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求函数值域(最值)的方法


教师 1 对 1

高中数学教研组

黄林

时间:2011 年 10 月 13 日

求函数值域(最值)方法汇总
一.单调性法
例 1.求函数 y ?

x ? 3 ? 5 ? x 的值域

例 2.求函数 y ?

x

? 1 ? x ? 1 的值域

例 3.求函数 y ? 解一:

x ? 3 ? 5 ? x 的值域

例 4.已知函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? 3在区间 [0,2]上有最大值 2,求实数a的值.
2

解: (1)当 a ? 0 时, f ( x)max ? f (2) ? 4 ? 2 ? 3 ? 2, 舍去; (2)当 a? 0时,对称轴方程为 x ? ?

2 ?0 ? f ( x)在[0,2]上 ? a

3 ? f (2) ? 4a ? 5 ? 2 ? a ? ? ?0, 舍去 ; 4 2 对称轴方程为 x ? ? ? 0 , (3)当 a?0时, a 2 1 2 4 8 4 ① ? ? [0,2] ? ? [?1,0] ? a ? (?? ,?1] ? f (? ) ? ? ? 3 ? 2 ? a ? ? ? ? 1 ,舍去 a a a a a 5 2 3 ② ? ? 2 ? a? ? 1 ? f ( x)在[0,2]上 ? ? a ? ? a 4 3 纵上, a ? ? 4
例 5.已知函数 f(x)对任意实数 x,y,均有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f(x)>0,

f(-1)=-2,求 f(x)在区间[-2,1]上的值域。
解: f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0

令y ? ? x, 则f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x)为奇函数
令x1 ? x2 , 则x2 ? x1 ?0 ? f ( x2 ? x1 )?0 ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 )? f ( x1 ) ? f ( x2 )? f ( x1 ) ? f ( x)在R上单调递增
1

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f (?2) ? f (?1 ? 1) ? f (?1) ? f (?1) ? ?2 ? 2 ? ?4 , f (1) ? ? f (?1) ? 2

? f ( x)在[-2,1]上的值域为: [-4,2]
二.判别式( ? )法:用于自然定义域下的二次分式形式的函数,变形为关于 x 的方程,讨论 x 2 的系
数,当系数为 0 时,判断方程左边是否等于 0;当系数不为 0 时,得 ? ? 0 。综上,求出 y 的范围。如:

a1 x 2 ? b1 x ? c1 a1 x 2 ? b1 x ? c1 a1 x ? b1 等。 y? ,y? ,y? a2 x ? b2 a2 x 2 ? b2 x ? c2 a2 x 2 ? b2 x ? c2
例 6.求函数 y ?

x2 ? x ?1 的值域 2x 2 ? 2x ? 3

例 7.已知函数f ( x) ?

mx 2 ? 8 x ? n 的值域为[1,9],求m、n的值 x2 ? 1

b d ? ax ? b a a c ax 2 ? bx ? c 三.分离常数法:一次分式函数 f ( x ) ? 、二次分式函数 g ( x) ? 2 可通 ? ? d cx ? d c dx ? ex ? f x? c
过配凑分子,分离常数化简后再用换元法做。 例 8.求函数 y ? 解一:

x?3 的值域 3x ? 2

例 9. 求函数y ? logx (2x 2 ), x ? (0,1)

四.换元法:通过对函数恒等变形,将函数化为我们熟悉的函数形式,从而求出值域。
1.代数换元 例 10.求 y ? 5 ? x ? 3x ? 1 的值域

2.三角换元 例 11.求 y ? x ? 2 ? 4 ? x 2 的值域

2

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例 12. 当函数y ? 2 x ? 5 ? x取得最大值______时,x=_____ 解二:

例 13. 实数x、y满足4x ? 5 xy ? 4 y ? 5,设S ? x ? y ,求
2 2 2 2

1 Smax

?

1 的值. Smin

解一: (三角换元法) 设 ?

? ? x ? S cos ? ? ? y ? S sin ?

