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高三数学-2015届高三下学期第一次月考数学试题


一、填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上) 1.设集合 A ? ?1,2,4? , B ? ?2,6? ,则 A 【答案】 ?1,2,4,6? 【解析】 试题分析:直接由集合的并集的定义知, A ? B ? {1,2,4,6} ,故应填 ?1,2,4,6? . 考点:1.集合的基本运算; 2.设复数 z 满足 i( z ? 4) ? 3 ? 2i ( i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为 【答案】 ?3 【解析】 试题分析: 设复数 z ? a ? bi ,则由 i( z ? 4) ? 3 ? 2i 可得, i(a ? 4 ? bi) ? 3 ? 2i 整理得, .

B?



? b ? (a ? 4)i ? 3 ? 2i ,所以 b ? ?3, a ? 6 ,所以 z 的虚部为 b ? ?3 ,故应填 ?3 .
考点:1.复数的概念;2.复数的四则运算; 3.“ x ? 2 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的
2

条件. (填“充分不必要” , “必要不充

分” , “充分必要” , “既不充分又不必要” ) 【答案】必要不充分 【解析】 试题分析:当“ x ? 2 ”时,此时不能判断 x ? x ? 2 ? ( x ? 1)(x ? 2) 与 0 的大小关系,即
2
2 2 “ x ? 2 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的不充分条件;反过来, “x ? x?2? 0” ,则 ? 1 ? x ? 2 ,

即可得 x ? 2 ,即“ x ? 2 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的必要条件,故应填必要不充分.
2

考点:1.充分条件;2.必要条件; 4.一个容量为 20 的样本数据分组后, 分组与频数分别如下: 2; 3; ?10, 20? , ? 20,30? , ? 30, 40? , 4; ? 40,50? ,5; ? 50,60? ,4; ? 60,70? ,2.则样本在 ?10,50? 上的频率是 .

1

【答案】 【解析】

7 10

试题分析:由题意知,样本数据在 ?10,50? 上的频数为 14 个,样本容量为 20,由频率的计算 公式可得,样本在 ?10,50? 上的频率为 考点:1.频率分布表; 5.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球, 从中任取两个球, 则这两个球颜色相同的概 率为 【答案】 【解析】 试题分析:从中任取两个球共有红 1 红 2,红 1 白 1,红 1 白 2,红 2 白 1,红 2 白 2,白 1 白 2,共 6 种取法,其中颜色相同的只有 2 种,由古典概型及其概率计算公式可得,从中任 取两个球,这两个球颜色相同的概率为 P ? 考点:1.古典概型及其概率计算公式; 6.右图是一个算法流程图,则输出的 a 的值是 【答案】 127 【解析】 试 题 分 析 : 当 第 一 次 执 行 语 句 : a ? 2 ?1 ? 1 ? 3 ; 当 第 二 次 执 行 语 句 : . .

14 7 7 ? ,故应填 . 20 10 10

1 3

2 1 1 ? ,故应填 . 6 3 3

a ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 ;当第三次执行语句: a ? 2 ? 7 ? 1 ? 15 ;当第四次执行语句: a ? 2 ? 15 ? 1 ? 31 ;当第五次执行语句: a ? 2 ? 31 ? 1 ? 63 ;当第六次执行语
句: a ? 2 ? 63 ? 1 ? 127 ;故应填 127 . 考点:1.程序框图与算法; 7.在 ?ABC 中,已知 cos A ? 【答案】 【解析】 试 题 分 析 : 在 ?ABC 中 , 因 为 c o s A?

