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湖南省衡阳市耒阳实验中学2015-2016学年八年级数学上学期第二次月考试题(含解析) 新人教版


湖南省衡阳市耒阳实验中学 2015-2016 学年八年级数学上学期第二 次月考试题
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.下列计算中正确的是( ) 2 3 5 4 4 2 4 8 A.a +b =2a B.a ÷a=a C.a a =a 2.如图:那么

D.(﹣a ) =﹣a )

2

3

/>
6

的结果是(

A.﹣2b B.2b C.﹣2a D.2a 2 2 3.计算(x﹣a)(x +ax+a )的结果是( ) 3 2 3 3 3 A.x +2ax ﹣a B.x ﹣a 3 2 3 3 2 2 3 C.x +2a x﹣a D.x +2ax +2a x﹣a 4.若一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限,则 k、b 的取值范围是( A.k>0,b>0 5.已知|a|=5, B.k>0,b<0 C.k<0,b<0 D.k<0,b>0 )



=7,且|a+b|=a+b,则 a﹣b 的值为(

A.2 或 12 B.2 或﹣12 C.﹣2 或 12 D.﹣2 或﹣12 x y x+y 6.若 3 =a,3 =b,则 3 等于( ) A. B.ab C.2ab D.a+ 7.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含 x 的一次项,则 m 的值为( ) A.﹣3 B.3 C.0 D.1 2 2 8.已知 x +kxy+64y 是一个完全平方式,则 k 的值是( ) A.8 B.±8 C.16 D.±16 9. 三角形三个内角的度数比是 1: 2: 3, 它们的最大边的长等于 16, 则最小边的长为 ( A.4 B.2 C.8 D.6 10.有如下命题: ①负数没有立方根; ②一个实数的立方根不是正数就是负数; ③一个正数或负数的立方根与这个数同号; ④如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数是 1 或 0. 其中错误的是( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 二、填空题(每小题 3 分,共 30 分) 11. 的立方是 小于 的整数是 . .



12.大于

1

13.若

,则 x+y=

. .

14.如果一个数的平方根是(﹣a+3)和(2a﹣15),则这个数为 15.计算:(a+2b)(a﹣2b)= . 16.已知三点(﹣2,5)、(m,11)、(﹣9,﹣9)在同一条直线上,则 m= 17.一次函数 y=﹣x+2 图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为

. .

18.一个一次函数的图象与直线 y=﹣2x+1 平行,且经过点(﹣2,﹣6),则这个一次函数 的解析式为 . 19.若一次函数 y=kx+2 经过点(﹣2,﹣4),则 k= . 20.若 P 关于 x 轴的对称点为(3,a),关于 y 轴对称的点为(b,2),则 P 点的坐标 为 . 三、计算题 21.计算 (1) (2)| |+
2


2 2

+4.
2

22.先化简,再求值:4(x +y)(x ﹣y)﹣(2x ﹣y) +5,其中 x=2,y=﹣5. 23.解方程 2 (1)(x﹣1) ﹣(x﹣1)(x+5)=17 (2)已知 a、b 满足 +|b﹣ |=0,解关于 x 的方程(a+2)x+b =a﹣1.
2

四、证明题(5 分) 24.如图,AB∥CD,且 AO=CO.求证:AB=CD.

五、解答题(每小题 6 分,共 30 分) 25.如图所示,若△ABC 和△ADE 都是等边三角形,线段 BD=10cm,试求线段 CE 的长,并说 明理由.

2

26.有﹣块边长为 a m 的正方形空地,现准备将这块空地的四周均留出 b m 宽修筑围坝,中 间建喷水池.请计算出喷水池的面积. 27.已知点 A(2x+y,﹣7)与点 B(4,4y﹣x)关于 x 轴对称,试求(x+y)的值. 28.已知 w﹣5 与 x 成正比例,且当 x=3 时,w=﹣4,求: (1)w 与 x 之间的函数关系式. (2)这个函数图象与 x 轴交点的横坐标. 29.如图,直线 y=kx+6 与 x 轴、y 轴分别交于点 E、F,点 E 的坐标为(﹣3,0),点 A 的 坐标为(﹣2.5,0). (1)求 k 的值; (2)若点 P (x,y) 是第二象限内的直线上的一个动点, 在点 P 的运动过程中, 试写出△OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)探究:当点 P 运动到什么位置(求点 P 的坐标)时,△OPA 的面积为 5,并说明理由.

