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云南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)


云南师大附中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 2 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=() A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2} 2. (5 分)在复平面内,复数 z=﹣i +i 的共轭复数对应的点位于() A.第一

象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. (5 分)在等差数列{an}中,a3+a9=12,则数列{an}的前 11 项和 S11 等于() A.33 B.44 C.55 D.66 4. (5 分)函数 f(x)=e ﹣e +1,若 f(m)=2,则 f(﹣m)=() A.﹣2 B . ﹣1 C. 0 D.1 5. (5 分)如图,某三棱锥的三视图均为直角边为 1 的等腰直角三角形,则该三棱锥的表面积 为()
x
﹣x

2

3

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该 正方形边长的概率为() A. B. C. D.

7. (5 分)执行如图所示框图,则输出 S 的值为()

A.

B. ﹣

C.

D.﹣

8. (5 分)关于两条不同的直线 m、n 与两个不同的平面 α、β,有下列四个命题: ①若 m∥α,n∥β 且 α∥β,则 m∥n; ②若 m∥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m∥n; ③若 m?α,n?β 且 α⊥β,则 m⊥n; ④若 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m⊥n. 其中假命题有() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个

9. (5 分)F1、F2 分别是椭圆 △ PF1F2 的面积为() A.24 B.24

=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,且|PF1|﹣|PF2|=2,则

C.48

D.48

10. (5 分)在△ ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的() A.充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

11. (5 分)双曲线

=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线 y =20x 的焦点重合,且抛

2

物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 4,则双曲线的离心率为() A. B. C. D.

12. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 xf′(x)+f(x)>0,当 0<a<b<1 时,下面 选项中最大的一项是() A.a f(a )
b b

B.b f(b )

a

a

C.logab?f(logab)

D.logba?f(logba)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)已知向量 、 的夹角为 60°,且| |=1,| |=2,则|2 + |=.

14. (5 分)设 x,y 满足不等式组

,则 z=2x﹣y 的最小值是.

15. (5 分)无论从左往右读,还是从右往左读,都是同一个数,称这样的数为“和谐数”,如: 88,454,7337,43534 等都是“和谐数”.

两位的“和谐数”有 11,22,33,44,55,66,77,88,99,共 9 个; 三位的“和谐数”有 101,111,121,131,…,969,979,989,999,共 90 个; 四位的“和谐数”有 1001,1111,1221,…,9669,9779,9889,9999,共 90 个; 由此推测:六位的“和谐数”总共有个. 16. (5 分)三个半径均为 3 的球 O1、O2、O3 与半径为 1 的球 l 两两外切,则以 O1、O2、O3 和 l 为四个顶点的三棱锥外接球的半径为.

三、解答题(共 8 小题,满分 90 分) 17. (12 分)已知数列{an}满足 an=2an﹣1+1(n≥2)且 a1=1,bn=log2(a2n+1+1) ,cn= (Ⅰ)求证:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{cn}的前 n 项和 sn. 18. (12 分) 某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动. 他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间. 按 年龄分组:第 1 组[25,30) ,第 2 组[30,35) ,第 3 组[35,40) ,第 4 组[40,45) ,第 5 组[45, 50],得到的频率分布直方图如图所示.下表是年龄的频率分布表. 区间 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50] 人数 25 a b (1)求正整数 a,b,N 的值; (2)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,则年龄在第 1,2,3 组 的人数分别是多少? (3)在(2)的条件下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求恰有 1 人在第 3 组的概率. ﹣1

19. (12 分)如图所示,已知四棱锥 P=ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°, AB=BC=PB=PC=2,CD=1,侧面 PBC⊥底面 ABCD,点 F 在线段 AP 上,且满足 PF=λPA. (Ⅰ)当 λ= 时,求证:DF∥平面 PBC; (Ⅱ)当 λ= 时,求三棱锥 F﹣PCD 的体积.

20. (12 分)如图,椭圆 E:

=1(a>b>0)的右焦点 F2 与抛物线 y =4

2

x 的焦点重

合, 过 F2 作与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 S、 T 两点, 与抛物线交于 C、 D 两点, 且 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 若过点 M (3, 0) 的直线 l 与椭圆 E 交于两点 A、 B, 设 P 为椭圆上一点, 且满足 (O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值范围. + =t



21. (12 分)已知函数 f(x)=x(lnx+1) (x>0) . (Ⅰ)令 F(x)=﹣ (x) ,讨论函数 F(x)的单调性;

(Ⅱ)若直线 l 与曲线 y=f′(x)交于 A(x1,y1) 、B(x2,y2) (x1<x2)两点.求证:x1< .