,? ? [0, 2?),代入4 x 2 ? 5 xy ? 4 y 2 ? 5

? 4 S ? 5S sin ? cos ? ? 5 ? S ? 由s i n ? 2 ? ?[ 1? , 1]

10 8 ? 5sin 2? 10 10 10 8? -5 ? sin ? [3, 13] ? [ 8 ? 5 s i? n 13 3

,

]

?

1

Sm a x

?

3 13 ? ? S m i n1 0 1 0 ?

1

8 5
a (a? 0) 的形式。 x

3.二次分式函数用配凑分离换元法:一次幂换元,化成耐克函数或伪耐克函数 f ( x) ? x ?

例 14.求函数 y ?

2 x 2 +x ? 2 , x ? (1, +?) 的值域 2 x +1

例 15.函数 f ( x) ? 解三:

2 9 1 ? ,x ? (0, ) 的最小值为 ________ x 1? 2x 2

例 16.求函数 y ?

2x 2 ? x ? 1 , x ? (?1,1) 的值域 x2 ? x ?1

4.均值换元法
3

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例 13. 实数x、y满足4x ? 5 xy ? 4 y ? 5,设S ? x ? y ,求
2 2 2 2

1 Smax

?

1 的值. Smin

解二: (均值换元法)由S ? x ? y ,设x ?
2 2 2

S S S S ? t , y 2 ? ? t , t ? [? , ] 2 2 2 2
2

?xy? ?

S2 2 ?t 4

? 4 S 5 ?

S2 4

? t

5?

? 392 S

1 ?6 0 S

S2 2 ? 100 ? ? 1 t0 0 ? [? 4

, 0]

?3 9 S 2 ? 1 6S0? ? ? S 2 ? 1 6S0? ?3 9 ?
5.和差换元法:

1? 00 1? 0? 0

0

10 10 1 ? ? S 2 ? S ?[1 3 , 3 ] Sm a x S ?1 0 0 4

1 ?
min

3 13 8 ? ? 10 10 5

例 13.解三: 设x ? a ? b,y ? a ? b,代入4x2 ? 5xy ? 4 y 2 ? 5

5 ? 3a 2 ? 1 3 b 2 ? 5 ?a 2 ?, [0 3

20 2 10 10 2 2 2 10 ]? S ?a ( ? b2 ) ? a ( ? b ) ? 2 a( ? b )? ? a ,? [ 13 13 13 3

]

?

1

Sm a x

?

3 13 ? ? S m i n1 0 1 0 ?

1

8 5

6.其它特殊换元法 例 17. 设a ? 0,求f ( x) ? 2a(sin x ? cos x) ? sin x cos x ? 2a 的最大值和最小值
2

例 18. 设a ? b ? c时,不等式 解一:

1 1 m ? ? ? 0恒成立,求m的最大值 a ?b b?c c ?a

例 19.设对于所有实数 x ,不等式 x log 2 值范围.

2

4(a ? 1) 2a (a ? 1) 2 ? 2 x log 2 ? log 2 ? 0 恒成立,求 a 的取 a a ?1 4a 2

4

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五.基本不等式法:
1、 ?a, b ? R ,有
?

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b a2 ? b2 ? ,当且仅当a ? b时等号成立; 2 2

3 a?b?c a2 ? b2 ? c2 ?a, b, c ? R ?, ? 3 abc ? ? ,当且仅当a ? b ? c时等号成立; 1 1 1 3 3 ? ? a b c
2、 ?a, b ? R,有ab ? ( 例 20.求函数 y ? x ?
2

a ? b 2 a2 ? b2 ) ? ,当且仅当a ? b时等号成立。 2 2
例 21.求函数 y ? 6 x 2 ? 2x 3 , (0 ? x ? 3) 的值域

2 ( x? 0) 的值域 x

例 3(变) .求函数 y ?

x ? 3 ? 5 ? x 的最大值

例 22.函数 f ( x) ? 解一:

2 9 1 ? ,x ? (0, ) 的最小值为 ________ x 1? 2x 2

【方法点悟】利用基本不等式求函数的最值要注意“一正二定三等号” 。

例 23.若 a, b ? R, a ? ab ? b ? a ? b, 则a ? b的取值范围是_________ 。
2 2

解一: (a ? b) ? 3ab ? a ? b ? (a ? b) ? (a ? b) ? 3ab ? 3(
2 2

a?b 2 3 ) ? ( a ? b) 2 2 4

?