2015-2016 学年湖南省衡阳市耒阳实验中学八年级(上)第二次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.下列计算中正确的是( ) 2 3 5 4 4 2 4 8 2 3 6 A.a +b =2a B.a ÷a=a C.a a =a D.(﹣a ) =﹣a 【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 【分析】根据合并同类项,可判断 A;根据同底数幂的除法,可判断 B;根据同底数幂的乘 法,可判断 C;根据积的乘方,可判断 D. 【解答】解:A、不是同类项不能合并,故 A 错误; B、同底数幂的除法底数不变指数相减,故 B 错误; C、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故 C 错误; D、积的乘方等于乘方的积,故 D 正确; 故选:D.

3

【点评】本题考查了积的乘方,积的乘方等于每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.

2.如图:那么

的结果是(



A.﹣2b B.2b C.﹣2a D.2a 【考点】二次根式的性质与化简;实数与数轴. 【分析】根据数轴判断出 a﹣b 以及 a+b 的符号,然后再将原式化简. 【解答】解:由数轴上 a、b 的位置,可知:a﹣b>0,a+b<0; ∴原式=a﹣b﹣(a+b)=﹣2b.故选 A. 【点评】主要考查了根据二次根式的意义化简. 二次根式 规律总结:当 a≥0 时,
2 2

=a;当 a≤0 时,

=﹣a.

3.计算(x﹣a)(x +ax+a )的结果是( ) 3 2 3 3 3 A.x +2ax ﹣a B.x ﹣a 3 2 3 3 2 2 3 C.x +2a x﹣a D.x +2ax +2a x﹣a 【考点】多项式乘多项式. 【分析】直接利用多项式乘法运算法则求出即可. 2 2 【解答】解:(x﹣a)(x +ax+a ) 3 2 2 2 2 3 =x +ax +a x﹣ax ﹣a x﹣a 3 3 =x ﹣a . 故选:B. 【点评】此题主要考查了多项式乘法运算,正确运用法则是解题关键. 4.若一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限,则 k、b 的取值范围是( )

A.k>0,b>0 B.k>0,b<0 C.k<0,b<0 D.k<0,b>0 【考点】一次函数图象与系数的关系. 【专题】数形结合. 【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断. 【解答】解:∵一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限, ∴k>0,b>0. 故选 A. 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系:对于 y=kx+b 与 y 轴交于(0,b),当 b >0 时,(0,b)在 y 轴的正半轴上,直线与 y 轴交于正半轴;当 b<0 时,(0,b)在 y 轴的负半轴,直线与 y 轴交于负半轴.记住 k>0,b>0?y=kx+b 的图象在一、二、三象限; k>0,b<0?y=kx+b 的图象在一、三、四象限;k<0,b>0?y=kx+b 的图象在一、二、四 象限;k<0,b<0?y=kx+b 的图象在二、三、四象限.

5.已知|a|=5,

=7,且|a+b|=a+b,则 a﹣b 的值为(



4

A.2 或 12 B.2 或﹣12 C.﹣2 或 12 D.﹣2 或﹣12 【考点】算术平方根. 【专题】计算题. 【分析】首先分别根据绝对值的和算术平方根的定义可求出 a,b 的值,然后把 a,b 的值代 入|a+b|=a+b 中,最终确定 a,b 的值,然后求解. 【解答】解:∵|a|=5, ∴a=±5, ∵ =7,

∴b=±7, ∵|a+b|=a+b, ∴a+b>0, 所以当 a=5 时,b=7 时,a﹣b=5﹣7=﹣2, 当 a=﹣5 时,b=7 时,a﹣b=﹣5﹣7=﹣12, 所以 a﹣b 的值为﹣2 或﹣12. 故选 D. 【点评】此题主要考查了绝对值的意义:即正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相 反数,0 的绝对值还是 0.也利用了算术平方根的定义. 6.若 3 =a,3 =b,则 3 等于(
x y x+y



A. B.ab C.2ab D.a+ 【考点】同底数幂的乘法. 【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加,可得答案. x+y x y 【解答】解:3 =3 ×3 =ab, 故选:B. 【点评】本题考查了同底数幂的乘法,利用底数不变指数相加是解题关键. 7.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含 x 的一次项,则 m 的值为( ) A.﹣3 B.3 C.0 D.1 【考点】多项式乘多项式. 【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积,并且把 m 看作常数合并关于 x 的同类项,令 x 的系数为 0,得出关于 m 的方程,求出 m 的值. 2 2 【解答】解:∵(x+m)(x+3)=x +3x+mx+3m=x +(3+m)x+3m, 又∵乘积中不含 x 的一次项, ∴3+m=0, 解得 m=﹣3. 故选:A. 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算,根据乘积中不含哪一项,则哪一项的系数 等于 0 列式是解题的关键. 8.已知 x +kxy+64y 是一个完全平方式,则 k 的值是( A.8 B.±8 C.16 D.±16 【考点】完全平方式.
2 2



