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(新课标)高考数学考点专练(14)等比数列(含答案)


等比数列
1.设

s n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3s3 ? a4 ? 2,
)

3s2 ? a3 ? 2 ,则公比 q = (

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【命题立意】本题主要考查等比数列的前 n 项和公式,考查等比数列的通项公式. 【思路点拨】两式相减,即可得到相邻两项的关系,进而可求公比 q.

【规范解答】选 B.两式相减可得:

3a3 ? a4 ? a3 ,即4a3 ? a4 ,

?q ?

a4 ?4 a3 .故选 B.
)

2.设{an}是由正数组成的等比数列,

Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1, S3 ? 7 ,则 S5 ? (
17 (D) 2

15 (A) 2

31 (B) 4

33 (C) 4

【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和公式. 【思路点拨】列出关于 a1,q 的方程组,解出 a1,q,再利用前 n 项和公式求出 【规范解答】选 B.根据题意可得:

S5 .

3.设

?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别
)

为 X , Y , Z ,则下列等式中恒成立的是( (A) X ? Z ? 2Y (C) Y ? XZ
2

(B) (D)

Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ?

Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?

【命题立意】本题主要考查等比数列的性质,考查考生的观察、分析、推理能力. 【思路点拨】从整体观察,分析 Y ? X 与 X , Z ? X 与 Y 的关系,即可得出结论. 【规范解答】选 D.设等比数列

?an ? 的公比为 q (q ? 0) ,由题意, X ? a1 ? a2 ??? an ,

Y ? a1 ? a2 ? ?? an ? an?1 ? an?2 ? ?? a2n ,

Z ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? an?2 ? ?? a2n ? a2n?1 ? a2n?2 ? ?? a3n ,
Z?X Y?X ?q ?q ? X , Y ,所以 Y (Y ? X ) ? X (Z ? X ) ,故 D 正确.

S5 ? 8a ? a5 ? 0 ,则 S 2 ( ) S ?a ? 4.设 n 为等比数列 n 的前 n 项和, 2
(A)11 (B)5 (C) ?8 (D) ? 11

【命题立意】本题主要考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 【思路点拨】抓等比数列的基本量

a1 , an , q, Sn 可解决本题.

a5 ? ?8 ? q 3 8 a ? a ? 0 a q 5 【规范解答】选 D.设等比数列的公式为 ,则由 2 得 2 ,

a1[1 ? (?2)5 ] S 33 1 ? (?2) ? 5 ? ? ? ?11 2 S2 a1[1 ? (?2) ] ?3 1 ? (?2) ? q ? ?2 . .
5.设

?a n ? 是等比数列,则“ a1 <a 2 <a3 ”是数列 ?a n ? 是递增数列的(



(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【命题立意】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】分清条件和结论再进行判断. 【规范解答】选 C.若已知 解得 q>1, 且

a1 <a 2 <a 3 ,则设数列 ?a n ? 的公比为 q ,因为 a1 <a 2 <a 3 ,所以有 a1 <a1q<a1q2 ,

a1 >0 ,所以数列 ?a n ? 是递增数列;反之,若数列 ?a n ? 是递增数列,则 a1 <a1q<a1q2 ,即

a1 <a2 <a3 ,所以 a1 <a 2 <a 3 是数列 ?a n ? 是递增数列的充分必要条件.
6.在等比数列

?an ? 中, a1 ? 1,公比 q ? 1 .若 am ? a1a2a3a4a5 ,则 m =(



(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 【命题立意】本题考查等比数列的基础知识. 【思路点拨】利用等比数列的通项公式即可解决. 【规范解答】选 C. 方法一:由

am ? a1a2a3a4a5 得 a1qm?1 ? a1 (a1q)(a1q2 )(a1q3 )(a1q4 ) ? a15q10 .又因为 a1 ? 1 ,所以 qm?1 ? q10 .