22. (10 分)如图,已知⊙O 和⊙M 相交于 A、B 两点,AD 为⊙M 的直径,直线 BD 交⊙O 于点 C,点 G 为弧 BD 的中点,连接 AG 分别交⊙O、BD 于点 E、F,连接 CE. (Ⅰ)求证:AC 为⊙O 的直径. (Ⅱ)求证:AG?EF=CE?GD.

23. (10 分)在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 C: ρsin θ=2acosθ(a>0) ,已知过点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方程为 曲线 C 分别交于 M,N. (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 24. (10 分)设 a>0,b>0,m>0,n>0. 2 4 4 2 3 3 (Ⅰ)证明: (m +n ) (m +n )≥4m n ; 2 2 2 2 (Ⅱ)a +b =5,ma+nb=5,求证:m +n ≥5.
2

,直线 l 与

云南师大附中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 2 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=() A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 解出集合 A,再由交的定义求出两集合的交集. 解答: 解:∵A={x|x ﹣2x=0}={0,2},B={0,1,2}, ∴A∩B={0,2} 故选 C 点评: 本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键. 2. (5 分)在复平面内,复数 z=﹣i +i 的共轭复数对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、共轭复数、几何意义即可得出. 解答: 解:在复平面内,复数 z=﹣i +i =1﹣i 的共轭复数 =1+i 对应的点(1,1)位于第一 象限, 故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则、共轭复数、几何意义,属于基础题. 3. (5 分)在等差数列{an}中,a3+a9=12,则数列{an}的前 11 项和 S11 等于()
2 3 2 3 2

A.33

B.44

C.55

D.66

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知得 S11= = ,由此能求出结果.

解答: 解:∵在等差数列{an}中,a3+a9=12, ∴数列{an}的前 11 项和: S11= = = =66. 故选:D. 点评: 本题考查等差数列的前 11 项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数 列的性质的合理运用. 4. (5 分)函数 f(x)=e ﹣e +1,若 f(m)=2,则 f(﹣m)=() A.﹣2 B . ﹣1 C. 0 D.1 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 令 g(x)=f(x)﹣1=e ﹣e ,运用奇偶性的定义,判断 g(x)为奇函数,再由 f (m)=2,即可得到 f(﹣m)的值. 解答: 解:函数 f(x)=e ﹣e +1, ﹣x x 令 g(x)=f(x)﹣1=e ﹣e , ﹣x x g(﹣x)=f(﹣x)﹣1=e ﹣e , g(﹣x)+g(x)=0,即有 g(x)为奇函数. 则有 g(﹣m)+g(m)=0,即 f(m)+f(﹣m)﹣2=0, 由于 f(m)=2,则 f(﹣m)=2﹣f(m)=0, 故选 C. 点评: 本题考查函数的奇偶性的运用:求函数值,考查运算能力,属于基础题. 5. (5 分)如图,某三棱锥的三视图均为直角边为 1 的等腰直角三角形,则该三棱锥的表面积 为()
x
﹣x

x

﹣x

x

﹣x

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知:该几何体为三棱锥,其中 PA⊥平面 ABC,AC⊥BC.PA=AC=CB=1 即可得出. 解答: 解:由三视图可知:该几何体为三棱锥, 其中 PA⊥平面 ABC,AC⊥BC.PA=AC=CB=1. ∴该三棱锥的表面积 S= =1+ . +

点评: 本题考查了三棱锥的三视图,线面垂直的性质、直角三角形的面积计算公式,属于 基础题. 6. (5 分)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该 正方形边长的概率为() A. B. C. D.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 应用题;概率与统计;排列组合. 分析: 设正方形边长为 1,则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,共有 10 条线段,4 条长度为 1,4 条长度为 ,两条长度为 ,即可得出结论.

解答: 解:设正方形边长为 1,则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,共有 10 条线段,4 条长度为 1,4 条长度为 ∴所求概率为 = . ,两条长度为 ,

故选:C. 点评: 本题考查概率的计算,列举基本事件是关键. 7. (5 分)执行如图所示框图,则输出 S 的值为()

A.

B. ﹣

C.

