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山东省各地市2013届高三理科数学试题分类汇编6:不等式


山东省各地市 2013 届高三理科数学试题分类汇编 6:不等式
一、选择题

?x ? 2 y ? 0 ? 1 . (山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)设 z ? x ? y ,其中实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0 , ?0 ? y ? k ?
若 z 的最大值为 6,则 z 的最小值为 A.—3 B.—2 【答案】A 由 z ? x ? y 得 y ? ? x ? z ,作出 ? ( C.—1 D.0 )

?x ? 2 y ? 0 , 的区域 BCD,平移直线 y ? ? x ? z ,由图象可知当直线经 ?x ? y ? 0 ?y ? x ?x ? 3 解得 ? , 所以 k ? 3 , 解得 B (?6,3) 代入 ? y ? ?x ? 6 ?y ? 3
( )

过 C 时 , 直线的截距最大 , 此时 z ? 6 , 由 ?

z ? x ? y 的最小值为 z ? ?6 ? 3 ? ?3 ,选

A.

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 2 . (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题) 若实数 x、y 满足 ? x ? 0 ,则 ? y?0 ?
y?2 的取值范围为 x ?1 2 A. (??, ?4] ? [ , ??) 3 z?
D. [ ?4, ]
【答案】A

( B. (??, ?2] ? [ , ??)



2 3

C . [ ?2, ]

2 3

2 3

【解析】做出不等式组对应的平面区域 OBC

.因为 z ?

y?2 ,所以 z 的 x ?1

几何意义是区域内任意一点 ( x, y ) 与点 P (1, ?2) 两点直线的斜率.所以由图象可知当直线经过点 P, C

时 , 斜 率 最 小 , 经 过 点 P, B 时 , 直 线 斜 率 最 大 . 由 题 意 知 B (0, 2), C (4, 0) , 所 以

?2 ? 2 ?2 ? 0 2 y?2 2 的取值范围为 z? 或 z ? ?4 , 即 ? ?4 , k PC ? ? ,所以 z? 1? 0 1? 4 3 x ?1 3 2 ( ) (??, ?4] ? [ , ??) ,选 3 k PB ?
A. 由?

?x ? y ? 4 ?x ? 2 3? 2 1 n?3 1 ,得 ? ,即 A(2, 2) ,此时 k AM ? 的最小值是 ,选 ? ,所以 z ? 5?2 3 m?5 3 ?x ? y ? 0 ?y ? 2

D.

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 3 . (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若 ? x ? 0, y ? 0 ?
目标函数 z ? ax ? by (a.>0,b>0),最大值为 12,则 A.

2 3 ? 的最小值为 a b
D.4





24 7

B.

25 6

C.5

【答案】B

【解析】做出可行域,由 z ? ax ? by 得 y ? ?

a z a x ? ,因为 a ? 0, b ? 0 ,所以直线斜率 ? ? 0 ,直线 b b b

截距越大, z 越大,做出直线 y ? ?

a z x? , b b

,由图象可知当直线

y??

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? x ? 4 a z 得? ,代入直线 z ? ax ? by x ? 经过点 B 时,截距做大,此时 z ? 12 ,由 ? b b ?x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 6
a b 2 3 2 3 a b 2 3 a b 2 3 25 , 当且 ? ? 1 . 所以 ? ? ( ? )( ? ) ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 3 2 a b a b 3 2 3 2 b a 3 2 6
B.

得 4a ? 6b ? 12 , 即 仅当

a b ? ,即 a ? b 时取等号,所以选 b a

4 . (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学) 若不等式

x ? 2 ? x ? 3 ? k ? 1 对任意的 x ? R 恒
( ) D.[0,2]

成恒成立,则实数 k 的取值范围 A.(-2,4) B.(0,2)
【答案】 B

C.[2,4]

因为 x ? 2 ? x ? 3 的最小值是 1,所以要使不等式 x ? 2 ? x ? 3 ? k ? 1 对任意的 x ? R 恒 B.

