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数列问题解题策略(上)


数列问题解题策略(上)
讲师:明知白

数列的内容在教科书上不是很多, 但它是高考大题的重要组成部 分。 ( I )数列问题主要有以下几类: 1.数列及其通项与前 n 项和; 2.等差数列与等比数列的概念、通项公式、求和公式以及相应的 性质(教科书主体内容) ; 3.子数列(在原数列中抽取一些数组成新的数列) 、分组数列与混 合数列问题;数表与数阵;

4.递推数列问题(教科书的不同呈现与高考的变化) ; 【常出现在 高考的压轴题中, 近些年常与函数、 导数、 不等式的知识点结合考查】 5.数列综合问题. ( II)教学目标 着力抓好问题 1 与问题 2,根据两个实际(高考的实际情况和学 生的实际情况) ,适度拓宽与延伸其他问题. ( III)数列问题解题策略 对于熟知的问题,如 an 与 Sn 的关系,等差数列与等比数列,常见

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的求和方法(倒序相加、错项相减、列项求和,以及转化的方法) , 四类常见的递推数列,运用学过的知识与方法解决. 对于陌生的问题 思路一:转化为熟知问题; 思路二: “写写看”——依规则,写数列,找规律 一、等差数列与等比数列的两类基本问题,数列求和问题 例 1 (高考题) (1)已知等差数列 {an }满足:则( ) D. a = 51 51

A.

a1 + a101 > 0

B. a + a < 0 2 100

C.

a3 + a99 = 0

1 (a ? a ) ? 10 1 ? 0 ?a1 ? a101 ? 0 法 1:由已知,S = 0 ,故2 1 101 101

所以 a3 + a99 = a1 + a101 = 0 ,选 C. 法 2:特殊数列法:取a = 0, 则选 C. n 【建议】把本题提高到基本量思想,题中只给出了一个条件,等差数 列是不能唯一确定的, 在这种状态下,找一个特殊的数列满足已知条 件。 (2 ) 设?an ? 为各项为正的等比数列, 且a 2 a 4 + 2a3 a5 + a 4 a6 = 25, 那 么 a3 + a5 = ( ) B.10
5 2

A.5

C.15

D.20

巧解:取 an ? a1 , 则 4a12 = 25, a1 = , 故a3 + a5 = 5, 选 A.

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例 2(高考题) 设 S n 是等差数列{an }的前 n 项和, 若 ( A. )
3 10

S3 1 S = , 则 6 = S6 3 S12

B.

1 3

C.

1 8

D.

1 9

分析:根据基本量思想,a n = f (a1 , d ), 只给一个条件,可用一个量表示 另一个量,即a1 = g (d ), 或 S n = an 2 + bn 中, a = g (b) ,代入 解法 1:设公差为 d,由已知,得
S3 ? S6 3? 2 d 1 2 ? ?a1 ? 2d, 6?5 3 6a1 ? d 2 3a1 ?

S6 中即可. S12

所以

S6 6a1 + 15 d 27 d 3 = = = ,故选 S12 12 a1 + 66 d 90 d 10

A.

S 9a ? 3d 1 解法 2:设 S n = an 2 + bn ,则由 3 ? ? 得 b = 3a, 故 S6 36a ? 6d 3

S6 36 a ? 6b 54 a 3 ? ? ? (选 A). S12 144 a ? 12 b 180 a 10
′ 解法 3: 因为 S 3 , S 6 ? S 3 , S 9 ? S 6 , S12 ? S 9 成等差数列, 设其公差为 d(以

下略). 解法 4: 由于{an}为等差数列,故 ( f n) = 即三点(3,
Sn 表示的点在一条直线上, n

S3 S6 S12 ) , (6, ) , (12, 12 )共线, 3 6

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于是

S6 S3 S12 S 6 6 3 ? 12 6 ?S ? 6S ? 8S . 12 6 3 6-3 12 - 6

由已知, S 6 ? 3S 3 , 故S12 ? 18S 3 ? 8S 3 ? 10S 3 , 所以
S6 3S3 3 ? ? S12 10S3 10

,选 A.

例 3 分母为 3, 大小介于 m 与 n (m<n) 之间的所有分数之和是

.