( a ? b) 2 ? (a ? b) ? 0 ? a ? b ? [0,4] 4

六. 复合函数外函数法: 对复合函数为 y = f(g(x)), 令函数 y ? f (u), u ? g ( x) , 先求出内函数 u ? g ( x)
的值域,把它作为外函数 y ? f (u ) 的定义域,从而求出外函数值域的方法。 例 24.求函数 y ? log1 ? 2 x ? 5 x ? 3 的值域
2 2

?

?

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七.反函数法:当函数有反函数时,可求反函数的定义域,从而得到原函数的值域 x?3 例 8.求函数 y ? 的值域 3x ? 2
解二:

【点评】函数 y ?

ax ? b ? d? a? ?a ? ? ? c ? 0, x ? ? ? 的值域为: ? ? ?, ? ? ? ,??? cx ? d ? c? c? ?c ? ?

八.有界性法
例 25.求函数 y ?

2 cos x ? 1 的值域 3 cos x ? 2

例 26.求函数 y ?

ex ?1 的值域 ex ?1

例 27.求函数 y ? 解一:

x2 的值域 x2 ? 1

例 28.求函数 y ? 解一:

sin ? 的值域 2 ? cos ?

九.三角恒等变换法
例 29.已知sin? +sin? =

2 ,求 cos ? ? cos ? 的取值范围。 2

ab ? 0取等 ) 十.绝对值不等式的性质: || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | (前者 ab ? 0取等,后者
2 例 30.求函数 y ?| x ? 1 | ? ( x ? 2) 的值域

例 31. y ?| x ? 3 | ? | x ? 4 | 的值域 解一:

解一:

十一.参数法
例 32.若 x, y ? R, 且x ? y ? 10 ,则x ? y的取值范围是_________ .
2 2

解二:

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十二.图像法或数形结合法:画出函数的图象,根据图像直观地得出函数的值域或挖掘代数形式的几
何意义,构造出对应的恰当的几何模型,使代数问题几何化。 例 33.求 y ?| x ? 2 | ? | x ? 1| 的值域 例 34.求 y ?| x ? 3| ? | x ? 1| ? | x ? 2 | 的值域

【点评】求函数 y ?| x ? x1 | ? | x ? x2 | ??? | x ? xn | 的最值( x1 ? x2 ??? xn ) 时,① n 为奇数时, ② n为偶数时,当 当x ? x n?1时,y取得最小值; x ? [ x n , x n ]时,y取得最小值。
2 2 2 ?1

例 35.求函数 y ?| x ? 3 | ?3 | x ? 1 | ?6 | x ? 2 | 的值域

例 36.求函数 y ?| x ? 4 | ?3 | x ? 2 | ?6 | x ? 3 | ?2 | x ? 1 | 的值域

【点评】求函数 f ( x) ? a1 | x ? x1 | ?a2 | x ? x2 | ?? ? an | x ? xn | ( x1 ? x2 ??? xn )的最值时,

(1)当? ai ? 0时,f ( x) min ? min{f ( x1 ), f ( x2 ),?, f ( xn )} ,无最大值;
i ?1
n

n

(2)当? ai ? 0时,f ( x) min ? min{f ( x1 ), f ( x2 ),?, f ( xn )} ,y max ? max{f ( x1 ), f ( x2 ),?, f ( xn )} ;
i ?1

(3)当? ai ?0时,f ( x) max ? max{f ( x1 ), f ( x2 ),?, f ( xn )} ,无最小值。
i ?1

n

例 37.若函数 f ( x ?

1 )的定义域为 (?3,0) ? (2,5),求函数 f ( x)的定义域 . x

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例 38.求函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 2, x ? [t , t ? 1] 的最大值和最小值

y 例 39. 函 数 y ? x 2 ? 2 x在区间 则点 [a, b]上的值域是 [?1,3], A

3

D

(a, b) 的轨迹是图中的(
A.线段 AB 和线段 AD C.线段 AD 和线段 BC

) B.线段 AB 和线段 CD D.线段 AC 和线段 BD B 1 C 1 x

-1 O

例 40.设 a为实数,函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 .求 f ( x)的最小值m(a)的函数解析式.