因此 m ? 11 . 方法二:因为

a1a5 ? a2a4 ? a32 , 所 以 am ? a35 . 又 因 为 am ? a1qm?1 ? qm?1 , a3 ? a1q2 ? q2 , 所 以

所以 m ? 1 ? 10 ,即 m ? 11 . 7.设

?an ? 是首项大于零的等比数列,则“ a1 ? a2 ”是“数列 ?an ? 是

递增数列”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【命题立意】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】分清条件和结论再进行判断. 【规范解答】选 C.若已知 解得 q>1, 所以数列 即

a1 ? a2 ,则设数列 ?a n ? 的公比为 q ,因为 a1 ? a2 ,所以有 a1 ? a1q ,又 a1 >0 ,
1

?a n ? 是递增数列;反之,若数列 ?a n ? 是递增数列且 a1 >0 ,则公比 q>1,所以 a

? a1q ,

a1 ? a2 ,所以 a1 ? a2 是数列 ?a n ? 是递增数列的充分必要条件.

8.已知数列{

an }为等比数列,

Sn

5 a a a a 是它的前 n 项和.若 2 ? 3 =2a1,且 4 与 2 7 的等差中项为 4 ,则

S5=( ) (A)35 (B )33 (C)31 (D)29 【命题立意】本题考查等比数列的性质、等差数列的性质以及等比数列的前 n 项和公式. 【思路点拨】 由等比数列的性质及已知条件 从而求出 及

a2 ? a3 ? 2a1 得出 a4 , a 由等差数列的性质及已知条件得出 7 ,

q

a1 .
a2 ? a3 ? 2a1 ? a1 ? a4 ? 2a1 ? a4 ? 2 ,
1 a 1 q3 ? 7 ? 4 ? a4 2 8

【规范解答】选 C .由



a4 ? 2a7 ? 2 ?

5 1 a7 ? 4 得 4 .所以



a 2 S5 ? a1 ? 4 ? ? 16 3 1 1 q q? 2, 8 ? ,
9.在等比数列{

1 16[1 ? ( )5 ] 2 ? 31 1 1? 2 .故选 C .
.

an }中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 an =
a1 ,进而求出通项公式 an .

【命题立意】本题主要考查等比数列的通项和前 n 项和公式. 【思路点拨】由前 3 项之和等于 21 求出

【规范解答】

? S3 ? 21, q ? 4 ,

3

? ? 4,? a

1

?【答案】 1,? an ? 4n ?1.
【方法技巧】另解: 10.设数列

? S3 ? a1 ? 4a1 ? 16a1 ? 21,? a1 ? 1,? an ? 4n?1.

?an ? 满足 a1 ? 2 ,an+1-a n=3·22n-1. ?an ? 的通项公式.
bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

(1)求数列 (2)令

【命题立意】本题主要考查了数列通项公式以及前 n 项和的求法,解决本题的关键是仔细观察形式,找到 规律,利用等比数列的性质解题. 【思路点拨】由给出的递推关系,求出数列的通项公式,再求数列的前 n 项和. 【规范解答】 (1)由已知,当 n ? 1 时,

an?1 ? ?(an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ??? (a2 ? a1 )? ? a1
? 3(22n?1 ? 22n?3 ? ? ? 2) ? 2 ? 22( n?1)?1


a1 ? 2 ,满足上述公式,

所以

?an ? 的通项公式为 an ? 22n?1 .
bn ? nan ? n ? 22n?1 可知,

1

(2)由 Sn

s ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ??? n ? 22n?1

从而

3 5 ? 2 22 sn ? 1? 2 ? 2? 2 ? 3 ? 72? ? n ? n? 2



① ? ②得

(1 ? 22 ) sn ? 2 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 n ?1 ? n ? 22 n ?1
Sn ? 1 ? (3n ? 1)22 n ?1 ? 2 ? ? ? 9 .



