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2016高考数学一轮复习 专题突破练1 理 新人教A版


专题突破练(一) [A 级
一、选择题 1.与直线 2x-6y+1=0 垂直,且与曲线 f(x)=x +3x -1 相切的直线方程是 ( A.3x+y+2=0 C.x+3y+2=0 B.3x-y+2=0 D.x-3y-2=0
2 3 2

基础达标练]

)

[解析] 设切点坐标为(x0,y0),由

f′(x)=3x +6x 得

f′(x0)=3x2 0+6x0=-3,解得 x0=-1,
即切点坐标为(-1,1). 从而切线方程为 y-1=-3(x+1),即 3x+y+2=0,故选 A. [答案] A 2.从边长为 10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖 的盒子,则盒子容积的最大值为( A.12 cm
3

) B.72 cm
3

C.144 cm

3

D.160 cm
3

3

[解析] 设盒子容积为 y cm ,盒子的高为 x cm.则 y=(10-2x)(16-2x)x=4x -52x +160x(0<x<5), ∴y′=12x -104x+160. 20 令 y′=0,得 x=2 或 (舍去), 3 ∴ymax=6×12×2=144(cm ). [答案] C
3 2

3

2

3. (2013·浙江高考)已知 e 为自然对数的底数, 设函数 f(x)=(e -1)(x-1) (k=1,2), 则( ) A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 [解析] 当 k=1 时,f(x)=(e -1)(x-1),则 f′(x)=e (x-1)+(e -1)=e x-1, 所以 f′(1)=e-1≠0, 所以 f(1)不是极值. 当 k=2 时,f(x)=(e -1)(x-1) ,
x
2

x

k

x

x

x

x

1

则 f′(x)=e (x-1) +2(e -1)(x-1)=e (x -1)-2(x-1)=(x-1)[e (x+1)-2], 所以 f′(1)=0,且当 x>1 时,f′(x)>0;在 x=1 附近的左侧,f′(x)<0, 所以 f(1)是极小值. [答案] C 4.已知函数 f(x)的定义域是[-1,5],部分对应值如下表.f(x)的导函数 y=f′(x) 的图象如图 1?1 所示.

x

2

x

x

2

x

x f(x)

-1 1

0 2

4 2

5 1

图 1?1 下列关于函数 f(x)的命题: ①函数 y=f(x)在[0,2]上是减函数;②如果当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,那 么 t 的最大值是 4; ③当 1<a<2 时, 函数 y=f(x)-a 有 4 个零点. 其中真命题的个数是( A.0 B.3 C.2 D.1 [解析] y=f′(x)在[0,2]上为负,故函数 y=f(x)在[0,2]上是减函数,①正确;当 x ∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,t 的最大值是 5,②错误;当 1<a<2 时,函数 y=f(x) -a 可能有 2 个,3 个或 4 个零点,故③错误,选 D. [答案] D 5.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足:f(4)=-3,且对任意实数 x,总有 f′(x)<3, 则不等式 f(x)<3x-15 的解集为( A.(-∞,4) B.(-∞,-4) C.(-∞,-4)∪(4,+∞) D.(4,+∞) [解析] g(x)=f(x)-(3x-15)=f(x)-3x+15, 则所求的不等式解集可理解为使 g(x)<0 的解集. ) )

g(x)的导函数为 g′(x)=f′(x)-3,根据题意可知 g′(x)=f′(x)-3<0 对任意实数 x 恒成立,
所以 g(x)在 R 上单调递减. 则 g(4)=f(4)-12+15=0,令 g(x)<0, 则 g(x)<g(4)根据单调递减可知,x>4. [答案] D
2

二、填空题 6.(2015·扬州模拟)已知函数 f(x)=(ax +x)-xln x 在[1,+∞)上单调递增,则实 数 a 的取值范围是________. [解析] 由题意知:f′(x)=2ax+1-(ln x+1)≥0, ln x 即 a≥ ,x∈[1,+∞)恒成立; 2x ln x 设 g(x)= , 2x 1-ln x 令 g′(x)= =0,解得 x=e,x∈[e,+∞)时,g(x)为减函数;x∈[1,e)时, 2x
2

g(x)为增函数,故 g(x)的最大值为 g(e)= ,即 a≥ .
1 [答案] a≥ 2e 7.(2015·长春模拟)若函数 f(x)=x(x-c) 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为 ________. [解析] 因为 x=2 是 f(x)的极大值点, 所以 f(x)=x(x -2cx+c )=x -2cx +c x, 所以 f′(x)=3x -4cx+c , 所以 f′(2)=3×4-8c+c =0, 解得 c=2 或 c=6, 当 c=2 时,不能取极大值, 所以 c=6. [答案] 6 8.(2015·南京模拟)抛物线 y=x 上的点到直线:x-y-2=0 的最短距离为________. [解析] y′=2x,根据题意可知与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x 的切线对应的 切点到直线 x-y-2=0 的距离最短,设切点坐标为(x0,x0),则 y′|x=x0=2x0=1,所以
2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2

1 2e

1 2e

?1-1-2? ?2 4 ? 1 1 1 ? ? 7 2 ? ? x0= ,所以切点坐标为? , ?,切点到直线 x-y-2=0 的距离 d= = ,所以 2 8 ?2 4? 2
7 2 抛物线上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离为 . 8 [答案] 7 2 8

三、解答题

x a 3 9.(2014·重庆高考)已知函数 f(x)= + -ln x- ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在 4 x 2
3

