tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

红对勾文科数学课时作业15


课时作业 15

导数的应用(一)

时间:45 分钟 分值:100 分 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1 1.函数 y=2x2-lnx 的单调递减区间为( A.(-1,1] C.[1,+∞) B.(0,1] D.(0,+∞)
2

)

?1 ? 1 x -1 ?x-1??x

+1? 解析:∵y′=?2x2-lnx?′=x-x = x = ,又因为 x ? ?

定义域为(0,+∞),令 y′<0,得到 0<x<1,故而函数的单调递减区 间为(0,1]. 答案:B 2 2.设函数 f(x)=x+lnx,则( 1 A.x=2为 f(x)的极大值点 1 B.x=2为 f(x)的极小值点 C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 2 2 1 解析:∵f(x)=x+lnx(x>0),∴f′(x)=-x2+x. 由 f′(x)=0 解得 x=2. 当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数. ∴x=2 为 f(x)的极小值点. 答案:D )

3.若函数 f(x)=x3-3x 在(a,6-a2)上有最小值,则实数 a 的取值 范围是( ) B.[- 5,1) D.(-2,1)

A.(- 5,1) C.[-2,1)

解析:f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3,令 f′(x)=0,解得 x=± 1, a<1 ? ? 2 可以判断当 x=1 时函数有极小值,∴?6-a ≥1, ? ?6-a2>a 1),∴选 B. 答案:B 4.已知函数 y=xf′(x)的图象如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的 导函数).下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )

解得 x∈[- 5,

解析:由条件可知当 0<x<1 时,f′(x)<0,函数递减,当 x>1 时, f′(x)>0,函数递增,∴当 x=1 时,函数取得极小值.当 x<-1 时, xf′(x)<0, ∴f′(x)>0, 函数递增, 当-1<x<0, xf′(x)>0, ∴f′(x)<0, 函数递减,∴当 x=-1 时,函数取得极大值.选 C. 答案:C 1 1 5.(2013· 大纲全国卷)若函数 f(x)=x2+ax+x 在(2,+∞)是增函 数,则 a 的取值范围是( A.[-1,0] C.[0,3] ) B.[-1,+∞) D.[3,+∞)

1 1 解析:f(x)=x2+ax+x在(2,+∞)为增函数,得 f′(x)=2x+a- 1 1 1 1 2≥0 在( ,+∞)上恒成立,即 a≥ 2-2x 在( ,+∞)上恒成立.令 x 2 x 2 1 1 2 1 g(x)=x2-2x(x>2),g′(x)=-x3-2<0,故 g(x)在(2,+∞)上为减函

1 数,所以 a≥g(2)=3,故选 D. 答案:D ex e2 6.(2013· 辽宁卷)设函数 f(x)满足 x f′(x)+2xf(x)= x ,f(2)= 8 ,
2

则 x>0 时,f(x)(

) B.有极小值,无极大值 D.既无极大值又无极小值

A.有极大值,无极小值 C.既有极大值又有极小值
2

ex ex 2 解析:由 x f′(x)+2xf(x)= x 得[x f(x)]′= x ,令 g(x)=x2f(x),则 xg′?x?-2g?x? ex-2g?x? ex g ?x ? g′(x)= x .又 f(x)= x2 ,所以 f′(x)= = ,令 x3 x3 2ex e ?x-2? h(x)=e -2g(x),h′(x)=e -2g′(x)=e - x = x ,当 0<x<2
x x x x

时,h′(x)<0,当 x>2 时,h′(x)>0,所以 h(x)≥h(2)=0.即 f′(x)≥0, 所以当 x>0 时,f(x)单调递增,f(x)既无最大值也无最小值. 答案:D 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) x 7.函数 f(x)=lnx的单调递减区间是________.
? ?lnx-1<0, lnx-1 解析:f′(x)= ln2x ,令 f′(x)<0,得? ∴0<x<1 或 ?lnx≠0, ?

1<x<e,故函数的单调递减区间是(0,1)和(1,e). 答案:(0,1),(1,e) 8. 已知函数 f(x)=x3+3mx2+nx+m2 在 x=-1 时有极值 0, 则m +n=________. 解析:∵f′(x)=3x2+6mx+n, ∴由已知可得

3 2 2 ? ?f?-1?=?-1? +3m?-1? +n?-1?+m =0, ? 2 ?f′?-1?=3×?-1? +6m?-1?+n=0, ?