4 1 , tan( A ? B) ? ? ,则 tan C 的值是 5 2



11 2

t a nA ?

sin A 3 tan A ? tan B 1 1 ? , ?? , 又因为 tan( A ? B) ? ? , 所以 解得 tan B ? 2 , c o sA 4 1 ? tan A tan B 2 2

3 4 2 A ? 1? c o s A? ,所以 ,所以 sin 5 5

2

? ? ( A ? B)] ? ? tan(A ? B) ? ? 所以 tanC ? tan[

tan A ? tan B 11 11 ? ,故应填 . 1 ? tan A tan B 2 2

考点:1.同角三角函数的基本关系;2.两角和与差的正切公式; 8.若 PQ 是圆 x 2 ? y 2 ? 9 的弦, PQ 的中点是 ?1,2 ? ,则直线 PQ 的方程是 【答案】 y ? ? .

1 5 x? 2 2

【解析】 设圆的圆心为 O ,PQ 的中点是 E ?1,2 ? , 则 OE ? PQ , 所以 OE ? PQ , kOE ? 2 , 所以 k PQ ? ?

1 1 1 5 ,所以直线 PQ 的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 1) ,整理得 y ? ? x ? ,故应填 2 2 2 2

1 5 y ?? x? . 2 2
考点:1.直线与圆的位置关系; 9.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,给出以下四个结论: ① D1C ∥平面 A1 ABB1 ;② A1 D1 与平面 BCD1 相交; ③AD⊥平面 D1DB ;④平面 BCD1 ⊥平面 A1 ABB1 . 其中正确结论的序号是 【答案】①④ 【解析】 D 试题分析:对于①,因为平面 A1 ABB1 ∥平面 CDC1 D1 ,而 D1C ? 平面 A B C . A1 D1 B1 C1

CDC1 D1 , 故 D1C 与 平 面 A1 ABB1 没 有 公 共 点 , 所 以 D1C ∥ 平 面
A1 ABB1 ,即①正确;对于②,因为 A1 D1 ∥ BC ,所以 A1 D1 ? 平面 BCD1 ,所以②错误;
对于③,只有 AD ? D1 D ,而 AD 与平面 BCD1 内其他直线不垂直,所以③错误;对于④, 在正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中,容易知道 BC ? 平面 A 1 ABB1 ,而 BC ? 平面 BCD 1 ,所以 平面 BCD1 ? 平面 A1 ABB1 ,所以④正确.故应填①④. 考点:1.空间中直线与平面之间的位置关系;

3 10.设等比数列 ?an ? 的公比为 q ( 0 ? q ? 1 ) ,前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 4a3a4 ,且 a 6 与 a4 的等差 4
中项为 a5 ,则 S6 ? .

3

【答案】

63 4

11.已知函数 y ? a ? b(a ? 1, b ? 0) 的图像经过点 P(1,3) ,则
x

4 1 ? 的最小值为 a ?1 b



【答案】 【解析】

9 2

试题分析:因为函数 y ? ax ? b( a ? 1, b ? 0) 的图像经过点 P(1, 3) ,所以 3 ? a ? b ,所以

2 ? (a ? 1) ? b





4 1 (a ? 1) ? b 4 1 1 a ? 1 4b 1 9 ? ? ?( ? ) ? ? (4 ? ? ? 1) ? (5 ? 4) ? ,故应填 a ?1 b 2 a ?1 b 2 b a ?1 2 2 9 . 2
考点:1.指数函数;2.基本不等式的应用; 12.已知中心为 O 的正方形 ABCD 的边长为 2,点 M 、 N 分别为线段 BC 、 CD 上的两个不 同点,且 MN ? 1 ,则 OM ? ON 的取值范围是 【答案】 [2 ? 2, 2) 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 知 , MN ? (ON ? OM ) ? OM ? ON ? 2 ON? OM ? 1 , 所 以
2
?

?

?

?



? 2

?

?

?

2

? 2

?

?

2

OM ? ON ? 1 ? ? ? ON? OM 2
? 2 ? 2 ? 2

? 2

.



CM ? x, CN ? y

?

?





