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为什么看地图总觉得美国比中国大


为什么看地图总觉得美国比中国大
北京 人大附中初一 安曼 指导教师 杨琦 摘要:本文通过计算和对一幅世界地图【1】 (以下简称本地图)的测量,分析了在平面世
界地图上不同地区的绘制比例, 并计算出北美地区相对于华北地区的拉抻比例, 解释了为什 么美国看起来比中国大的问题。 关键词:世界地图 地球仪

1.问题的提出
我国国土面积为

960 万平方千米居世界第三, 美国 937 万平方千米为第四, 但我看世界 地图时总感觉美国比我国要大一点儿(如图) ,这是怎么回事呢?

学习了地理后我了解到: 由于地球表面为球面, 用一张平面地图完整展示这个球面必然 是变形的,就如同把一个由超强皮筋材料做成的球形书包,拉开拉锁后平摊在桌面上,要有 一定的拉抻才能做到。 那么有哪些地区被拉抻的较大?具体的数据是多少?美国相对我国又被放大了多少比 例呢? 这就是本文要解决的问题。

2.对本地图拉抻比例的计算和分析
2.1 本地图对不同纬度地区的拉抻
由于南北半球是对称的,所以我们只分析北半球的情况。本地图画出了五条北纬线,分 别是北纬 15°、30°、45°、60°和 75°, 首先计算它们的长度与赤道长度之比(理论值) , 再通过测量本地图得到这些比值,对比两组数据就可了解到不同纬度的拉抻情况。

1

2.1.1 用几何方法计算这五条北纬线与赤道长度之比 如下图, 北纬线的圆心在地心到北极连线上, 且围成的圆面与赤道面平行, 圆周称为北纬线。
北极

纬度角 地心

作出地球剖面图如下图, 设地心为 O, 地球半径为 R (北纬 0°线即赤道围成的圆周的半径) , 赤道周长为 c0 ;记北纬 a°线围成的圆周半径为 ra 千米,周长为 ca 千米; 作半径 OA,其中 A 为赤道上一点, 以 OA 为边,作 a°角 AOB,则 B 的纬度为 北纬 a°且 OB=R, 过 O 作 OC⊥OA,过 B 作 BD⊥OC 于 D, 则∠DOB=90°-∠a, 即 ra =BD=Rsin(90°-∠a) ,

ca =2π ra =2π Rsin(90°-∠a)
即 ca = c0 sin(90°-∠a) 所以,北纬 a°线所围成圆周的周长与赤道周 长之比为 sin(90°-∠a) 。 使用计算器分别求得北纬 15°至 75°这五条 北纬线与赤道周长之比如下表: 纬度 与赤道之比 【表 1】
2

0°(赤道) 15° 1 0.966

30° 0.866

45° 0.707

60° 0.5

75° 0.259

2.1.2 测量本地图上五条北纬线与赤道长度之比

由于北纬线在本地图上为曲线,所以采取分段测量后相加的方法,测量和计算结果如下表: 纬度 所测长度 与赤道之比 0°(赤道) 15° 94cm 1 92.5cm 0.984 30° 87.1cm 0.927 45° 80.9cm 0.861 60° 71.1cm 0.756 75° 59.7cm 0.635

【表 2】 2.1.3 计算不同纬度地区的拉抻程度 用【表 2】中的地图实测比值除以【表 1】中的理论比值,再乘以 100%就得到这五条北纬 线在东西方向的拉抻程度,如下表: 纬度 拉抻度 0° (赤道) 15° 100% 101.8% 30° 107% 45° 121.8% 60° 151.2% 75° 245.2%

通过以上计算和测量可知: 对纬度越高的地区, 本地图对该地区在东西方向的拉抻就越 大,本地图在北纬 60°左右的 1.5 厘米只相当于赤道的 1 厘米(东西方向) ,而北极的一个 点被放大成地图顶部一条线,可以说是无穷大倍了。这可以解释为什么面积 1424 平方千米 的南极洲和 1479 万平方千米的北冰洋,只有我国面积的约 1.5 倍,但却显得极大(如图) 。

