圆锥的体积为 6.函数 y ? sin(

?

? x) cos( ? x) 的最大值为 2 6

?

7.马老师从课本上抄录一个随机变量 ? 的概率分布律如下表

请小牛同学计算 ? 的数学期望,尽管“! ”处无法完全看清,且两个“?”处字迹模糊,但能肯 定这两个“?”处的数值相同。据此,小牛给出了正确答案 E? ? 8.行列式 。 。

a b c d

( a, b, c, d ?{?1,1, 2} )的所有可能值中,最大的是

9.在正三角形 ABC 中, D 是 BC 上的点, AB ? 3, BD ? 1 ,则 AB ? AD ? 10. 随机抽取 9 个同学中, 至少有 2 个同学在同一月出生的概率是 结果精确到 0.001 ) 。

??? ? ????

。 (默认每月天数相同,

11.设 g ( x) 是定义在 R 上.以 1 为周期的函数,若 f ( x) ? x ? g ( x) 在 [3, 4] 上的值域为 [?2,5] ,则

f ( x) 在区间 [?10,10] 上的值域为



12.已知点 O (0, 0) . Q0 (0,1) 和 R0 (3,1) ,记 Q0 R0 的中点为 P1 ,取 Q0 P 1 0 中的一条,记其端 1 和 PR 点为 Q1 . R1 ,使之满足 (| OQ1 | ?2)(| OR1 | ?2) ? 0 ;记 Q1R1 的中点为 P 2 ,取 Q 2R 1 中的 1P 2和P 一 条 , 记 其 端 点 为 Q2 . R2 , 使 之 满 足 (| OQ2 | ?2)(| OR2 | ?2) ? 0 ; 依 次 下 去 , 得 到 点

lim | Q0 Pn |? P 1, P 2 ,?, P n ,? ,则
n ??


1

二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 4 分,否则一律得零分。 13.若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列不等式中,恒成立的是 A. a ? b ? 2ab
2 2





B. a ? b ? 2 ab D.

C.

1 1 2 ? ? a b ab

b a ? ?2 a b


14.下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ??) 上单调递减的函数为 ( A. y ? ln

1 | x|

B. y ? x 3

C. y ? 2| x|

D. y ? cos x

15.设 A 1 , A2 , A 3 , A4 , A 5 是空间中给定的 5 个不同的点,则使 MA 1 ? MA 2 ? MA 3 ? MA 4 ? MA 5 ?0成 立的点 M 的个数为 A.0 B.1 C.5 ( D.10 )

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ?

?

16.设 {an } 是各项为正数的无穷数列, Ai 是边长为 ai , ai ?1 的矩形面积( i ? 1, 2,? ) ,则 { An } 为等 比数列的充要条件为 A. {an } 是等比数列。 B. a1 , a3 ,?, a2n?1 ,? 或 a2 , a4 ,?, a2n ,? 是等比数列。 C. a1 , a3 ,?, a2n?1 ,? 和 a2 , a4 ,?, a2n ,? 均是等比数列。 D. a1 , a3 ,?, a2n?1 ,? 和 a2 , a4 ,?, a2n ,? 均是等比数列,且公比相同。 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤。 17. (12 分)已知复数 z1 满足 ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,复数 z2 的虚部为 2 , ( )

z1 ? z2 是实数,求 z2 。

18. (12 分)已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a , b 满足 ab ? 0 。
x x

(1)若 ab ? 0 ,判断函数 f ( x ) 的单调性; (2)若 ab ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时 x 的取值范围。

2

19. (14 分)已知 ABCD ? A1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱 柱, O1 是 AC 1 1和B 1D 1 的交点。 (1)设 AB1 与底面 A1B1C1D1 所成的角的大小为 ? ,二面角
B