分析:分母为 3,介于 m 与 n 之间的所有分数(可约的与不可约 的)是

即 ... ... … … … … ? 其中

m+1,m+2,…,n-1,... ... … … … … ... ... … … …?
不合要求,符合要求的分数是 .................? 它不是等差数列,如何求和呢? 【在给学生的讲解过程中, 可以多列出几个中间项, 以方便学生观察。 数学教学的根本目的之一不是让学生记住公式、套公式, 而是会观察
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规律。数列是一串有规律的数,必须学会观察。 】
? 解法 1:设数列?共有 k 项,则n - = ? m + ÷ + (k - 1) ? ? 3 è 3? 3 1 1 1

解得 k=3(n-m)-1(也可启示学生直接写出),于是?的和为
S1 = (m + n)(3n - 3m - 1) . 2

由数列?的和为
S2 = (m + n)(n - m - 1) . 2

于是所求之和为

【对于整个数列有多少项,常有学生会搞不清楚。可以引导学生,以 手为模型,简单的数一下,找到规律,算出项数。 】 解法 2:将所求数列?两两相加得, 2m+1,2m+3,2m+5,...,2n-1, 它的和
S= (2 m + 1 + 2n - 1)(n - m) = n2 - m2 . 2

解法 3:将数列?中的奇数项与偶数项分别相加(各有 n-m 项) 后再相加(略). 解法 4:所求数列?为
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. 将它倒写如下: . 两式相加,得 (m+n)+(m+n)+...+( m+n) (共有 n-m 项)

=(m+n)(n-m)=n2-m2. 【点评】 将一个陌生的求和问题, 用多种方法转化为等差数列的求和, 或者用倒序相加法求和. 通过一题多解,复习了多种数学基础知识与 方法.

例 4 (高考题)设 { an }是等差数列,{bn }是各项均为正数的等比数 列,且 a1 = b1 = 1 , a3 + b5 = 21, a5 + b3 = 13. (1)求{ an }与{bn }的通项公式; (2)求数列{
an bn

}的前 n 项和公式. = .

解: (1) an = 1 + ( n –1)×2 = 2n - 1 ,

bn

2n?1

分析(2) : 【若学生并没有达到熟练掌握的水平,建议先让学生

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搞懂以下分析再进行求解】 数列

是等差数列, 数列

是等比数列,

因此数列 í n ? 为差比数列, 可用 “错位相减法” 求和.注意书写格式, 务求规范化.

ìa ü ? bn ?

例 5.将正整数数列从 1 开始,顺次先隔一个划掉 1 个,再隔一个划 掉 2 个,再隔一个划掉 4 个......依次类推(第 n 个划掉 2 n 个) ,得以下 数列:1,3,6,11,20......求此数列 an 和 S n 。 分析: 下列数列中画○者为保留的项: ①,2,③,4,5,⑥,7,8,9,10, ,12,13,...... 观察保留的数列的第 n 项是正整数数列的第几项?

二、分组数列、数表与数阵 人教 B 版与北师大版教科书中都有数表问题,如 例 1 (B 版)将正整数数列 1,2,3,4,5,...的各项按照上小下大,

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左小右大的原则写成如下的三角形数表:

(1)写出数表中的第 4 行,5 行的各数; (2)写出数表中的第 10 行的第 5 个数; (3)※数表中每行的第 1 个数依次构成数列{an} ,数表中每行的 最后 1 个数依次构成数列{bn} ,试分别写出数列{an}与{bn}的递 推公式 .

例 2(北师大版)观察下面的数阵,容易看出,第 n 行最右边的数是

n2,那么第 20 行最右边的数是几,第 20 行所有数的和是多少?

例 3. 把正整数列按“第 n 组含有 n 个数”的规则分组如下: (1), (2,3) , (4,5,6) , (7,8,9,10) ,…. (1)求第 n 组中 n 个数的和;

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(2)求 2013 是第几组中的第几个数? 分析(1):关键是求出第 n 组中的第一个数或最后一个数. 解法一: (1)根据分组原则,第(n-1)组的最后一个数是 1+2+3+…+(n-1)= n(n-1),
1 2 1 2

因而第 n 组的第一个数是 n(n-1)+1,于是第 n 组 n 个数的和是
1 2 1 2 n 2

[ n(n-1)+1+ n(n-1)+n]×
1 2

= n(n2+1).
1 2

(2):由(1)知,只要求不等式 n(n-1)+1≤2013 的最大整数.
1 2

由 n(n-1) +1≤2013 得

n2-n-4024≤0.
解得 n≤63.? . 因此取 n=63,即 2013 在第 63 组中. 前 62 组共含有 1+2+…+62=1953 个正整数,而 2013-1953=60, 所以 2013 是第 63 组中的第 60 个数.