【举一反三】 设 a为实数,函数 f ( x) ? 2x 2 ? ( x ? a) | x ? a | .(1)若f (0) ? 1, 求a的取值范围; (2)求f ( x) 的最小值.

例 28.求函数 y ? 解二:

sin ? 的值域 2 ? cos ?

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例 32.若 x, y ? R, 且x 2 ? y 2 ? 10 ,则x ? y的取值范围是_________ . 解三:

2 2 例 41.已知x, y满足5 x ? 12 y ? 60,求 x ? y 的最小值 及此时 x , y 的值

十三.几何法:在解决解析几何问题的过程中,抓住坐标系内平面图形的几何特征,利用平面几何的性
质参与解决解析几何问题的方法。 例 42.求函数 y ? 解一:

x 2 ? 1 ? x 2 ? 2x ? 5 的值域

例 43.求函数 y ? 解一: y ?

x 2 ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 5 的最小值

( x ? 0) 2 ? (0-1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? (0 ? 2) 2

令P( x,0), A(0,1), B(1,2)
则 y ?| PA | ? | PB | ? ? y ?| PB | ? | PA |?| BA |? 2

? y ? ? 2 ,当且仅当 P、A、B 共线,即 x ? ?1 时取等号 ? ymin ? ? 2

? 异向取等,后者同向取 等) ; 十四.向量法: (1) ? | ? | ? | ? |? ? ? ? ?| ? | ? | ? | (前者? ,

?

?

? ?

?

?

? ?

? 异向取等,后者同向取 等) (2) || ? | ? | ? ||?| ? ? ? |?| ? | ? | ? | (前者? ,
例 12. 当函数y ? 2 x ? 5 ? x取得最大值______时,x=_____ 解三:

?

?

?

?

?

?

? ?

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【举一反三】求函数 y ? 3 3x ? 1 ? 4 3 ? 4x 的最大值

例 42.求函数 y ? 解二: y ?
?

x 2 ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 5 的值域
x 2 ? 1 ? (1 ? x) 2 ? 2 2

x 2 ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 4 ?
?

令 ? ? ( x,1), ? ? (1 ? x,2) 则 y ?| ? | ? | ? |?| ? ? ? |?| (1,3) |? 10 当且仅当 ? , ? 同向时等号成立?
?

?

?

?

?

? ?

x 1 1 ? 0 ? 2x ? 1 ? x ? 0 ? x ? 1? x 2 3

此时 ? ? ( ,1), ? ? ( ,2) ? 值域为 [ 10,??)

1 3

?

2 3

例 43.求函数求函数 y ? 解二: y ?

x 2 ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 5 的最小值
x 2 ? 12 ? (1 ? x) 2 ? 2 2

x 2 ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 4 ?
? ?

(1)令 ? ? ( x,1), ? ? (1 ? x,2) 则 | y |?|| ? | ? | ? ||?| ? ? ? |?| (1,3) |? 10 当且仅当 ? , ? 异向时等号成立?
?

?

?

?

?

? ?

x 1 1 ? 0 ? 2x ? 1 ? x ? 0 ? x ? 1? x 2 3

? 同向 ? 舍去 此时 ? ? ( ,1), ? ? ( ,2) ? ? 、
(2)令 ? ? ( x,?1), ? ? (1 ? x,2),则 | y |?|| ? | ? | ? ||?| ? ? ? |?| (1,1) |? 当且仅当 ? 、 ? 异向取等 ?
? ? ? ? ? ? ? ?

1 3

?

2 3

?

?

2

?

?

x ?1 ? 0 ? 2 x ? 1 ? x ? 0 ? x ? ?1 1? x 2
? ? ? ?

