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福建省泉州市晋江市养正中学2014-2015学年高二上学期第二次月考数学(理)试卷 Word版含解析


2014-2015 学年福建省泉州市晋江市养正中学高二(上)第二次 月考数学试卷(理科)
一、选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1.对于抛物线 y=4x2,下列描述正确的是( ) A.开口向上 B.开口向下 C.开口向左 D.开口向右 2.从某鱼池中捕得 120 条鱼,做了记号之后,再放回池中,经过适当的时间后,再从池中 ) 捕得 100 条鱼,若其中有记号的鱼为 10 条,试估计鱼池中共有鱼的条数为( A.1000 B.130 C.1200 D.1300 3.已知命题 p:“如果 a>b,那么 2a>2b”的否命题是( A.如果 a≤b,那么 2a≤2b B.如果 a<b,那么 2a<2b C.如果 2a≤2b,那么 a≤b D.如果 2a>2b,那么 a>b 4.抛物线 y2=10x 的焦点到准线的距离是( A. B.5 C. D.10 ) )

5.双曲线 A.y=±2x

=1 的渐近线方程是( B.y=±4x C.y=± x

) D.y=± x

6.已知椭圆

和双曲线

有公共的焦点,那么

的值为(

)

A.

B.

C.2

D.4

7.四面体 ABCD 中,设 M 是 CD 的中点,则 A. B. C. D. )

化简的结果是(

)

8.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的( A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

9.经过点 P(3,﹣1)且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是(

)

A.

=1

B.

=1

C.

=1

D.

10. a≠b) 已知方程 ax2+by2=ab 和 ax+by+1=0 (其中 ab≠0, , 它们所表示的曲线可能是(

)

A.

B.

C.

D.

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,请把正确答案写在题中横线上). 11.已知 , ,且 ,那么 x 的值等于__________.

12.当 a=2 时,如图所示的程序段输出的结果是__________.

13.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则离心率 e=__________. 14.有一隧道,内设双行线公路,同方向有两个车道(共有四个车道) ,每个车道宽为 3m, 此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成, 如图所示, 为保证安全, 要求行驶车辆顶部 (设 车辆顶部为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为 0.25m,靠近中轴线的车道为快 车道,两侧的车道为慢车道,则车辆通过隧道时,慢车道的限制高度为__________. (精确 0.1m 到 )

15. x=﹣2 若动点 P 在直线 l:

上, 过 P 作直线交椭圆

=1 于 M, N 两点, 使得|PM|=|PN|,

再过 P 作直线 l′⊥MN,则 l′恒过定点 Q,点 Q 的坐标为__________.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (13 分)设关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (Ⅰ)若 a,b 都是从集合{1,2,3,4}中任取的数字,求方程有实根的概率; (Ⅱ)若 a 是从区间[0,4]中任取的数字,b 是从区间[1,4]中任取的数字,求方程有实根 的概率. 17. (13 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,点 E 在棱 AB 上,且 AE=m.已 知异面直线 DB1 与 CE 所成角的余弦值等于 ,求 m 的值.

18. (13 分)已知抛物线 y=﹣2x2 和抛物线上一点 P(1,﹣2) . (Ⅰ)求抛物线的准线方程; (Ⅱ)过点 P 作斜率为 2,﹣2 的直线 l1,l2,分别交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 设 AB 的中点 M(x0,y0) .求证:线段 PM 的中点 Q 在 y 轴上.

19. (13 分)已知命题 p:?x∈R,x2+mx+1≥0,命题 q:双曲线

=1(m>0)的离心





(Ⅰ)写出命题 p 的命题否定?p;并求出 m 的取值范围,使得命题?p 为真命题; (Ⅱ)如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求 m 的取值范围. 20. AB∥DC, AD⊥DC, (14 分) 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, 侧棱 PD⊥ 底面 ABCD,且 AB=AD=1,PD=DC=2,E 是 PC 的中点. (Ⅰ)求证:BE∥平面 PAD; (Ⅱ) 线段 PB 上是否存在一点 Q, 使得 PC⊥平面 ADQ?若存在, 求出 请说明理由. 的值; 若不存在,

21. (14 分)已知双曲线



(1)求以双曲线的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆 E 的方程. (2)点 P 在椭圆 E 上,点 C(2,1)关于坐标原点的对称点为 D,直线 CP 和 DP 的斜率 都存在且不为 0,试问直线 CP 和 DP 的斜率之积是否为定值?若是,求此定值;若不是, 请说明理由.