成恒成立,则有 1 ? k ? 1 ,即 ?1 ? k ? 1 ? 1 ,所以 0 ? k ? 2 ,即实数 k 的取值范围 (0, 2) ,选

5 . (山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)已知不等式 x ? 2 ? x ≤ a 的解集

不是空集,则实数 a 的取值范围是 A. a <2 B. a ≤2

( C. a >2 D . a ≥2



【答案】D 因为 x ? 2 ? x 的最小值为 2,所以要使不等式的解集不是空集,则有 a ? 2 ,选 D.

?2 x ? y ? 4, ? 6 . (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学 (理) 试题) 设 x、 y 满足 ? x ? y ? ?1, ? x ? 2 y ? 2, ?
A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最大值 【答案】B B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

则z ? x? y





【解析】做出可行域如图

(阴影部分).由 z ? x ? y 得 y ? ? x ? z ,做直线

y ? ? x ,平移直线 y ? ? x 由图可知当直线经过点 C(2,0)时,直线 y ? ? x ? z 的截距最小,此时 z 最小
为 2,没有最大值,选 B.
7 . (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学) 已知

f ( x) ? a ( x ? 2a )( x ? a ? 3), g ( x) ? 2 ? x ? 2 ,
② ?x ? (1, ??),f ( x) ? g ( x) ? 0 成立 , ( )

同时满足以下两个条件:① ?x ? R, f ( x) ? 0或g ( x) ? 0 ; 则实数 a 的取值范围是 A. (?4, ) C. (?4, ?1)
【答案】C

1 2

(?1, 0)

1 (? , 0) 2 1 1 D. (?4, ?2) (? , ) 2 2
B. (??, ?4)

解 : 由 g ( x) ? 0 ? x ? ?1 , 要 使 对 于 任 意 x?R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成 立 , 则 x ? ?1

时 , f ( x) ? a ( x ? 2a )( x ? a ? 3) ? 0 恒 成 立 , 故 a ? 0 , 且 两 根 ?2a 与 a ? 3 均 比 ?1 大 , 得

?4 ? a ? 0 ①.
因为 x ? (1, ??) )时, g ( x) ? 0 ,故应存在 x0 ? (1, ??) ,使 f(x0)>0, 只要 1 ? ?2a 或 1 ? a ? 3 即可,所以 a ? ? 即实数 a 的取值范围是 (?4, ?2)

1 1 或 a ? ?2 ②,由①、②求交,得 ?4 ? a ? ?2或 ? ? a ? 0 , 2 2
C.

1 (? , 0) ,选 2

?2 x ? y ? 0 ? 8 . (山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理) ) 已知变量 x、y,满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 ?x ? 0 ?
z ? 1og 4 (2 x ? y ? 4) 的最大值为
A. ( C. )

2 3

B.1

3 2

D.2

【答案】C

【解析】设 t ? 2 x ? y , 则 y ? ?2 x ? t . 做出不等式组对应的可行域如图为三角形 OBC 内 . 做直线

y ? ?2 x ,平移直线 y ? ?2 x ,当直线 y ? ?2 x ? t 经过点 C 时,直线 y ? ?2 x ? t 的截距最大,此时 t 最
大,对应的 z 也最大,由 ?

?2 x ? y ? 0 ,得 x ? 1, y ? 2 . 即 C (1, 2) 代 入 t ? 2 x ? y 得 t ? 4 , 所 以 ?x ? 2 y ? 3 ? 0
3 ,选 C. 2

z ? 1og 4 (2 x ? y ? 4) 的最大值为 z ? 1og 4 (2 x ? y ? 4) ? log 4 (4 ? 4) ? log 4 8 ?

9 . (山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理) ) 如果不等式 5 ? x ? 7 | x ? 1| 和不等式

ax 2 ? bx ? 2 ? 0 有相同的解集,则
A. a ? ?8, b ? ?10 B. a ? ?1, b ? 9
【答案】C

( C. a ? ?4, b ? ?9 D. a ? ?1, b ? 2



【 解 析 】 由 不 等 式 5 ? x ? 7 | x ? 1| 可 知 5 ? x ? 0 , 两 边 平 方 得 (5 ? x) ? 49( x ? 1) , 整 理 得
2 2

4 x 2 ? 9 x ? 2 ? 0 ,即 ?4 x 2 ? 9 x ? 2 ? 0 .又两不等式的解集相同,所以可得 a ? ?4, b ? ?9 ,选

C.

