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“APOS理论”指导下的高中数学概念教学


“APOS 理论”指导下的高中数学概念教学
安徽省六安市教科所 安徽省六安中学 贾 兵(邮编:237009) 陆学政(邮编:237161)

(本文系安徽省 2009 年度教育规划课题(JG09284)研究成果) 摘要:2009 年以来,六安市教科所与六安一中联合进行安徽省教育规划课题(JG09284)的研究 工作,主题是“高中数学新课程教材特点与教

学有效性研究”.本文尝试从理论指导实践、实践性反思 的角度,力求较为全面、客观、辩证地剖析 APOS 理论对高中数学概念教学的指导作用,并试图引发进 一步的思考与研究. 关键词:APOS 理论;教学策略;案例;反思 概念是思维的基本单位,理解概念是一切数学活动的基础,概念不清就无法进一步开展其它数学 活动.李邦河院士说: “数学根本上是玩概念的,不是玩技巧.技巧不足道也! ”另外,学生的概念理解 和应用水平也是衡量教学质量高低的最重要标准.因此,概念教学在高中数学教学中具有举足轻重的地 位. 然而,当前不重视概念教学,概念教学走过场,以解题教学代替概念教学的现象十分普遍.概念教 学常常采用“一个定义,几项注意”的方式,在概念的背景引入上着墨不够,没有给学生提供充分的 概括概念本质特征的机会,认为这是浪费时间,不如让学生多做几道题目更实惠.这些做法严重偏离 了数学的正轨,必须纠正.否则,学生在数学上耗费大量时间、精力,结果可能是对数学的内容、方 法和意义知之甚少, “数学育人”终将落空.更令人担忧的是,有些老师不知如何教概念. 基于上述背景,笔者所在课题组对指导概念教学的重要理论—APOS 理论进行了专题研析,研析分 为四个环节:一是理解 APOS 理论的内涵及其背景;二是分析立足 APOS 理论进行概念教学的策略;三 是通过典型案例尝试 APOS 理论的具体应用;四是在实践的基础上对 APOS 理论进行再思考. 1 APOS 理论概述 1.1 APOS 理论的内涵 APOS 理论是美国数学家、 教育家杜宾斯基于 1991 年提出的, APOS 是由英文 Action 操作) Process ( 、 (过程) 、Object(对象) 、Scheme(图式)的第一个字母组合而成,该理论认为数学概念的学习需要 经历这四个阶段. 第一阶段—“操作阶段”. 所谓“操作”是指个体对于感知到的对象进行转换,这个对象实质上 是一种外部刺激.“操作”阶段应是学生建构概念的起点,目的是为“过程”阶段提供感性素材和反省