MN ? x 2 ? y 2 ? 1 . OM ? ON ? 1 ? (1 ? x) 2 ? 1 ? (1 ? y) 2 ? (1 ? x) 2 ? (1 ? y) 2 ? 2 ,
表 示单位 圆面 x ? y ? 1 上 的点与点 (1,1) 连 线的 距离的 平方加上 2 ,故 其最小 值为
2 2

4

( 2 ? 1) 2 ? 2 ? 5 ? 2 2 , 最 大 值 为 ( 2 ? 1) 2 ? 2 ? 5 ? 2 2 . 故 OM ? ON 的 最 下 值为
?

?

?

2

? ? OM ? ON ? 1 5 ? 2 2 ? 1 ? ? 2 ? 2 . 又 当 OM , ON 的 模 最 大 且 夹 角 最 小 时 , 2 2

? 2

OM ? ON 最大, OM ? ON 最大等于 2 ? 2 ? 2 , 故当 M , N 和点 C 重合时, 再由点 M , N
分别为线段 BC, CD 上的两个不同的点可得, OM ? ON 的最大值小于 2,故 OM ? ON 的取 值范围为 [2 ? 2, 2) ,所以应填 [2 ? 2, 2) . 考点:1.平面向量的数量积的应用;2.基本不等式的应用; 13.已知点 P(m, 4) 是椭圆
? ? ? ?

?

?

?

?

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的一点, F1 , F2 是椭圆的两个焦点,若 a 2 b2 3 ?PF1 F2 的内切圆的半径为 ,则此椭圆的离心率为 . 2

【答案】 【解析】

3 5
3 , 所 以 ?PF1 F2 2

试 题 分 析 : 因 为 ?PF1 F2

的内切圆的半[径为

的面积 的面积

S?

1 3 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 )r , 即 S ? (a ? c)r ? (a ? c) , 又 因 为 ?PF1 F2 2 2 1 3 c 3 3 S ? ? F1 F2 ? 4 ? 4c ,所以 (a ? c) ? 4c ,即 e ? ? ,故应填 . 2 2 a 5 5

考点:1.椭圆的基本性质;2.椭圆的定义; 14.设定义域为 (0,??) 的单调函数 f ( x ) ,对任意 x ? (0,??) ,都有 f [ f ( x) ? log2 x] ? 6 , 若 x 0 是方程 f ( x) ? f ?( x) ? 4 的一个解,且 x0 ? (a, a ? 1)(a ? N * ) ,则实数 a = 【答案】 1 【解析】 试题分析:由函数 f ( x ) 为单调函数,且对任意 x ? (0,??) ,都有 f [ f ( x) ? log2 x] ? 6 知, .

f ( x) ? log2 x 必 为 常 数 , 令 t ? f ( x) ? log2 x , 则 f ( x) ? l o 2 g x?t , 且 f (t ) ? l o2 t g? t ? 6 ,所以 t ? 4 ,所以 f ( x) ? log2 x ? 4 , f ' ( x ) ?
方 程 f ( x) ? f ?( x) ? 4 的 一 个 解 , 所 以 log2 x0 ? 4 ?

1 ,又因为 x 0 是 x ln 2

1 ?4 , 整 理 得 x0 ln 2

5

log2 x0 ?

1 ? 0 , 即 x0 ln 2 l o g 2 x0 ? 1 ? 0 , 令 h( x0 ) ? x0 ln 2 l o g 2 x0 ? 1 , 所 以 x0 ln 2

h(1) ? ?1 ? 0 , h(2) ? 2 ln 2 ? 1 ? 0 ,由零点存在性定理知, x0 ? (1,2) ,所以 a ? 1 .
考点:1.函数的基本性质;2.对数函数;3.导数的计算;4.函数与方程; 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分为 14 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos(

?
6

x?

?
3

)(0 ? x ? 5) ,点 A, B 分别是函数

y ? f ( x)
图象上的最高点和最低点. (1)求点 A, B 的坐标以及 OA ? OB 的值; (2)设点 A, B 分别在角 ? , ? (? , ? ? [0,2? ]) 的终边上,求 sin( 【答案】 (1) A(0,1), B(4,?2) , OA? OB ? ?2 ; (2) 【解析】 试题分析:(1)首先由 0 ? x ? 5 可知 ? 1 ? cos( 和最低点的纵坐标分别为
? ?