? x ? y ? 11 ? 0 ? 10. (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)设实数 x, y 满足不等式组 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?x ? 0 ?
z ? 2 x ? y 的最大值为
A.13 B.19 C.24 D.29 (

,则



【答案】A



解 析 】 由 z ? 2 x ? y , 得 y ? ?2 x ? z . 做 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 BC

D.

,做直线 y ? ?2 x ,平移直线 y ? ?2 x ? z ,由图

? x ? y ? 11 ? 0 ? x ? 2 ? ? y ? ?2 x ? z 的截距最大 , 此时 z 最大 . 由 ?3 x ? y ? 3 ? 0 得 ? y ? 9 , 代入 当直线经过点 C 时 , 象知
z ? 2 x ? y 得 z ? 2 x ? y ? 2 ? 2 ? 9 ? 13 ,所以最大值为 13,选(
A.
11. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)设 a ? 3 , b ? log 3 2, c ? cos 2 ,则
0.5







A. c ? b ? a
【答案】A

B. c ? a ? b

C. a ? b ? c

D. b ? c ? a

【解析】 3 A.

0.5

? 3 ? 1 ,, 0 ? log 3 2 ? 1 ,, cos 2 ? 0 ,所以 c ? b ? a ,选





12 . (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题) 不等式 3≤l5 - 2xl<9 的解集是

( A.(一∞,-2)U(7,+co) C.[-2,1】U【4,7】
【答案】D



B. [1, 4] D. (?2,1] [4, 7)

【解析】 由 3 ?| 5 ? 2 x |? 9 得 3 ? 2 x ? 5 ? 9 ,或 ?9 ? 2 x ? 5 ? ?3 ,即 4 ? x ? 7 或 ?2 ? x ? 1 ,所以不等 式的解集为 (?2,1] [4, 7) ,选 D.
?y ?1 ,则目标函数 z ? y ? 2x ?1 ?x ? y ? 8 ?

13. (山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)已知实数 x, y 满足 ?

? x? y

的最小值为 ( ) A. ?2 B.5 C.6 D.7 【答案】A 由 z ? x ? y 得 y ? x ? z . 作出不等式对应的平面区域 BCD,平移直线 y ? x ? z , 由平移可知, 当直线

? y ? 2x ?1 ?x ? 3 , 解得 ? , 即 C (3,5) , 代入 y ? x ? z 经过点 C 时 , 直线的截距最大 , 此时 z 最小 . 由 ? ?x ? y ? 8 ?y ? 5
z ? x ? y 得最小值为 z ? 3 ? 5 ? ?2 ,选
( )

A.

? x?2 ? 14. ( 【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )设 x,y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 1 ,若目标 ? y ? x +1 ?
函数 z =ax+by(a>0,b>0) 的最小值为 2,则 ab 的最大值为 A.1
【答案】D

( D.



B.

1 2

C.

1 4

1 6

+ b( y > a 0 , b> 0y )?? 【 解 析 】 由 z= a x 得

a z a x? , 可 知 斜 率 为 ? ?0 , 作 出 可 行 域 如 b b b

图,

由图象可知当直线 y ? ?

a z a z x ? 经过点 D 时,直线 y ? ? x ? 的截距 b b b b

最小 , 此时 z 最小为 2. 由 ?

?x ? 2 ?x ? 2 得? , 即 D (2,3) , 代入直线 ax +by ? 2 得 2a ? 3b ? 2 , 又 ? y ? x ?1 ? y ? 3
1 1 1 ,当且仅当 2a ? 3b ? 1 ,即 a ? , b ? 时取等号,所以 ab 的最大 6 2 3

2 ? 2a ? 3b ? 2 6ab ,所以 ab ?
值为

15. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知第一象限的点(a,b)在直线 2x+3y ? 1=0

1 ,选 6

D.

