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2015-2016学年江西省上高县第二中学高二上学期期末考试(文)数学试题 word版


2015-2016 学年上学期期末考试 高二年级文科数学试卷 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项 是符合题目要求的. 1.已知实数 a , b ,则“ 2 ? 2 ”是“ log 2 a ? log 2 b ”的(
a b

) D.既不充分也

r />A.充分不必要条件 不必要条件 2.下面关于复数 z ?

B.必要不充分条件

C.充要条件

2 2 的四个命题: p1 : z ? 2 , p2 : z ? 2i , p3 : z 的共轭复数为 1 ? i , 1? i
) D. p3 、 p4

p4 : z 在复平面内对应点位于第四象限.其中真命题为(
A. p2 、 p3 B. p1 、 p4 C. p2 、 p4

3.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A , B , C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 有超级可判断乙去过的城市为( A. A B. B ) C. C D.不确定

4.一个水平放置的平面图形, 用斜二测画法画出了它的直观图, 此直观图恰好是一个边长为

2 的正方形,如图所示,则原平面图形的面积为(
A. 4 3 B. 4 2 C. 8 3

) D. 8 2

5.已知 x 与 y 之间的一组数据如下表:则 y 关于 x 的线性回归直线必过(



A. (2,2) 点

B. (1,5,0) 点

C. (1,2) 点

D. (1,5,4) 点

6.椭圆以 x 轴和 y 轴为对称轴, 经过点 (2,0) , 长轴长是短轴长的 2 倍, 则椭圆的方程为 (



A.

x2 ? y2 ? 1 4

B.

y2 x2 ? ?1 16 4

C.

x2 y2 x2 ? y2 ? 1或 ? ?1 4 16 4

D.

x2 y2 ? y2 ? 1或 ? x2 ? 1 4 4

7.若点 P 在椭圆 的面积是( A. 2 B.

x2 ? 且 ?F1 PF2 ? 90 , 则 ?F1 PF2 ? y 2 ? 1 上,F1 、F2 分别是椭圆的两焦点, 2

) C.

3 2

D.

1 2


8.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8 ,则判断框内 m 的取值范围是( A. (30,42] B. (42,56] C. (56,72] D. (30,72)

9.已知两条不重合的直线 m, n 和两个不重合的平面 ? 、 ? ,有下列命题: ①若 m ? n , m ? ? ,则 n ∥ ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m ∥ n ,则 ? ∥ ? ; ③若 m, n 是两条异面直线, m ? ? , n ? ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? ;

④若 ? ? ? , ? ? ? ? m , n ? ? , n ? m ,则 n ? ? . 其中正确命题的个数是( A. B. 2 C. 3 ) D. 4 ) D. (5 ? 2 5 )?

10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A. (5 ? 5 )? B. (4 ? 5 )? C. (10 ? 10 )?

11.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4 , 体积为 16 , 则这个球的表面积是 ( A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?



12.定义一种运算“ ? ” :对于自然数 n 满足以下运算性质: (1) 1 ?1 ? 1 , (2)

(n ? 1) ?1 ? n ?1 ? 1 ,则 n ?1 等于(
A. n B. n ? 1 C. n ? 1

) D. n 2

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.“设 RT?ABC 的两边 AB , AC 互相垂直,则 AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ”拓展到空间,类比 平面几何的勾股定理,在立体几何中,可得类似的结论是“设三棱锥 A ? BCD 中三边 AB 、

AC 、 AD 两两互相垂直,则___________”.
14.①命题“存在 x0 ? R,2
x0

? 0 ”的否定是“不存在 x0 ? R,2 x0 ? 0 ”
③若 x ? y ? 3 ,则 x ? 2 或 y ? 1

②若 z 是纯虚数,则 z 2 ? 0

④以直角三角形的一边为旋转轴,旋转一周所得的旋转体是圆锥 以上正确命题的序号是________. 15.在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 内随机取一点

P ,则点 P 到点 A 的距离大于的概率为________.
16.椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1 , F2 ,椭圆 C 上恰有 6 个不同点 P , a2 b2

使 ?F1 F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是_______. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分 10 分) m 为何实数时,复数 z ? (2 ? i )m ? 3(i ? 1)m ? 2(1 ? i ) 是:
2

(1)虚数; (2)若 z ? 0 ,求 m .

