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2014年人教A版选修4-5教案 一 比较法


一 比较法
目的要求: 掌握证明不等式的基本的解法之----比较法。 重点难点: 掌握作差比较和作商比较各自的使用情景 教学设计: 目的: 以不等式的等价命题为依据, 揭示不等式的常用证明方法之一——比较法, 要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 过程: 一、复习: 不等式的一个等价命题:

要证明 a ? b, 最 基 本的方法就是证明 a ? b ? 0.即把不等式两边相减 , 转化为 比较差与0的大小 .
二、作差法: 1. 例1 已知a, b都是正数, 且a ? b, 求证a 3 ? b 3 ? a 2b ? ab2 .

分析 可以把不等式两边相减 , 通过适当的恒等变形 , 转化为一个能够明确确 定正负的代数式 . 2. 例2. 如果用 a kg白糖制出b kg 糖溶液 , 则其浓度为 a . 若在上述溶液中再添 b a?m 加 m kg 白糖 , 此时浓液的浓度增加到 , 将这个事实抽象为数学 问题, b?m 并给出证明.
已知 a, b, m 都是正数,并且 a < b,求证: 证:
a?m a ? b?m b

a ? m a b(a ? m) ? a(b ? m) m(b ? a) ? ? ? b?m b b(b ? m) b(b ? m)

∵a,b,m 都是正数,并且 a<b,∴b + m > 0 , ∴
m(b ? a) ?0 b(b ? m)

b?a>0

即:

a?m a ? b?m b

变式:若 a > b,结果会怎样?若没有“a < b”这个条件,应如何判断? 3.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度 m 行 走,另一半时间以速度 n 行走;有一半路程乙以速度 m 行走,另一半路程 以速度 n 行走,如果 m ? n,问:甲乙两人谁先到达指定地点? 解:设从出发地到指定地点的路程为 S,甲乙两人走完全程所需时间 分别是 t1, t2, 则
t1 t m ? 1 n ? S, 2 2 S S ? ? t2 2m 2n

可得: t1 ? ∴ t1 ? t 2 ?

2S S ( m ? n) , t2 ? m?n 2mn

2S S (m ? n) S[4m n ? (m ? n) 2 ] S (m ? n) 2 ? ? ?? m?n 2m n 2(m ? n)m n 2m n(m ? n)
即:t1 < t2

∵S, m, n 都是正数,且 m ? n,∴t1 ? t2 < 0 从而:甲先到到达指定地点。 变式:若 m = n,结果会怎样? 三、作商法

例3 已知a, b是正数, 求证a a bb ? a b b a ,当且仅当a ? b时, 等号成立 .

分析 由于a, b 是正数, 所以不等式两边都是正 数 .由于要证的不等式两边 都是指数形式 , 把它 们相除并考察商式与 1的大小关系比较方便 .
作商法步骤与作差法同,不过最后是与 1 比较。 小结: ? ? ? ? 比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法,用比较法证明 不等式的步骤是: 作差—变形—判断符号—下结论。 作商—变形—与 1 比较大小---下结论。 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。



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