上,则代数式 A.24

2 3 ? 的最小值为 a b
B.25 C.26 D.27





【答案】B

【解析】因为第一象限的点 (a,b) 在直线 2x+3y ? 1=0 上 , 所以有 2a ? 3b ? 1 ? 0, a ? 0, b ? 0 , 即

2a ? 3b ? 1 , 所 以

2 3 2 3 6b 6a 6b 6a ? ? ( ? )(2a ? 3b ) ? 4 ? 9 ? ? ? 13 ? 2 ? ? 25 , 当 且 仅 当 a b a b a b a b

6b 6a 1 2 3 ,即 a ? b ? 取等号,所以 ? 的最小值为 25,选 B. ? a b 5 a b

?x ? 0 ? 16. (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测 (二模) 数学 (理) 试题) 已知 x,y 满足条件 ? y ? x (k ?2 x ? y ? k ? 0 ?
为常数),若目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k= A. ?16 B. ? 6 C. ? ( D.6 )

8 3

【答案】B

由 z ? x ? 3y 得 y ? ?

?x ? 0 1 z x ? .先作出 ? 的图象, 3 3 ?y ? x

,因

为目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,所以 x ? 3 y ? 8 与直线 y ? x 的交点为 C,解得 C (2, 2) ,代入直线

2 x ? y ? k ? 0 ,得 k ? ?6 ,选

B.

? y ? ?x ? 2 1 ? 17. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)已知不等式组? y ? kx ? 1 所表示的平面区域 为面积等于 4 ?y ? 0 ?
的三角形,则实数k 的值为 A.?1
【答案】D





B. ?

1 2

C.

1 2

D.1

【解析】由图象知 k ? 0 . 当 y ? 0 时 , xB ?

1 1 1 ? y ? ?x ? 2 . xC ? 2 ., 所以 ? 2 , 即 k ? 由 ? ,得 k k 2 ? y ? kx ? 1

yA ?

2k ? 1 1 1 2k ? 1 1 2 1 , 所以 S ?ABC ? (2 ? ) ? ? , 解得 k ? 1 或 k ? ? ( 舍去 ), 所以 k ? 1 , 选 1? k 2 k 1? k 4 7 2

D.
18. (山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学) 定义区间 (a, b) , [a, b) , (a, b] , [a, b] 的长度均为

1 ,2 ) [ 3 ,5 )的 长 度 d? b ? a, 多 个 区 间 并 集 的 长 度 为 各 区 间 长 度 之 和 , 例 如 , ( d ? ( 2 ? 1 )( ? 5 ? 3 ) ? 3 x? x ? [ x ], 其 中 x ? R . 设 . 用 [ x ] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 记 {} f() x? []{ x ?x } ( )? x ? 1 x )? gx ( )解集区间的长度为 5 , 则 k 的值为 , gx , 当 0 ? x ? k 时 , 不等式 f(
( A. 6
【答案】 B



B. 7

C. 8

D. 9 网

f ( x) ? [ x] ?{x} ? [ x] ? ( x ? [ x]) ? [ x]x ? [ x]2 , 由 f ( x) ? g ( x) , 得 [ x]x ? [ x]2 ? x ? 1 , 即

([ x] ? 1) x ? [ x]2 ? 1 .当 x ? [0,1) , [ x] ? 0 ,不等式的解为 x ? 1 ,不合题意.当 x ? [1, 2) , [ x] ? 1 ,不等
式为 0 ? 0 ,无解,不合题意.当 x ? 2 时, [ x] ? 1 ,所以不等式 ([ x] ? 1) x ? [ x] ? 1 等价为 x ? [ x] ? 1 ,此
2

x )? gx ( )解集区间的长度为 5 , 所以 时恒成立 , 所以此时不等式的解为 2 ? x ? k , 因为不等式 f(

k ? 2=5 ,即 k ? 7 ,选

B.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 19( .山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学 (理) 试题) 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 5 y ? 10 ? 0 , ?x ? y ? 8 ? 0 ?
则目标函数 z ? 4 x ? 3 y 的最小值和最大值分别为 A.-6,11 【答案】A B.2,11 C.-11,6 D.-11,2 ( )

4 z 4 z x ? .做出可行域如图阴影部分,平移直线 y ? x ? ,由图象可知 3 3 3 3 4 z 4 z 4 z 当直线 y ? x ? 经过点 C 时,直线 y ? x ? 的截距最小,此时 z 最大,当 y ? x ? 经过点 B 时, 3 3 3 3 3 3 ?x ? 5 4 z 直线 y ? x ? 的截距最大 , 此时 z 最小 . 由 ? x ? 5 y ? 10 ? 0 得 ? , 即 C (5,3) , 又 B (0, 2) , 把 3 3 ?y ? 3 ? ?x ? y ? 8 ? 0
【 解析】 由 z ? 4x ? 3y 得 y ?