D.﹣

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,写出每次循环得到的 S,α 的值,当 k=5 时,满足条件 k>4,输出 S 的值为﹣ .

解答: 解:执行程序框图,有 k=1,S=1,α= S= ,α=

不满足条件 k>4,k=3 S= ,α=

不满足条件 k>4,k=5 S=﹣ ,α= .

满足条件 k>4,输出 S 的值为﹣

故选:D. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题. 8. (5 分)关于两条不同的直线 m、n 与两个不同的平面 α、β,有下列四个命题: ①若 m∥α,n∥β 且 α∥β,则 m∥n; ②若 m∥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m∥n; ③若 m?α,n?β 且 α⊥β,则 m⊥n; ④若 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m⊥n. 其中假命题有() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 计算题;空间位置关系与距离.

分析: 对四个命题,利用空间中线线、线面、面面间的位置关系,分别判断能求出结果. 解答: 解:对于①,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, A1D1∥平面 ABCD,AD∥平面 A1B1C1D1,A1D1∥AD; EP∥平面 ABCD,PQ∥平面 A1B1C1D1,EP∩PQ=P; A1D1∥平面 ABCD,PQ∥平面 A1B1C1D1,A1D1 与 PQ 异面. 综上,直线 m,n 与平面 α,β,m∥α,n∥β 且 α∥β, 则直线 m,n 的位置关系为平行或相交或异面.故①为假命题; 当 m?β 时,则 m⊥n,故②为假命题; ∵m?α,n?β,且 α⊥β,∴根据当 m⊥β,可以推出直线 m 垂直于 β 内的所有条件,可以得 到垂直与直线 n,故③为假命题; 由 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m 与 n 一定不平行,否则有 α∥β,与已知 α⊥β 矛盾,通过平移 使得 m 与 n 相交, 且设 m 与 n 确定的平面为 γ, 则 γ 与 α 和 β 的交线所成的角即为 α 与 β 所成的角, 因为 α⊥β, 所以 m 与 n 所成的角为 90°,故④正确 故选:C.

点评: 本题考查两直线位置关系的判断,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养.

9. (5 分)F1、F2 分别是椭圆 △ PF1F2 的面积为() A.24 B.24

=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,且|PF1|﹣|PF2|=2,则

C.48

D.48

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆的定义, 结合|PF1|﹣|PF2|=2, 可得|PF1|=8, |PF2|=6, 进而 PF1⊥PF2, 则△ PF1F2 的面积可求. 解答: 解:由题意,|PF1|+|PF2|=14, ∵|PF1|﹣|PF2|=2, ∴|PF1|=8,|PF2|=6, ∵|F1F2|=10, ∴PF1⊥PF2, ∴△PF1F2 的面积为 =24,

故选:B. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质以及根据一些性质求面积,确定 PF1⊥PF2 是关键. 10. (5 分)在△ ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的() A.充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 充要条件. 专题: 规律型. 分析: 由正弦定理知 得结论. 解答: 解:由正弦定理知 =2R, ,由 sinA>sinB,知 a>b,所以 A>B,反之亦然,故可

∵sinA>sinB, ∴a>b, ∴A>B. 反之,∵A>B,∴a>b, ∵a=2RsinA,b=2RsinB,∴sinA>sinB 故选 A. 点评: 本题以三角形为载体,考查四种条件,解题的关键是正确运用正弦定理及变形.

11. (5 分)双曲线

=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线 y =20x 的焦点重合,且抛

2

物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 4,则双曲线的离心率为() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定抛物线 y =20x 的焦点坐标、双曲线
2

=1(a>0,b>0)的一条渐近线的

方程,利用抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 4,求出 b,a,即可求出双曲线的离心率. 解答: 解:抛物线 y =20x 的焦点坐标为(5,0) ,双曲线 渐近线的方程为 bx+ay=0, ∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 4, ∴ =4,即 b=4,
2