(3)平行于 CD 的直线 l 交椭圆 E 于 M、N 两点,求△ CMN 面积的最大值,并求此时直线 l 的方程.

2014-2015 学年福建省泉州市晋江市养正中学高二(上) 第二次月考数学试卷(理科)
一、选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1.对于抛物线 y=4x2,下列描述正确的是( ) A.开口向上 B.开口向下 C.开口向左 D.开口向右 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】抛物线 y=4x2,标准方程为 x2= y,即可得出结论. 【解答】解:抛物线 y=4x2,标准方程为 x2= y,开口向上, 故选:A. 【点评】本题考查抛物线方程,考查学生的计算能力,比较基础. 2.从某鱼池中捕得 120 条鱼,做了记号之后,再放回池中,经过适当的时间后,再从池中 ) 捕得 100 条鱼,若其中有记号的鱼为 10 条,试估计鱼池中共有鱼的条数为( A.1000 B.130 C.1200 D.1300 【考点】几何概型. 【专题】计算题. 【分析】不妨设池中原有 N 条鱼,第一次捕得 120 条作上记号后放入水池中,求出池中有 记号的鱼的比例; 第二次捕得 100 条, 这 100 条鱼是一个样本, 用样本来估计总体分布求解. 【解答】解:设池中有 N 条鱼,第一次捕得 120 条作上记号后放入水池中,则池中有记号 的鱼占 ;

第二次捕得 100 条,则这 100 条鱼是一个样本, 其中有记号的鱼占 .

用样本来估计总体分布, 令 = ,

∴N=1200. 故选 C. 【点评】本题主要考查用样本估计总体,一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不 放回地抽取 n 个个体作为样本(n≤N) ,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都 相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样这样抽取的样本,叫做简单随机样本. 3.已知命题 p:“如果 a>b,那么 2a>2b”的否命题是( A.如果 a≤b,那么 2a≤2b B.如果 a<b,那么 2a<2b )

C.如果 2a≤2b,那么 a≤b D.如果 2a>2b,那么 a>b 【考点】四种命题. 【专题】阅读型. 【分析】本题要求写出命题 p:“如果 a>b,那么 2a>2b”的否命题,其规则是把条件的否定 作为条件,结论的否定作为结论,由此规则书写出否命题即可选出正确答案 【解答】解:∵命题 p:“如果 a>b,那么 2a>2b” ∴¬p:如果 a≤b,那么 2a≤2b 故选 C 【点评】本题考查四种命题的书写,解题的关键是熟练掌握四种命题的定义,书写规则,它 们之间的关系,本题是基本概念考查题 4.抛物线 y2=10x 的焦点到准线的距离是( A. B.5 C. D.10 )

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】根据抛物线的标准方程,可求得 p,再根据抛物线焦点到准线的距离是 p,进而得 到答案. 【解答】解:2p=10,p=5,而焦点到准线的距离是 p. 故抛物线 y2=10x 的焦点到准线的距离是 5 故选 B 【点评】本题主要考查了抛物线的性质.属基础题.

5.双曲线 A.y=±2x

=1 的渐近线方程是( B.y=±4x C.y=± x

) D.y=± x

【考点】双曲线的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用双曲线的简单性质直接求解. 【解答】解:双曲线 整理,得 y= . =1 的渐近线方为 ,

故选:C. 【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线 的简单性质的合理运用.

6.已知椭圆

和双曲线

有公共的焦点,那么

的值为(

)

A.

B.

C.2

D.4

【考点】圆锥曲线的共同特征. 【专题】计算题.

【分析】 先利用双曲线的方程判断出椭圆和双曲线的公共焦点的位置, 然后利用椭圆与双曲 线中三个参数的关系列出方程,求出 的值.

【解答】解:∵双曲线方程为 ∴焦点在 x 轴上 ∴3m2﹣n2=2m2+3n2 ∴m2=4n2 ∴ 故选 D 【点评】解决圆锥曲线的方程问题,要注意椭圆方程与双曲线方程中三个参数的关系:椭圆 中有 a2=b2+c2 而双曲线中有 c2=b2+a2

7.四面体 ABCD 中,设 M 是 CD 的中点,则 A. B. C. D.

