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广东省深圳市北大附中深圳南山分校高中部2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析


广东省深圳市北大附中深圳南山分校高中部 2014-2015 学年高二 上学期第一次月考数学试卷(理科)
一.选择题(本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3?a9=2a5 ,a2=1,则 a1=() A. B. C. D.2
2

2. (5 分)已知{an}为等差数列

,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20 等于() A.﹣1 B. 1 C. 3 D.7

3. (5 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 A.2 B. C.

=3,则

=()

D.3

4. (5 分)已知△ ABC 中,tanA=﹣ A. B.

,那么 cosA 等于() C. ﹣ D.﹣

5. (5 分)公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S8=32, 则 S10 等于() A.18 B.24 C.60 D.90 6. (5 分)已知等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,…,且 a5?a2n﹣5=2 (n≥3) ,则当 n≥1 时, log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=() 2 2 2 A.n(2n﹣1) B.(n+1) C. n D.(n﹣1) 7. (5 分)在△ ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是() A.b=10,A=45°,C=70° B. a=60,c=48,B=60° C. a=7,b=5,A=80° D.a=14,b=16,A=45° 8. (5 分)若 a>0,b>0,则不等式﹣b< <a 等价于() A. <x<0 或 0<x< B. ﹣ <x< D.x< 或 x>
2n

C. x<﹣ 或 x>

二.填空题(本大题共 6 个小题;每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分)不等式 x ﹣5x+6≤0 的解集为.
2

10. (5 分)已知等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且

,则

=.

11. (5 分)已知数列{an}中,a1=1,an+1=

,则{an}的通项公式 an=.

12. (5 分)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以 Sn 表示{an}的前项和,则 使得 Sn 达到最大值的是. 13. (5 分)已知数列{an}满足:a4n﹣3=1,a4n﹣1=0,a2n=an,n∈N ,则 a2014=. 14. (5 分) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 S4, S8﹣S4, S12﹣S8, S16﹣S12 成等差数列. 类 比以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4, , , 成等比数列.
*

三.解答题(本大题共 6 个小题;共 80 分) 15. (12 分)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 a ﹣c =2b,且 sinAcosC=3cosAsinC,求 b. 16. (14 分)已知等差数列{an}中,a3a7=﹣16,a4+a6=0,求{an}前 n 项和 sn. 17. (12 分)数列{an}中,a1= ,前 n 项和 Sn 满足 Sn+1﹣Sn=( ) (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn; (Ⅱ)若 S1,t(S1+S2) ,3(S2+S3)成等差数列,求实数 t 的值. 18. (14 分) 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 所对应的边分别为 a、 b、 c, 且满足 (Ⅰ)求△ ABC 的面积; (Ⅱ)若 b+c=6,求 a 的值. 19. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=﹣an﹣( )
n n﹣1 n+1 2 2

(n∈N ) .

*

=

, ?

=3.

+2(n 为正整数) .

(Ⅰ)令 bn=2 an,求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令 cn= an,Tn=c1+c2+…+cn,求证:1≤Tn≤3.

20. (14 分)在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+ )an+ (1)设 bn= ,求数列{bn}的通项公式;



(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

广东省深圳市北大附中深圳南山分校高中部 2014-2015 学 年高二上学期第一次月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3?a9=2a5 ,a2=1,则 a1=() A. B. C. D.2
2

考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设等比数列的公比为 q,根据等比数列的通项公式把 a3?a9=2a 5 化简得到关于 q 的方 程,由此数列的公比为正数求出 q 的值,然后根据等比数列的性质,由等比 q 的值和 a2=1 即 可求出 a1 的值. 2 8 4 2 解答: 解:设公比为 q,由已知得 a1q ?a1q =2(a1q ) , 2 即 q =2,又因为等比数列{an}的公比为正数, 所以 q= ,故 a1= .
2

故选 B. 点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值,是一道中 档题. 2. (5 分)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20 等于() A.﹣1 B. 1 C. 3 D.7 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据已知条件和等差中项的性质可分别求得 a3 和 a4 的值,进而求得数列的公差,最 后利用等差数列的通项公式求得答案. 解答: 解:由已知得 a1+a3+a5=3a3=105, a2+a4+a6=3a4=99, ∴a3=35,a4=33,∴d=a4﹣a3=﹣2.

∴a20=a3+17d=35+(﹣2)×17=1. 故选 B 点评: 本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用.解题的关键是利用 等差数列中等差中项的性质求得 a3 和 a4.

3. (5 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 A.2 B. C.

=3,则

=()

D.3

考点: 等比数列的前 n 项和. 分析: 首先由等比数列前 n 项和公式列方程,并解得 q ,然后再次利用等比数列前 n 项和 公式则求得答案.
3

解答: 解:设公比为 q,则

=

=

=1+q =3,

3

所以 q =2, 所以 = = = .