=1(a>0,b>0)的一条

∵c=5,∴a=3, ∴双曲线的离心率为 e= = , 故选:C. 点评: 本题考查双曲线的离心率,考查抛物线的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 12. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 xf′(x)+f(x)>0,当 0<a<b<1 时,下面 选项中最大的一项是() b b a a A.a f(a ) B.b f(b ) C.logab?f(logab) D.logba?f(logba) 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 通过构造新函数构造函数 F(x)=xf(x)得出 F(x)在 R 上是增函数,在 a ,b , loga(b) ,logb(a)中 logb(a)最大,从而得出答案. 解答: 解:构造函数 F(x)=xf(x) 则 F'(x)=xf'(x)+f(x)>0 即 F(x)在 R 上是增函数, 又由 0<a<b<1 b a 知 a ,b <1 而 loga(b)<loga(a)=1 logb(a)>logb(b)=1 b a 故在 a ,b ,loga(b) ,logb(a)中 logb(a)最大 a?f(logb a) 故 F(logb(a) )=logb 最大 故选 D. 点评: 本题考查了函数的单调性问题,考查了转化思想,是一道中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)已知向量 、 的夹角为 60°,且| |=1,| |=2,则|2 + |= 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据平面向量的数量积求出模长即可. 解答: 解:∵向量 、 的夹角为 60°,且| |=1,| |=2, ∴|2 + | =4 ∴|2 + |=2 ,
2 b a



+4| || |cos60°+| | =4+4+4=12,

2

故答案为:2 点评: 本题考查了平面向量的数量积的应用问题,解题时应利用数量积求出模长,是基础 题.

14. (5 分)设 x,y 满足不等式组

,则 z=2x﹣y 的最小值是﹣2.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: aaaa 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求目标函数 z=2x﹣y 的最小值. 解答: 解:由 z=2x﹣y,得 y=2x﹣z,作出不等式对应的可行域(阴影部分) , 平移直线 y=2x﹣z,由平移可知当直线 y=2x﹣z, 经过点 A 时,直线 y=2x﹣z 的截距最大,此时 z 取得最小值, 由 ,解得 ,即 A(0,2) .

将 A(0,2)坐标代入 z=2x﹣y,得 z=0﹣2=﹣2, 即目标函数 z=2x﹣y 的最小值为﹣2. 故答案为:﹣2.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法. 15. (5 分)无论从左往右读,还是从右往左读,都是同一个数,称这样的数为“和谐数”,如: 88,454,7337,43534 等都是“和谐数”. 两位的“和谐数”有 11,22,33,44,55,66,77,88,99,共 9 个; 三位的“和谐数”有 101,111,121,131,…,969,979,989,999,共 90 个; 四位的“和谐数”有 1001,1111,1221,…,9669,9779,9889,9999,共 90 个; 由此推测:六位的“和谐数”总共有 900 个. 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 根据新定义,可以判断各位数的情况,根据分步计数可得答案 解答: 解: 根据“和谐数”的定义, “和谐数”的首位和末尾是相同的, 故两位或两位以上的“和 谐数”的末尾不能为 0,故末尾和首位有 9 种选择,其余的有 10 种选择.

对于位数是偶数的“和谐数”,其中有一半位数确定了,这个数就确定了. 故有 9×10×10=900 个, 故答案为:900. 点评: 本题主要考查排列、 组合以及两个基本原理的应用, 注意理解“和谐数”的定义和特点, 属于中档题. 16. (5 分)三个半径均为 3 的球 O1、O2、O3 与半径为 1 的球 l 两两外切,则以 O1、O2、O3 和 l 为四个顶点的三棱锥外接球的半径为 4. 考点: 球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据题意得出三棱锥底面边长为 6,侧棱长为 4 的正三棱锥 L=O1O2O3,利用正三角 形 O1O2O3 的中心,求出 LM= =2,根据 R =(R﹣2) +(2
2 2 2

) 求解即可.

解答: 解:∵三个半径均为 3 的球 O1、O2、O3 与半径为 1 的球 l 两两外切,以 O1、O2、 O3 和 l 为四个顶点的三棱锥 ∴三棱锥底面边长为 6,侧棱长为 4 的正三棱锥 L=O1O2O3,

M 为正三角形 O1O2O3 的中心, MO3=2 ,LM= =2,

∴设三棱锥外接球的半径为 R, 2 2 2 ∴R =(R﹣2) +(2 ) , 解得:R=4, 故答案为:4. 点评: 本题考查了空间几何体的性质,构造正三棱锥求解即可,属于中档题. 三、解答题(共 8 小题,满分 90 分) 17. (12 分)已知数列{an}满足 an=2an﹣1+1(n≥2)且 a1=1,bn=log2(a2n+1+1) ,cn= (Ⅰ)求证:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; ﹣1