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对象,为观察、联想、归纳、概括等活动提供固着点.这里的“操作”应是广义上的操作,不仅涉及具 体的行为(动作)操作,更涉及内隐的思维操作.“操作”能重现知识的发生发展过程,加深学生对知 识的理解,培养学生的数学探究能力和抽象概括能力.但是, “操作”并非最终目的,不能为操作而操 作,操作要始终围绕数学问题的本质,并及时“数学化”. 第二阶段—“过程阶段”.“过程”是指当个体能反思操作时, 受外部驱使的动作逐渐转换为个体 控制的心理活动.当“操作”经过多次重复而被个体熟悉后,对概念的学习就可以不再依赖具体的数学 活动,而是在头脑中实施这个过程.“过程”阶段是学生对“操作”的思考,然后经历思维的内化、压 缩过程,学生能够在头脑中对活动进行描述和反思,并形成了从事活动的程序、步骤,可以抽象出概 念的特有性质; “过程”阶段是学生对感性认识的处理、组织、顿悟,是思维飞跃的关键,通常也是概 念学习的难点与关键. 第三阶段—“对象阶段”. 当个体能把概念的形成“过程”作为一个整体进行操作和转换的时候, 这一过程就变成了个体的一种相对独立的心理“对象” ,表现为个体通过前面的抽象,认识到了概念的 本质,对其赋予形式化的定义及符号,使其达到精致化,成为一个具体的对象,在以后的学习中能够 以此为对象进行新的活动.其中, “精致化”的实质是对数学概念的内涵与外延进行尽量详细的“深加 工” ,对“概念要素”进行具体界定,以使学生建立更清晰的概念表象,获得更多的概念例证,对概念 的细节把握得更加准确,理解概念的各个方面,获得概念的某些限制条件等.当概念进入“对象”状态 时,便呈现为一种静态结构关系,成为一个“实体”,易于整体把握性质,这时一个完整的理解才真正 成型.“对象”在某一个层次和更高一级层次之间起着一种枢纽作用:既是概括的结果,又是新的概括 的起点. 第四阶段—“图式阶段”.“图式”是指与这个概念有关的所有操作、过程和对象以及与这个概念 有关的所有知识形成的认知结构或认知框架,其作用和特点就是决定某些刺激是否属于这个图式,从 而就会作出不同的反应.图式的形成要经历三个阶段:单个图式、多个图式、图式的迁移.单个图式阶 段的特点是只注意离散的操作、过程和对象,而把具有类似性质的其它知识点隔离开来;多个图式阶 段则是注意了各个图式中蕴涵的知识点之间的关系和衔接,这时个体就能把这些知识点组成一个整体; 到了图式迁移阶段,个体才能彻底搞清楚在上一个阶段中提到的相关知识点之间的相互关系,并建构 出这些知识点之间的内部结构,形成一个大的图式. 我们认为,对杜宾斯基的“概念学习四阶段”要辩证地加以理解.首先,A—P—O—S 的顺序不是一 成不变的,例如,对于有些概念的教学也可以按 O—A—P—S 的顺序进行教学.其次,操作阶段往往与

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其它阶段有交叉,并贯穿于概念学习的始终,例如, “过程”阶段与“操作阶段” 并没有明显的界限, 在“操作”发生的同时,也进行着“过程” 作为“对象”的概念,它既操作别的对象,又被高层次 ; 的运算来操作;相应的操作是图式形成的必要基础,等.最后,四个阶段的呈现不是线性的,而是逐层 渐进的, 图式的形成往往不能一蹴而就, 需要多次 A—P—O—S 的循环上升, 是一种螺旋式的建构过程. 也就是说,如果学生对数学概念的理解在某一阶段出现问题,这时会回到前一阶段,甚至,概念的理 解往往也不是一节课就能完成的,需要在学习中不断地积累才能实现量变到质变.这也反映了概念学习 与教学的复杂性. 1.2 建构主义学习理论是 APOS 理论的依据 建构主义理论最初是由皮亚杰于 20 世纪 50 年代提出并不断得到发展的,它以认知心理学为思想 基础.我们认为,建构主义学习理论是 APOS 理论的依据,这是基于对建构主义的知识观、学生观、学 习观的理解. 从知识观的角度,建构主义认为,课本知识只是一种关于各种现象的较为可靠的假设,科学知识 包含真理性,但它不是最终的正确答案,只是一种对现实的可能是更正确的理解.这些知识在被个体接 受之前,对于个体是毫无意义的,因此不能把知识作为绝对正确的东西强加给学生,让学生无条件接 受,不能用科学家、教师、教科书的权威来压服学生,知识的接受只能靠学生自己的建构来完成,只 能以学生自己的经验、信念为背景来分析知识的合理性.学生的学习不仅是对新知识的理解,而且也是 对新知识的分析、检验和批判,知识的应用也不是简单的套用,而是一种创造性组合,需要根据具体 情境进行选择、变化. 从学生观的角度,建构主义强调学生是积极主动的知识建构者的地位,要求学生在一种复杂而真 实的情境中(当然,这种情境应该是处于最近发展区的) ,在教师适度的帮助下,采取富有个性的认知 加工策略,形成自己对知识的独立理解.在学习中,学生要努力学会一些自我控制的技能和习惯,发展 自我控制学习过程的能力. 从学习观的角度,建构主义认为,学习是学习者主动地建构内部心理表征的过程,强调在具体情 境中形成的具体经验背景的作用(当然,不能走极端,不能否定或弱化抽象概括在概念学习中的重要 作用) ,以及对已有知识经验的改造和重组;强调学习者已有发展水平(包括认知的与非认知的)是学 习的决定因素,学习的结果是围绕关键概念而建构起来的网络结构的知识. 不难看出,APOS理论的实质与建构主义是一脉相承的,它将概念的学习过程进一步透明化,指出 学生对于概念的掌握,就是经过操作、活动、对象, 最后发展为稳定、主题化的图式.同时,APOS理论