3

故选 B. 点评: 本题考查等比数列前 n 项和公式. 4. (5 分)已知△ ABC 中,tanA=﹣ A. B. ,那么 cosA 等于() C. ﹣ D.﹣

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 tanA 的值及 A 为三角形内角,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosA 的值即 可. 解答: 解:∵在△ ABC 中, tanA=﹣ ∴cosA=﹣ =﹣ . ,

故选:C. 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

5. (5 分)公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S8=32, 则 S10 等于() A.18 B.24 C.60 D.90 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由等比中项的定义可得 a4 =a3a7,根据等差数列的通项公式及前 n 项和公式,列方程 解出 a1 和 d,进而求出 s10. 解答: 解:∵a4 是 a3 与 a7 的等比中项, 2 ∴a4 =a3a7, 2 即(a1+3d) =(a1+2d) (a1+6d) , 整理得 2a1+3d=0,① 又∵ ,
2

整理得 2a1+7d=8,② 由①②联立,解得 d=2,a1=﹣3, ∴ ,

故选:C. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式和等比中项的定义,比较简单. 6. (5 分)已知等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,…,且 a5?a2n﹣5=2 (n≥3) ,则当 n≥1 时, log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=() 2 2 2 A.n(2n﹣1) B.(n+1) C. n D.(n﹣1) 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 先根据 a5?a2n﹣5=2 ,求得数列{an}的通项公式,再利用对数的性质求得答案. 2n 2 解答: 解:∵a5?a2n﹣5=2 =an ,an>0, n ∴an=2 , ∴log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=log2(a1a3…a2n﹣1)=log22
1+3+…+(2n﹣1) 2n 2n

=log2

=n .

2

故选:C. 点评: 本题考查等比数列的通项公式和性质,涉及对数的运算,属基础题. 7. (5 分)在△ ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是() A.b=10,A=45°,C=70° B. a=60,c=48,B=60° C. a=7,b=5,A=80° D.a=14,b=16,A=45° 考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: A、由 A 和 C 的度数,利用三角形内角和定理求出 B 的度数,再由 b 的值,利用正 弦定理求出 a 与 c,得到此时三角形只有一解,不合题意;

B、由 a,c 及 cosB 的值,利用余弦定理列出关系式,得到 b 小于 0,无解,此时三角形无解, 不合题意; C、由 a,b 及 sinA 的值,利用正弦定理求出 sinB 的值,由 a 大于 b 得到 A 大于 B,可得出此 时 B 只有一解,不合题意; D、由 a,b 及 sinA 的值,利用正弦定理求出 sinB 的值,由 a 小于 b 得到 A 小于 B,可得出此 时 B 有两解,符合题意. 解答: 解:A、∵A=45°,C=70°, ∴B=65°,又 b=10, ∴由正弦定理 = = 得:a= = ,c= ,

2

此时三角形只有一解,不合题意; B、∵a=60,c=48,B=60°, 2 2 2 ∴由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB=3600+2304﹣2880=3024>0, ∴此时三角形有一解,不合题意; C、∵a=7, b=5,A=80°, ∴由正弦定理 = 得:sinB= ,

又 b<a,∴B<A=80°, ∴B 只有一解,不合题意; D、∵a=14,b=16,A=45°, ∴由正弦定理 = 得:sinB= = > ,

∵a<b,∴45°=A<B, ∴B 有两解,符合题意, 故选 D 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形的边角关系,以及三角形的内角和定理,熟练 掌握正弦、余弦定理是解本题的关键.

8. (5 分)若 a>0,b>0,则不等式﹣b< <a 等价于() A. <x<0 或 0<x< B. ﹣ <x< D.x< 或 x>

C. x<﹣ 或 x>

考点: 不等关系与不等式. 专题: 计算题. 分析: 由题意不等式﹣b< <a,然后再进行等价变换,进行移项、通分,然后进行求解. 解答: 解:

故选 D. 点评: 此题考查不等关系与不等式的性质,解题的关键是利用已知条件进行通分. 二.填空题(本大题共 6 个小题;每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分)不等式 x ﹣5x+6≤0 的解集为{x|2≤x≤3}. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 把不等式的左边分解因式后,根据两数相乘的取符号法则:同号得正,异号得负, 转化为两个一元一次不等式组,求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集. 2 解答: 解:不等式 x ﹣5x+6≤0, 因式分解得: (x﹣2) (x﹣3)≤0, 可化为: 或 ,
2

解得:2≤x≤3, 则原不等式的解集为{x|2≤x≤3}. 故答案为:{x|2≤x≤3}. 点评: 本题主要考查了一元二次不等式的解法,考查了转化的数学思想,同时考查了计算 能力,属于基础题之列.