?
2

? 2 ? ) 的值.

7 2 . 10

?
6

x?

?
3

)?

1 ,即函数 y ? f ( x) 的最高点 2

1 ,?1 ,于是可分别求出其对应的自变量 x 的取值范围,进而求出 2

点 A, B 的坐标,最后运用向量数量积的坐标运算即可求出 OA ? OB 的值; (2)直接根据三 角函数的定义可得 ? ?

?
2

, sin ? ? ?

5 ,然后运用倍角公式分别求出 sin 2? 和 cos 2? , 5

最后由两角和差的正弦公式即可求出所求的结果. 试题解析: (1)因为 0 ? x ? 5 ,所以 当

?
3

?

?
6

x?

?
3

?

?
6

x?

?
3

?

?
3

7? ? ? 1 ,所以 ? 1 ? cos( x ? ) ? , 6 6 3 2

,即 x ? 0 时, f ( x) 取得最大值 1; 当

?

6

x?

?

3

? ? ,即 x ? 4 时, f ( x) 取
?

得最大值 -2 ,因此,所求的坐标为 A(0,1), B(4,?2) ,则 OA ? (0,1), OB ? (4,?2) ,所以

?

OA? OB ? ?2 ;
(2) 因 为 点 A(0,1), B(4,?2) 分 别 在 角 ? , ? (? , ? ? [0,2? ]) 的 终 边 上 , 则

?

?

6

??
cos ? ?

?
2

, sin ? ? ?

5 , 5 s 2? i ? 2n s ?i c 2 5 2 3 ) ?1 ? 5 5

2 5 5





?n o ? 2 ?s (?

2 5 2 5 4 )? ?? 5 5 5




cos 2? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 2 ? (?





sin(

?

? 2 3 4 7 2 ? 2 ? ) ? sin( ? 2? ) ? . ?( ? ) ? 2 4 2 5 5 10

考点:1.余弦函数的图像及其性质;2.向量数量积的坐标运算;3.倍角公式;4.两角和差的 正弦公式; 16. (本小题满分为 14 分) 如图, 过四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 形木块上底面内的一点 P 和下底面的对角线 BD 将木块锯开,得到截面 BDFE . (1)请在木块的上表面作出过 P 的锯线 EF ,并说明理由; (2)若该四棱柱的底面为菱形,四边形 BB1D1D 是矩形时,试证明:平面 BDEF ? 平 面 AC1CA1 .

【答案】 (1) 在上底面内过点 P 作 B1 D1 的平行线分别交 A1 D1 、A1 B1 于 F 、E 两点, 即 EF 即为所作的锯线.在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中,侧棱 B1 B ∥ D1 D 且 B1 B ? D1 D ,所

7

以四边形 B1 B D1 D 是平行四边形, B1 B ∥ BD ,又平面 ABCD ∥平面 A1 B1C1 D1 ,平面

BDFE ? 平面 ABCD ? BD ,平面 BDFE ? 平面 A1 B1C1 D1 ? EF ,所以 EF ∥ BD ,从
而 EF ∥ B1 D1 . (2) 证明: 由于四边形 B1 B1 DD1 是矩形, 所以 BD ? B1 B , 又 A1 A ∥ B1 B , 所 以 BD ? A1 A . 又 因 为 四 棱 柱 ABCD - A1B1C1D1 的 底 面 ABCD 是 菱 形 , 所 以

BD ? AC .因为 AC ? A1 A ? A ,AC ? 平面 A1C1CA ,A1 A ? 平面 A1C1CA , 所以 BD ?
平面 A1C1CA ,因为 BD ? 平面 BDFE 是,所以平面 BDFE ? 平面 A1C1CA . 【解析】 试题分析: (1)在上底面内过点 P 作 B1 D1 的平行线分别交 A1 D1 、 A1 B1 于 F 、 E 两点,即

