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高中数学数形结合思想在高考解题中的应用


数形结合思想在高考解题中的应用 数形结合不仅是一种重要的解题方法,也是一种的思维方法。它在中学数学教学中占有 重要的地位,也是历年高考重点考察的内容之一。在运用数形结合解题时要注意以下两点: (1) “形”中觅“数” :根据形的直观性来寻求数量关系,将几何问题代数化,以数助形, 使问题得到解决; (2) “数”中构“形” :根据代数问题具有的几何特征,进而发现数与形之间的关系,从而 使代数问题几何化,使问题得到解决。 下面通过一些典型例题来说明数形结合思想在解题中的运用。 题型一、集合问题 例 1. (北京 2008 文史类第 1 题)已知集合 A= ?x | ?2 ? x ? 3? , B ? x | x ? ?1或x ? 4 , 则集合 A ? B ? ____________________. 解析:利用数轴表示,可得 A ? B ? ?x | ?2 ? x ? ?1 ? 评注:本题考查集合的基本运算,属容易题。 题型二、函数问题

?

?

。 。

例 2. (海南(宁夏)2008 文史第 10 题)点 P(x,y)在直线 4 x ? 3 y ? 0 上,且 x,y 满足

?14 ? x ? y ? 7 ,则 P 到坐标原点距离的取值范围是__________________.
解 析 : 如 图 , 直 线 4 x ? 3 y ? 0 分 别 与 直 线 x ? y ? ?14, x ? y ? 7 的 交 点 为

P 1 (?6,8), P 2 (3, ?4) 易知 | OP 1 |? 10,| OP 2 |? 5 ,故 | OP | 的取值范围为 ?0,10?

评注:考查两点间的距离公式及分析、解决问题的能力。注意虽然 | OP 1 |? 10,| OP 2 |? 5 , 但 | OP | 的取值范围不是 ?5,10? 。 题型三、三角问题 例 3(重庆 2008 理科第 10 题)函数 f ( x) ? _______________. 解 析

sin x ? 1 (0 ? x ? 2? ) 的值域是 3 ? 2cos x ? 2sin x
式 可 化 为





y??

1 (sin x ? 1)2 (sin x ? 1) 2 (sin x ? 1) =? ?? 2 2 1 ? cos x 2 3 ? 2cos x ? 2sin x (sin x ? 1) ? (cos x ? 1) 1? ( ) 1 ? sin x
1 ? cos x 可理解为动点 (sin x, cos x) 与定点 (1,1) 连线斜率的取值范围, 1 ? sin x
用心 爱心 专心

由数形结合思想得

可求取值范围是 ? 0, ??? ,由此可求得 ?

1 (sin x ? 1) 的值域为 [?1, 0) ,当 1 ? cos x 2 1? ( ) 1 ? sin x

sin x ? 1时, f ( x) ? 0 ,所以值域是 ? ?1,0? 。
评注:本题主要考查利用数形结合研究函数的最值,题目较繁琐,应加强运算能力的培养。 题型四、不等式问题

? x ? 2 y ? 19 ? 0 ? 例 4(山东 2008 理科第 12 题)设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ? 0 , 所表示的平面区域为 ?2 x ? y ? 14 ? 0 ?
M, 使函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象过区域 M 的的取值范围是_______________________. 解析:作二元一次不等式组的可行域如图所示,由题意得 A(1,9), C (3,8)

当 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 过 A(1,9) 时,a 取最大值,此时 a ? 9 ;当 y ? a x ( a ?0 ,a ?1 ) 过

C (3,8) 时, a 取最小值,此时 a ? 2,? 2 ? a ? 9 。
评注:本题考查了线性规划与指数函数,解决本题的关键是正确作图。 题型五、方程问题 例 5(全国 2008 理科第 11 题)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x ? 7 y ? 4 ? 0 和

x ? y ? 2 ? 0 ,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为_______________.
解析:如图,由题意知 l1 : x ? 7 y ? 4 ? 0, l2 x ? y ? 2 ? 0 是等腰三角形两腰所在的直线方程, 因其底边过原点,则设底边所在直线的斜率为 k (k ? 0) 。

1 7 ? ?1 ? k ? k ? 3或k ? ? 1 (舍去) 由 l1 到 BC 边的角等于 BC 到 l2 的角得 k 1? k 3 1? 7 k?

评注:本小题考查了直线到直线的角的公式的应用。 题型六、数列问题 例 6(四川 2008 理科第 16 题)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则
用心 爱心 专心

a4 的最大值为___________.
解析:设等差数列的首项为 a1 ,公差为 d , 则 S4 ? 4a1 ? 6d ? 10, 即 2a1 ? 3d ? 5,

S5 ? 5a1 ? 10d ? 15, 即 a1 ? 2d ? 3.
又 a4 ? a1 ? 3d , 因此 a4 的最大值可转化为在线性约束条件 ?

? 2a1 ? 3d ? 5 限制之下的线性目标函数 ? a1 ? 2d ? 3

的最值问题,作出可行域如下图,可知当 a4 ? a1 ? 3d , 经过点 A(1,1) 时有最大值 4。

评注:本题以等差数列为载体,考查线性规划问题。求解本题转化为线性规划问题是关键, 本题对综合运用知识能力的要求较高。 题型七、解析几何问题 例 7(北京 2008 文史第 19 题)已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上,对角
2 2

线 BD 所在直线的斜率为 1。 (1) 当直线 BD 过点 (0,1) 时,求直线 AC 的方程; (2) 当 ?ABC ? 60 时,求菱形 ABCD 面积的最大值。
?

解析: (1)由题意得直线 BD 的方程为 y ? x ? 1 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD 于是可设直线 AC 的方程为 y ? ? x ? n

? x2 ? 3 y 2 ? 4 2 2 由? ,得 4 x ? 6nx ? 3n ? 4 ? 0. ? y ? ?x ? n
因为 A,C 在椭圆上, 所以 ? ? ?12n ? 64 ? 0, 解得 ?
2

4 3 4 3 ?n? . 3 3

设 A,C 两点坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),

用心

爱心

专心

则 x1 ? x2 ?

3n 3n 2 ? 4 , x1 x2 ? , 2 4

y1 ? ? x1 ? n, y2 ? ? x2 ? n.
所以 y1 ? y2 ?

n . 2

3n n , ). 4 4 3n n 由四边形为菱形可知,点 ( , ) 在直线 y ? x ? 1 上 4 4 n 3n ? 1, 解得 n ? ?2. 所以 ? 4 4
所以 AC 的中点坐标为 ( 所以直线 AC 的方程为 x ? y ? 2 ? 0. (2)因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60 ,
?

所以 | AB |?| BC |?| CA |

所以菱形 ABCD 的面积 S ?

3 | AC |2 , 2
2 2

由(1)可得 | AC | ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ?
2

?3n 2 ? 16 , 2

所以 S ?

3 4 3 4 3 (?3n2 ? 16)(? ?n? ). 4 3 3

所以当 n ? 0, 时菱形 ABCD 面积取得最大值 4 3 。 评注:本题主要考查椭圆的几何性质、菱形的性质等知识,解决本题的关键是利用解析 思路用代数式子来保证题中几何位置关系成立。

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