不同纬度地区拉抻的小结:从赤道到两极,越拉越宽。
3

2.2 本地图对不同经度地区的拉抻

在两条纬线之间的各经线线段长度是相等的,我选择了赤道到北纬 15°和北纬 60°到 北纬 75°这两个区域,对这两区内的经线线段长度(如图)分别测量,数据如下表: 实测长度(赤道 至北纬 15°) 东经 150 中心线 东经 165 东经 (西经) 180 西经 165 西经 150 西经 135 西经 120 西经 105 西经 90 西经 75 西经 60 西经 45 西经 30 4.7 4.71 4.8 4.92 5.03 5.2 5.37 5.56 5.8 6.08 6.39 6.7 7 与相同纬度的中 心经线长度之比 100% 100.2% 102.1% 104.7% 107.0% 110.6% 114.3% 118.3% 123.4% 129.4% 136.0% 142.6% 149.0% 实测长度(北纬 60 ° 至 北 纬 75°) 4.97 4.98 5.03 5.15 5.30 5.42 5.63 5.80 6.03 6.23 6.50 6.71 6.89 与相同纬度的中 心经线长度之比 100% 100.2% 101.2% 103.6% 106.6% 109.1% 113.3% 116.7% 121.3% 125.4% 130.8% 135.0% 138.6%

通过以上测量和计算可以看出:本地图对从中心线(东经 150°)到边线(西经 30°) 在南北方向的拉抻逐步加大。 不同经度地区拉抻的小结:从中线到两边,越抻越长。

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2.3 本地图在东亚地区和北美地区的拉抻比例计算
如图选择如下两个区域进行对比:

红色区域为包括北京市在内的华北地区,范围从北纬 30°至北纬 45°,东经 120°至 东经 105°;蓝色区域为包括华盛顿市在内的美东地区,范围从北纬 30°至北纬 45°,西 经 75°至西经 90°。 由于这两个区域处于相同纬度范围,东西向跨越的经度也一样,如果地球为标准球体, 则这两个区域是全等的,即这是两个面积相等的区域。 测量并计算地图上这两个区域的面积就可知道美东地区和华北地区的相对拉抻比例。 我将围 成这两区域的经纬线近似视为直线,测量数据如下: 华北区的四个边长(北东南西)分别为:3.55、4.88、3.82、4.98cm,自西北至东南对角线 为 5.83cm; 美东区的四个边长(北东南西)分别为:3.26、6.00、3.50、5.78cm,自东北至西南对角线 为 5.90cm; 用对角线将四边形分为两个三角形, 可应用海伦公式 s ? 形面积,其中 p ?

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) 算出三角

1 (a ? b ? c) 。 2

计算结果: 华北区面积=8.641+9.415=18.056(平方厘米) 美东区面积=9.135+9.948=19.083(平方厘米) 两个区域在本地图上所占面积之比=1.057, 即美国的面积相比中国约被放大成了 1.057 倍。

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3.结论及可继续探索的课题
综上所述, 由于在本地图上将中国绘在靠近中央的区域, 所以位于边沿的美国的面积相 对中国的面积就被放大了约 1.057 倍。这就是为什么看地图觉得美国比中国大一些的原因。 本地图是将地球沿大西洋上的西经 30°线从北极到南极拉开一条拉锁,再摊成一个平面, 离拉锁越近的部分(尤其是靠近端点的区域)就被拉抻的越大。 通过资料查询还得知, 在欧美国家往往使用将大西洋置于中线的世界地图, 这种地图拉 锁开在太平洋上,我国处于被放大区域。除了明白美国为何显得比我国大的原因,还得到一 个结论就是地球仪才是真正的世界地图。 这次探索不仅了解到地图的复杂和有趣,也发现了可继续思考的新问题,如下图:

例 1:选择经度相同的 A、B 两点如图,则从 A 到 B 的最短航线是沿经线(图中的虚线) , 而不是图上的直线,此时地图上的弧线是近道,而地图上的直线反到是弧形绕远的路; 例 2:选择经度相差 180°的 C、D 两点如图,则从 C 到 D 的最短航程是穿过北极(图中被 分开的虚线) ,若按地图上直线飞,等于绕着操场跑半圈到达对面。 这样就产生了一个问题:如果从北京到南极长城站,最短航线怎么画?不仅跨越赤道, 还要穿过地图的中心线,问题很复杂,通过观察地球仪【2】我暂时猜测是地图上被分开的 S 形,这有待于掌握更多几何和绘图知识后的进一步研究。 参考文献 【 1 】 世 界 地 图 , 成 都 地 图 出 版 社 2006 年 7 月 第 10 版 比 例 尺 1 : 35000000 , ISBN7-80544-673-3 【2】地球仪,中国地图出版社 1998 年 11 月,ISBN7-5031-1145-0/k439

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