化简的结果是(

)

【考点】向量的加法及其几何意义. 【专题】计算题. 【分析】由已知中四面体 ABCD 中,设 M 是 CD 的中点,可得 据向量加法的三角形法则,可得答案. 【解答】解:∵四面体 ABCD 中,M 是 CD 的中点, ∴ ∴ = = 故选 A 【点评】本题考查的知识点是向量加法及其几何意义,其中根据 M 是 CD 的中点,得到 = 是解答本题的关键. = = ,代入根

8.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的( A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【考点】双曲线的简单性质;充要条件. 【专题】计算题.

)

【分析】先证明充分性,把方程化为

+

=1,由“mn<0”,可得 、 异号,可得方程表

示双曲线,由此可得“mn<0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的充分条件;再证必要性,先 把方程化为 + =1, 由双曲线方程的形式可得 、 异号, 进而可得 mn<0, 由此可得“mn

<0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的必要条件;综合可得答案. 【解答】解:若“mn<0”,则 m、n 均不为 0,方程 mx2+ny2=1,可化为 + =1,

若“mn<0”, 、 异号,方程

+

=1 中,两个分母异号,则其表示双曲线,

故“mn<0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的充分条件; 反之,若 mx2+ny2=1 表示双曲线,则其方程可化为 + =1,

此时有 、 异号,则必有 mn<0, 故“mn<0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的必要条件; 综合可得:“mn<0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的充要条件; 故选 C. 【点评】本题考查双曲线的方程形式与充分必要条件的判断,关键在于掌握二元二次方程 mx2+ny2=1 表示双曲线条件. 9.经过点 P(3,﹣1)且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是( A. =1 B. =1 )

C.

=1

D.

【考点】双曲线的标准方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据题中条件:“对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程”先设出双曲线的标准方 程,根据点 A(3,﹣1) ,确定 λ,双曲线方程可得. 【解答】解:由题意知设双曲线的方程为 x2﹣y2=λ, 又过 A(3,﹣1) , ∴λ=8, ∴x2﹣y2=8, ∴ =1.

故选:C. 【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程和双曲线的简单性质,正确设方程是关键,属基 础题. 10. a≠b) 已知方程 ax2+by2=ab 和 ax+by+1=0 (其中 ab≠0, , 它们所表示的曲线可能是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】直线的一般式方程. 【专题】规律型. a≠b) 【分析】 方程 ax2+by2=ab 和 ax+by+1=0 (其中 ab≠0, , 分别化为 , .

分类讨论:若 ab<0,直线

的斜率大于 0,A 不符合;当 b<0,a>0 时,双曲

线

符合.

ab>0 时,同理根据直线的斜率与截距的意义即可排除 C,D. 【解答】解:方程 ax2+by2=ab 和 ax+by+1=0(其中 ab≠0,a≠b) , 分别化为 , .

①若 ab<0, 直线 符合. ②若 ab>0,直线

A 不符合; a>0 时, 的斜率大于 0, 当 b<0, 双曲线

的斜率小于 0,C 不符合;当 b>a>0 时,直线

的截距小于 0,D 不符合. 综上可知:只有 B 有可能. 故选:B. 【点评】 本题综合考查了直线的斜率与截距的意义、 椭圆与双曲线的标准方程, 属于中档题. 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,请把正确答案写在题中横线上). 11.已知 , ,且 ,那么 x 的值等于﹣10.

【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直. 【专题】计算题.

【分析】 由 【解答】解:∵ ∴2+x+10=2, 解得 x=﹣10.

, ,

,且 ,且

, 知 2+x+10=2, 由此能求出 x. ,

【点评】 本题考查向量的数量积的坐标运算, 解题时要注意向量数量积的坐标运算公式的灵 活运用. 12.当 a=2 时,如图所示的程序段输出的结果是 4.

【考点】选择结构. 【专题】对应思想;试验法;算法和程序框图. 【分析】模拟程序语言的运行过程,即可得出该程序运行后输出的结果. 【解答】解:模拟程序语言的运行过程,得; 该程序运行后输出的是 函数 y= ;

当 a=2 时,程序输出的是 y=2×2=4. 故答案为:4. 【点评】 本题考查了程序语言的应用问题, 解题时应模拟程序语言的运行过程, 是基础题目.