EF 即为所作的锯线. 在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中,易知四边形 B1 B D1 D 是平行四
边形即 B1 B ∥ BD , 再由平面 ABCD ∥平面 A1 B1C1 D1 , 运用平面平行的性质即可得出 EF ∥ B1 D1 .(2)首先根据四边形 B1 B1 DD1 是矩形可得到 BD ? A1 A ,然后根据四棱柱

ABCD - A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形可得到 BD ? AC ,根据线面垂直的判定定理
知 BD ? 平面 A1C1CA ,最后由面面垂直的判定定理即可得出结论成立. 试题解析: (1)在上底面内过点 P 作 B1 D1 的平行线分别交 A1 D1 、 A1 B1 于 F 、 E 两点,即

EF 即为所作的锯线.在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中, 侧棱 B1 B ∥ D1 D 且 B1 B ? D1 D ,
所以四边形 B1 B D1 D 是平行四边形, B1 B ∥ BD ,又平面 ABCD ∥平面 A1 B1C1 D1 ,平面

BDFE ? 平面 ABCD ? BD ,平面 BDFE ? 平面 A1 B1C1 D1 ? EF ,所以 EF ∥ BD ,从
而 EF ∥ B1 D1 .

8

(2) 证明: 由于四边形 B1 B1 DD1 是矩形, 所以 BD ? B1 B , 又 A1 A ∥ B1 B , 所以 BD ? A1 A . 又 因 为 四 棱 柱 ABCD - A1B1C1D1 的 底 面 ABCD 是 菱 形 , 所 以 BD ? AC . 因 为

AC ? A1 A ? A , AC ? 平面 A1C1CA , A1 A ? 平面 A1C1CA ,所以 BD ? 平面 A1C1CA ,
因为 BD ? 平面 BDFE 是,所以平面 BDFE ? 平面 A1C1CA . 考点:1.平面与平面平行的性质及其判定定理;2.平面与平面垂直的判定定理;3.线面垂直 的判定定理; 17.(本小题满分为 14 分) 如图,已知中心在原点 O 、焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 M (2,1) ,离心率为 线 C 顶点在原点,对称轴为 x 轴且过点 M . 求椭圆 C 的方程和抛物线 C 的方程。
/ /

3 ,抛物 2

1 的直线 l 不过 M 点,与抛物线 C 交于 A、 B 两个不同的点,求证:直线 4 MA ,MB 与 x 轴总围成等腰三角形.
斜率为 ? y M O x A B

l

9

【解析】 试题分析: (1)首先设出椭圆 C 的方程和抛物线 C 的方程,然后分别根据椭圆 C 过点
/ /

M (2,1) ,且离心率为

3 / ,列出方程组即可求出椭圆 C 的方程和抛物线 C 过点 M (2,1) 可 2

得抛物线的方程; (2)设出直线 l 的方程及点 A, B 的坐标即

1 3 l : y ? ? x ? b (b ? ) A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) ,然后联立直线与抛物线 C 的方程并消去 y 得 4 2
到关于 x 的一元二次方程, 由韦达定理可得 x1 ? x2 ? 8(b ? 1) 入 k MA ? k MB 并化简即可得出 k MA ? k MB ? 0 ,即命题得证! 将其直接代 x1x2 ? 16b2 (1) ,

x2 y2 / 试题解析: (1) 设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 , 抛物线的方程为 y 2 ? 2 px , 则由椭圆 C a b
过点 M (2,1) ,且离心率为

4 1 3 c 3 2 2 ,所以 2 ? 2 ? 1 , ? ,联立可解得 a ? 8, b ? 2 , 2 a b a 2

所以椭圆 C 的方程为

/

x2 y2 ? ? 1 . 又因为抛物线 C 过点 M ,所以 1 ? 2 p ? 2 ,所以 8 2

p?