【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式,利用错位相减法求数列的和. 11.已知

?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 且 a1, a3 , a9 成等比数列.
n

2a ? an ? ? S ? (1)求数列 的通项公式.(2)求数列 的前 n 项和 n .
【命题立意】 本题主要考查等差、 等比数列的通项公式和前n项和公式的应用, 考查考生的运算求解能力. 【思路点拨】已知 ? 关于 d 的方程 ? d ?

an ? 2 an ? Sn

(1)由题设知公差d ? 0 , 【规范解答】

【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时, “基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运用 性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解. 2.数列求通项的常见类型与方法: 公式法、由递推公式求通项,由

Sn 求通项,累加法、累乘法等.

3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等. 4.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的 内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略. 12.已知

{an } 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 . {an } 的通项公式.
{bn } 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 {bn } 的前 n 项和公式.

(1)求

(2)若等比数列

【命题立意】本题考查等差数列的通项公式,等比 数列的前 n 项和,熟练掌握数列的基础知识是解答好本 类题目的关键. 【思路点拨】 (1)由 a3,a6 可列方程解出 等比数列的前 n 项和公式即可. 【规范解答】 (1)设等差数列

a1 , d ,从而可求出通项公式; b (2)求出 2 ,再求出公比 q.代入

{an } 的公差 d .因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 ,

所以 (2)设等比数列 因为

解得

a1 ? ?10, d ? 2 ,所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 .

{bn } 的公比为 q ,
所以 ?8q ? ?24 ,即 =3.

b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b1 ? ?8
Sn ?

q

所以

{bn } 的前 n 项和公式为

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q .
n ?1

?1? 1 a S S ? ? a S 13.数列{ n } 中 1= 3 ,前 n 项和 n 满足 n ?1 - n = ? 3 ?
(1)求数列{

(n ? N ).

*

an }的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn .

(2)若 S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列,求实数 t 的值. 【命题立意】本题考查数列、等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、

化归转化思想. 【思路点拨】第一步先求{

an }的通项,可知{ an }为等比数列,利用等比数列的前 n 项和求解出 Sn ;第二
n ?1

步利用等差中项列出方程求出 t.

?1? Sn?1 ? Sn ? ? ? ? 3? 【规范解答】 ( 1 ) 由
n 1 ? ?1? ? S n ? ?1 ? ? ? ? ? n ? N ? ? 2? ? ?3? ? ? 从而 .

?1? an?1 ? ? ? ? 3? 得

n ?1

?n ? N? ?

?1? 1 an ? ? ? n ? N ? a1 ? 3 ,故 ? 3? ,又 ,

n

?

?

1 4 13 S1 ? , S2 ? , S3 ? , 3 9 27 从 而 由 S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成 等 差 数 列 可 得 (2)由( 1 )

1 ? 4 13 ? ?1 4? ? 3? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? t, 3 ? 9 27 ? ? 3 9 ? 解得 t ? 2 .
【方法技巧】要求数列通项公式,由题目提供的是一个递推公式,如何通过递推公式来求数列的通项.题目 要求的是项的问题,这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题.一般地,含有

Sn 的递推关系式,常利

? S1 , n ? 1 an ? ? ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2 化“和”为“项”. 用
14.给出下面的数表序列:

其中表 n(n=1,2,3 ? )有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5,? 2n-1,从第 2 行起,每行中的每个数都等于 它肩上的两数之和. (1)写出表 4,验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表 n(n≥3) (不要求证明). (2)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列 1,4,12 ? ,记此数列为

?bn ?

b3 b b ? 4 ? ? n?2 b b b2b3 bnbn ?1 求和: 1 2

【命题立意】以数列为背景考查学生的观察、归纳和总结的能力. 【思路点拨】在第(2)问中首先应得到数列 【规范解答】 (1) 表 4 为 1357 4 8 12 12 20 32

?bn ? 的通项公式,再根据通项公式决定求和的方法.