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将学生学习概念的过程作了层次化处理,明确了概念的学习是从具体的操作行为逐层渐进地发展成抽 象的心理结构. 2 APOS 理论指导下的概念教学策略 基于对 APOS 理论的理解,结合数学概念学习的一般规律,我们分别提出每个阶段的教学策略,作 为以 APOS 理论为指导实施概念教学的具体建议. 2.1 操作阶段—多元表征,体验感悟 教师要结合学生的数学思维特点,创造性地使用教材,设计恰当的数学活动,创设合理的问题情 境,指导学生亲自参与操作活动,在活动中体验,在操作中感悟,为真正理解概念积累经验.教师要善 于以旧引新,遵循从具体到抽象、从特殊到一般的原则,有目的、有计划地提供适当的感性材料,材 料既要能反映概念的本质,又要在学生的“最近发展区”内,找准知识的生长点,保证材料的适度性、 典型性、有效性和针对性,尽可能地激发学生参与活动的意愿,给予学生充分表达自己看法的机会, 力求在学生自主思考、自由交流以及相互之间观点的交锋中,撞击出思维的火花. 2.2 过程阶段—问题驱动,抽象概括 教师要设计富有启发性、探索性、层进性的问题驱动学生对“操作”自觉地思考,尝试抽象、概 括、一般化,引导学生的思维不断深入.“过程”中的感悟比“操作”中的体验更重要, “过程”中隐 性的思维比显性的 “操作” 更重要.教师要留给学生充裕的时间进行思考, 保证学生真正意义上的参与. 教师要对学生可能出现的课堂生成或思维障碍有充分的预判,并及时有效地进行反馈调节.需要特别强 调的是, “问题串”的设计是否符合学生的思维特点,是否起到“脚手架”的作用,是“过程阶段”成 败的关键.另外,抽象概括出概念关键属性的过程必须是教师引导下的学生自主行为,教师绝不能包办 代替,也不能以“伪探究”的形式走过场. 2.3 对象阶段—总结提炼,适时辨析 教师要引导学生对“过程”阶段得出的概念的各种属性及时进行总结提炼,使概念的本质属性成 为一个整体,从而得到概念的严格定义,并进行符号化表示.教师要启发学生用自己的语言来表述相关 属性,注意自然语言、图形语言、符号语言的有机结合与适时转化.在对概念下定义以后,教师应该对 概念定义中的关键词进行辨析,让学生明白无误地理解每一个关键词的含义,要求学生能正确叙述定 义,并能举出符合定义的实例,这两者的结合是防止学生死记硬背、克服形式主义教学的有效措施. 2.4 图式阶段—变式建构,多元联系