13.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则离心率 e= . 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】根据正三角形的性质可知 b= 系,则椭圆的离心率可得. 【解答】解:依题意可知 b= c ∴a= ∴e= = =2c

c,进而根据 a,b 和 c 的关系进而求得 a 和 c 的关

故答案为: 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了学生对椭圆基础知识的把握和理解. 14.有一隧道,内设双行线公路,同方向有两个车道(共有四个车道) ,每个车道宽为 3m, 此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成, 如图所示, 为保证安全, 要求行驶车辆顶部 (设 车辆顶部为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为 0.25m,靠近中轴线的车道为快 车道,两侧的车道为慢车道,则车辆通过隧道时,慢车道的限制高度为 4.3. (精确到 0.1m)

【考点】抛物线的应用. 【专题】应用题. 【分析】根据题意,适当建立坐标系,如:以抛物线的对称轴为 y 轴,路面为 x 轴,可确定 抛物线的顶点坐标及与 x 轴右交点坐标,设抛物线的顶点式,把右交点坐标代入,可求抛物 线解析式; 规定车辆必须在中心线右侧距道路边缘 2 米这一范围内行驶, 即此时车子的右边 6 横坐标为 ,代入解析式求此时的纵坐标,回答题目问题. 【解答】解:如图,以抛物线的对称轴为 y 轴,路面为 x 轴,建立坐标系, 由已知可得,抛物线顶点坐标为(0,6) ,与 x 轴的一个交点(8,0) , 2 设抛物线解析式为 y=ax +6, 把(8,0)代入解析式, 得 a=﹣ , x2+6,

所以,抛物线解析式为 y=﹣

当 x=6 时,y≈4.3, ∴慢车道的限制高度为 4.3 米. 故答案为:4.3.

【点评】实际问题中的抛物线问题,一般要建立直角坐标系解决,适当建立坐标系可使抛物 线解析式形式上简单,便于利用题目的已知条件求解析式.

15. x=﹣2 若动点 P 在直线 l:

上, 过 P 作直线交椭圆

=1 于 M, N 两点, 使得|PM|=|PN|,

再过 P 作直线 l′⊥MN,则 l′恒过定点 Q,点 Q 的坐标为(﹣

,0) .

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】转化思想;作差法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】分类讨论,利用点差法,求出直线的斜率,可得直线的方程,即可得到定点. 【解答】解:因为直线 l 的方程为 x=﹣2 ,设 P(﹣2 ,y0) ,y0∈(﹣ , ) ,

当 y0≠0 时,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,显然 x1≠x2, 由 + =1, + =1,

作差,又 PM=PN,即 P 为线段 MN 的中点, 故直线 MN 的斜率为﹣ ? = ,

又 l′⊥MN,所以直线 l′的方程为 y﹣y0=﹣

(x+2

) ,

即 y=﹣

(x+

) ,

显然 l′恒过定点(﹣

,0) ; ,此时 l′为 x 轴亦过点(﹣ ,0) . ,0) .

当 y0=0 时,直线 MN 即 x=﹣2 综上所述,l′恒过定点(﹣ 故答案为: (﹣ ,0) .

【点评】本题考查椭圆的方程与性质,考查点差法的运用,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (13 分)设关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (Ⅰ)若 a,b 都是从集合{1,2,3,4}中任取的数字,求方程有实根的概率; (Ⅱ)若 a 是从区间[0,4]中任取的数字,b 是从区间[1,4]中任取的数字,求方程有实根 的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式;几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)列举所有的情况,找出方程有实根的事件包含的基本事件个数,利用古典概 型概率公式计算即可;

(Ⅱ)画出 a 是从区间[0,4]中任取的数字,b 是从区间[1,4]中任取的数字的可行域,找 出方程有实根的事件所代表的平面区域,利用几何概型概率公式计算即可. 【解答】解: (I)设事件 A 为“方程有实根”, 记(a,b)为取到的一种组合,则所有的情况有: (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) . 一共 16 种且每种情况被取到的可能性相同. ∵关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0 有实根, ∴△=4a2﹣4b2≥0, ∴a≥b. ∴事件 A 包含的基本事件有: (1,1) , (2,1) , (2,2) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4)共 10 种. ∴P(A)= .