C (5,3) 代 入 z ? 4 x ? 3 y 得 z ? 4 x ? 3 y ? 20 ? 9=11 , 把 B(0, 2) 代 入 z ? 4 x ? 3 y 得 z ? 4 x ? 3 y ? ?3 ? 2= ? 6 ,所以函数 z ? 4 x ? 3 y 的最小值和最大值分别为 ?6,11 ,选
A. ( )

20. (山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)设奇函数
2

f ? x ? 在? ?1,1? 上是增函数,

且 f ? ?1? ? ?1 ,若函数, f ? x ? ? t ? 2at ?1 对所有的 x ?? ?1,1? 都成立,则当 a ?? ?1,1? 时 t 的取值范 围是 A. ?2 ? t ? 2 C. t ? ?2或t ? 0或t ? 2
【答案】C





1 1 ?t ? 2 2 1 1 D. t ? ? 或t ? 0或t ? 2 2
B. ?

因 为 奇 函 数 f ? x ? 在? ?1,1? 上 是 增 函 数 , 且 f ? ?1? ? ?1 , 所 以 最 大 值 为 f (1) ? 1 , 要 使

f ? x ? ? t 2 ? 2at ?1 对所有的 x ???1,1? 都成立 , 则 1 ? t 2 ? 2at ? 1 , 即 t 2 ? 2at ? 0 , 即 t (t ? 2a) ? 0 ,
当 t ? 0 时 , 不等式成立 . 当 0 ? a ? 1 时 , 不等式的解为 t ? 2a ? 2 . 当 ?1 ? a ? 0 时 , 不等式的解为 t ? 2a ? ?2 .综上选 C.
21. (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)设 a ? 3 , b ? log? 3, c ? log 0.3 e 则 a, b, c 的大小
0.3

关系是 A. a ? b ? c 【答案】B

( B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. c ? a ? b



【 解析】 a ? 30.3 ? 1, 0 ? log? 3 ? 1, c ? log 0.3 e ? 0

,所以

c ? b ? a ,选

B.

22. (山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)若 a, b ? R, 且ab ? 0, 则下列不等式中,

恒成立的是 A. a ? b ? 2 ab B.





1 1 2 ? ? a b ab

C.

b a ? ?2 a b

D. a ? b ? 2ab
2 2

【答案】C

因为 ab ? 0 ,所以

b a b a b a ? 0, ? 0 ,即 ? ? 2 ? ? 2 ,所以选 a b a b a b

C.

?x ? 1 ? 23. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)实数 x,y 满足 ? y ? a ( a ? 1) ,若函数 z=x+y 取 ?x ? y ? 0 ?
得最大值 4,则实数 a 的值为 A.2
【答案】A

( C.4 D.



B.3

3 2

, 由 z ? x ? y 得 y ? ?x ? z , 作 出 不 等 式 对 应 的 区 域 , 平 移 直 线

?x ? y ? 4 ?x ? 2 y ? ? x ? z, 由图象可知当直线经过点 D 时 , 直线的截距最大为 4, 由 ? , 解得 ? ,即 ?x ? y ? 0 ?y ? 2
D(2,2),所以 a ? 2 ,选 A.
二、填空题 24. (山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学) 若点 A





?1,1? 在直线 mx ? ny ? 2 ? 0 上,其中 mn ? 0,



1 1 ? 的最小值为__________. m n m n ? ?1 , 所 以 2 2

【答案】 2

因 为 点 A ?1,1? 在 直 线 mx ? ny ? 2 ? 0 上 , 所 以 m ? n ? 2 ? 0 , 即

1 1 1 1 m n 1 1 n m n m n m ? ? ( ? )( ? ) ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? 2 ,当且仅当 ,即 m 2 ? n 2 ? m n m n 2 2 2 2 2m 2n 2m 2n 2m 2n
时取等号.所以

