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参数方程与极坐标(精华版)


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参数方程与极坐标
参数方程知识回顾:
一、定义:在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个参数 t 的函数,



? x ? f (t ) ? ? y ? f (t ) ,其中,t 为参数,并且对于 t 每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x,

y)都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系 x、y 之间关系的变数 t 叫做参变数,简称参数. 二、二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程: 中心在(x0,y0) ,半径等于 r 的圆:

x ? x0 ? r cos? y ? y0 ? r sin ?

( ? 为参数, ? 的几何意义为圆心角) ,

特殊地,当圆心是原点时,

x ? r cos? y ? r sin ?

注意:参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系,而是分别体现了点的横纵 坐标与参数间的关系。 Eg1:已知点 P(x,y)是圆 x +y -6x-4y+12=0 上的动点,求: (1)x +y 的最值; (2)x+y 的最值; (3)点 P 到直线 x+y-1=0 的距离 d 的最值。 Eg2:将下列参数方程化为普通方程 (1) x=2+3cos ? y=3sin ? (2) x=sin ? y=cos ? (3) x=t+
2 2 2 2 2

1 t 1 t2

y=t +

总结:参数方程化为普通方程步骤: (1)消参(2)求定义域 2、椭圆的参数方程: 中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆:

x ? a cos? y ? b sin ?

( ? 为参数, ? 的几何意义是离心角,如图角 AON 是离心角)

注意:离心率和离心角没关系,如图,分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆,M 点 的轨迹是椭圆,中心在(x0,y0)椭圆的参数方程:

x ? x0 ? a cos? y ? y 0 ? b sin ?

1

Eg:求椭圆

x2 y2 ? =1 上的点到 M(2,0)的最小值。 36 20

3、双曲线的参数方程: 中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线:

x ? a sec? y ? btan?

( ? 为参数,代表离心角) ,中心在

(x0,y0) ,焦点在 x 轴上的双曲线: 4、抛物线的参数方程:

x ? x0 ? a sec? y ? y 0 ? b tan?

顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上的抛物线:

x ? 2 pt 2 y ? 2 pt
(t 为参数,p>0,t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数) 直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线(直线)的参数方程 过定点 P0(x0,y0) ,倾角为 ? 的直线, P 是直线上任意一点,设 P0P=t,P0P 叫点 P 到定点

x ? x0 ? t cos? y ? y0 ? t sin ? P0 的有向距离,在 P0 两侧 t 的符号相反,直线的参数方程
t 的几何意义为有向距离) 说明:①t 的符号相对于点 P0,正负在 P0 点两侧 ②|P0P|=|t| 直线参数方程的变式:

(t 为参数,

x ? x0 ? at y ? y0 ? bt

,但此时 t 的几何意义不是有向距离,只有当 t 前面系

2

数的平方和是 1 时,几何意义才是有向距离,所以,将上式进行整理,得

x ? x0 ? y ? y0 ?
离。 Eg:求直线

a a ?b b
2 2 2

( a 2 ? b2 t)
,让 a 2 ? b 2 t 作为 t,则此时 t 的几何意义是有向距

a ?b

2

( a 2 ? b 2 t)

x=-1+3t y=2-4t,求其倾斜角.

极坐标知识回顾:
一、定义:在平面内取一个定点 O,叫做极点,引一条射线 Ox,叫做极轴,再选一个长度 单位和角度的正方向(通常取逆时针方向) 。对于平面内的任意一点 M,用ρ 表示线段 OM 的 长度,θ 表示从 Ox 到 OM 的角,ρ 叫做点 M 的极径,θ 叫做点 M 的极角,有序数对(ρ , θ ) 就叫做点 M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

M

?
?

O

图1

x

练习:在同一直角坐标系中,画出以下四个点 A(1,

? 3? ? )B(2, )C(3,- ) 2 4 4

思考:上述点关于极轴以及极点的对称点 说明: (1)极坐标有四个要素:①极点;②极轴;③长度单位,即极径;④角度单位及它的 方向,即极角. (2)在极坐标系下,一对有序实数 ? 、? 对应唯一点 P( ? ,? ),但平面内任一个点 P 的极坐标不唯一,因为 ? 具有周期. (3)如无特殊要求,则极径取正值.