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教师要充分发挥传统变式教学的优势,把交织着的概念的本质属性和非本质属性分离开.同时,用 开放性问题、实际情境性问题、学生自己举反例、作概念图表等多种方式,多渠道、多角度地丰富学 生对“对象”的理解,帮助学生的认识上升到“图式”的层次.要做到“瞻前顾后” ,注重概念的前后 联系,注重在概念体系中学习概念,以促使学生形成良好的认知结构,正如布鲁纳所说: “获得的知识, 如果没有完满的结构把它联在一起,那是一种多半会被遗忘的知识,一串不连贯的论据在记忆中仅有 短促得可怜的寿命.” “多元联系表示”是理解和掌握概念的金钥匙. 3 APOS 理论指导概念教学的实践 理论研析的最终目的是指导实践,为此,我们选取了近十个高中数学的核心概念教学课题,布臵 课题组成员进行以 APOS 理论为指导的教学分析,并进行上课实践,每个课题都经历了个人备课、集体 磨课、成员上课、评课反思等环节(有的课题还多次经历上述环节) ,以获取第一手材料.以下列举其 中的两个典型案例加以说明. 3.1 APOS 理论指导下的“排列”教学(安徽省 2008 年教坛新星评选参赛课题) “操作阶段” : 教师在简单引入之后,提出如下问题: 问题 1:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名分别担任班长、团支书,有多少种不同的方案? 学生动手操作,然后回答.由于该问题比较简单,学生可能出现利用树形图法、枚举法、分步计数 原理等得出解答,教师小结每种方法的优点,有意识地追问利用分步计数原理的思考过程,并加以提 炼,得到: 班长、团支书分别相当于位臵 1、位臵 2,∵位臵 1 有 3 种选法,相应地,位臵 2 有 2 种选法,∴ 不同方案数为 3 ? 2 ? 6 . 问题 2:数字 1 、 2 、 3 、 4 、 5 可以组成多少个无重复数字的三位数? 学生操作这个相对复杂的问题,教师让学生比较不同方法的优劣,发现树形图法、枚举法由于情 况较多,有点困难,而利用分步计数原理相对简单,类似问题 1,得到: 无重复数字的三位数个数为 5 ? 4 ? 3 ? 60 . 问题 3:8 名同学排成一队照相,有多少种不同的排队方法? 学生在解决该问题的过程中,更加体会到利用分步计数原理的优越性,得到: 不同方法数为 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 40320 .这里,学生的动手操作、思考比较,为下个阶段 的反思提炼奠定了基础.