? 异向 ? y ?| ? | ? | ? |? 此时 ? ? (?1,?1), ? ? (2,2) ? ? 、

2 ? 2 2 ? ? 2 ? y min ? ? 2

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十五.换元坐标法:把研究的对象置于直角坐标系下,把点转化为坐标,把条件转化为代数式,把曲线
转化为方程,将几何问题转化为代数问题使之能进行代数运算;或用坐标内的几何直观研究代数问题,这 样的一种通过坐标使“数”和“形”相互转化研究问题的方法。 例 44.求函数 f ( x) ?

2x ? 4 ? 4 ? x 的值域
?v ? ?u ? y ?y ? u ? v ? 2 则? 2 ? ? u v2 2 u ? 2 v ? 4( u , v ? 0) ? ? ? ? 1(u, v ? 0) ?4 2
1 4

? ?u ? 2 x ? 4 解二:设 ? , v ? 4 ? x ? ?

即在 uOv坐标系内求斜率为 ? 1的平行直线系与 椭圆有交点时纵截距y的范围

? u 2 ? 2(u 2 ? 2 yu ? y 2 ) ? 4 ? 3u 2 ? 4 yu ? 2 y 2 ? 4 ? 0

令? ? 16 y2 ?12(2 y2 ? 4) ? 0 ? 4 y2 ? 6 y2 ? 12 ? 0 ? y ? ? (负舍) 6 ? f ( x) ?[ 2, 6]

例 23.若 a, b ? R,a2 ? ab ? b2 ? a ? b,则a ? b的取值范围是 _________ 。

解二: (和差换元法) 令?

?a ? x ? y ?b ? x ? y

则a ? b ? 2 x

2 2 ? ( x ? y) ? ( x ? y) ( x ? y) ? ( x ?2 y) ? 2x ?2 2x ? 2x ? 3y ? 0

y2 ? (x ?12 ) ? 1 3

?1 ? x

?1 ?[ ? 1 , 1 ]x ?

? [ 0 , 2? x ]

2 ?

[0 a, ? 4b ] ?

?

[0, 4]

十六.计算器 Table 数表法:最值为整数或有限小数时,且在做填空或选择题时用。 2 9 1 ,x ? (0, ) 的最小值为 ________ 例 15.函数 f ( x) ? ? x 1? 2x 2
解二:按次序键入:
9 MODE ? 4 : TABLE ? f ( x) ? 2 x ? 1? 2 x ? ? Start ?0.1 ? ? End ?0.3 ? ? Step ?0.01 ?

得: f ( x)min ? f (0.2) ? 25 例 12. 当函数y ? 2 x ? 5 ? x取得最大值______时,x=_____ 解一: x ? [0,5]

MODE ? 4 : TABLE ? f ( x) ? 2 x ? 5 ? x ? ? Start ?0 ? ? End ?2.9 ? ? Step ?0.1 ? MODE ? 4 : TABLE ? f ( x) ? 2 x ? 5 ? x ? ? Start ?2.9 ? ? End ?5 ? ? Step ?0.1 ?
得: f ( x)max ? f (4) ? 5
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【方法点悟】用 Table 数表法一次最多可计算 30 个函数值,若多于 30 个时,要分段做。

*十七.导数法:求函数在闭区间上的最值,只要进行三类函数值的大小比较即可,它们是:第一类,函
数在驻点处的函数值;第二类,函数在不可导点处的函数值;第三类,函数在区间端点处的函数值。 (使 f'(x)=0 的点 x 叫做函数 y ? f ( x) 的驻点) 例 3.求函数 f ( x) ? 解三: x ? [3,5]

x ? 3 ? 5 ? x 的值域

1 ?1 1 1 令f'(x) ? ? ? ? ?0? x ? 4 2 3? x 2 x ?5

f (4) ? 2, f (3) ? f (5) ? 2 ? f ( x) ?[ 2,2]

例 45.求函数 y ? x cos x ? sin x,x ?[

, ] 上的最小值 2 2 ? cos x ? x sin x ? cos x ? ? x sin x 解: y’ =0 ? x=? 令 y’ ? 3? f (? ) ? ? cos ? ? sin ? ? ?? ,f ( ) ? ?1,f ( ) ? 1 2 2

? 3?

? ymin ? ??

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课后练习:
1、求函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3, x ? [?2,2] 的值域 2、求函数 y ? x ?