10. (5 分)已知等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且

,则

=



考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用 = = = ,即可得出结论.

解答: 解:

=

=

=

=



故答案为:



点评: 本题考查等差数列的性质,考查学生的计算能力,比较基础.

11. (5 分)已知数列{an}中,a1=1,an+1=

,则{an}的通项公式 an=



考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 将所给的式子变形得:﹣2an+1?an=an+1﹣an,两边除以 an+1?an 后,根据等差数列的定 义,构造出新的等差数列{ },再代入通项公式求出 ,再求出 an.

解答: 解:由题意得 an+1= 两边除以 an+1?an 得, ∴数列{ ∴

,则﹣2an+1?an=an+1﹣an, =2,

}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,

=1+(n﹣1)×2=2n﹣1, , .

则 an= 故答案为:

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意构造法的合 理运用,是中档题. 12. (5 分)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以 Sn 表示{an}的前项和,则 使得 Sn 达到最大值的是 20. 考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 利用等差数列的通项公式表示出特设中的等式,联立求得 a1 和 d,进而求得 a20>0, a21<0,判断数列的前 20 项为正,故可知数列的前 20 项的和最大. 解答: 解:设等差数列公差为 d,则有 解得 a1=39,d=﹣2

∴a20=39﹣2×19=1>0,a21=39﹣2×20=﹣1<0 ∴数列的前 20 项为正, ∴使得 Sn 达到最大值的是 20 故答案为 20 点评: 本题主要考查了等差数列的性质.解题的关键是判断从数列的哪一项开始为负. 13. (5 分)已知数列{an}满足:a4n﹣3=1,a4n﹣1=0,a2n=an,n∈N ,则 a2014=0.
*

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 a2n=an,n∈N ,可得 a2014=a1007,而 a4n﹣1=0,可得 a1007=a4×252﹣1. * 解答: 解:∵a4n﹣3=1,a4n﹣1=0,a2n=an,n∈N , ∴a2014=a1007=a4×252﹣1=0. 故答案为:0. 点评: 本题考查了通过观察分析求数列得出通项公式,考查了推理能力,属于基础题. 14. (5 分) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 S4, S8﹣S4, S12﹣S8, S16﹣S12 成等差数列. 类 比以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4, , , 成等比数列.
*

考点: 类比推理;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和差有关,等比数列与积商有 关, 因此当等差数列依次每 4 项之和仍成等差数列时, 类比到等比数列为依次每 4 项的积的商 成等比数列.下面证明该结论的正确性. 解答: 解:设等比数列{bn}的公比为 q,首项为 b1, 4 6 8 1+2++7 8 28 则 T4=b1 q ,T8=b1 q =b1 q , 12 1+2++11 12 66 T12=b1 q =b1 q , ∴ =b1 q ,
4 22

=b1 q ,

4 38

即(

)=

2

?T4,故 T4,



成等比数列.

故答案为: 点评: 本题主要考查类比推理,类比推理一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或者一 致性.②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想) . 三.解答题(本大题共 6 个小题;共 80 分) 2 2 15. (12 分)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 a ﹣c =2b,且 sinAcosC=3cosAsinC,求 b. 考点: 余弦定理;余弦定理的应用. 2 2 分析: 根据正弦定理和余弦定理将 sinAcosC=3cosAsinC 化成边的关系,再根据 a ﹣c =2b 即可得到答案. 解答: 解:法一:在△ ABC 中∵sinAcosC=3cosAsinC, 则由正弦定理及余弦定理有: ,

化简并整理得:2(a ﹣c )=b . 2 2 2 又由已知 a ﹣c =2b∴4b=b . 解得 b=4 或 b=0(舍) ; 2 2 2 法二:由余弦定理得:a ﹣c =b ﹣2bccosA. 2 2 又 a ﹣c =2b,b≠0. 所以 b=2ccosA+2①又 sinAcosC=3cosAsinC, ∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin(A+C)=4cosAsinC, 即 sinB=4cosAsinC 由正弦定理得 ,

2

2

2

故 b=4ccosA②由①,②解得 b=4. 点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用.属基础题. 16. (14 分)已知等差数列{an}中,a3a7=﹣16,a4+a6=0,求{an}前 n 项和 sn. 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 方程思想. 分析: 利用等差数列的通项公式,结合已知条件列出关于 a1,d 的方程组,求出 a1、d,进 而代入等差数列的前 n 项和公式求解即可. 解答: 解:设{an}的公差为 d,则 ,





解得



因此 Sn=﹣8n+n(n﹣1)=n(n﹣9) ,或 Sn=8n﹣n(n﹣1)=﹣n(n﹣9) . 点评: 本题考查等差数列的通项公式及求和公式运用能力,利用方程的思想可求解.
n+1

17. (12 分)数列{an}中,a1= ,前 n 项和 Sn 满足 Sn+1﹣Sn=( ) (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn; (Ⅱ)若 S1,t(S1+S2) ,3(S2+S3)成等差数列,求实数 t 的值.