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“过程阶段” : 问题 4:上述 3 个问题,具体的研究对象和任务都是不同的.从问题类型上看,它们有没有共同之 处? 学生反思 3 个问题的类型,将“3 人中选 2 人”“5 个数中选 3 个”“8 人全选”抽象概括为“从 n 、 、 个不同元素中取出 m ( m ? n )个” ,将“分别担任两个职务”“组成三位数”“排成一队” 抽象概 、 、 括为“选出的元素要排顺序”.所以,共同之处是“先取(元素)后排(顺序) ”. 问题 5:从问题的解决方法上看,它们有没有共同之处? 学生不难得出,虽然树形图、枚举法都是可行的,但从简便的角度看,利用分步计数原理更为合 理,更具有一般性.至此, “排列”概念的本质属性得以凸显,推导排列数公式的思想方法得以生根. “对象阶段” : 问题 6:这种“先取后排”的问题就是今天要学习的问题:排列.你能叙述排列的定义吗? 学生尝试给排列下定义,教师适时纠正、补充,板书定义. 问题 7:排列的主要特征有哪些?两个排列相同的条件是什么? 进一步引导学生巩固概念, 抓住概念中的关键词.得出: 排列的主要特征是元素的互异性与有序性; 两个排列相同的条件是:元素相同,元素的顺序也相同. 问题 8:从 n 个不同元素中取出 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的排列数,记作 A n ,排列与排列数是“个体”与“数量”的关系.那么,排列数 A n 的计 算公式是什么呢? 教师引导学生回顾前面三个实例中的求解方法与步骤,紧扣分步计数原理,由简单到复杂,由特 殊到一般,层层推进,得出公式.进而分析公式的结构特征,明确公式的作用(即:对于排列问题,可 直接利用公式求出排列的个数).至此,学生对排列的概念有了初步的认识(明确了定义,会将排列数 用符号表示,并推导出计算排列数的公式). “图式阶段” : 问题 9:判断下列问题是否为排列问题?若是,求出排列数. (1)从 1 , 2 , 3 , 5 中任取两个不同数相乘,可得到多少个不同的结果? (2)从 1 , 2 , 3 , 5 中任取两个不同数相除,可得到多少个不同的结果? (3)有 12 个车站,共需准备多少种车票? (4) 4 封信投入 5 个邮筒,有多少种不同的投法?
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(5) 4 封信投入 5 个邮筒,每个邮筒至多投一封,有多少种不同的投法? 师生共同讨论,能将排列问题与其它问题区分开来,深化对排列概念的理解,同时训练学生计算 排列数的技能. 问题 10: 为了简便, 以后我们将 n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ? ? 2 ? 1 称为 n 的阶乘, 记作 n ! .如何将排列数 A n 用阶乘表示? 教师引导学生利用配凑因子,将排列数公式化为阶乘的形式,并让学生思考 0! ? 1 的必要性与合理 性. 问题 11:利用排列概念解题与利用分步计数原理解题,二者之间有何联系与区别? 此处旨在加强排列概念与已学知识的联系性,让学生明确:任何一个排列问题都可以纳入到分步 计数问题中去,它是分步计数问题的特殊情况,但分步计数问题不一定是排列问题.当一个分步计数问 题特殊为一个排列问题时,就可以整体考虑,利用排列数公式简化计算. 至此,学生的认知结构得到了充实与优化,形成了一个大的、新的图式. 3.2 APOS 理论指导下的“周期性”教学(安徽省 2008 年特级教师评选参赛课题) “操作阶段” :首先引导学生列举生活中的一些“周期性”现象,如潮汐现象等;然后分别画出单 位圆中角 ? 的正弦线、余弦线,观察随着角 ? 的终边绕原点旋转,正弦线、余弦线的变化规律;再分 别画出正弦函数、余弦函数的图像,观察图像的变化规律,从不同的角度体会“周而复始”特征,最 后学生尝试用自然语言描述这种特征. “过程阶段” :将直观体验上升到理性认识,将自然语言转化为数学语言,深化对“周而复始”的 数学本质的理解.以正弦为例,可以设臵如下问题: 问题 1:你能从哪个公式反映出正弦值随自变量的这种“周而复始”的变化规律? 引导学生回忆诱导公式: sin( ? ? 2 k ? ) ? sin ? , k ? Z ,由形到数. 问题 2:正弦函数为 f ( x ) ? sin x ,请将上述关系写成 f (? ) ? f (? ) 的形式. 突出函数值随自变量的“周而复始” ,同时向一般性周期函数的定义式靠拢. 问题 3:在上述关系式中, ? (或 x )的取值是定义域内的某一个(某些)值,还是任意值? 旨在强调这是一个“恒等式” ,对定义域内任一自变量值都成立. “对象阶段” :教师首先指出:在数学上,为了定量地刻画这种“周而复始”的变化规律,将符合 上述特征的函数称为周期函数.然后对于一般的函数 f ( x ) ,让学生用数学语言描述在什么条件下,函 数 f ( x ) 为周期函数,进而给出周期函数与周期的定义.最后通过问题串对概念进行辨析:
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问题 4:正弦函数、余弦函数是周期函数吗?为什么?哪些数都是它们的周期?(顺便说明最小正 周期的含义) 问题 5:对于 f ( x ) ? sin x ,当 x ? 2 k ? ? 否为函数 f ( x ) ? sin x 的一个周期?为什么? 旨在强调恒等式必须对定义域中每个 x 都成立,缺一不可. 问题 6:对于 y ? sin 2 x ,当 x ? R 时,计算 sin 2 x 与 sin( 2 x ? 2 ? ) 是否恒等? 2 ? 是否为函数
y ? sin 2 x 的一个周期? 2 ? 是否为正周期?