5

【分析】根据完全平方公式的特点求解. 【解答】解:根据题意,原式是一个完全平方式, 2 2 ∵64y =(±8y) , 2 ∴原式可化成=(x±8y) , 2 2 展开可得 x ±16xy+64y , ∴kxy=±16xy, ∴k=±16. 故选:D. 2 2 2 【点评】本题利用了完全平方公式求解:(a±b) =a ±2ab+b .注意 k 的值有两个,并且 互为相反数. 9. 三角形三个内角的度数比是 1: 2: 3, 它们的最大边的长等于 16, 则最小边的长为 ( )

A.4 B.2 C.8 D.6 【考点】含 30 度角的直角三角形. 【分析】先根据三角形三个内角之比为 1:2:3 求出各角的度数判断出三角形的形状,再根 据含 30 度角的直角三角形的性质求解. 【解答】解:∵三角形三个内角之比为 1:2:3, ∴设三角形最小的内角为 x,则另外两个内角分别为 2x,3x, ∴x+2x+3x=180°, ∴x=30°,3x=90°, ∴此三角形是直角三角形. ∴它的最小的边长,即 30 度角所对的直角边长为: ×16=8. 故选 C. 【点评】本题考查的是含 30 度角的直角三角形的性质:在直角三角形中,30°角所对的直 角边等于斜边的一半.也考查了三角形内角和定理,直角三角形的定义.解答此题的关键是 根据三角形三个内角度数的比值判断出三角形的形状. 10.有如下命题: ①负数没有立方根; ②一个实数的立方根不是正数就是负数; ③一个正数或负数的立方根与这个数同号; ④如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数是 1 或 0. 其中错误的是( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 【考点】立方根. 【分析】①根据立方根的定义即可判定; ②根据立方根的性质即可判定; ③根据立方根的性质即可判定; ④根据立方根的性质即可判定. 【解答】解:①负数有立方根,故错误; ②一个实数的立方根是正数、0、负数,故错误; ③一个正数或负数的立方根与这个数同号,故正确;

6

④如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数是±1 或 0,故错误. 故选 B. 【点评】此题主要考查了立方根的性质:一个正数的立方根式正数,一个负数的立方根是负 数,0 的立方根式 0.一个数的立方根是这个数本身,那么这个数是±1 或 0.

二、填空题(每小题 3 分,共 30 分) 11. 的立方是 64 .

【考点】算术平方根. 【分析】先根据算术平方根求出 【解答】解: 故答案为:64. 【点评】本题考查了算术平方根,解决本题的关键是根据算术平方根的定义求出 =4. =4,再求 4 的立方即可解答.

=4,4 的立方是 64.

12.大于

小于

的整数是 3 .

【考点】估算无理数的大小. 【分析】估算出 , 的整数部分,即可得出答案.

【解答】解:∵4<7<9, ∴2 ∴ <3, 的整数部分为 2,

∵9<11<16, ∴3 ∴ 大于 <4, 的整数部分为 3, 小于 的整数是 3,

故答案为:3. 【点评】此题主要考查了无理数的估算能力,“夹逼法”是解答此题的关键.

13.若 【考点】立方根.

,则 x+y= 0 .

【分析】根据立方根的性质和

,可以得到 x=﹣y,由此即可求出题目结果.
7

【解答】解:∵



∴x=﹣y. 故 x+y=0. 【点评】 此题这样考查了立方根的定义. 一个数的立方根只有一个, 与它本身的符号相同. 两 个数立方根相等,则这两个数相等. 14.如果一个数的平方根是(﹣a+3)和(2a﹣15),则这个数为 81 . 【考点】平方根. 【分析】依据正数的两个平方根互为相反数,列方程可求得 a 的值,然后可求得这个正数的 平方根,最后依据平方根的定义可求得这个正数. 【解答】解:∵一个数的平方根是(﹣a+3)和(2a﹣15), ∴﹣a+3+2a﹣15=0. 解得:a=12. ∴﹣a+3=﹣12+3=﹣9. 2 ∵(﹣9) =81, ∴这个数为 81. 故答案为:81. 故答案为:81. 【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质,掌握平方根的定义和性质是解题的关键.