(Ⅱ)求数列{cn}的前 n 项和 sn. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)把已知的数列递推式 an=2an﹣1+1 变形,得到 an+1=2(an﹣1+1) (n≥2) ,由此得 到数列{an+1}为等比数列,求其通项公式后可得数列数列{an}的通项公式; (Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的通项公式代入 bn=log2(a2n+1+1) ,进一步代入 cn= 项相消法求和. 解答: (Ⅰ)证明:由 an=2an﹣1+1(n≥2) ,知 an+1=2(an﹣1+1) (n≥2) , 又 a1+1=2≠0, ∴{an+1}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列, 故 ∴ ; , ﹣1,然后由裂

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 bn=log2(a2n+1+1)=2n+1, cn= ﹣1= ,



=



点评: 本题考查了数列递推式,考查了等比数列的确定,训练了裂项相消法求数列的和, 是中档题. 18. (12 分) 某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动. 他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间. 按 年龄分组:第 1 组[25,30) ,第 2 组[30,35) ,第 3 组[35,40) ,第 4 组[40,45) ,第 5 组[45, 50],得到的频率分布直方图如图所示.下表是年龄的频率分布表. 区间 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50] 人数 25 a b (1)求正整数 a,b,N 的值; (2)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,则年龄在第 1,2,3 组 的人数分别是多少? (3)在(2)的条件下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求恰有 1 人在第 3 组的概率.

考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题: 图表型;概率与统计. 分析: (1)根据小矩形的高= (2)计算分层抽样的抽取比例为 ,故频数比等于高之比,由此可得 a、b 的值; = ,用抽取比例乘以每组的频数,可得每组抽取人数;

(3)利用列举法写出从 6 人中随机抽取 2 人的所有基本事件,分别计算总个数与恰有 1 人在 第 3 组的个数,根据古典概型概率公式计算. 解答: 解: (1)由频率分布直方图可知,[25,30)与[30,35)两组的人数相同, ∴a=25 人. 且 总人数 人. 人.

(2)因为第 1,2,3 组共有 25+25+100=150 人,利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人,每 组抽取的人数分别为: 第 1 组的人数为 第 2 组的人数为 第 3 组的人数为 , , ,

∴第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人. (3)由(2)可设第 1 组的 1 人为 A,第 2 组的 1 人为 B,第 3 组的 4 人分别为 C1,C2,C3, C4,则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为: (A,B) , (A,C1) , (A,C2) , (A,C3) , (A,C4) , (B,C1) , (B,C2) , (B,C3) , (B, C4) , (C1,C2) , (C1,C3) , (C1,C4) , (C2,C3) , (C2,C4) , (C3,C4) ,共有 15 种. 其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为: (A,C1) , (A,C2) , (A,C3) , (A,C4) , (B, C1) , (B,C2) , (B,C3) , (B,C4) ,共有 8 种. 所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为 .

点评: 本题考查了频率分布直方图及古典概型的概率计算,解答此类题的关键是读懂频率 分布直方图的数据含义,小矩形的高= .

19. (12 分)如图所示,已知四棱锥 P=ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°, AB=BC=PB=PC=2,CD=1,侧面 PBC⊥底面 ABCD,点 F 在线段 AP 上,且满足 PF=λPA. (Ⅰ)当 λ= 时,求证:DF∥平面 PBC; (Ⅱ)当 λ= 时,求三棱锥 F﹣PCD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)当 时,点 F 为 PA 的中点,取 PB 的中点 O,连接 OF、OC,由已知得四

边形 CDFO 为平行四边形,由此能证明 DF∥平面 PBC. (Ⅱ)取 BC 的中点 I,连接 PI,则 F﹣PCD 的体积. 解答: (Ⅰ)证明:当 时,点 F 为 PA 的中点, ,由此能求出三棱锥

如图 1,取 PB 的中点 O,连接 OF、OC, 则 OF∥AB,且 又由题意知,CD∥AB 且 CD=1, 所以 CD∥OF 且 CD=OF, 故四边形 CDFO 为平行四边形, 所以 DF∥OC,又由 DF?平面 PBC,且 OC?平面 PBC, 所以 DF∥平面 PBC. (Ⅱ)解:如图 2,取 BC 的中点 I,连接 PI,由 BC=PB=PC=2, 则 PI⊥BC,且 , 又侧面 PBC⊥底面 ABCD 且平面 PBC∩平面 ABCD=BC, 所以 PI⊥平面 ABCD,所以 由题意知, 由 ,则 . ,所以 ,

三棱锥 F﹣PCD 的体积为

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,是中档题,解题时要 认真审题,注意空间思维能力的培养.

