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等比数列的前n项和公式经典教案


等比数列的前 n 项和公式
【学习目标】 1.掌握等比数列的前 n 项和公式及推导公式的思想方法和过程,能够熟练应用等比数列的前 n 项和公式 解决相关问题,提高应用求解能力. 2.通过对等比数列的前 n 项和公式的推导与应用,使学生掌握错位相减法、方程思想、划归思想等数学 思想和方法. 3.激情参与,惜时高效,感受数学思维的严谨性. 【重点】 :等比数列的前n项和公式

的推导和应用. 【难点】 :应用等比数列的前 n 项和公式解决具体问题. 【学法指导】 1. 阅读探究课本上的基础知识,初步掌握正弦定理及其简单应用; 2. 完成教材助读设置的问题,然后结合 课本的基础知识和例题,完成预习自测;3. 将预习中不能解决的问题标出来,并写到后面“我的疑惑”处.

一、知识温故
1.如何求等比数列的通项公式? 2. 等比数列具有哪些性质? Ⅱ.教材助读 1. 在等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 ,...,am , am?1 , am?2 ,...,an 的和与首尾两项和有什么关系? 2. 如何推导等比数列的前 n 项和公式? 3. 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 公 式 : S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n?1 , 代 入 等 比 数 列 的 通 项 公 式

an ? a1q n?1 (a1 ? 0, q ? 0) ,等比数列的前 n 项和公式还可以写成 S n ?
【预习自测】 S5 1.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 等于( ) S2 A.11 B.5 C.-8 D.-11 S10 2.记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 等于( S5 A.-3 B.5 C.-31 D.33 1、答案 D 解析 由 8a2+a5=0 得 8a1q+a1q4=0, 5 S5 a1?1+2 ? ∴q=-2,则 = =-11. S2 a1?1-22?

a1 (1 ? q n ) 1? q

)

【我的疑惑】
1

知识要点归纳:
1.等比数列前 n 项和公式: (q≠1). (q=1). (2)注意:应用该公式时,一定不要忽略 q=1 的情况. a1 2.若{an}是等比数列,且公比 q≠1,则前 n 项和 Sn= (1-qn)=A(qn-1).其中 A= . 1-q 3.推导等比数列前 n 项和的方法叫 法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的 前 n 项和. 4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,当公比 q≠1 时,Sn= = ;当 q=1 时,Sn= . 5.等比数列前 n 项和的性质: (1)连续 m 项的和(如 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m),仍构成 数列.(注意:q≠-1 或 m 为奇数) m (2)Sm+n=Sm+q Sn(q 为数列{an}的公比). (1)公式:Sn= =

二、典型范例 Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究
探究点 等比数列的前 n 项和公式 问题 1:怎么求等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ?写出公式的推导过程。 设等比数列 a1,a2,a3,?,an,?,它的前 n 项和 Sn=a1+a2+a3+?+an,由等比数列的通项 公式可将 Sn 写成: - Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn 1. ① 则 qSn= a1q ? a1q2 ? ... ? a1q qn ? 1 ? a1lqn a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn ② 由①-②得:(1-q)Sn= . 当 q≠1 时,Sn= . - 因为 an=a1qn 1,所以 Sn 可以用 a1,q,an 表示为 Sn= 当 q=1 时,由于 a1=a2=?=an,所以 Sn= .

.

问题 2 下面提供了一种利用比例的性质推导等比数列前 n 项和公式的方法,请你补充完整: 由等比数列的定义知: a2 a3 a4 an = = =?= =q. a1 a2 a3 an-1 当 q≠1 时,由等比性质得: a2+a3+a4+?+an =q, a1+a2+a3+?+an-1 Sn-a1 即 =q. Sn-an a1(1-qn) 故 Sn= = . 1-q 当 q=1 时,易知 Sn= .

归纳总结
2

a1 an q - 1 q -

(1) 求等比数列 ?an ? 的前 n 项和:已知首项 a1 和第 n 项 an 时,用公式 (公式一) ;已知首项 a1 和公差 q 时,用公式

a1 ?(1 ? q n ) (公式 2) 1? q
三个 ,可以求出 另外两个 。

(2)等比数列的 a1 , d ,a n , n, S n 五个量中,已知 (3)由 S n ? na1 ? (4)

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 可知: S n 是 2 2 2
是数列求和的一种重要方法。

问题探究一 错位相减法求和 问题 教材中推导等比数列前 n 项和的方法叫错位相减法.这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之 一,这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{an}与一个等比数列{bn}对应项之积构成的新数列求 n 和.下面是利用错位相减法求数列{ n}前 n 项和的步骤和过程,请你补充完整. 2 n 1 2 3 设 Sn= + 2+ 3+?+ n, 2 2 2 2 1 ∴ Sn= , 2 1 ∴Sn- Sn= , 2 1 即 Sn= 2 = ∴Sn= n+2 =2- n . 2 7 63 例 1 在等比数列{an}中,S3= ,S6= ,求 an. 2 2 解 7 63 由已知 S6≠2S3,则 q≠1,又 S3= ,S6= , 2 2 a1(1-q3) 7 = , 2 1-q
6 1

? ? 即? a (1-q ) 63 ? 1-q = 2 . ?