1 1 2 ,所以抛物线 C 的方程为 y ? x . 4 2

1 ? y ? ? x?b ? ? 4 1 3 (2)设 l : y ? ? x ? b (b ? ) A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) 联立方程组 ? 得 4 2 ? y2 ? 1 x ? ? 2
10

kMA ? kMB

1 2 x ? (b ? 1) x ? 2b 2 ? 0 所以 x1 ? x2 ? 8(b ? 1) x1x2 ? 16b2 (1) 8 1 1 (? x1 ? b ? 1)( x2 ? 2) ? (? x2 ? b ? 1)( x1 ? 2) y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) 4 ? ? ? ? 4 x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

1 ? ? ? x1 x2 ? ? 4b ? 2 ?? x1 ? x2 ? ? 16 ? b ? 1? ? ? ? 4 . 将(1)式代入上式得:kMA ? kMB =0 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

,MB 与 x 轴总围成等腰三角形. 即直线 MA 与 MB 关于 y 轴对称. 所以直线 MA
考点:1.椭圆的标准方程;直线与椭圆的综合问题; 18.(本小题满分为 16 分) 在长为 20 m,宽为 16 m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台 ( 圆心为点 C ) ,展厅入口 位于长方形的长边的中间,在展厅一角 B 点处安装监控摄像头,使点 B 与圆 C 在同一水平 面上,且展台与入口都在摄像头水平监控范围内 ( 如图阴影所示 ) .

?1? 若圆盘半径为 2

5 m,求监控摄像头最小水平视角的正切值;
,求圆盘半径的最大值.

? 2 ? 如果监控摄像头最大水平视角为 60

( 注:水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现
的夹角. )

【答案】(1) 1 ? 【解析】

3 5 ; (2) 5 3 ? 4 m. 10

试题分析:(1)过点 B 作圆 C 的切线 BE ,切点为 E ,设圆 C 所在平面上入口中点为 A , 连接 CA , CE , CB ,结合已知和图形可知摄像水平视角为 ?ABE 时水平摄像视角最小.

4 然 后 在 Rt ?ABC 中 由 已 知 可 得 tan ?ABC ? , 再 在 Rt ?BCE 中 根 据 题 意 可 计 算 出 5

tan?CBE ?

5 0 , 最后根据两角和的正切公式即可算出所求结果; (2) 当 ?ABE ? 60 时, 6
11

若直线 BE 与圆 C 相切,则圆 C 的半径最大. 在平面 ABC 内,以 B 为坐标原点, BA 为 x 轴建立平面直角坐标系,于是可求出直线 BE 的方程,然后由点到直线的距离即可所求. 试题解析:(1)如图,过点 B 作圆 C 的切线 BE ,切点为 E ,设圆 C 所在平面上入口中点为

A ,连接 CA , CE , CB ,则 CE ? BE , CA ? AB ,则摄像水平视角为 ?ABE 时水平
摄 像 视 角 最 小 . 在 Rt ?ABC 中 , AB ? 10, AC ? 8, t an?ABC ?

4 , 在 Rt ?BC E 中 , 5
, 所 以

CE ? 2 5 , BE ? CB 2 ? CE 2 ? 12



tan?CBE ?

5 6

4 5 ? 3 5 tan?ABE ? tan(?ABC ? ?CBE) ? 5 6 ? 1 ? , 10 4 5 1? ? 5 6
所以最小摄像视角的正切值为 1 ?

3 5 . 10

(2)当 ?ABE ? 60 时,若直线 BE 与圆 C 相切,则圆 C 的半径最大.在平面 ABC 内,以
0

B 为坐标原点,

BA 为 x 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 所 以 直 线 BE 方 程 为 y ? 3x , 所 以

CE ?