?m=1 ?m=2 ? ? ∴? ,或? , ?n=3 ?n=9 ? ? ? ?m=1 当? ,时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0 恒成立与 x= ?n=3 ?

-1 是极值点矛盾,
? ?m=2 当? ,时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),显然 x= ? ?n=9

-1 是极值点,符合题意,∴m+n=11. 答案:11 9.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=2,f′(x)<0,则不等式 f(x2)<x2+1 的解集为________. 解析:设 F(x)=f(x)-x,F′(x)=f′(x)-1<0,则 F(x)在 R 上单 调递减, ∵f(x2)<x2+1,∴F(x2)<1=F(1),∴x2>1,∴x>1 或 x<-1,即解 集为{x|x>1 或 x<-1}. 答案:{x|x>1 或 x<-1} 三、解答题(共 55 分,解答应写出必要的文字说明、演算步骤或 证明过程) 1 10.(15 分)已知函数 f(x)=ax2+blnx 在 x=1 处有极值2. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 y=f(x)的单调区间.

1 b 1 ?f?1?=2, 解: (1)f′(x)=2ax+x.又 f(x)在 x=1 处有极值2.得? ?f′?1?=0,

?a=1, 即? 2 ?2a+b=0.

1 解之得 a=2,b=-1.

1 (2)由(1)可知 f(x)=2x2-lnx,其定义域是(0,+∞),且 f′(x)=x 1 ?x+1??x-1? -x= . x 由 f′(x)<0,得 0<x<1;由 f′(x)>0,得 x>1. 所以函数 y=f(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(1,+∞). 11 . (20 分 ) 已 知 函 数 f(x) = ln|x|(x≠0) , 函 数 g(x) = af′(x)(x≠0). (1)求函数 y=g(x)的表达式; (2)若 a>0,函数 y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是 2,求 a 的值. 解:(1)因为 f(x)=ln|x|,所以当 x>0 时,f(x)=lnx,当 x<0 时,f(x) =ln(-x). 1 所以当 x>0 时,f′(x)=x, 当 x<0 时,f′(x)= 1 1 · (-1)=x. -x 1 + f′?x?

a 所以当 x≠0 时,函数 y=g(x)=x+x. a (2)由(1)知, 当 x>0 时, g(x)=x+x.所以当 a>0, x>0 时, g(x)≥2 a, 当且仅当 x= a时取等号. 所以函数 y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是 2 a.

所以 2 a=2.解得 a=1. ——创新应用—— 12.(20 分)(2013· 江苏卷)设函数 f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其 中 a 为实数. (1)若 f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且 g(x)在(1,+∞)上有最 小值,求 a 的取值范围; (2)若 g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求 f(x)的零点个数, 并证明你的结论. 1-ax 1 解:(1)令 f′(x)=x-a= x <0,考虑到 f(x)的定义域为(0,+ ∞),故 a>0,进而解得 x>a-1,即 f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数. 同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数. 由于 f(x)在(1,+∞)上是单调减函数, 故(1,+∞)?(a-1,+∞), 从而 a-1≤1,即 a≥1. 令 g′(x)=ex-a=0,得 x=lna.当 x<lna 时,g′(x)<0;当 x>lna 时,g′(x)>0. 又 g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以 lna>1,即 a>e. 综上,有 a∈(e,+∞). (2)当 a≤0 时,g(x)必为单调增函数;当 a>0 时,令 g′(x)=ex -a>0, 解得 a<ex,即 x>lna,因为 g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数, 类似(1)有 lna≤-1,即 0<a≤e-1. 结合上述两种情况,有 a≤e-1. 1 (ⅰ)当 a=0 时,由 f(1)=0 以及 f′(x)=x>0,得 f(x)存在唯一的