1 点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y= x. 2 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 1 a 1 [解] (1)对 f(x)求导得 f′(x)= - 2- , 4 x x 1 由 f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y= x 知 2

f′(1)=- -a=-2,解得 a= . x 5 3 (2)由(1)知 f(x)= + -ln x- , 4 4x 2
则 f′(x)=

3 4

5 4

x2-4x-5 . 2 4x

令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=5. 因为 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数; 当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(5,+∞)内为增函数. 由此知函数 f(x)在 x=5 时取得极小值 f(5)=-ln 5. 10.(2015·哈尔滨模拟)已知函数 f(x)=1- (1)证明:g(x)≥1; 1 (2)证明:(x-ln x)f(x)>1- 2. e [证明] (1)由题意知,g′(x)= 当 0<x<1 时,g′(x)<0; 当 x>1 时,g′(x)>0, 即 g(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数. ∴g(x)≥g(1)=1,得证. (2)由 f(x)=1-

x-1
e
x

,g(x)=x-ln x.

x-1 , x

x-1
e
x

,f′(x)=

x-2
e
x



∴当 0<x<2 时,f′(x)<0; 当 x>2 时,f′(x)>0. 即 f(x)在(0,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数. 1 ∴f(x)≥f(2)=1- 2, e
4

又由(1)x-ln x≥1, 1 ∴(x-ln x)f(x)>1- 2. e

[B 级
3

能力提升练]

1.设函数 f(x)=x -4x+a(0<a<2)有三个零点 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,则下列结论正 确的是( ) B.x2<0 D.0<x2<1
3

A.x1>-1 C.x3>2

[解析] ∵函数 f(x)=x -4x+a(0<a<2), 2 3 2 ∴f′(x)=3x -4,令 f′(x)=0,得 x=± . 3 2 3 ∵当 x<- 时,f′(x)>0; 3 2 3 2 3 2 3 当- <x< 时,f′(x)<0;当 x> 时,f′(x)>0. 3 3 3 2 3? ? ? 2 3 2 3? ?2 3 ? 故函数在?-∞,- ?上是增函数,在?- , ?上是减函数,在? ,+∞?上 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 3 ?

? 2 3? ?2 3? 是增函数.故 f?- ?是极大值,f? ?是极小值,再由函数 f(x)的三个零点 x1,x2,x3, 3 ? ? ? 3 ?
2 3 2 3 2 3 2 3 且 x1<x2<x3 得,x1<- ,- <x2< ,x3> . 3 3 3 3 根据 f(0)=a>0,且 f(1)=1-4+a=a-3<0,得 0<x2<1,选 D. [答案] D 1 3 a 2 2. (2015·厦门模拟)若函数 f(x)= |x |- x +(3-a)|x|+b 有六个不同的单调区间, 3 2 则实数 a 的取值范围是________. 1 3 a 2 [解析] 因为函数 f(x)= |x |- x +(3-a)|x|+b,所以 f(-x)=f(x), 3 2 所以 f(x)是偶函数, 因为 f(x)有六个不同的单调区间, 又因为函数为偶函数, 所以当 x>0 时,有三个单调区间, 即 f′(x)=x -ax+3-a=0 有两个不同的正根,
2

5

a ? ?2>0, 所以? 3-a>0, ? ?a +4a-12>0,
2

解得 2<a<3. [答案] (2,3) 3.(2015·贵阳模拟)已知函数 f(x)=x -3x +3. (1)求过点(3,3)与曲线 f(x)相切的直线方程; 3 2 13 (2)若函数 g(x)=f(x)+ kx -6kx- (k>0)有且只有一个零点, 求实数 k 的取值范围. 2 2 [解] (1)因为点 M(3,3)在曲线 y=f(x)上, ①当 M(3,3)为切点时,由 k=f′(3)=9 得切线方程为 9x-y-24=0; ②当 M(3,3)不为切点时,设切点为 N(x0,f(x0)), 则 kMN=f′(x0)? 3. 3 2 13 3 ?3 7 ? 2 (2)∵g(x)=f(x)+ kx -6kx- =x +? k-3?x -6kx- 有且只有一个零点, 即 g(x) 2 2 2 ?2 ? 的图象与 x 轴只有一个交点, 由 g(x)的图象及 g(x)∈(-∞, +∞)知, g(x)在(-∞, +∞) 上单调或 g(x)的极小值大于零或 g(x)的极大值小于零. ①当 g(x)在(-∞,+∞)上单调时, 由 g′(x)=3x +3(k-2)x-6k=3(x-2)(x+k),知 k=-2,这与已知 k>0 矛盾, ②当 g(x)的极小值大于零或 g(x)的极大值小于零时, 由 g′(x)=0? x=2 或 x=-k, 而 x∈(-∞,-k)和 x∈(2,+∞)时,g′(x)>0;x∈(-k,2)时,g′(x)<0, 15 所以 g(x)极小值=g(2)=-6k- , 2
2 2 x3 0-3x0+3-3 2 =3x0-6x0? x0=0,即 N(0,3),此时,切线方程为 y= x0-3 3 2

g(x)极大值=g(-k)= k3+3k2- = (k3+6k2-7),
5 由 g(x)极小值>0? k<- ,这与已知 k>0 矛盾, 4 由 g(x)极大值<0? k +6k -7<0? (k-1)(k +7k+7)<0? 0<k<1. 综上所述,k∈(0,1).
3 2 2

1 2

7 1 2 2

6


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