直角坐标与极坐标的互化:

直角坐标(x,y) ?极坐标( ? , ? )

3

2 2 ?= x ?y

tan ? =

y x

极坐标( ? , ? ) ?直角坐标(x,y) x= ? cos ? y= ? sin ? 练习 1:将下列直角坐标化为极坐标 A(1,-1) B(1,π ) 练习 2:将下列极坐标化为直角坐标 A(2,

2? ) B(1,2) 3

练习 3:分别求下列条件中 AB 中点的极坐标 (1) (4,

? 2? ? 2? ) (6,) ; (2) (4, ) (6, ) 3 3 3 3

二、直线的极坐标方程 ⑴ ? ? ? 0 或 ? ? ? 0 +π ⑵? ?

a cos ?

⑶? ? ?

a cos ?
M

M(? , ?
?

M


?
?

?
?

0

O

x

O

a

a O

图1
? ? ?
⑷? ?
0

图2
a ? ? cos ?

图3
? ? ?
a cos ?

a sin ?
M

⑸? ? ?

a sin ?
?

a
?

?
O
M

?

O

a

图4

图5
? ??

a ?? sin ?
三、圆的极坐标方程

a sin?

4

⑴? ? a
a ?
?

⑵ ? ? 2a cos?
M
?

?
x

M x

⑶ ? ? ?2a cos? M

?

?

O

O

a

a

O

x

图1
? ? a ⑷ ? ? 2a sin ?
M a
?

图2
? ? 2 a cos ?
⑸ ? ? ?2a sin ? ?

图3
? ? ?2a cos?

O

x

?
M
x

?
a

O

图4
? ? 2a sin ?

图5
? ? ?2asin?

四、圆锥曲线统一方程(椭圆、抛物线、双曲线)

设 OA =P

MO MN

? e,

ep ? ?e ?? ? 1 ? e cos ? p ? ? cos?

其中,当 0<e<1 为椭圆,e=1 为抛物线,当 e>1 为双曲线

考点一:直线参数方程中参数的意义. 1.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ?

?
6


2 2

(1)写出直线 l 的参数方程。 (2)设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两 点的距离之积。
5

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 解: (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2 ? 3 x ? 1? t ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 得 (2)把直线 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
(1 ? 3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2
2.过点 P (

10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N ,求 PM ? PN 2

的值及相应的 ? 的值。

? 10 ? t cos ? ?x ? 解 : 设 直 线 为 ? (t为参数) , 代 入 曲 线 并 整 理 得 2 ? y ? t sin ? ?
3 ?0 2 3 ? 2 2 则 PM ? PN ? t1t2 ? 所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ? , PM ? PN 的最 2 2 1 ? sin ? 3 ? 小值为 ,此时 ? ? 。 4 2 (1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? )t ?
3.直线 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为 y ? 2 ? t ?
? x ? 1 ? 5t ? ? x ? 1 ? 2 t ? ? ?? ? ?y ? 2 ? t ? y ? 1 ? 5t ? ? ?

.

【解析】 :

2 ? x ? 1 ? 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y ? 2 ?t 5

x2 ? y 2 ? 9 得 (1 ? 2t )2 ? (2 ? t )2 ? 9,5t 2 ? 8t ? 4 ? 0
12 8 16 12 5 t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? (? )2 ? ? ,弦长为 5 t1 ? t2 ? 5 5 5 5

6

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 4.直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点,则 AB 的中点坐标 ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
为________ 解:

t ?t 1 3 2 (1 ? t )2 ? (?3 3 ? t ) ? 16 ,得 t 2 ? 8t ? 8 ? 0 , t1 ? t2 ? 8, 1 2 ? 4 2 2 2

1 ? x ? 1? ? 4 ? ? 2 ? ?x ? 3 中点为 ? ?? ?y ? ? 3 ? y ? ?3 3 ? 3 ? 4 ? ? ? 2
考点二:用极坐标方程、参数方程研究有关的位置关系的判定 1.直线 ?

? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2cos ? 与圆 ? 相切,则 ? ? _______________。 y ? t sin ? y ? 2sin ? ? ?