A

D

C

A ? B1D1 ? A1 的大小为 ? 。求证: tan ? ? 2 tan ? ;
( 2 ) 若 点 C 到 平 面 AB1D1 的 距 离 为

4 ,求正四棱柱 3
B1

A1 O1 C1

D1

ABCD ? A1B1C1D1 的高。
20 . ( 18 分 ) 已 知 数 列 {an } 和 {bn } 的 通 项 公 式 分 别 为

,将集合 {x | x ? an , n ? N *} ?{x | x ? bn , n ? N *} 中的元素从 an ? 3n ? 6 , bn ? 2n ? 7 ( n ? N * ) 小到大依次排列,构成数列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,? 。 (1)求 c1 , c2 , c3 , c4 ; (2)求证:在数列 {cn } 中.但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2n ,? ; (3)求数列 {cn } 的通项公式。 21. (18 分)已知平面上的线段 l 及点 P ,在 l 上任取一点 Q ,线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线 段 l 的距离,记作 d ( P, l ) 。 (1)求点 P(1,1) 到线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 的距离 d ( P, l ) ; (2)设 l 是长为 2 的线段,求点集 D ? {P | d ( P, l ) ? 1} 所表示图形的面积; (3)写出到两条线段 l1 , l2 距离相等的点的集合 ? ? {P | d ( P, l1 ) ? d ( P, l2 )}, 其中 l1 ? AB, l2 ? CD , A, B, C , D 是下列三组点中的一组。 对于下列三组点只需选做一种, 满分分别是①2 分,②6 分,③8 分;若选择了多于一种的情形,则按照序号较小的解答计分。 ① A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1,0) 。 ② A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1, ?2) 。 ③

A( 0 , 1 ) B,

( 0 ,C 0),

(D 0, 0),

(2, 0)

3

参考答案
一、空题 1.

1 1 3 2 5 ? 2 ;2.{x | 0 ? x ? 1} ;3.16 ;4. x ? 0 或 x ? ;5. arccos ;6. 6 ;7. ?; 2 x 3 5 15 2? 3 ;9. 2 ;10. 6 ;11. ;12. 0.985 ;13. [?15,11] ;14. 3 。 2 4

8.

二、择题 15. D ;16. A ;17. B ;18. D 。 三、答题 19.解: ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ? z1 ? 2 ? i ??????(4 分) 设 z2 ? a ? 2i, a ? R ,则 z1 z2 ? (2 ? i)(a ? 2i) ? (2a ? 2) ? (4 ? a)i ,??????(12 分) ∵ z1 z2 ? R ,∴ z2 ? 4 ? 2i ??????(12 分)
x x x x

1 2 20. 解: ⑴ 当 a ? 0, b ? 0 时, 任意 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(2 1 ? 2 2 ) ? b(3 ?3 )

∵ 2 1 ? 2 2 , a ? 0 ? a(2 1 ? 2 2 ) ? 0 , 3 1 ? 3 2 , b ? 0 ? b(3 1 ? 3 2 ) ? 0 ,
x x x x x x x x

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 R 上是增函数。 当 a ? 0, b ? 0 时,同理,函数 f ( x ) 在 R 上是减函数。 ⑵

f (x ? 1 ) ?f x ( ? )a?

x

? 2 b ?2 x ?3

0

3 x a a ,则 x ? log1.5 ( ? ) ; 2 2b 2b 3 x a a 当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) ? ? ,则 x ? log1.5 ( ? ) 。 2 2b 2b
当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) ? ? 21.解:设正四棱柱的高为 h 。 ⑴ 连 AO1 , AA1 ? 底面 A1B1C1D1 于 A 1, ∴ AB1 与底面 A1B1C1D1 所成的角为 ?AB1 A 1 ,即 ?AB 1A 1 ?? ∵ AB1 ? AD1 , O1 为 B1D1 中点,∴ AO1 ? B1D1 ,又 AO 1 1 ?B 1D 1, ∴ ?AO1 A1 是二面角 A ? B1D1 ? A 1 的平面角,即 ?AO 1A 1 ??
B1 B

A C

D

A1 O1 C1

D1

4



tan ? ?