?
4

, k ? Z 时,计算 f ( x ) 与 f ( x ?

?
2

) 是否恒等?

?
2



学 生可能认 为 2 ? 就是 y ? sin 2 x 的 最小 正周期 .教师可 以让学生 利用“五 点法” 画出函数
y ? sin 2 x 的图象,由图像可以得出 2 ? 虽然是周期,但最小正周期是 ? ,引起矛盾冲突.然后引导学

生回到定义:若设 f ( x ) ? sin 2 x ,则 sin( 2 x ? 2 ? ) 并不是 f ( x ? 2 ? ) ,而是 f ( x ? ? ) ,因此,无论从 图像上,还是从定义上, y ? sin 2 x 的最小正周期都应该是 ? ,而不是 2 ? .这样,数与形的矛盾得以 解决,加深了学生对 f ( x ? T ) ? f ( x ) 的理解:这里的非零常数 T 应该是自变量 x “本身”的变化量. “图式阶段” :学生练习用定义求函数的最小正周期,特别是对于类似于 y ? 2 sin( 数 , 学 生 容 易 出 错 . 可 以 紧 扣 定 义 , 强 调 将 解 析 式 写 成 f ( x ) ? 2 sin(
2 sin( 1 2 x? 1 2 x? 1 2 x?

?
6

) 的函

?
6

) 的形式,这样,

?
6

) ? 2 sin[(

1 2

x?

?
6

) ? 2 ? ] 即为 f ( x ) ? f ( x ? 4 ? ) ,因此,最小正周期是 4 ? .接着引导

学生将其一般化,推导出函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) 与 f ( x ) ? A cos( ? x ? ? ) 的周期计算公式. (说明:本节课主要是以正余弦函数为载体学习周期函数,由于周期函数并不局限于正余弦函数, 因此周期函数概念的图式不是一节课就能完成的,在随后的学习中,可以逐渐深入,并加强与其它知 识的联系.如周期函数定义域的要求, “取整函数” y ? [ x ] 是否为周期函数,常数函数 y ? a ( a 为常 数)是否为周期函数,周期性与奇偶性、单调性、最值、图像的结合等,这需要一个循序渐进的过程.) 4 对 APOS 理论指导概念教学的思考 在上述理解与实践的基础上,我们对 APOS 理论指导高中数学概念教学提出如下观点: 4.1 APOS 理论揭示了数学概念,特别是核心概念学习的本质 APOS 理论对数学学习概念过程中学生的思维活动进行了深入的研究,正确揭示了数学概念学习活 动的特殊性,提出学生学习概念要经过“活动”、“过程”、“对象”和“图式”4 个阶段,反映了学 生学习数学概念过程中真实的思维活动,对数学概念,特别是核心概念的教与学具有很强的指导作用.