10 3 ? 8 ( 3) ? 1
2

? 5 3 ? 4 ,则圆 C 的最大半径为 5 3 ? 4 m.

考点:1.正切函数的定义;2.两角和的正切公式;3.三角函数的实际应用; 19.(本小题满分为 16 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 2 x ? a ln x . 2

(1)若 a ? ?1 ,求函数 f ( x ) 的极值,并指出极大值还是极小值; (2)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最值;

12

(3)若 a ? 1 ,求证:在区间 [1,??) 上,函数 f ( x ) 的图象在 g ( x ) ? 【 答 案 】( 1 )

2 3 x 的图象下方. 3

f ( x) 的 极 小 值 是 f (1) ?


1 , 无 极 大 值 .( 2 ) 2
明 : 令

h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ?
h?( x) ? x ?

1 2 2 x ? ln x ? x 3 ( x ? 1) , 2 3

1 ? 2x3 ? x 2 ? 1 ( x ? 1)(2 x 2 ? x ? 1) ? 2x 2 ? ?? ? 0 在 [1,??) 上 恒 成 立 , x x x 1 2 1 ? h( x) 在区间 [1,??) 上递减, 函数 f ( x ) ? h( x) ? h(1) ? ? ? ? ? 0 ? 在区间 [1,??) 上, 2 3 6 2 3 的图象在 g ( x ) ? x 的图象下方3
【解析】 试题分析: (1)首先由函数 f ( x ) ?

1 2 x ? a ln x 即可得出其定义域为 (0,??) ,然后求出其 2

导函数并判断导函数大于 0 和小于 0 时自变量 x 满足的区间, 进而判断函数的单调区间, 从 而可得到函数的极值; (2)若 a ? 1 ,首先求出其导函数并易判断其导函数在 [1, e] 上恒为正 的,所以函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的递增,即可求出函数 f ( x ) 的最大值和最小值; (3)要证明 在 区 间 [1,??) 上 , 函 数 f ( x ) 的 图 象 在 g ( x ) ?

2 3 x 的图象下方,即证明 3

h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ?

1 2 2 x ? ln x ? x 3 ( x ? 1) 在 [1,??) 上恒小于 0,于是求出其导函数并 2 3

判断函数的单调性,进而比较函数 h( x) 在 [1,??) 上的最大值与 0 的大小关系即可得出证明 的结论. 试题解析: (1) f ( x ) 的定义域是 (0,??) , f ?( x) ? x ?

1 x 2 ? 1 ( x ? 1)(x ? 1) . ? ? x x x

当 x ? (0,1) 时 f ?( x) ? 0 ? f ( x) 在 (0,1) 上递减; 当 x ? (1,??) 时 f ?( x) ? 0 ? f ( x) 在

(1,??) 上递增,

1 ,无极大值. 2 1 2 1 ? f ( x) 在 [1, e] 上递增, (2)f ( x) ? x ? ln x ? f ?( x) ? x ? ? 0 恒成立对 x ? [1, e] , 2 x 1 1 ? f ( x) max ? f (e) ? e 2 ? 1, f ( x) min ? f (1) ? . 2 2 1 2 2 3 证明:令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? ln x ? x ( x ? 1) , 2 3
? f ( x) 的极小值是 f (1) ?
13