1 1 ? 的最小值为 2. m n

?x ? y ? 1 ? 0 ? 25. (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A) )已知 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 2 x ? y 的最大 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
值为.
【答案】2

【解析】设 z ? 2 x ? y , 则 y ? 2 x ? z . 作出可行域如图

作直线

y ? 2 x ,平移直线 y ? 2 x ? z ,由图象可知当直线 y ? 2 x ? z 经过点 D 时,直线 y ? 2 x ? z 的截距最下,
此时 z 最大,把 D (1, 0) 代入直线 z ? 2 x ? y 得 z ? 2 ,所以 2 x ? y 的最大值为 2.
26. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)若不等式

a x ? 2 <6 的解集为 (?1, 2) ,则

实数 a 等于 【答案】4 【解析】因为不等式的解集为 (?1, 2) , 即 ?1, 2 是方程的两个根 ,所以 2a ? 2 =6 且 ? a ? 2 =6 , 解得

a ? 4.
27 . (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题) 研究问题:“已知关于 x 的不等式

ax 2 ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 (1,2), 解 关 于 x 的 不 等 式 cx 2 ? bx ? a ? 0 ”, 有 如 下 解 法 : 由
1 1 1 1 ax 2 ? bx ? c ? 0 ? a ? b( ) ? c( ) 2 ? 0 ,令 y ? ,则 y ? ( ,1) ,所以不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集 x x x 2 1 为 .类比上述解法,已知关于 x 的不等式 ( , 1 ) 2 kx bx ? 1 k x?b ? ?0 的解集为 ? ? 0 的 解 集 为 (?2, ?1) (2,3) , 则 关 于 x 的 不 等 式 ax ? 1 cx ? 1 x?a x?c
__________.
【答案】 (?

1 1 1 , ? ) ? ( , 1 ) 2 3 2

【 解析】关于 x 的不等式

k x?b 1 ? ? 0 的解集为 (?2, ?1) (2,3) , 用 ? 替换 x , 不等式可化 x?a x?c x

1 (? ) ? b k kx bx ? 1 1 1 ? x ? ? ? 0 , 因 为 ? ? ( ?2, ?1) (2, 3) , 所 以 ? x ? 1 或 为, 1 1 x 2 (? ) ? a (? ) ? c ax ? 1 cx ? 1 x x kx bx ? 1 1 1 1 1 1 . ? ? 0 的解集为 ? ? x ? ? ,即不等式 (? , ? ) ? ( , 1 ) 2 3 2 ax ? 1 cx ? 1 2 3
28. (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)已知函数 f ( x) ? ?

?? ? x ? 1 (x ? 0) ,则不等 2 x ? 1 ( x >0) ? ?

式 f ( x) ? 0 的解集为__________
【答案】 ( ??,1)

【解析】若 x ? 0 ,由 f ( x) ? 0 得 x 2 ? 1 ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 .若 x ? 0 ,由 f ( x) ? 0 得 ? x ? 1 ? 0 ,解得

x ? 0 ,综上不等式的解为 x ? 1 ,即不等式的解集为 (??,1) .
29 . ( 山 东 省 威 海 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 理 科 数 学 ) 已 知

x ? 0 ,则

x 的最大值为 x ?4
2

_________________.
【答案】

1 4

因为

x 1 4 4 4 ? ,又 x ? 0 时, x ? ? 2 x ? ? 4 ,当且仅当 x ? ,即 x ? 2 取等 x ?4 x? 4 x x x x
2

号,所以 0 ?

1 x? 4 x

?

1 x 1 ,即 2 的最大值为 . 4 x ?4 4

?x ? y ? 1 ? 30 . (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学) 若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 , 目标函数 ?2 x ? y ? 2 ?
z ? x ? 2 y 最大值记为 a,最小值记为 b,则 a-b 的值为_________.

【答案】10 由 z ? x ? 2 y 得 y ? ?

1 z x ? .作出不等式组对应的区域, 2 2

,平移直线

1 z 1 z y ? ? x ? ,由平移可知,当直线 y ? ? x ? 经过点 D 时,直线的截距最小,此时 z 最小.经过点 B 2 2 2 2
时,直线的截距最大,此时 z 最大.由 ?

