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2015年陕西省高考数学试卷(理科)


2015 年陕西省高考数学试卷(理科)
一、选择题,共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 1. (5 分) (2015?陕西)设集合 M={x|x =x},N={x|lgx≤0},则 M∪N=( ) A.[0,1] B.(0,1] C.[0,1) D.(﹣∞,1] 2. (5 分) (2015?陕西)某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,

其性别比 例如图所示,则该校女教师的人数为( )
2

A.93

B.123

C.137

D.167

3. (5 分) (2015?陕西)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin ( x+φ)+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )

A.5

B.6
n

C .8
2

D.10 )

4. (5 分) (2015?陕西)二项式(x+1) (n∈N+)的展开式中 x 的系数为 15,则 n=( A.7 B.6 C .5 D.4 5. (5 分) (2015?陕西)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

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A.3π

B.4π

C.2π+4

D.3π+4

6. (5 分) (2015?陕西)“sinα=cosα”是“cos2α=0”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7. (5 分) (2015?陕西)对任意向量 、 ,下列关系式中不恒成立的是( A. | C. ( |≤| || | ) =|
2



B.
2

|

|≤|| |﹣| || )?( )=
2

|

D. (



2

8. (5 分) (2015?陕西)根据如图框图,当输入 x 为 2006 时,输出的 y=(



A.2

B.4

C.10

D.28

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9. (5 分) (2015?陕西)设 f(x)=lnx,0<a<b,若 p=f( +f(b) ) ,则下列关系式中正确的是( A.q=r<p B.p=r<q ) C.q=r>p

) ,q=f(

) ,r= (f(a)

D.p=r>q

10. (5 分) (2015?陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A、B 两种原料.已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示. 如果生产一吨甲、 乙产品可获得利润 分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( ) 甲 乙 原料限额 3 2 12 A(吨) 1 2 8 B(吨) A.12 万元 B.16 万元 C.17 万元 D.18 万元 )

11. (5 分) (2015?陕西)设复数 z=(x﹣1)+yi(x,y∈R) ,若|z|≤1,则 y≥x 的概率为( A. B. C. D. + + ﹣ ﹣

12. (5 分) (2015?陕西)对二次函数 f(x)=ax +bx+c(a 为非零整数) ,四位同学分别给出 下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.﹣1 是 f(x)的零点 B. 1 是 f(x)的极值点 C. 3 是 f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线 y=f(x)上

2

二、填空题,共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. (5 分) (2015?陕西)中位数为 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列 的首项为 . 14. (5 分) (2015?陕西)若抛物线 y =2px(p>0)的准线经过双曲线 x ﹣y =1 的一个焦点, 则 p= . 15. (5 分) (2015?陕西)设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 的 切线垂直,则 P 的坐标为 .
x 2 2 2

16. (5 分) (2015?陕西)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面 边界呈抛物线型(图中虚线所示) ,则原始的最大流量与当前最大流量的比值 为 .

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三、解答题,共 5 小题,共 70 分 17. (12 分) (2015?陕西)△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.向量 =(a, b)与 =(cosA,sinB)平行. (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a= ,b=2,求△ ABC 的面积. 18. (12 分) (2015?陕西)如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAD= ,AB=BC=1,

AD=2,E 是 AD 的中点,O 是 AC 与 BE 的交点,将 ABE 沿 BE 折起到 A1BE 的位置,如 图 2. (Ⅰ)证明:CD⊥平面 A1OC; (Ⅱ)若平面 A1BE⊥平面 BCDE,求平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值.

19. (12 分) (2015?陕西)某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T,T 只与道路通畅状 况有关,对其容量为 100 的样本进行统计,结果如下: 30 35 40 T(分钟) 25 30 40 10 频数(次)20 (Ⅰ)求 T 的分布列与数学期望 ET; (Ⅱ)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个 50 分钟的讲座,结束后立即返回老校 区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率.

20. (12 分) (2015?陕西)已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的半焦距为 c,原点 O 到经

过两点(c,0) , (0,b)的直线的距离为 c. (Ⅰ)求椭圆 E 的离心率; (Ⅱ)如图,AB 是圆 M: (x+2) +(y﹣1) = 的一条直径,若椭圆 E 经过 A、B 两点, 求椭圆 E 的方程.
2 2

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21. (12 分) (2015?陕西) 设 fn(x)是等比数列 1,x,x , …,x 的各项和, 其中 x>0,n∈N, n≥2. (Ⅰ) 证明: 函数 F( =f( ﹣2 在 ( , 1) 内有且仅有一个零点 (记为 xn) , 且 xn= + x n x) n x) ;

2

n

(Ⅱ)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为 gn (x) ,比较 fn(x)和 gn(x)的大小,并加以证明.

四、选修题,请在 22、23、24 中任选一题作答,如果多做则按第一题计分.选修 4-1:几 何证明选讲 22. (10 分) (2015?陕西) 如图, AB 切⊙O 于点 B, 直线 AO 交⊙O 于 D, E 两点, BC⊥DE, 垂足为 C. (Ⅰ)证明:∠CBD=∠DBA; (Ⅱ)若 AD=3DC,BC= ,求⊙O 的直径.

五、选修 4-4:坐标系与参数方程

23. (2015?陕西)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,以原

点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为 ρ=2 sinθ. (Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程; (Ⅱ)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标.

六、选修 4-5:不等式选讲 24. (2015?陕西)已知关于 x 的不等式|x+a|<b 的解集为{x|2<x<4} (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)求 + 的最大值.
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2015 年陕西省高考数学试卷(理科)
参考答案

一、选择题,共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 1.A 2.C 3.C 4.B 5.D 6.A 11.D 12.A 二、填空题,共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.5 14.2 15. (1,1) 16.1.2 三、解答题,共 5 小题,共 70 分 17. 18. 19.

7.B

8.C

9. B

10.D

20.

21.

四、选修题,请在 22、23、24 中任选一题作答,如果多做则按第一题计分.选修 4-1:几 何证明选讲 22. 五、选修 4-4:坐标系与参数方程 23. 六、选修 4-5:不等式选讲 24.

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