1 ? 2x3 ? x 2 ? 1 ( x ? 1)(2 x 2 ? x ? 1) ? 2x 2 ? ?? ? 0 在 [1,??) 上恒成立, x x x 1 2 1 ? h( x) 在区间 [1,??) 上递减,? h( x) ? h(1) ? ? ? ? ? 0 2 3 6 2 ? 在区间 [1,??) 上,函数 f ( x) 的图象在 g ( x ) ? x 3 的图象下方3 h?( x) ? x ?
考点:1. 导数在研究函数的极值中的应用;2.导数在求区间上的最值;3.导数在证明不等 式中的应用; 20.(本小题满分为 16 分) 数列 an ? , bn ? , cn ? 满足: bn ? an ? 2an?1 , cn ? an?1 ? 2an?2 ? 2 , n ? N * . (1)若数列 an ? 是等差数列,求证:数列 bn ? 是等差数列; (2)若数列 bn ? , cn ? 都是等差数列,求证:数列 an ? 从第二项起为等差数列; (3)若数列 bn ? 是等差数列,试判断当 b1 ? a3 ? 0 时,数列 an ? 是否成等差数列?证明你 的结论. 【答案】 (1)设数列 an ? 的公差为 d ,∵ bn ? an ? 2an?1 , ∴ bn?1 ? bn ? (an?1 ? 2an?2 ) ? (an ? 2an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? 2(an?2 ? an?1 ) ? d ? 2d ? ?d , ∴ 数 列 bn ? 是 公 差 为 ? d 的 等 差 数 列 . ( 2 ) 当 n ? 2 时 , cn?1 ? an ? 2an?1 ? 2 , ∵

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

bn ? an ? 2 an ?1
an ?1 ? an ?






an ?

bn ? cn ?1 ?1 2


?



an ?1 ?

bn ?1 ? cn ?1 2





bn ?1 ? c nb ? c ?n 1b ? n? b 1 c ? c ? ? ? n 2 2 2

n 1 n n ,∵数列 b n ? , cn ? 都是等差数列,

2

?

?

bn ?1 ? bn cn ? cn ?1 ? 为常数,∴数列 ?an ? 从第二项起为等差数列. (3)数列 ?an ? 成 2 2

等差数列. 【解析】 试题分析: (1)根据等差数列的定义知,要证数列 bn ? 是等差数列,即证明

?

为常

数即可,于是结合已知等式 bn ? an ? 2an?1 并作差化简即可证明所给的结论; (2)要证明数 列 an ? 从第二项起为等差数列,即证明当 n ? 2 时,

?

为常数即可,结合已知

bn ? an ? 2an?1 , cn?1 ? an ? 2an?1 ? 2 可得 an ?

bn ? cn ?1 b ?c ? 1 , an ?1 ? n ?1 n ? 1 ,将两者 2 2
于是令 ?1 ,

进行作差化简即可证明所给的结论; (3) 当 b1 ? a3 ? 0 时, ∵ bn ?an ? 2 an
14

n ?1,

即可得出 a1 , a2 , a3 之间的等式关系即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 ,结合 bn ? an ? 2an?1 可知

bn?1 ? an?1 ? 2an?2 ,从而可求出 2bn?1 ? bn ? bn?2 ,再由数列 ?bn ? 是等差数列可得 2bn?1 ? bn ? bn?2 ? 0 ,即可得出 2an?1 ? an ? an?2 ? 2(2an?2 ? an?1 ? an?3 ) ,进而可证明数列

?a ? 是等差数列.
n

试题解析: (1)设数列 an ? 的公差为 d ,∵ bn ? an ? 2an?1 , ∴ bn?1 ? bn ? (an?1 ? 2an?2 ) ? (an ? 2an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? 2(an?2 ? an?1 ) ? d ? 2d ? ?d , ∴数列 bn ? 是公差为 ? d 的等差数列. ( 2 ) 当 n ? 2 时 , cn?1 ? an ? 2an?1 ? 2 , ∵ bn ? an ? 2 an?1 , ∴ an ?

?

?

bn ?1 ? cn ? 1, 2 b ? cn bn ? cn ?1 bn ?1 ? bn cn ? cn ?1 ? ? ? ∴ an ?1 ? an ? n ?1 , ∵数列 ?bn ? , ?cn? 都是等差数列, 2 2 2 2 b ? bn cn ? cn ?1 ? ∴ n ?1 为常数,∴数列 ?an ? 从第二项起为等差数列. 2 2 an ?1 ?

bn ? cn ?1 ?1 ,∴ 2

15

考点:1.等差数列;2.等比数列;

16



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