?x ? y ? 1 ?x ? 1 ,解得 ? ,即 D (1, 0) 代入 z ? x ? 2 y 得 b ? 1 .由 ?2 x ? y ? 2 ?y ? 0

? x ? y ? ?1 ?x ? 3 解得 ? ,即 B (3, 4) ,代入 z ? x ? 2 y 得 a ? 11 ,所以 a ? b ? 11 ? 1 ? 10 . ? ?2 x ? y ? 2 ?y ? 4
31 . (山东省滨州市 2013 届高三第一次( 3 月)模拟考试数学(理)试题) 设实数 x , y 满足约束条件

? x ? 2 y ? 0, ? ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值为_________. ?2 x ? y ? 0, ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0, ? 【答案】4 由 z ? x ? y 得 y ? ? x ? z .作出不等式对应的区域,平移直线 y ? ? x ? z ,由图象可知,当直 线 y ? ? x ? z 与圆在第一象限相切时 , 直线 y ? ? x ? z 的截距最大 , 此时 z 最大 . 直线与圆的距离

d?

z 2

? 2 ,即 z ? ?4 ,所以目标函数 z ? x ? y 的最大值是 4 .

? x2 ? y 2 ? 4 ? 32. (山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函 ? y?0 ?
数 z ? 2 x ? y 的最大值是___________

【答案】 2

5

由 z ? 2 x ? y 得, y ? ?2 x ? z .作出不等式对应的区域,

,平移

直线 y ? ?2 x ? z , 由图象可知, 当直线 y ? ?2 x ? z 与圆在第一象限相切时 ,直线 y ? ?2 x ? z 的截距 最大, 此时 z 最大.直线与圆的距离 d ?

z 22 ? 1

? 2 ,即 z ? ?2 5 ,所以目标函数 z ? 2 x ? y 的最大

值是 2 5 .
33. (2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)已知 O 是坐标原点,点 M 的坐标为(2,1),若点 N(x,y)

?x ? y ? 2 ? 1 ? 为平面区域 ? x ? 上的一个动点,则 OM ON 的最大值是_________ . 2 ? ? ? y?x
【 答 案 】 3 OM ON ? 2 x ? y , 设 z ? 2 x ? y , 则 y ? ?2 x ? z . 不 等 式 对 应 的 区 域 为

BCD,

平移直线 y ? ?2 x ? z ,由图象可知当直线 y ? ?2 x ? z 经过点 C 时,直

线 y ? ?2 x ? z 的截距最大 , 此时 z 最大 , 由 ?

?x ? y ? 2 ?x ? 1 , 解得 ? , 即 C (1,1) , 代入 z ? 2 x ? y 得 ?y ? x ?y ?1

z ? 2 x ? y ? 3 ,所以 OM ON 的最大值是 3.
三、解答题 34. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)小王于年初用 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴

纳各种费用需支出 6 万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出 2 万元,假定该年每年的运输收入均 为 25 万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第 x 年年 底出售,其销售价格为 25 ? x 万元(国家规定大货车的报废年限为 10 年). (I)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (II 在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?)(利润=累计收入+销售收入-总支 出)
【答案】

35. (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)某厂生产某种产品的年固定成本为 250

万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C ( x) 当年产量不足 80 千件时, C ( x) ? 量不小于 80 千件时 C ( x) ? 51x ? 厂生产的商品能全部售完.

1 2 x ? 10 x (万元);当年产 3

10000 ? 1450 (万元),每件商品售价为 0.05 万元,通过市场分析,该 x

(1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
【答案】

36. (山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学 (理) ) 某工厂去年的某产品的年销售量为 100 万只,

每只产品的销售价为 10 元,每只产品固定成本为 8 元,今年,工厂第一次投入 100 万元,并计划以后每 年比上一年多投入 100 万元,预计销售量从今年开始每年比上一年增加 10 万只,第 n 次投入后,每只产 品的固定成本为 g (n) ?

k (k ? 0, k为常数, n ? N ) ,若产品销售价保持不变,第 n 次投入后的年利 n ?1

润为 f (n) 万元. (1)求 k 的值,并求出 f (n) 的表达式; (2)若今年是第 1 年,则第几年年利润最高?最高利润为多少万元?
【答案】


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