它的第 1,2,3,4 行中的平均数分别是 4,8,16,32,它们构成首项为 4,公比为 2 的等比数列.将这一 结论推广到表 n(n≥3) ,即表 n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n,公比为 2 的等比数列.简证如下(对考生不作要求) :

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?n n 首先, 表n (n≥3) 各行中的第一行, 1, 3, 5, ?, 2n-1 是等差数列, 其平均数为 ;
其次, 若表 n 的第 k (1≤k≤n-1) 行 a1 , a2 , ?, an-k+1 是等差数列, 则它的第 k+1 行 a1+a2, a2+a3, ?, an-k+an-k+1,也是等差数列.由等差数列的性质知,表 n 的第 k 行中的数的平均数与第 k+ 1 行中的数的平

a1 ? a n ?k ?1 a1 ? a 2 ? a n ?k ? a n ?k ?1 , ? a1 ? a n ?k ?1 2 2 均数分别是
由此可知,表 n(n≥3)各行中的数都成等差数列,且各行中的数的 平均数按从上到下的顺序构成首项为 n,公比为 2 的等比数列. (2)表 n 的第一行是 1,3,5,?,2n-1,其平均数是

1? 3 ? 5 ??? (2n - 1 ) ?n n
由(1)知,它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n,公比为 2 的等比数列,于是,表 n 中 最后一行的唯一一个数为 bn=n·2n-1. 因此,

bk ? 2 (k ? 2)2 k ?1 k?2 2(k ? 1) ? k ? ? ? k ?1 k k ?2 bk bk ?1 k ? 2 ? (k ? 1) ? 2 k (k ? 1) ? 2 k (k ? 1) ? 2 k ?2 ? 1 1 ? .(k ? 1,2,3,? n) k ?3 k ?2 (k ? 1) ? 2 k ?2

b3 b b 1 1 1 1 ? 4 ? ? ? n? 2 ? ( ? ) ??? [ ? ] ?2 ?1 n ?3 n?2 b b b b b b 1 ? 2 2 ? 2 n ? 2 ( n ? 1 ) ? 2 1 2 2 3 n n ? 1 故
? 1 1 1 ? ? 4? ?2 n?2 1? 2 (n ? 1) ? 2 (n ? 1) ? 2n ?2 .

【方法技巧】研究数列要抓住变化规律. 15.在数列 (1)若

?an ? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N * . a2k ?1 , a2k , a2k ?1 成等差数列,其公差为 dk .

dk = 2k ,证明 a2 k , a2k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列( k ? N * ).
*

(2)若对任意 k ? N ,

a2 k , a2k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列,其公比为 qk .

n 1 3 k2 ? 2n ? ? ? 2(n ? 2). q ? 1 }是等差数列;②若 a2=2,证明 2 k ?2 a k ①设 q1≠1,证明{ k

【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等 基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法. 【思路点拨】利用等差、等比数列的定义证明.

a ?a ? 4k , k ? N * 2k ? 1 【规范解答】 (1)由题设,可得 2k ? 1 .

所以 2k ? 1

a

? a1 ? (a ?a ) ? (a ?a ) ? ... ? (a3 ? a1 ) 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 3

= 4k ? 4(k ? 1) ? ... ? 4 ?1 =2k(k+1),

a ? 2k (k ? 1), 从而a ? a ? 2k ? 2k 2 , a ? 2(k ? 1) 2 . a 2 k ? 1 2 k 2 k ? 1 2 k ? 2 1 由 =0,得

a a a a 2k ? 1 ? k ? 1 , 2k ? 2 ? k ? 1 , 所以 2k ? 2 ? 2k ? 1 a k a k a a 2k ? 1 2k ? 1 2k . 于是 2k
d k ? 2k时,对任意k ? N * , a , a ,a 2k 2k ? 1 2k ? 2 成等比数列. 所以
( 2 ) 方 法 一 : ① 由 2k ? 1

a

, a2 k , a a ,a ,a 2 k ? 1 成 等 差 数 列 , 及 2k 2k ? 1 2k ? 2 成 等 比 数 列 , 得

a a 2a ? a ?a , 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 1 ? qk 2k 2k ? 1 2k ? 1 a a q 2k 2k k ?1 ,


q1 ≠1 时,可知 qk ≠1,k ? N *

? ? 1 ? ? ? ? q ? 1? ? k ? ? 是等差数列,公差为 1. 所以
q1 ?