AA1 AA1 ? h , tan ? ? ? 2h ? 2 tan ? 。 A1B1 A1O1
A B

z D C

⑵ 建立如图空间直角坐标系,有 A(0,0, h), B1 (1,0,0), D1 (0,1,0), C(1,1, h)

???? ? ????? ??? ? AB 1 ? (1,0, ?h), AD 1 ? (0,1, ?h), AC ? (1,1,0)
设平面 AB1D1 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,
1 ? ???? ? ???? ? ? ? ? n ? AB1 ? n ? AB1 ? 0 x ∵ ? ? ???? ,取 z ? 1 得 n ? (h, h,1) ? ? ? ? ???? ? n ? AD n ? AD ? 0 ? ? ? 1 ? 1 ? ??? ? | n ? AC | h?h?0 4 ? ∴ 点 C 到平面 AB1D1 的距离为 d ? ? ? ,则 h ? 2 。 |n| h2 ? h2 ? 1 3

?

A1 B O1 C1

D1

y

22.⑴

c1 ? 9 , c2 ? 1 1, c3 ? 1 2 c4 ,? ; 13

* ⑵ ① 任意 n ? N ,设 a2n?1 ? 3(2n ?1) ? 6 ? 6n ? 3 ? bk ? 2k ? 7 ,则 k ? 3n ? 2 ,即

a2n?1 ? b3n?2
② 假设 a2n ? 6n ? 6 ? bk ? 2k ? 7 ? k ? 3n ?

1 ? N * (矛盾) ,∴ 2

a2n ?{bn }

∴ 在数列 {cn } 中.但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2n ,? 。 ⑶ b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3 ? a2k ?1 ,

b3k ?1 ? 6k ? 5 , a2k ? 6k ? 6 , b3k ? 6k ? 7


6k ? 3 ? 6 k ? 5? 6 k ? 6? k 6 ?7
y 1 A -1 B 1

∴ 当 k ? 1 时,依次有 b1 ? a1 ? c1 , b2 ? c2 , a2 ? c3 , b3 ? c4 ,??

? 6k ? 3 (n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 (n ? 4k ? 2) ? ∴ cn ? ? ,k ? N*。 6 k ? 6 ( n ? 4 k ? 1) ? ? ? 6k ? 7 ( n ? 4k )
23.解:⑴ 设 Q( x, x ? 3) 是线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 上一点,则

O -1

x

5 9 当 x ? 3 时, | PQ |? ( x ? 1)2 ? ( x ? 4)2 ? 2( x ? )2 ? (3 ? x ? 5) , d (P, l ) ?| PQ |min ? 5 。 2 2
⑵ 设线段 l 的端点分别为 A, B ,以直线 AB 为 x 轴, AB 的中点为原点建立直角坐标系,

5

则 A(?1,0), B(1,0) ,点集 D 由如下曲线围成

l1 : y ? 1(| x |? 1), l2 : y ? ?1(| x |? 1) , C1 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1( x ? ?1), C2 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1( x ? 1)
其面积为 S ? 4 ? ? 。 ⑶ ① 选择 A(1,3), B(1,0), C( ?1,3), D( ? 1,0) , ? ? {( x, y) | x ? 0} ② 选择 A(1,3), B(1,0), C( ?1,3), D( ? 1, ? 2) 。

? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} ?{( x, y) | y 2 ? 4 x, ?2 ? y ? 0} ?{( x, y) | x ? y ?1 ? 0, x ? 1}
③ 选择 A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0) 。

? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} ? {( x, y) | y ? x,0 ? x ? 1}

?{( x, y) | x2 ? 2 y ?1,1 ? x ? 2} ?{( x, y) | 4 x ? 2 y ? 3 ? 0, x ? 2}

y C 3 A

y C 3 A
y 2.5

B

D -1 O

B 1 x

-1

O

1

x

A D B=C 1 2

D

-2

x

6


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