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4.2 APOS 理论也可用于指导定理(公式)教学 数学定理是从公理或已有定理推演而得出的命题,公式是特殊的定理.数学定理(公式)的学习, 是一个正确建立数学概念之间关系的过程,因此一般比数学概念的学习要复杂些,但教学过程是类似 的.数学定理(公式)的教学,同样强调其产生背景,要让学生经历从定理(公式)的背景中发现题设 与题断之间的联系、提出猜想、探究证明而获得结论的过程,要重视定理(公式)的推导与辨析,要 通过应用加深对定理(公式)的理解,要注意定理(公式)教学的系统性与联系性.由此可见,APOS 理 论对于定理(公式)的教学也具有一定的指导意义. 4.3 APOS 理论思想实质的灵活运用远大于四个阶段的机械划分 在运用 APOS 理论指导概念教学时,不能拘泥于四个学习阶段的划分,而应重在领会其思想实质, 并加以合理运用, 提高概念教学的有效性.APOS 理论的最大贡献在于将数学教学的一般原则与概念教学 的特殊性有机地结合起来,并充分融入了学生内在的心理特征和认知规律.数学教学要处理好学生主体 与教师主导、教材的知识结构与学生的认知结构、直接经验与间接经验、接受与探究、螺旋上升与结 构化、过程与结果等关系,要注意严谨性与量力性、抽象性与具体性、巩固性与发展性相结合,而概 念教学要求既注重过程,又注重联系,要考察概念的来龙去脉,将概念放到相应的概念体系中去学习, 概念课的主旋律是让学生参与概念本质特征的概括活动,这是使概念课生动活泼、优质高效的关键.这 些都反映了 APOS 理论的思想实质,在具体教学时要灵活运用. 以 2006 年安徽省优质课比赛课题“平面向量的实际背景及基本概念”的教学为例,本节课概念很 多,看似也不难理解,但往往课堂气氛沉闷,教与学都很乏味.根据 APOS 理论,改善教学的关键是要 让学生充分参与到概念的形成过程中去,学生自己举例子、讲理由、提问题、谈想法,以尽可能激发 学生学习的内在热情.例如,相等向量、平行向量、共线向量概念的形成,若由教师“告知概念,提醒 注意,巩固练习” ,效果便会大打折扣;若让学生先观察教材中的正六边形图,给图中的一些线段加上 箭头表示向量,并说说所标注的向量之间的关系,然后组织学生交流讨论:你画了哪几个向量?你认 为它们之间有何关系?如何区分?等,最后教师总结归纳,并与物理中的矢量作比较,深化对向量概 念的理解.本节课的教学,很难清晰地将其划分为四个阶段,也没有必要.可以说每个教学环节都蕴含 了四个小的阶段,整节课是一个不断循环、逐渐丰满的过程,处处渗透了 APOS 理论的思想实质.因此, 我们有理由认为,淡化形式,抓住本质,才是对 APOS 理论的正确理解与运用. 4.4 “图式”是实际教学中易忽视的环节

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调查发现,在 APOS 理论的四个阶段中,很少有学生能真正地完成“图式阶段” ,原因也是错综复 杂的.首先,对于很多抽象程度强的数学概念,特别是一些对学生来讲全新的数学概念,学生对概念本 身的接受和理解就会感到困难,有时即使能找到它与学生原有认识结构中其他知识结点的联系,也常 常会因为对概念本身理解程度的浅显而使得这种联系苍白无力,这种联系会因为理解的欠缺而很快消 失,这些建构起来的概念也特别容易遗忘.其次, “图式阶段”往往是一个不由自主的过程,因此就不 可避免地出现随意性,学生的学习态度、知识基础、智力水平、学习习惯、个性品质等都对“图式” 的完成产生影响,若学生在某些方面有所欠缺,就对“图式阶段”的完成产构成阻碍.最后,课堂教学 往往以一节课为基本单位,而“图式”几乎不可能在一节课内就真正完成,需要不断地、反复地深化 理解、拓展联系才能达到,教师由于时间、水平、主观认识等限制,很难自始至终地、细致入微地、 高效地引导学生完成“图式”. 因此,相对于“操作”“过程”越来越受到重视, 、 “图式”是实际教学中很容易被忽视的环节,这 也导致了“图式阶段”的长期性、复杂性与艰巨性,应引起广大教师高度的重视.教师在教学中要充分 发挥主导作用,尽可能地帮助学生建立概念联系,构建概念体系,引导学生多总结,多归纳,多联想, 多应用,加强学法指导,以实现认知结构的不断优化,而不能过于依赖学生的主动建构. 4.5 APOS 理论呼唤高素质的数学教师 能否科学地运用 APOS 理论,取决于众多因素,最主要的有两条. 一是教师的敬业精神与专业态度.APOS 理论下的概念学习不是教师向学生的单向传递, 而是学生建 构自己的过程,教师要重视学生的理解,倾听他们的看法.因此,课前教师要做大量的工作,包括:调 查了解学生的认知基础与规律,查阅资料以选择合适的教学素材,精心设计四个阶段的教学过程,对 教学中可能出现的问题进行预判并设臵有效的反馈措施等.同时,课堂教学是活生生的,需要教师与学 生的平等对话,教师必须用自己的教学行为感染学生,以获得心灵的碰撞、思维与情感的共振.这些都 需要教师付出大量的心血与劳动,没有崇高的敬业精神和严谨的专业态度是万万不能的. 二是教师的专业素养与专业能力.APOS 理论下的概念教学需要教师不仅能准确把握数学概念的实 质,而且能洞察学生学习概念的真实思维过程,同时教师要有扎实的专业基本功,如语言表达能力、 设臵问题能力、交流组织能力、信息反馈能力等.这就要求教师始终致力于自身的专业成长:精心研究 教学中遇到的每一个问题,进行实践性反思、反思性实践;潜心学习教育学、心理学与数学教学的相 关理论,努力实现理论与实践的有机结合;用心聆听专家讲座,向专家求教,拓宽专业视角,提升专 业高度;虚心与同行交流合作,取长补短,共同进步,等等.