∴方程有实根的概率是 . (Ⅱ)设事件 B=“方程有实根”,记(a,b)为取到的一种组合. ∵a 是从区间[0,4]中任取的数字,b 是从区间[1,4]中任取的数字, ∴点(a,b)所在区域是长为 4,宽为 3 的矩形区域. 又∵满足 a≥b 的点的区域是如图所示的阴影部分. ∴P(B)= = .

∴方程有实根的概率是 .

【点评】本题考查古典概型和几何概型的概率计算,以及一元二次方程根的判别式的应用, 属于中档题. 17. (13 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,点 E 在棱 AB 上,且 AE=m.已 知异面直线 DB1 与 CE 所成角的余弦值等于 ,求 m 的值.

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】空间角. 【分析】以 D 为坐标原点,以 DA、DB、DP 所在直线依次为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系,利用向量法能求出 m 的值. 【解答】解:以 D 为坐标原点,以 DA、DB、DP 所在直线依次为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系,…1 分 则 D(0,0,0) 、B1(1,1,1) 、C(0,1,0) 、E(1,m,0)…3 分 ∴ ,…5 分

. ,…7 分



.…10 分

∵异面直线 DB1 与 CE 所成角的余弦值等于 ∴



,即 12m2+m﹣1=0,…12 分

解得

(舍去)

∴m 的值等于 .…13 分.

【点评】本题考查线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 18. (13 分)已知抛物线 y=﹣2x2 和抛物线上一点 P(1,﹣2) .

(Ⅰ)求抛物线的准线方程; (Ⅱ)过点 P 作斜率为 2,﹣2 的直线 l1,l2,分别交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 设 AB 的中点 M(x0,y0) .求证:线段 PM 的中点 Q 在 y 轴上.

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)利用抛物线方程,可得抛物线的准线方程; (Ⅱ)确定 xQ=0,即可证明结论. 【解答】解: (I)抛物线 y=﹣2x2,∴ ∴准线方程是 ;…4 分

(II)直线 l1:y﹣(﹣2)=2(x﹣1) ,即 y=2x﹣4 代入 y=﹣2x2,有 2x2+2x﹣4=0, ∴x2+x﹣2=0,∴x=﹣2 或 x=1,即 x1=﹣2…7 分 同理直线 l2:y﹣(﹣2)=﹣2(x﹣1) ,即 y=﹣2x 代入 y=﹣2x2,有 2x2﹣2x=0, ∴x2﹣x=0,∴x=0 或 x=1,即 x2=0…10 分 ∴ ,∴ ,即 xQ=0

即线段 PM 的中点 Q 在 y 轴上.…13 分. 【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生分析解决 问题的能力,属于中档题.

19. (13 分)已知命题 p:?x∈R,x2+mx+1≥0,命题 q:双曲线

=1(m>0)的离心





(Ⅰ)写出命题 p 的命题否定?p;并求出 m 的取值范围,使得命题?p 为真命题; (Ⅱ)如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求 m 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】简易逻辑.

【分析】 (I)?p:?x0∈R,

,若?p 为真命题,则△ >0,解出即可得出.

(II)p:若?x∈R,x2+mx+1≥0 为真命题时,由△ ≤0,解出 m 的取值范围. q:双曲线 的离心率 为真命题时,则 .由“p∨q”

为真命题,“p∧q”为假命题,故命题 p、q 中有且仅有一个真命题,解出即可得出. 【解答】解: (I)?p:?x0∈R, ,

若?p 为真命题,则△ =m2﹣4>0,解得:m<﹣2,或 m>2 故所求实数 m 的取值范围为: (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) . 2 2 (II)p:若?x∈R,x +mx+1≥0 为真命题时,由△ =m ﹣4≤0m 的取值范围为﹣2≤m≤2. q:双曲线 的离心率 为真命题时,则 .

由“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,故命题 p、q 中有且仅有一个真命题, 当 p 真 q 假时,实数 m 的取值范围为: 当 p 假 q 真时,实数 m 的取值范围为: , 综上可知实数 m 的取值范围: . .

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、双曲线的离心率、一元二次方程有实数根与判别 式的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20. AB∥DC, AD⊥DC, (14 分) 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, 侧棱 PD⊥ 底面 ABCD,且 AB=AD=1,PD=DC=2,E 是 PC 的中点. (Ⅰ)求证:BE∥平面 PAD; (Ⅱ) 线段 PB 上是否存在一点 Q, 使得 PC⊥平面 ADQ?若存在, 求出 请说明理由. 的值; 若不存在,

【考点】平面与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (I)以 D 为坐标原点,以 DA、DC、DP 所在直线依次为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系,由向量法得到 AF∥BE,由此能证明 BE∥平面 PAD.