15.计算:(a+2b)(a﹣2b)= a ﹣4b . 【考点】平方差公式. 【分析】找出相同项和相反项,再用平方差公式计算即可. 【解答】解:(a+2b)(a﹣2b) 2 2 =a ﹣4b . 2 2 故答案为:a ﹣4b . 【点评】本题考查了平方差公式,运用平方差公式计算时,关键要找相同项和相反项,其结 果是相同项的平方减去相反项的平方. 16.已知三点(﹣2,5)、(m,11)、(﹣9,﹣9)在同一条直线上,则 m= 1 . 【考点】一次函数图象上点的坐标特征. 【分析】先用待定系数法求出直线的解析式,再把点(m,11)代入求出 m 的值即可. 【解答】解:设直线的解析式为 y=kx+b(k≠0), ∵点(﹣2,5)、(﹣9,﹣9)在直线上,

2

2



,解得



∴直线的解析式为 y=2x+9. ∵点(m,11)也在直线上,

8

∴2m+9=11,解得 m=1. 故答案为:1. 【点评】 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点, 熟知一次函数图象上各点的坐标一定 适合此函数的解析式是解答此题的关键. 17.一次函数 y=﹣x+2 图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2 . 【考点】一次函数图象上点的坐标特征. 【分析】结合一次函数 y=﹣x+2 的图象可以求出图象与 x 轴的交点(2,0)以及 y 轴的交点 (0,2)可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积. 【解答】解:∵令 y=0,则 x=2;令 x=0,则 y=2, ∴一次函数 y=﹣x+2 的图象可以求出图象与 x 轴的交点(2,0),与 y 轴的交点为(0,2)

∴S= ×2×2=2, 故答案为:2. 【点评】 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点, 熟知一次函数图象上点的坐标一定适 合此函数的解析式是解答此题的关键. 18.一个一次函数的图象与直线 y=﹣2x+1 平行,且经过点(﹣2,﹣6),则这个一次函数 的解析式为 y=﹣2x﹣10 . 【考点】两条直线相交或平行问题. 【分析】根据互相平行的两直线解析式的 k 值相等设出一次函数的解析式,再把点(﹣2, ﹣6)的坐标代入解析式求解即可. 【解答】解:∵一次函数的图象与直线 y=﹣2x+1 平行, ∴设一次函数的解析式为 y=﹣2x+b, ∵一次函数经过点(﹣2,﹣6), ∴﹣2×(﹣2)+b=﹣6, 解得 b=﹣10, 所以这个一次的表达式是 y=﹣2x﹣10. 故答案为:y=﹣2x﹣10. 【点评】 本题考查了两直线平行的问题, 熟记平行直线的解析式的 k 值相等设出一次函数解 析式是解题的关键. 19.若一次函数 y=kx+2 经过点(﹣2,﹣4),则 k= 3 . 【考点】一次函数图象上点的坐标特征. 【分析】直接把点(﹣2,﹣4)代入一次函数 y=kx+2,求出 k 的值即可. 【解答】解:∵一次函数 y=kx+2 经过点(﹣2,﹣4), ∴﹣4=﹣2k+2,解得 k=3. 故答案为:3. 【点评】 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点, 熟知一次函数图象上各点的坐标一定 适合此函数的解析式是解答此题的关键. 20. 若 P 关于 x 轴的对称点为 (3, a) , 关于 y 轴对称的点为 (b, 2) , 则 P 点的坐标为 (3, 2) .

9

【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标. 【专题】几何图形问题. 【分析】可根据 P 关于 x 轴的对称点为(3, a),得到点 P 的横坐标与对称点的横坐标相同, 根据关于 y 轴对称的点为(b,2)可得点 P 的纵坐标和对称点的纵坐标相同. 【解答】解:∵P 关于 x 轴的对称点为(3,a), ∴点 P 的横坐标为 3; ∵P 关于 y 轴对称的点为(b,2), ∴点 P 的纵坐标为 2, ∴P 点的坐标为(3,2). 故答案为:(3,2). 【点评】本题考查了两点关于 x 轴,y 轴对称的点的坐标的特点:两点关于 x 轴对称,横坐 标不变;两点关于 y 轴对称,纵坐标不变. 三、计算题 21.计算 (1) (2)| |+ ﹣ +4.