a1 ? 0 , a2 ? 2 ,可得 a3 ? 4 ,从而

1 4 ? 2, q ? 1 2 1 =1.由①有

1

q k ?1 2 a a a 2k ? 2 ? 2k ? 1 ? k ? 1 , 从而 2k ? 2 ? (k ? 1) ,k ? N * a a k a k2 2 k ? 1 2 k 2 k 所以
因此,

? 1 ? k ? 1 ? k , 得qk ? k ? 1 , k ? N * k

以下分两种情况进行讨论: (i)当 n 为偶数时,设 n=2m( m ? N )
*

若 m=1,则

2n ? ?

k2 ?2 k ? 2 ak .
n

若 m≥2,则

k 2 m (2k )2 m?1 (2k ? 1)2 m 4k 2 ?? ?? ?? 2 ? a2k ?1 k ? 2 ak k ?1 a2 k k ?1 k ?1 2k +
n
m ?1 m ?1 ? 4k 2 ? 4k ? 4k 2 ? 4k ? 1 1 ? 1?1 1 ?? ? 2 m ? ? ? 2 m ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2k (k ? 1) ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 2k ( k ? 1) k ?1 ? 2k ( k ? 1) k ?1 ? ? m ?1

1 1 3 1 ? 2m ? 2(m ? 1) ? (1 ? ) ? 2n ? ? 2 m 2 n.

所以

2n ? ?

n k2 3 1 3 k2 ? ? , 从而 ? 2n ? ? ? 2, n ? 4,6,8... 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n
*

(ii)当 n 为奇数时,设 n=2m+1( m ? N )

k 2 2m k 2 (2m ? 1) 3 1 (2m ? 1) 2 ? ? ? 4 m ? ? ? ? ? a2m?1 2 2m 2m(m ? 1) k ? 2 ak k ? 2 ak
n

2

1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? 2 2(m ? 1) 2 n ?1

所以

2n ? ?

n k2 3 1 3 k2 ? ? , ? 2n ? ? ? 2, n ? 3,5,7 2 n ? 1 从而 2 k ? 2 ak k ? 2 ak · · · n

n 3 k2 ? 2n ? ? ? 2 ? 2 k ? 2 ak 综合(i) (ii)可知,对任意 n ? 2 , n ? N ,有 .

方法二:①由题设,可得

dk ? a2k ?1 ? a2k ? qk a2k ? a2k ? a2k (qk ?1),

dk ?1 ? a2k ?2 ? a2k ?1 ? qk 2a2k ? qk a2k ? a2k qk (qk ?1), 所以 dk ?1 ? qk dk
qk ?1 ? a2 k ?3 a2 k ?2 ? d k ?1 d d q ?1 ? ? 1 ? 2k ?1 ? 1 ? k ? 1 ? k a2 k ? 2 a2 k ?2 qk a2 k qk a2 k qk 1 ?

q 1 1 ? k ? ?1 q ? 1可知 qk ? 1, k ? N * .可得 qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ?1 qk ?1 由 1 ,
? 1 ? ? ? qk ? 1 ? ? 所以 是等差数列,公差为 1.
②因为

a1 ? 0, a2 ? 2, 所以 d1 ? a2 ? a1 ? 2 .

所以

a3 ? a2 ? d1 ? 4 ,从而

q1 ?

? 1 ? a3 1 ?2 ?1 ? ? a2 q ? 1 .于是,由(1)可知 ? qk ? 1 ? 是公差为 1 的等差数列. , 1

1 k ?1 qk ? 1 ? k ? 1 ? k ? ? q ? 1 k . 由等差数列的通项公式可得 k = ,故 d k ?1 k ?1 ? qk ? d k . 从而 k

所以 于是,由(1)可知 以下同方法一. 16.数列



d1 ? 2 ,可得 dk ? 2k .

a2k ?1 ? 2k ? k ?1? , a2k ? 2k 2 , k ? N *

?an? (n ? N * ) 中,
是函数

f n ( x) ?