20. (12 分)如图,椭圆 E:

=1(a>b>0)的右焦点 F2 与抛物线 y =4

2

x 的焦点重

合, 过 F2 作与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 S、 T 两点, 与抛物线交于 C、 D 两点, 且 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 若过点 M (3, 0) 的直线 l 与椭圆 E 交于两点 A、 B, 设 P 为椭圆上一点, 且满足 (O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值范围. + =t



考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由焦点 F2( ,0) ,故可设椭圆的方程为 ,求出 C,D 的坐标,

由抛物线与椭圆的对称性,可得 S(

, ) ,代入椭圆方程,即可求椭圆 E 的方程; + =t ,求出

(Ⅱ)分类讨论,设出直线的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,结合 P 的坐标,代入椭圆方程,求出实数 t 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)由抛物线方程,得焦点 F2(

,0) ,故可设椭圆的方程为



解方程组

解得 C(

,2

) ,D(

,﹣2

) ,

由抛物线与椭圆的对称性,可得:

=

,所以|F2S|= ,所以 S(

, ) .

因此

,解得 b=1,故而 a=2, .

所以椭圆 E 的方程为

(Ⅱ)由题意知直线 l 的斜率存在,设其为 k. ①当 k=0 时,所以 t=0; ②当 k≠0 时,则直线 l 的方程为 y=k(x﹣3) , 2 2 2 2 代入椭圆方程,消去 y 并整理得: (1+4k )x ﹣24k x+36k ﹣4=0, 由△ >0,得 0<k < ,
2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,P(x0,y0) ,则 x1+x2=

,x1x2=



因为

+

=t

,所以(x1+x2,y1+y2)=t(x0,y0) , ,y0= .

所以 x0= (x1+x2)=

因为点 P 在椭圆上,所以[ 解得 t =9﹣
2 2

] +[

2

] =4,

2


2

由于 0<k < ,故而 0<t <4,所以 t∈(﹣2,0)∪(0,2) , 综合①②可知,t∈(﹣2,2) . 点评: 本题重点考查圆锥曲线的方程,考查直线与圆锥曲线的位置关系,解题的关键是利 用待定系数法求圆锥曲线的方程. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x(lnx+1) (x>0) . (Ⅰ)令 F(x)=﹣ (x) ,讨论函数 F(x)的单调性;

(Ⅱ)若直线 l 与曲线 y=f′(x)交于 A(x1,y1) 、B(x2,y2) (x1<x2)两点.求证:x1< .

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;证明题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)由题意,求导 f′(x)=lnx+2, (x>0) ;从而可得 F(x)=﹣ x +lnx+2, (x>
2

0) ;再求导 F′(x)=﹣x+ =

;从而确定函数的单调区间;

(Ⅱ) 由题意, x1<

可化为 1<



, 再令

=t>1,

从而转化为证明 1<

<t,即 lnt<t﹣1<tlnt, (t>1) ;构造函数,通过函数的单调性证明

即可. 解答: 解: (Ⅰ)由题意,f′(x)=lnx+2, (x>0) ; F(x)=﹣ x +lnx+2, (x>0) ;
2

∴F′(x)=﹣x+ =



故当 x∈(0,1)时,F′(x)>0,当 x∈(1,+∞)时,F′(x)<0; 综上所述,F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; (Ⅱ)证明:由题意,要证 x1< ,

即证 x1<

<x2,

即证 1<







=t>1;

则只需证明 1<

<t,由 lnt>0;

即证明:lnt<t﹣1<tlnt, (t>1) ; ①设 g(t)=t﹣1﹣lnt, (t≥1) , 则 g′(t)=1﹣ ≥0; 故 g(t)在[1,+∞)上单调递增,而当 t>1 时,g(t)=t﹣1﹣lnt>g(1)=0, 即 lnt<t﹣1; ②设 h(t)=tlnt﹣(t﹣1) ,则 h′(t)=lnt≥0; 故 h(t)在[1,+∞)上单调递增,而当 t>1 时,h(t)=t﹣1﹣lnt>h(1)=0, 即 tlnt>t﹣1; 综上所述,x1< .