【考点】实数的运算. 【专题】计算题;实数. 【分析】(1)原式利用平方根、立方根的定义,以及二次根式性质化简即可得到结果; (2)原式利用绝对值的代数意义,以及二次根式性质计算即可得到结果. 【解答】解:(1)原式=9﹣3+ =6 ; (2)原式= ﹣ + ﹣1﹣3+ +4=2 .

【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 22.先化简,再求值:4(x +y)(x ﹣y)﹣(2x ﹣y) +5,其中 x=2,y=﹣5. 【考点】整式的混合运算—化简求值. 【分析】先算乘法再合并同类项,最后代入求出即可. 2 2 2 2 【解答】解:4(x +y)(x ﹣y)﹣(2x ﹣y) +5 4 2 4 2 2 =4x ﹣4y ﹣4x +4x y﹣y +5 2 2 =﹣5y +4x y+5, 2 2 当 x=2,y=﹣5 时,原式=﹣5×(﹣5) +4×2 ×(﹣5)+5=﹣200. 【点评】 本题考查了整式的混合运算和求值的应用, 能正确根据整式的运算法则进行化简是 解此题的关键. 23.解方程 2 (1)(x﹣1) ﹣(x﹣1)(x+5)=17
2 2 2 2

10

(2)已知 a、b 满足

+|b﹣

|=0,解关于 x 的方程(a+2)x+b =a﹣1.

2

【考点】整式的混合运算;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:算术平方根;解一元一 次方程. 【分析】(1)根据整式的乘法和完全平方公式计算解答即可; (2)根据非负性得出 a 和 b 的值再解答即可. 2 【解答】解:(1)(x﹣1) ﹣(x﹣1)(x+5)=17 2 2 x ﹣2x+1﹣x ﹣4x+5=17 ﹣6x=12, x=﹣2, (2)根据题意可得:2a+8=0,b﹣ 解得:a=﹣4,b= 把 a=﹣4,b= ,
2

=0,

代入(a+2)x+b =a﹣1,可得:﹣2x+3=3,

解得:x=0. 【点评】此题考查整式的混合计算,关键是根据整式的乘法和完全平方公式计算.

四、证明题(5 分) 24.如图,AB∥CD,且 AO=CO.求证:AB=CD.

【考点】全等三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】根据 AAS 证明△ABO 与△CDO 全等,再利用全等三角形的性质证明即可. 【解答】证明:∵AB∥CD, ∴∠B=∠D,∠A=∠C, 在△ABO 与△CDO 中,

, ∴△ABO≌△CDO(AAS), ∴AB=CD. 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质.判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、 SAS、ASA、HL.判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根 据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.

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五、解答题(每小题 6 分,共 30 分) 25.如图所示,若△ABC 和△ADE 都是等边三角形,线段 BD=10cm,试求线段 CE 的长,并说 明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 【分析】根据等边三角形的性质求出 AE=AD , AB=AC ,∠EAC=∠DAB,再根据 SAS 证出 △EAC≌△DAB,得出 BD=CE,从而求出 CE 的长. 【解答】解:∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形, ∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠CAB=60°, ∴∠EAD+∠CAD=∠CAB+∠CAD, ∴∠EAC=∠DAB, 在△EAC 和△DAB 中,

, ∴△EAC≌△DAB (SAS), ∴BD=CE, ∵BD=10cm, ∴CE=10cm. 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,用到的知识点是全等三角形的判定与性质、 等边三角形的性质,关键是根据∠EAD+∠CAD=∠CAB+∠CAD,求出∠EAC=∠DAB.

26.有﹣块边长为 a m 的正方形空地,现准备将这块空地的四周均留出 b m 宽修筑围坝,中 间建喷水池.请计算出喷水池的面积. 【考点】完全平方公式的几何背景. 【分析】利用正方形的面积减去四周围坝的面积,四个角处都多减了一次,所以再加上四个 边长为 b 的小正方形的面积就是喷泉水池的面积,即可得出答案. 2 2 2 【解答】解:喷泉水池的面积为:a ﹣4ab+4b 或(a﹣2b) . 2 2 2 2 2 故答案为:(a ﹣4ab+4b )m 或(a﹣2b) m . 【点评】 本题考查了完全平方公式的几何背景, 利用同一图形的面积的不同求法得到答案是 解题主要思路. 27.已知点 A(2x+y,﹣7)与点 B(4,4y﹣x)关于 x 轴对称,试求(x+y)的值. 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标.