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不可否认的是,基于种种原因,数学教师队伍的现状并不容乐观.数学教师的专业发展、高素质的 教师队伍建设,仍然是一项长期而艰巨的任务,这也是我们在课题研究过程中的深切体会. 5 结语 由于水平的局限性,我们对 APOS 理论的理解与认识可能比较肤浅,甚至有些不一定正确.同时, 对 APOS 理论尚有一些困惑,例如:APOS 理论是否适合所有的高中概念教学,特别是核心概念教学?对 于基础较差、学习主动性不强的学生,互动交流比较困难,如何有效运用 APOS 理论进行概念教学?对 于不同的概念教学,APOS 理论四个阶段的重点与难点是不同的,其中是否存在一定的规律性?等等, 都尚待研究.此文仅作抛砖引玉,以求教于方家. 参考文献 1 曹才翰,章建跃,中学数学教学概论(第二版) ,北京师范大学出版社,2008,4. 2 曹才翰,章建跃,数学教育心理学(第二版) ,北京师范大学出版社,2007,8. 3 喻平,数学教学心理学,北京师范大学出版社,2010,12. 4 程华, APOS 理论与逐层渐进的数学概念教学, 《中学数学教学参考》 (上旬) ,2009,5. 5 王继龙,APOS 理论与锐角三角函数概念的形成, 《中学数学教学参考》 (上旬) ,2011,11. 6 章建跃,数学概念的理解与教学, 《中学数学教学参考》 (上旬) ,2010,11.

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教学中,现在该理论正逐步地渗透于我们的中学数学 教学中.本文首先谈了对 APOS 理论的认识,然后通过锐角三角函数的教学设计尝试了一下 APOS 理论数学概念教学中的...


基于APOS理论的函数概念教学设计

基于APOS 理论的函数概念教学设计[转载] 摘要:函数概念教学高中教学的难点,...确定的 与它 教师强调指出“ 教师提出下一个问题: 问题 5: ”仅仅是数学符号...


数学概念的理论分析以及基于APOS理论的教学设计

暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 数学概念的理论分析以及基于APOS理论的教学设计_理学_高等教育_教育专区。1.提交某个数学概念的理论分析以及基于 APOS 理论的...


浅谈中学函数概念的教学

百度文库 教育专区 高中教育 数学上传文档支持以下设备:扫二维码下载 AndroidiPhone...初中函数概念教学浅见 暂无评价 1页 0.50元 基于APOS理论的中学函数概... 暂无...


新课程理念下中学数学课堂教学方式与学习方式改革的实践研究”开题报告

基于APOS理论的数学概念... 5页 1下载券 新课程理念下高中数学课... 6页 ...“新课程理念下中学数学课堂教学方式与学习方式 改革的实践研究”开题报告 北京市...

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