零点. (ⅱ)当 a<0 时,由于 f(ea)=a-aea=a(1-ea)<0,f(1)=-a>0,且 函数 f(x)在[ea,1]上的图象不间断,所以 f(x)在(ea,1)上存在零点. 1 另外,当 x>0 时,f′(x)=x-a>0,故 f(x)在(0,+∞)上是单调 增函数,所以 f(x)只有一个零点. 1 (ⅲ)当 0<a≤e-1 时,令 f′(x)=x -a=0,解得 x=a-1. 当 0<x<a-1 时,f′(x)>0, 当 x>a-1 时,f′(x)<0,所以,x=a-1 是 f(x)的最大值点,且最大 值为 f(a-1)=-lna-1. ①当-lna-1=0,即 a=e-1 时,f(x)有一个零点 x=e. ②当-lna-1>0,即 0<a<e-1 时,f(x)有两个零点. 实际上,对于 0<a<e-1,由于 f(e-1)=-1-ae-1<0,f(a-1)>0,且 函数 f(x)在[e-1,a-1]上的图象不间断,所以 f(x)在(e-1,a-1)上存在零 点. 1 另外,当 x∈(0,a-1)时,f′(x)=x-a>0,故 f(x)在(0,a-1)上是 单调增函数,所以 f(x)在(0,a-1)上只有一个零点. 下面考虑 f(x)在(a-1, +∞)上的情况. 先证 f(ea-1)=a(a-2-ea-1)<0. 为此,我们要证明:当 x>e 时,ex>x2. 设 h(x)=ex-x2,则 h′(x)=ex-2x,再设 l(x)=h′(x)=ex-2x, 则 l′(x)=ex-2. 当 x>1 时,l′(x)=ex-2>e-2>0,所以 l(x)=h′(x)在(1,+∞) 上是单调增函数.故当 x>2 时,h′(x)=ex-2x>h′(2)=e2-4>0, 从而 h(x)在(2,+∞)上是单调增函数,进而当 x>e 时,h(x)=ex -x2>h(e)=ee-e2>0,

即当 x>e 时,ex>x2. 当 0<a<e-1,即 a-1>e 时,f(ea-1)=a-1-aea-1=a(a-2-ea-1)<0, 又 f(a-1)>0,且函数 f(x)在[a-1,ea-1]上的图象不间断,所以 f(x) 在(a-1,ea-1)上存在零点. 1 又当 x>a-1 时,f′(x)=x-a<0, 故 f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数,所以 f(x)在(a-1,+∞)上 只有一个零点. 综合(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ),当 a≤0 或 a=e-1 时,f(x)的零点个数为 1, 当 0<a<e-1 时,f(x)的零点个数为 2.


推荐相关:

红对勾文科数学课时作业16

红对勾文科数学课时作业16_数学_高中教育_教育专区。课时作业 16 导数的应用(二...答案:A 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) π 7 .若 f(x) = xsinx...


红对勾文科数学课时作业39

红对勾文科数学课时作业39_数学_高中教育_教育专区。课时作业 39 空间几何体的结构...(每小题 5 分,共 15 分) 7.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截...


红对勾文科数学课时作业13

红对勾文科数学课时作业13_数学_高中教育_教育专区。课时作业 13 函数模型及其应用...( x y 4 15 5 17 ) 6 19 7 21 8 23 9 25 10 27 A.一次函数模型...


红对勾文科数学课时作业18

红对勾文科数学课时作业18_数学_高中教育_教育专区。课时作业 18 同角三角函数的...答案:B 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1 7.(tanx+tanx)cos2x ...


红对勾文科数学课时作业41

红对勾文科数学课时作业41_数学_高中教育_教育专区。课时作业 41 空间点、直线、...2× 5× 5 答案:D 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.已知正方体...


红对勾文科数学课时作业37

红对勾文科数学课时作业37_数学_高中教育_教育专区。课时作业 37 合情推理与演绎...答案:A 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.观察下列不等式 1 3 1+...


红对勾文科数学课时作业43

红对勾文科数学课时作业43_数学_高中教育_教育专区。课时作业 43 直线、平面垂直...(每小题 5 分,共 15 分) 7.如图,∠BAC=90° ,PC⊥平面 ABC,则在△...


红对勾文科数学课时作业17

红对勾文科数学课时作业17_理化生_高中教育_教育专区。课时作业 17 任意角和弧度...答案:C 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) y 7.若点 P(x,y)是 ...


红对勾文科数学课时作业2

红对勾文科数学课时作业2_数学_高中教育_教育专区。课时作业 2 命题及其关系、充分...(15 分)已知命题 p:“若 ac≥0,则二次方程 ax2+bx+c=0 没有实根”....


红对勾理科数学课时作业16

红对勾理科数学课时作业16_数学_高中教育_教育专区。课时作业 16 导数的应用(二...? 选 A. 答案:A 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) π 7 .若 f(...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com