【分析】 根据关于 x 轴对称点的坐标特点: 横坐标不变, 纵坐标互为相反数可得


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解方程组可得 x、y 的值,然后可得 x+y 的值. 【解答】解:∵点 A(2x+y,﹣7)与点 B(4,4y﹣x)关于 x 轴对称,





解得:



则 x+y=3. 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标,关键是掌握点的坐标的变化规律.

28.已知 w﹣5 与 x 成正比例,且当 x=3 时,w=﹣4,求: (1)w 与 x 之间的函数关系式. (2)这个函数图象与 x 轴交点的横坐标. 【考点】待定系数法求一次函数解析式;一次函数图象上点的坐标特征. 【分析】(1)由知 w﹣5 与 x 成正比例,设设 w﹣5=kx,把 x 与 w 的值代入求出 k 的值,即 可确定出 w 与 x 函数关系; (2)把 w=0 代入计算即可求出 x 的值. 【解答】解:(1)设 w﹣5=kx, 把 x=3,w=﹣4 代入得:﹣4﹣5=3k,即 k=﹣3, 则 w﹣5=﹣3x,即 w=﹣3x+5; (2)令 w=0,得:﹣3x+5=0,解得 x= , 所以这个函数图象与 x 轴交点的横坐标为 . 【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

29.如图,直线 y=kx+6 与 x 轴、y 轴分别交于点 E、F,点 E 的坐标为(﹣3,0),点 A 的 坐标为(﹣2.5,0). (1)求 k 的值; (2)若点 P (x,y) 是第二象限内的直线上的一个动点, 在点 P 的运动过程中, 试写出△OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)探究:当点 P 运动到什么位置(求点 P 的坐标)时,△OPA 的面积为 5,并说明理由.

【考点】一次函数综合题.

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【分析】(1)由直线与 x 轴的交点的坐标,代入即可求出 k 的值;(2)过点 P 作 x 轴的垂 线段, 能够发现 P 点到 x 轴的距离为 P 点的纵坐标, 代入直线方程用 x 表示出来 P 点的纵坐 标,再套用三角形面积公式即可得出结论,再由点 P 在第二象限,即可确定 x 的取值范围; (3)分两种情况,一种 P 点在 x 轴上方,一种在 x 轴下方,分类讨论即可得出结论. 【解答】解:(1)∵点 E(﹣3,0)在直线 y=kx+6 的图象上, ∴有 0=﹣3k+6,解得:k=2. 故 k 的值为 2. (2)过点 P 作 PB⊥x 轴,垂足为点 B,如图 1.

∵点 P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点, ∴P 点横坐标介于 E、F 的横坐标之间, ∴﹣3<x<0. ∵点 P 在直线 y=2x+6 上, ∴y=2x+6. ∵PB⊥x 轴,且 P 点在第二象限,且点 A 的坐标为(﹣2.5,0), ∴PB=y=2x+6,OA=2.5. ∴△OPA 的面积 S= OAPB=2.5x+7.5. 故△OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式为 S=2.5x+7.5(﹣3<x<0). (3)∵令(2)中的关系式中 x=0,解得 S=7.5>5, ∴若点 P 在 x 轴上方时,必在第二象限,点 P 在 x 轴下方时,必在第三象限. ①当点 P 在 x 轴上方时,有△OPA 的面积 S=2.5x+7.5, 令 S=5,即 2.5x+7.5,解得:x=﹣1. 此时点 P 的坐标为(﹣1,4); ②当点 P 在 x 轴下方时,如图 2,

此时 PB=﹣y=﹣2x﹣6,

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△OPA 的面积 S= OAPB= ×2.5×(﹣2x﹣6)=﹣2.5x﹣7.5=5, 解得:x=﹣5. 此时点 P 的坐标为(﹣5,﹣4). 综上可知:点 P 运动到(﹣1,4)或(﹣5,﹣4)时,△OPA 的面积为 5. 【点评】本题考查了一次函数综合应用中的图象与坐标轴的交点、两点间的距离、三角形的 面积公式以及解一元一次方程,解题的关键是:会利用点在直线上求直线的解析式;能用三 角形的面积公式来求取面积.本题属于较简单的题型,难点在于(3)中 P 点分 x 轴上下两 侧,即点 P 存在两个,部分同学会忘记直线下方还存在符合条件的点 P.

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