19.(本题满分 12 分)对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学 生作为样本, 得到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表 和频率分布直方图如下: (1)求出表中 M , p 及图中 a 的值; (2)若该校高二学生有 240 人,试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间 [10,15) 内 的人数; (3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人参 加社区服务次数在区间 [ 25,30) 内的概率.

20.(本题满分 12 分) 对喜欢数学课程是否与性别有关系进行问卷调查, 将调查所得数据绘 制成二堆条形图,如图所示.

(1)根据图中相关数据完成以下 2 ? 2 列联表, 并计算有多大把握认为性别与是否喜欢数学 课程有关系?

(2)从该班喜欢数学的女生中随机选取 2 人,参加学校数学兴趣课程班,已知该班女生 A 喜欢数学课程,求女生 A 被选中的概率. 参考数据与公式:由列联表中数据计算 K ?
2

n(ad ? bc) 2 , (a ? b) ? (c ? d ) ? (a ? c) ? (b ? d )

临界值表: 21.(本题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PA ? 底面 ABCD ,

PA ? 2 , ?PDA ? 45? ,点 E 、 F 、 G 分别为棱 AB 、 PD 、 PC 的中点.
(1)求证: AF ∥平面 PCE ; (2)求证:平面 PCE ? 平面 PCD ; (3)求三棱锥 C ? BEP 的体积.

22.(本题满分 12 分)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的点 P 到左、右两焦点 F1 , F2 的 a2 b2

距离之和为 2 2 ,离心率为 (1)求椭圆的方程;

2 . 2

(2)过右焦点 F2 的直线交椭圆于 A 、 B 两点: ①若 y 轴上一点 M (0, ) 满足 MA ? MB ,求直线斜率 k 的值;

1 3

②是否存在这样的直线,使得 S ?ABO 的最大值为 线方程;若不存在,说明理由.

2 (其中 O 为坐标原点)?若存在,求直 2

2015-2016 学年上学期期末考试 高二年级文科数学试卷 参考答案 一、选择题 BDADD 二、填空题
2 2 2 2 13. S ? ABC ? S ?ACD ? S ?ADB ? S ?BCD

CBBCA

CA

14.②③

15.

x2 y2 ? ?1 a2 b2

16. ( , ) ? ( ,1)

1 1 3 2

1 2

三、解答题 17.(1) m ? 1且m ? 2 . (2) m ? 1 . ........5 分 ............10 分

18.解: (1)当 a ? 1 时, p : x 1 ? x ? 3 , q : x 2 ? x ? 3 , 又 p ? q 为真,所以 p 真且 q 真, 由?

?

?

?

?

?1 ? x ? 3 ,得 2 ? x ? 3 . ?2 ? x ? 3
............6 分

所以实数 a 的取值范围为 ( 2,3) .

(2)因为 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,所以 q 是 p 的充分不必要条件, 又 p : x a ? x ? 3a , ,q: x2 ? x ? 3 ,

?

?

?

?

?a?0 ? 所以 ? a ? 2 ,解得 1 ? a ? 2 , ?3a ? 3 ?
所以实数 a 的取值范围为 (1,2] . ............12 分

19.解: (1)由分组 [10,15) 内的频数是 10 ,频率是 0.25 知,

10 ? 0.25 , M

所以 M ? 40 .因为频数之和为 40 ,所以 10 ? 24 ? m ? 2 ? 40, m ? 4 .

p?

m 4 ? ? 0.10 . M 40

因为 a 是对应分组 [15,20) 的频率与组距的商,所以 a ?

24 ? 0.12 . 40 ? 5

......4 分

(2)因为该校高二学生有 240 人,分组 [10,15) 内的频率是 0.25 , 所以估计该校高二学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60 人. .......8 分

(3)这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m ? 2 ? 6 人,

而两人都在 [ 25,30) 内只能是 (b1 , b2 ) 一种, 所以所求概率为 P ? 1 ?

1 14 ? .(约为 0.93 ) 15 15

........12 分

20.解: (1)据条形图所给数据得 2 ? 2 列联表,

40(15 ?10 ? 5 ?10) 2 8 ∵K ? ? ? 2.667 ? 2.072 , 25 ?15 ? 20 ? 20 3
2

.............4 分 .........6 分

故有 90% 的把握认为性别与是否喜欢数学有关系.