1 , x ? [3,?? ) 的值域 x ?1

3、求函数 y ?

sin x ? 2 的值域 cos x ? 1

4、求函数 y ?

x ?1 的值域 x ? 2x ? 2
2

5、求函数 y ? 3x ? 2 ? 3 ? 2x 的值域

6、求函数 y ?

9 , x ? [0,2] 的值域 3 ? 2x
x

7、求函数 y ? 3x ? 2 ? 3 ? 2x 的值域

8、求函数 y ?

x ? 1 ? x 的值域

9、求函数 y ?

2x ? 1 的值域 2x ? 1

10、求函数 y ? 2 x ?

1 ( x? 0) 的值域 x2

11、求函数 y ?

x 2 ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 5 的最小值

12、求函数 y ? 2 1 ? x ? 3 2 ? x 的值域

13、求函数 y ?

sin x cos x ? , x ? [0, ] 的值域 sin x ? cos x 2

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14、函数 y ? f ( x) 的值域为 [?1,4] ,则函数 y ? 3 f (2 x ? 1) ? 1的值域为



15、已知函数f ( x) ? a sin x ? b cos x,且f ( ) ? 1,则对任意的实数a,b,函数f(x)的最大值的取

?

3

值范围是 ________ 。

16、 (2011 年闸北区二模卷) (文科) 设 loga x ? logb y ? 2 ,a ? b ? 2 , 则 x ? y 的取值范围为



(理科)设 loga x ? logb y ? ?2 , a ? b ? 2 ,则 x ? y 的取值范围为



17、已知函数f ( x) ? a ? b x ? c (a、b、c为常数)的定义域为 [0, ??),值域为[-2,3),则函数f(x)的

一个可能的解析式是 ______________ 。

18、 (2010 年徐汇区二模卷) (理科) 设 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?1.5? ? 1, ??1.5? ? ?2 ,

ax 1? ? 1? ? a ? 0, a ? 1? ,则 g ? x ? ? ? f ? x ? ? ? ? ? f ? ? x ? ? ? 的值域为________________. 若函数 f ? x ? ? x ? 1? a 2? ? 2? ?

19、已知a ? 0,定义在D上的函数f ( x)和g ( x)的值域依次为[ ?(2a ? 3)? ,a ? 6]和[ a ?
3 2

25 2 , (a ? 4

25 4 1 )? ],若存在x1、x2 ? D,使得|f(x1 )-g(x 2 )|< 成立,则a的取值范围为 __________ 。 4 4

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20、已知函数f ( x) ?

ax 2 ? bx,存在正数b,使得f ( x)的定义域和值域相同,则非零实数a =___

21、 若关于x的不等式a ? A.5 B.4

3 2 x ? 3x ? 4 ? b的解集恰好是[a,b],则a ? b的值为 ( 4 8 16 C. D. 3 3



22、已知a ? b ? c ? 0,求2a ?
2

1 1 ? ? 25c 2 ? 10ac的最小值. ab a(a ? b)

**23.已知a1 , a2 , a3为非负数, x, y为正数,且x+y=2,12

a a2 x ? a2 a3 y 的最大值为M,求M的最小值. a1 ? a2 2 ? a32

15

教师 1 对 1

高中数学教研组

黄林

时间:2011 年 10 月 13 日

24、 (2008 年徐汇区二模卷)函数 f ( x) ? x | x ? a | ?b, g ( x) ? x ? c(其中a、b、c为常数)

(1)当a ? 3, b ? 2, c ? 4时,求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x)在[3,??)上的值域;
(2)当b ? 4, c ? 2时,方程f ( x) ? g ( x)有三个不同的解,求实 数a的取值范围;

