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1.1直线的倾斜角与斜率


1.1 直线的倾斜角和斜率
一、学习目标 1、探索确定直线位置的几何要素,感受倾斜角这个反映倾斜程度的 几何量的形成过程。 2、通过学习,从生活中的坡度,自然迁移到数学中直线的斜率,感 受数学概念来源于生活实际,数学概念的形成是自然的,从而渗透辩 证唯物主义思想。 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面,刻画直线相对于 x 轴 倾斜程度的两个量这一事实,体会数形结合思

想。 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程,初步掌握过已知两点的直 线的斜率计算公式,体会几何问题代数化的解析几何研究思想。 二、重点与难点 重点:1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念; 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式; 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的 作用。 难点:用代数方法推导斜率的过程。 三、学法 积极探索,亲身经历概念的发现与形成过程,体验公式的推导过 程,主动建构自己的认知结构。 四、学习过程 (一)创设情境,揭示课题
-1-

问题 1、 (出示幻灯片)给出的两点 P、Q 相同吗? 从形的角度看,它们有位置之分,但无大小与形状之分。 从数的角度看,如何区分两个点?(用坐标区分) 问题 2、过这两点可作什么图形?唯一吗?只经过其中一点(如点 P) 可作多少条直线?若只想定出其中的一条直线,除了再用一点外,还 有其他方法吗?可以增加一个什么样的几何量? 由此归纳,确定直线位置可有两种方式 (1)已知直线上两点 (2)已知直线上一点和直线的倾斜程度 问题 3、角的形成还需一条线,也就是说要有刻画倾斜程度的角,就 必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下,以哪条轴 线为基准形成刻画倾斜程度的角? 以 x 轴或 y 轴为基准都可以,习惯上我们用 x 轴。 问题 4、过点 P 与 x 轴形成 45 ? 角的直线有几条?
y L2
· 45


L1 p

135



o

x

选择哪个角来描述直线的倾斜程度, 就能保证坐标系下的任何一 条直线都有唯一的角与它对应呢? 数学概念来刻画事物时,讲求统一美与简洁美,如何用数学语言
-2-

准确描述这个角呢?(揭示课题) 1、倾斜角的定义:在直角坐标系下,以 x 轴为基准,当直线 l 与 x 轴相交时, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 ? ,叫做直线 l 的 倾斜角。 练习画出过点 P 的各种倾斜角的直线。
y o

?

p

l
x

y o

l

y o p

y

?x
l

p

?

p x o

l x

(1)

(2)

(3)

(4)

与 x 轴平行的直线,图(4) ,问倾斜角在哪儿? 如何规定? 规定:当直线 l 与 x 轴平行或重合时,它的倾斜角为 0 ? 。 自然有倾斜角的范围是[0 ? ,180 ? ) 这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角 ? 与它对应。倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等,倾斜程度不同的直 线,其倾斜角不相等。 以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内 一条直线的倾斜程度。 (二)巩固旧知,同化新知 生活中,我们都有过爬山、爬坡的体验,对于斜坡的倾斜程度, 可以用什么量来反映?(坡角与坡度) 初中对坡度是如何定义的?
-3-

升高量 坡度(比)= 前进量

(即坡角 ? 的正切值)

当坡角 ? 增大时,坡度如何变化? 当坡角 ? =90 ? 与 0 ? 时, 升高量、 前进量分别是什么?坡度又分别 是什么? 坡角、坡度都能反映倾斜程度,迁移到数学中,坡角相当于直线 的倾斜角,而坡度则对应于直线的斜率。 2、斜率:倾斜角不是 90 ? 的直线,其倾斜角的正切值叫做这条 直线的斜率。即 k ? tan?(? ? 90? ) 问 题 5 、 当 ? 在 [0
?

, 180

?

) 内 变 化 时 , 斜 率

y o

?

p

l
x

y p o

l

y o p

y

?x

?x

p

o

l x

l

0°<

?<

90°

?

= 90°

90°<

?

<180°

? = 0°
k=0

k >0

k不存在

k<0

问题 6、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度,哪个量更优越呢? 倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度, 而斜率是比值, 实质是数值, 它能从数的角度反映倾斜的程度,显然用斜率更细致入微些。 (三)斜率公式在平面直角坐标系中,已知直线上两点 P1(x1,y1) ,
-4-

P2(x2,y2)且 x1 ? x2,则直线斜率 k ?

y 2 ? y1 x2 ? x1

巩固练习:求经过下列两点直线的斜率,并判断倾斜角是锐角还是钝 角。 (1)A(3,2),B(-4,1) ( k AB ? ) (2)A(3,2),B(4,1) ( k AB ? ?1 ) (3)A(3,2),B(3,-1) (不存在) (4)A(3,2),B(-4,2) ( k AB ? 0 ) (四)反思小结,概括提炼 1、明确了确定直线位置的几何要素。 2、理解了刻画倾斜程度的量(倾斜角与斜率) ,知道了求斜率的 两种方法(定义法、坐标法)
1 7

k ? tan ? ?

y ?y x ?x
2 2

1 1

3、 经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论 的数学思想 (五)作业:课本 P63 3、4、5

-5-


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