(2)设该班另外 4 名喜欢数学的女生分别为 B 、 C 、 D 、 E ,从该班喜欢数学的女生中 随机选取 2 人有 AB 、 AC 、 AD 、 AE 、 BC 、 BD 、 BE 、 CD 、 CE 、 DE 共 10 种选 法,符合条件“女生 A 被选中”的情形有 4 种,故女生 A 被选中的概率

P?

4 2 ? . 10 5

.............12 分

21.解: (1)取 PC 的中点 G ,连接 FG 、 EG , ∴ FG 为 ?CDP 的中位线,∴ FG ∥ CD ,
?

1 2

∵四边形 ABCD 为矩形, E 为 AB 的中点,∴ AE ∥ CD ,∴ FG ∥ AE ,
?

1 2

?

∴四边形 AEGF 是平行四边形,∴ AF ∥ EG , 又 EG ? 平面 PCE , AF ? 平面 PCE ,∴ AF ∥ 平面 PCE . ........4 分

(2)∵ PA ? 底面 ABCD ,∴ PA ? AD , PA ? CD ,又 AD ? CD , PA ? AD ? A , ∴ CD ? 平面 ADP ,又 AF ? 平面 ADP ,∴ CD ? AF , 直角三角形 PAD 中, ?PDA ? 45? ,∴ ?PAD 为等腰直角三角形,∴ PA ? AD ? 2 , ∵ F 是 PD 的中点,∴ AF ? PD ,又 CD ? PD ? D ,∴ AF ? 平面 PCD , ∵ AF ∥ EG ,∴ EG ? 平面 PCD ,又 EG ? 平面 PCE ,

∴平面 PCE ? 平面 PCD .

.................8 分

(3)三棱锥 C ? BEP 即为三棱锥 P ? BCE , PA 是三棱锥 P ? BCE 的高,

RT?BCE 中, BE ? 1 , BC ? 2 ,∴三棱锥 C ? BEP 的体积
1 1 1 1 1 2 V三棱锥C - BEP ? V三棱锥P - BCE ? S ?BCE ? PA ? ? ? BE ? BC ? PA ? ? ?1 ? 2 ? 2 ? . 3 3 2 3 2 3
.12 分 22.解: (1) PF1 ? PF2 ? 2a ? 2 2 ,∴ a ? ∵e ? .....

2.

.........1 分

c 2 2 ,∴ c ? ? ? 2 ?1. a 2 2
............2 分

∴ b2 ? a2 ? c2 ? 2 ?1 ? 1 .

椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

...............3 分

(2)已知 F2 (1,0) ,设直线的方程为 y ? k ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 联立直线与椭圆方程 ? x 2 ,化简得: (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 , 2 ? y ? 1 ? ? 2
∴ x1 ? x2 ? 分

4k 2 2k 2 ? 2 ? 2k , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? , , x x ? 1 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2

.........4

2k 2 ?k ∴ AB 的中点坐标为 G ( , ), 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
(2) k ? 0 时,不满足条件;

...............5 分

?k 1 ? 2 ? 3k ? 1 ? 2k 2 ? 1 1 ? 2 k 3 当 k ? 0 时,∵ MA ? MB ,∴ k MG ? , ? ? 2k 2 6k 2 k ?0 1 ? 2k 2 1 整理得 2k 2 ? 3k ? 1 ? 0 ,解得 k ? 1 或 k ? . ................7 分 2

k ? 0 时, (3) 不满足条件; 直线方程为 x ? 1 , 代入椭圆方程, 此时 y ? ?

2 2 , , S ?ABO ? 2 2

k ? 0 时, S ?ABO

1 k 4k 2 2 2k 2 ? 2 k 2 (k 2 ? 1) , ? y1 ? y2 ? ( ) ? 4? ? 2? 1 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 4(k 2 ? ) 2 2
1 2

∵ k ? R , k ? 0 ,∴ 4(k 2 ? ) 2 ? 1 ,∴ S ?ABO ?

2 , 2

综上, S ?ABOmax ?

2 , 2
.............12 分

∴满足题意的直线存在,方程为 x ? 1 .


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