点评: 本题考查了导数的综合应用及利用函数的单调性证明不等式的方法应用,属于中档 题. 22. (10 分)如图,已知⊙O 和⊙M 相交于 A、B 两点,AD 为⊙M 的直径,直线 BD 交⊙O 于点 C,点 G 为弧 BD 的中点,连接 AG 分别交⊙O、BD 于点 E、F,连接 CE. (Ⅰ)求证:AC 为⊙O 的直径. (Ⅱ)求证:AG?EF=CE?GD.

考点: 圆周角定理;相似三角形的判定;相似三角形的性质. 专题: 证明题. 分析: ( I)要证 AC 为⊙O 的直径,只需证出=90°即可.∠ABC 连接 DG,AB,根据圆周 角定理得出∠ABD=∠AGD=90°后,则可得到证明. (Ⅱ)要证 AG?EF=CE?GD,可考虑证明△ AGD∽△ECF.两三角形均为直角三角形,再通 过∠GAD=∠GAB=∠BCE,则可证出△ AGD∽△ECF. 解答: 证明: ( I)连接 DG,AB ∵AD 为⊙M 的直径 ∴∠ABD=∠AGD=90° 在⊙O 中,∠ABC=∠AEC=∠ABD=90° ∴AC 为⊙O 的直径. …(4 分) ( II)∵∠AEC=90° ∴∠CEF=90° ∵点 G 为弧 BD 的中点 ∴∠GAD=∠GAB, 在⊙O 中,∠BCE=∠GAB ∴△AGD∽△ECF ∴AG?EF=CE?GD…(10 分)

点评: 本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理.在以圆为背景的条件下,要充分 利用圆的几何性质、圆周角定理,弦切角定理等,寻求相等角实现转化与代换.

23. (10 分)在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 C: ρsin θ=2acosθ(a>0) ,已知过点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方程为 曲线 C 分别交于 M,N. (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 考点: 直线的参数方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)利用极坐标化为直角坐标方程的公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ 可得曲线 C 的方程;消 去参数 t 即可得到直线 l 的方程; (2)把直线的方程代入抛物线的方程得到根与系数的关系,利用两点间的距离公式和等比数 列的定义即可得出. 2 2 2 2 解答: 解: (1)由曲线 C:ρsin θ=2acosθ(a>0) ,可得 ρ sin θ=2aρcosθ,化为 y =2ax. 由直线 l 的参数方程为 ,消去参数 t 可得直线 l:y=x﹣2.
2

,直线 l 与

(2)联立
2



化为 x ﹣(4+2a)x+4=0, ∵直线 l 与抛物线相交于两点, 2 ∴△=(4+2a) ﹣16>0,解得 a>0 或 a<﹣4. (*) ∴x1+x2=4+2a,x1x2=4. ∴|MN|= = = ,|PN|= . = .

∴|PM||PN|=2|(x1+2) (x2+2)|=2|x1x2+2(x1+x2)+4| =2|16+4a| ∵|PM|,|MN|,|PN|成等比数列, 2 ∴|MN| =|PM||PN|, ∴ =2|16+4a|,

化为 a(4+a)=|4+a|, ∵a>0 或 a<﹣4. 解得 a=1. ∴a=1. 点评: 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物 线相交问题转化为把直线的方程与抛物线的方程联立得到根与系数的关系、 两点间的距离公式 和等比数列的定义等基础知识与基本技能方法,属于难题. 24. (10 分)设 a>0,b>0,m>0,n>0.

(Ⅰ)证明: (m +n ) (m +n )≥4m n ; 2 2 2 2 (Ⅱ)a +b =5,ma+nb=5,求证:m +n ≥5. 考点: 不等式的证明. 专题: 综合题;不等式. 分析: (Ⅰ)利用基本不等式,即可得出结论; (Ⅱ)利用柯西不等式即可得出. 解答: 证明: (Ⅰ)因为 m>0,n>0, 2 4 2 4 2 2 则 m +n ≥2mn ,m +n ≥2m n, 2 4 4 2 3 3 所以(m +n ) (m +n )≥4m n , 当且仅当 m=n=1 时,取等号. …(5 分) (Ⅱ)由柯西不等式可得: (m +n ) (a +b )≥(ma+nb) , 2 2 ∵a +b =5,ma+nb=5, 2 2 ∴5(m +n )≥25, 2 2 ∴m +n ≥5,当且仅当 na=mb 时取等号.…(10 分) 点评: 本题考查了基本不等式、柯西不等式的应用,属于基础题.
2 2 2 2 2

2

4

4

2

3 3


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