(3)若存在a ? R, 使f ( x)?0对任意x ? [0,1]成立,求实数 b的取值范围。

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高中数学教研组

黄林

时间:2011 年 10 月 13 日

24、 (2011 年浦东新区一模卷)本题满分 18 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 6 分) 已知函数 f ( x ) , 如果存在给定的实数对 ( a, b ) , 使得 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b 恒成立, 则称 f ( x ) 为“S-函数” 。 (1)判断函数 f1 ( x) ? x, f 2 ( x) ? 3x 是否是“S-函数” ; (2)若 f 3 ( x) ? tan x 是一个“S-函数” ,求出所有满足条件的有序实数对 ( a , b ) ; (3) (文科)若定义域为 R 的函数 f ( x ) 是“S-函数” ,且存在满足条件的有序实数对 (0, 1) 和 (1, 1) ,当

x ?[0, 1] 时, f ( x) 的值域为 [1, 2] ,求当 x ?[?2012 , 2012 ] 时函数 f ( x ) 的值域.
( 3) (理科)若定义域为 R 的函数 f ( x ) 是“S-函数” ,且存在满足条件的有序实数对 (0, 1) 和 (1, 4) ,当

x ?[0, 1] 时, f ( x) 的值域为 [1, 2] ,求当 x ?[?2012 , 2012 ] 时函数 f ( x ) 的值域.

(2008 年普陀区二模卷)已知 点E、F的坐标是(?2,0)、 (2,0),直线EP, FP相交于点P,且它
1 们的斜率之积为? 。 (1)求证:点P的轨迹在一个椭圆 C上,并写出C的方程; (2)设过原点O的 4
1 直线 AB 交(1)题中的椭圆 C于点 A、B,定点 M的坐标为 (1, ),试求 ?MAB 面积的最大值,并求 2
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黄林

时间:2011 年 10 月 13 日

此时直线AB的斜率k AB; (3)反思(2)题的解答,当 ?MAB的面积取得最大值时, 探索(2)题的结论

中直线AB的斜率k AB和OM所在直线的斜率 kOM 之间的关系,由此推广 到点M位置的一般情况
(使第(2)题中的结论成为推广后 的一个特例),试提出 一个猜想或设计一个问 题,尝试研究
解决。

例 43.求函数 y ? 解一: y ?

x 2 ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 5 的值域

( x ? 0) 2 ? (1 ? 0) 2 ? ( x ? 1) 2 ? (2 ? 0) 2

令P( x,0), A(0,1), B(1,2)
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黄林

时间:2011 年 10 月 13 日

则 y ?| PA | ? | PB | ? ? y ?| PB | ? | PA |?| BA |?

2 ? y ? ? 2 ,当且仅当 x ? ?1 时取等号
2 x

y?

x ? 1 ? ( x ? 2 x ? 5)
2 2

x 2 ? 1 ? x 2 ? 2x ? 5

?

2x ? 4 x 2 ? 1 ? x 2 ? 2x ? 5

?

2?

1 2 5 1? 2 ? 1? ? 2 x x x

? 1( x ? ??)

?值域为 [- 2,1)
x ?1 , x ? (?1,1) 的值域 2x ? 5x ? 4
2

例 15.求函数 y ?

求函数 y ? 2 1 ? x ? 3 2 ? x 的值域 解一: (三角换元法) x ? [?2,1]

3 cos ? , 2 ? x ? 3 sin ? ,? ? [0, ] 2 2 则 y ? 2 3 cos ? ? 3 3 sin ? ? 39 sin(? ? arctan ) 3 ? 2 2 ? 2 由 ? ? [0, ] ? ? ? arctan ? [arctan , ? arctan ] ? y max ? 39 2 3 3 2 3
由( 1? x) ? ( 2 ? x) ? 3 ? 令 1? x ?
2 2

?

y min ? 39 ?

2 13

? 2 3 ? 值域为 [2 3, 39]

例 12.求函数 y ? 2 1 ? x ? 3 2 ? x 的值域 解二: x ? [?2,1] ,令 ? ? (2,3), ? ? ( 1 ? x , 2 ? x ) 则 y ? ? ? ? ?| ? | ? | ? |? 13 1 ? x ? 2 ? x ? 当且仅当 ? , ? 同向时,即
? ?
? ? ? ? ? ?

39

1? x ? 2

1 2? x ? x ? ? [ ?2,1] 时,等号成立 13 3

即 ymax ? 39 ,而 ymin ? min{f (1), f (2)} ? min{ 3 3,2 3} ? 2 3

?值域为 [2 3, 39]

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