(II)假设线段 PB 上存在一点 Q,使 PC⊥平面 ADQ,设 求出 λ=3,由此得到线段 PB 上存在一点 Q,使得 PC⊥平面 ADQ,且

,由向量法能 .

【解答】 (I)证明:以 D 为坐标原点,以 DA、DC、DP 所在直线依次为 x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系,…1 分 则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) ,B(1,1,0) ,C(0,2,0) ,P(0,0,2) ,E(0,1,1)…2 分 取 PD 中点 F,连结 AF,F(0,0,1) , ,∴ = …4 分 ,… 3 分

即 AF∥BE…5 分 而 AF?平面 PDA,且 BE?平面 PDA ∴BE∥平面 PAD…6 分 (II)解:假设线段 PB 上存在一点 Q,使 PC⊥平面 ADQ,设 设 Q(x,y,z) ,则 ∴ ,即(1,1,﹣2)=λ(1﹣x,1﹣y,﹣z)…8 分 …9 分

∵PC⊥平面 ADQ,∴

,∴y=z,…10 分



,∴λ=3 .…13 分.

∴线段 PB 上存在一点 Q,使得 PC⊥平面 ADQ,且

【点评】本题考查线面平行的证明,考查使得线面垂直的点是否存在的判断与求法,是中档 题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

21. (14 分)已知双曲线



(1)求以双曲线的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆 E 的方程. (2)点 P 在椭圆 E 上,点 C(2,1)关于坐标原点的对称点为 D,直线 CP 和 DP 的斜率 都存在且不为 0,试问直线 CP 和 DP 的斜率之积是否为定值?若是,求此定值;若不是, 请说明理由. (3)平行于 CD 的直线 l 交椭圆 E 于 M、N 两点,求△ CMN 面积的最大值,并求此时直线 l 的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)设以双曲线 的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆 E 的方程为

,a>b>0,则 a2=6+2=8,c2=6,由此能求出椭圆 E 的方程. (2)依题意得 D 点的坐标为(﹣2,﹣1) ,且 D 点在椭圆 E 上,直线 CP 和 DP 的斜率 KCP 和 KDP 均存在,设 P(x,y) ,则 斜率之积为定值﹣ . , ,由此能推导出直线 CP 和 DP 的

(3)直线 CD 的斜率为 ,CD 平行于直线 l,设直线 l 的方程为 y=

,由



得 x2+2tx+2t2﹣4=0,△ =4t2﹣4(2t2﹣4)>0,解得 t2<4,由此能求出△ CMN 面积的最大 值和此时直线 l 的方程. 【解答】解: (1)∵双曲线 的顶点为(± ,0) ,焦点为( ,0) ,

设以双曲线的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆 E 的方程为 则 a2=6+2=8,c2=6, ∴椭圆 E 的方程为 .…

,a>b>0,

(2)依题意得 D 点的坐标为(﹣2,﹣1) , 且 D 点在椭圆 E 上,直线 CP 和 DP 的斜率 KCP 和 KDP 均存在,设 P(x,y) ,









=

,…

∵点 Q 在椭圆 E 上,∴x2=8﹣4y2,kCP?kDP= ∴直线 CP 和 DP 的斜率之积为定值﹣ .… (3)∵直线 CD 的斜率为 ,CD 平行于直线 l, 设直线 l 的方程为 y= ,

=﹣ .



,消去 y,整理得 x2+2tx+2t2﹣4=0,

△ =4t2﹣4(2t2﹣4)>0,解得 t2<4, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则 x1+x2=﹣2tx1?x2=2t2﹣4.… ∴|MN|= =

=

=

,﹣2<t<2.…

点 C 到直线 MN 的距离为 d=

=

,…

∴ = =|t|?

=



= =2.

当且仅当 t2=4﹣t2,即 t2=2 时,取等号.…(13 分)

∴△CMN 面积的最大值为 2,此时直线 l 的方程为 y=

.…(14 分)

【点评】 本题考查椭圆方程的求法, 考查三角形面积最大值的求法及此时直线方程的求法. 解 题时要认真审题,仔细解答,注意点到直线的距离公式的灵活应用.


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