2.在极坐标系中,已知圆 ? ? 2 cos? 与直线 3? cos? ? 4 ? sin ? ? a ? 0 相切,求实数 a 的 值。 考点三:用极坐标方程、参数方程研究有关的交点问题 1.在极坐标系 ?? ,? ?, ?0 ? ? ? 2? ? 中,曲线 ? ? 2 sin ? 与 ? cos? ? ?1 的交点的极坐标 为______.

5 2 ? ? ?x ? t ? x ? 5 cos ? (0≤?<? ) 和 ? 2.已知两曲线参数方程分别为 ? 4 (t ? R ) ,它们的交点 y ? sin ? ? ? ? ?y ? t
极坐标为 .

考点四:用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题 一、 1. 求直线 l1 : ?

? ?x ? 1? t (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P y ? ? 5 ? 3 t ? ?

与 Q(1, ?5) 的距离。 2.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) ,则 ? y ? 2 ? 4t

AB ? _______。
7

1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。 3.直线 ? 1 ? y ? ?1 ? t ? ? 2
二、距离最大最小问题 4.在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12
4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? ? x ? 4 cos ? ,d ? 5 ? ? y ? 2 3 sin ?

解:设椭圆的参数方程为 ?

?

4 5 4 5 ? cos? ? 3 sin ? ? 3 ? 2cos(? ? ) ? 3 5 5 3

当 cos(? ?

?
3

) ? 1 时, d min ?

4 5 ,此时所求点为 (2, ?3) 。 5

x2 y 2 ? ? 1 上,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。 5.点 P 在椭圆 16 9
12 2 cos(? ? ) ? 24 12cos ? ? 12sin ? ? 24 4 解:设 P(4cos ? ,3sin ? ) ,则 d ? 即d ? , 5 5
当 cos(? ?

?

?
4

) ? ?1 时 , d max ?

12 ? (2 ? 2) ; 当 cos(? ? ) ? 1 时 , 5 4

d min ?

12 (2 ? 2) 。 5

考点五:极坐标方程与参数方程混合

? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 1. 在直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) 。 在极坐标系 (与 ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2 直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆
C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? 。 (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (3, 5) , 求|PA|+|PB|。 【解析】 (Ⅰ)由 ? ? 2 5 sin ? 得 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0, 即 x2 ? ( y ? 5)2 ? 5.

8

(Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (3 ?

2 2 2 2 t) ? ( t) ? 5 , 2 2

即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0, 由于 ? ? (3 2)2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实根, 所 以 ?1

? ?t ? t2 ? 3 2 ? ?t1t2 ? 4

, 又直线l过点P(3, 5), 故 由 上 式 及 t 的 几 何 意 义 得 :

|PA|+|PB|= | t1|+|t 2 | = t1 +t 2 = 3 2 。 2. 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ,M 为 C1 上的 (? 为参数) ? y ? 2 ? 2sin ?

动点,P 点满足 OP ? 2OM ,点 P 的轨迹为曲线 C2 . (I)求 C2 的方程; (II)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(

?
3

与 C1 的异于极

X Y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

?x ? ? 2 cos? , ? ? ?2 ? ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ? ? ?2 ?
从而 C 2 的参数方程为 ?



? x ? 4 cos? ? ? ? ? y ? 4 ? 4 sin ? ?

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ? y ? 4 ? 4sin ?

(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3 3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?
?
3 3

, 。

所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 .
?x=1+tcosα , ? 3.已知直线 C1:? ?y=tsinα , ?

(t 为参数),圆 C2:?

?x=cosθ ? ?y=sinθ , ?

(θ 为参数).

(1)当 α =

π 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

9

(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 α 变化时,求 P 点轨迹 的参数方程,并指出它是什么曲线. π 2 2 解:(1)当 α = 时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1),C2 的普通方程为 x +y =1. 3

?y= 3 x- 联立方程组? ?x2+y2=1,



1 3 解得 C1 与 C2 的交点为(1,0),( ,- ). 2 2
2

(2)C1 的普通方程为 xsinα -ycosα -sinα =0.A 点坐标为(sin α ,-cosα sinα ), 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为 1 ? ?x=2sin α , ? 1 ? ?y=-2sinα cosα ,
2

(α 为参数).

P 点轨迹的普通方程为(x- )2+y2= .故 P 点轨迹是圆心为( ,0),半径为 的圆.

1 4

1 16

1 4

1 4

10


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