① ②

②÷ ①得 1+q3=9,∴q=2. 1 - - 可求得 a1= ,因此 an=a1qn 1=2n 2. 2

问题探究二 等比数列前 n 项和 Sn 与函数的关系 问题 当公比 q=1 时,因为 a1≠0,所以 Sn=na1,是 n 的正比例函数(常数项为 0 的一次函数).当 q=1 时,数列 S1,S2,S3,?,Sn,?的图象是正比例函数 y=a1x 图象上一些孤立的点.
3

当公比 q≠1 时,等比数列的前 n 项和公式是 Sn=

a1(1-qn) ,它可以变形为 Sn=- 1-q

a1 n a1 a1 ·+ q ,设 A= ,上式可写成 Sn=-Aqn+A.由此可见,q≠1 的等比数列 1-q 1-q 1-q 的前 n 项和 Sn 是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的, 而指数式的系数与常 数项互为相反数. 当 q≠1 时,数列 S1,S2,S3,?,Sn,?的图象是函数 y=-Aqx+A 图象上的一些孤 立的点. 例如,若{an}是等比数列,且前 n 项和为 Sn=3n-1+t,则 t=________.
问题探究三 等比数列前 n 项和的性质

问题 1 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比为 q,求证:Sm+n=Sm+qmSn. m m m 证明 左边=Sm+n=(a1+a2+?+am)+(am+1+am+2+?+am+n)=Sm+(a1q +a2q +?+anq ) =Sm+(a1+a2+?+an)qm =Sm+qmSn=右边,
∴Sm+n=Sm+q Sn.
m

三、过关测试
一、选择题 1.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=-1,a4=64,则 S4 等于 A.48 C.50 B.49 D.51 ) ( )

2.在等比数列{an}中,公比 q 是整数,a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前 8 项和为( A.513 C.511 B.512 D.510 S5 3.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 等于 S2 A.11 C.-8 B.5 D.-11 S4 4.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 等于 a2 A.2 15 C. 2 B.4 17 D. 2 ( )

(

)

(

)

1 5.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则 a1a2+a2a3+?+anan+1 等于 4 A.16(1-4 n) 32 - C. (1-4 n) 3


B.16(1-2 n) 32 - D. (1-2 n) 3 )



6.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和,已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于( 15 31 A. B. 2 4 33 17 C. D. 4 2 二、填空题 7.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的公比为________.
4

8.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4=________. 9.若等比数列{an}中,a1=1,an=-512,前 n 项和为 Sn=-341,则 n 的值是________. 三、解答题 10.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn.

11.在等比数列{an}中,已知 Sn=48,S2n=60,求 S3n.

12.已知等比数列{an}中,a1=2,a3+2 是 a2 和 a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 bn=anlog2an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

四、探究与拓展 13.已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式; ? an ? (2)求数列?2n-1?的前 n 项和. ? ?

四、课后练习
一、选择题 1.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前 3 项和为 21,则 a3+a4+a5 等于( A.33 B.72 C.84 D.189 )

2.某厂去年产值为 a,计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%,从今年起 5 年内,该厂的总产值为 ( A.1.1 a C.10a(1.1 -1)
5 4

)

B.1.1 a D.11a(1.15-1)

5

1 3.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列{ }的前 5 项和为 an ( 15 A. 和 5 8 31 C. 16 过的路程和是(结果保留到个位)
5

)

31 B. 和 5 16 15 D. 8

4.一弹性球从 100 米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第 10 次着地时所经 ( )

A.300 米 C.199 米
4

B.299 米 D.166 米 ( ) B.3×4 +1 D.45+1
4

5.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6 等于 A.3×4 C.4
5

6.某企业在今年年初贷款 a 万元,年利率为 γ,从今年年末开始每年偿还一定金额,预计五年内还清,则 每年应偿还 a(1+γ) A. 万元 (1+γ)5-1 aγ(1+γ)5 C. 万元 (1+γ)4-1 二、填空题 7.等比数列{an}共 2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大 80,则公比 q=________. 8.等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,S3=2,S6=6,则 a10+a11+a12=________. 9.某工厂月生产总值的平均增长率为 q,则该工厂的年平均增长率为________. 三、解答题 10.在等比数列{an}中,已知 S30=13S10,S10+S30=140,求 S20 的值. ( aγ(1+γ)5 B. 万元 (1+γ)5-1 aγ D. 万元 (1+γ)5 )

11.利用等比数列前 n 项和公式证明 + n+1 -bn 1 n n-1 n-2 2 n a a +a b+a b +?+b = ,其中 n∈N*a,b 是不为 0 的常数,且 a≠b. a-b

12.已知{an}是以 a 为首项,q 为公比的等比数列,Sn 为它的前 n 项和. (1)当 S1,S3,S4 成等差数列时,求 q 的值; (2)当 Sm,Sn,Sl 成等差数列时,求证:对任意自然数 k,am+k,an+k,al+k 也成等差数列.

四、探究与拓展 13.某家用电器一件现价 2 000 元,实行分期付款,每期付款数相同,每期为一月,购买后一个月开始付 款,每月付款一次,共付 12 次,购买后一年还清,月利率为 0.8%,按复利计算,那么每期应付款多 少?(1.00812≈1.1)

答案
过关测试
6

1.D 2.D 3.D 4.C 5.C 1 7. 8.3 9.10 3

6.B

? ?a1q=6, 10.解 设{an}的公比为 q,由题设得? 2 ? ?6a1+a1q =30. ?a1=3, ?a1=2, ? ? 解得? 或? ? ? ?q=2 ?q=3.

当 a1=3,q=2 时,an=3×2n 1, a1(1-qn) 3(1-2n) Sn= = =3(2n-1); 1-q 1-2 当 a1=2,q=3 时,an=2×3n 1, a1(1-qn) 2(1-3n) n Sn= = =3 -1. 1-q 1-3 11.63 12.(1)an=2n (2)Sn=2+(n-1)·n 1 2 n 13.(1)an=2-n (2) n-1 2 课后练习
+ -



7


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