1 3 1 x ? (3an ? n 2 ) x 2 ? 3n 2 an x 3 2 的极小值点.

(1)当 a=0 时,求通项

an .

(2)是否存在 a,使数列

?an ? 是等比数列?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

【命题立意】以三次函数为载体引出数列再考查数列,考查分类讨论思想. 【思路点拨】由一元三次函数极小值的求法,引出数列,进一步研究数列.

f ' n ( x) ? x 2 ? (3an ? n 2 ) x ? 3n 2 an ? ( x ? 3an )(x ? n 2 ).
【规范解答】 (1)易知 令

f ' n ( x) ? 0, 得x1 ? 3an , x2 ? n 2 .

①若 3an<n2,则 当 x<3an 时,f′n(x)>0, fn(x)单调递增; 当 3an<x<n2 时,f′n(x)<0, fn(x)单调递减;当 x>n2 时,f′n(x)>0, fn(x)单调递增. 故 fn(x)在 x=n2 取得极小值. ②若 3an>n2,仿①可得,fn(x)在 x=3an 取得极小值. ③若 3an=n2,则 f ′n(x)≥0, fn(x)无极值. 当 a=0 时,a1=0,则 3a1<12.由①知, a2=12=1. 因 3a2=3<22,则由①知,a3=22=4. 因为 3a3=12>32,则由②知,a4=3a3=3×4. 又因为 3a4=36>42,则由②知,a5=3a4=32×4. 由此猜测:当 n≥3 时,an=4×3n-3. 下面先用数学归纳法证明:当 n≥3 时,3an>n2. 事实上,当 n=3 时,由前面的讨论知结论成立. 假设当 n=k(k≥3)时,3ak>k2 成立,则由②知,ak+1=3ak>k2,从而 3ak+1-(k+1)2>3k2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-1>0,

所以 3ak+1>(k+1)2. 故当 n≥3 时,3an>n2 成立. 于是由②知,当 n≥3 时,an+1=3an,而 a3=4,因此 an=4×3n-3. 综上所述,当 a=0 时,a1=0,a2=1, an=4×3n-3(n≥3). (2)存在 a,使数列{an}是等比数列. 事实上,由②知,若对任意的 n,都有 3an>n2,则 an+1=3an.即数列{an}是首项为 a,公比为 3 的等比数列, 且 an=a·3n-1.

? N * 都成立,只需 a?
而要使 3an>n2,即 a·3n>n2 对一切 n

n2 对一切n ? N * 都成立. 3n

n2 1 4 1 , 则b1 ? , b2 ? , b3 ? ,?. n 3 9 3 记 bn= 3 x2 1 1 x2 2 2 , 则y' ? x (2 x ? x ln 3) ? x (2 x ? x ).因此,当x ? 2时,y' ? 0,从而函数y ? x x 3 3 3 令 y= 3
在 [2,+ ∞ ) 上 单 调 递 减 . 故 当 n ≥ 2 时 , 数 列 {bn} 单 调 递 减 , 即 数 列 {bn} 中 最 大 项 为

4 4 n2 4 .于是当a ? 时,必有a ? n .这说明,当a ? ( ,??)时,数列 {a n }是等比数列 . 9 9 3 b2= 9

1 时,可得 a1 ? a, a 2 ? 1, a3 ? 4, a 4 ? 12, ?, 数列{a n }不是等比数列 . 当 a< 3 4 ,?? ). 综上所述,存在 a,使数列{an}是等比数列,且 a 的取值范围是( 9
【方法技巧】处理复杂函数的常用步骤:求导数,解方程,列表,求函数在关键点的极限,作出图象,按 要求解题.证明一个数列是等比数列,要使一个数列是等比数列,判断一个数列是否为等比数列常用的方法 有:定义法,前三项再检验法等.



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