(n∈N ) .

*

考点: 等比数列的通项公式;等比数列的前 n 项和;等差关系的确定. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)根据 an+1=Sn+1﹣Sn 求得 an+1 进而根据 a1 求得数列{an}的通项公式,根据等比 数列的求和公式求得前 n 项的和. (Ⅱ)根据求得(1)的前 n 项和的公式,求得 S1,S2,S3,进而根据等差中项的性质求得 t. 解答: 解: (Ⅰ)由 Sn+1﹣Sn=( )n+1 得 又 ,故 (n∈N*) (n∈N*) ;

从而

(n∈N*) .

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得





. ,

从而由 S1,t(S1+S2) ,3(S2+S3)成等差数列可得: 解得 t=2. 点评: 本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式.属基础题. 18. (14 分) 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 所对应的边分别为 a、 b、 c, 且满足 (Ⅰ)求△ ABC 的面积; (Ⅱ)若 b+c=6,求 a 的值. 考点: 二倍角的余弦;平面向量数量积的运算;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用二倍角公式利用 = 求得 cosA,进而求得 sinA,进而根据

=

, ?

=3.

求得 bc 的值,进而根据三角形面积公式求得答案. (Ⅱ)根据 bc 和 b+c 的值求得 b 和 c,进而根据余弦定理求得 a 的值. 解答: 解: (Ⅰ)因为 , 又由 , ,∴

得 bccosA=3,∴bc=5, ∴ (Ⅱ)对于 bc=5,又 b+c=6, ∴b=5,c=1 或 b=1,c=5, 2 2 2 由余弦定理得 a =b +c ﹣2bccosA=20,∴ 点评: 本题主要考查了解三角形的问题.涉及了三角函数中的倍角公式、余弦定理和三角 形面积公式等,综合性很强.
n﹣1

19. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=﹣an﹣( )
n

+2(n 为正整数) .

(Ⅰ)令 bn=2 an,求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令 cn= an,Tn=c1+c2+…+cn,求证:1≤Tn≤3.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件推导出 数列{bn}是等差数列,并能求出数列{an}的通项公式. (Ⅱ)由 =(n+1) ( ) ,利用错位相减法得 中,
n

,由

,得 bn=bn﹣1+1,所以

,由此能证明 1≤Tn≤3.

解答: (1)解:在 令 n=1,得 S1=﹣a1﹣1+2=a1,解得 a1= , 当 n≥2 时,Sn﹣1=﹣an﹣1﹣( ) ∴ ∴ ∵ ,即 ,∴bn=bn﹣1+1,
n﹣2

+2, , ,

即当 n≥2 时,bn﹣bn﹣1=1, 又 b1=2a1=1, ∴数列{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列, ∴ ∴ . =(n+1) ( ), , , 两式相减,得:
n

=1﹣(n﹣1)×1=n,

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得 ∴

=1+

﹣(n+1) ( )

n+1

= ∴ ∵

, , ,∴ ,





∴Tn 是关于 n 的增函数, ∴Tn>T1=1,∴1≤Tn≤3. 点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意错 位相减法的合理运用. 20. (14 分)在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+ )an+ (1)设 bn= ,求数列{bn}的通项公式; .

(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)由已知得 (2)由题设知 an=2n﹣ Tn=1+ + + +…+ = + ,即 bn+1=bn+ ,由此能够推导出所求的通项公式.

,故 Sn=(2+4+…+2n)﹣(1+ + ,由错位相减法能求出 Tn=4﹣

+

+…+

) ,设

.从而导出数列{an}的前 n

项和 Sn. 解答: 解: (1)由已知得 b1=a1=1,且 即 bn+1=bn+ b3=b2+ bn=bn﹣1+ 于是 bn=b1+ + 又 b1=1, 故所求的通项公式为 bn=2﹣ (2)由(1)知 an=2n﹣ , + ,① +…+ ) , . , (n≥2) . +…+ =2﹣ (n≥2) . ,从而 b2=b1+ , = + ,

故 Sn=(2+4+…+2n)﹣(1+ + 设 Tn=1+ + + +…+

Tn= +

+

+…+

+

,②

①﹣②得, Tn=1+ + + +…+ ﹣

=



=2﹣





∴Tn=4﹣

. ﹣4.

∴Sn=n(n+1)+

点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法,解题时要注意错位相减法的合理运用.


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