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解法二:(1)根据分组原则,第 n 组的最后一个数为 1+2+3+…+n= n(n+1).
1 2 1 2

我们把第 n 组的个数由后往前看,则它是首项为 n(n+1),公差 为-1 的等差数列,其和为
1 2 1 2

n(n+1)〃n+ n(n-1)〃(-1)

1 2

= n(n2+1).
1 2

(2)由(1),求不等式 n(n+1)≥2013 的最小正整数,得 n=63.(以 下略) 【点评】这类数列问题称为“分组数列” ,在日本称为“群数列” 。 【推广】当{an}为等差数列时,不难证明: 设{an}为等差数列,公差为 d,把它按“第 n 组含有 n 个数”的规 则分组:

(a1),(a2 , a3) , (a4 ,a5 ,a6),…,
那么群数列的第 n 组的首项为 a1+ n(n-1)d,第 n 组中 n 个数的和为
1 2

na1+ n(n2-1)d.
【思考】把等差数列改为等比数列,相应地有什么结论?

1 2

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例 4 把正的奇数列按下表排列: (1 ) (2 )

试求 2013 在表中的第几行第几列? 分析:把上述“数阵“问题转化为群数列问题. 解: (2)按规则,分群如下: (1 ) , (3,5,7) , (9,11,13,15,17) ,…, 其中第 n 组含有 2n-1 个数. 由于正的奇数列的 an=2n-1, 所以群数列的第 n 群的最后一个数 是 2[1+3+5+…+(2n-1)]-1 =2n2-1. 解不等式 2n2-1≥2013 得

n≥ 31.6….

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于是取 n=32,故 2013 属于第 32 群. 因为 32 群的最后一个数是 2×322-1=2047, 所以 2013 是第 32 群中的倒数第 18 个数. 按照分群原则及数阵特征,2013 在数阵中的第 32 行第 18 列. 【点评】将数阵问题采用“拿出来放回去”的方法,得以解决。 根据分群原则,及数阵特征,将第 32 群再放回数阵中,处于直 角的形状。 纵向第一个数是 1921,拐过来是横向第一个 2047。 因此 2013 是横向的第 18 个(放回去) 。

例 5 (北京高考题) 下表给出一个“等差数阵” : 4 7 7 12 ( ( ) ( ) … ( ) … … … … … ( )( ) ( ) … ) ( )( ( )( ( )( ) ( ) ) ( ) ) ( ) … … …

a1j a2j a3j

… …



a4j







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ai1


ai2


ai3


ai4


ai5


… …

aij


… …

其中每行、每列都是等差数列,aij 表示位于第 i 行第 j 列的数. (1)写出 a45 的值; (2)写出 aij 的计算公式; (3)证明:正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N+1 可以分 解成两个不是 1 的正整数之积。 (这种表述在课本中很少见,多出现于高等数学中) 分析:做(1)与(2)时, 可先写第一、二行(或列)的第 3,4 个数, 再写第三、四行(列)的各数.从而得到 a34,继而找出规律完成(2). 由(2)再证(3). 解:(1) a45=49. ( 2 ) 由 于

ai1=4+3(i-1)=3i-1,



aij=(3i+1)+(2i+1)(j -

1)=2ij+i+j. ……....(*) (3 ) 【一定要分清楚充要性是什么,必要性是什么】 必要性:若 N 在该数阵中,则由(*)知存在正整数 i,j 使得

N=2ij+i+j,
故 2N+1=4ij+2i+2j+1

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=(2i+1)(2j+1), 即 2N+1 可以分解为两个不是 1 的正整数之积. 充分性:若 2N+1 可以分解为两个不是 1 的正整数之积,由于 2N+1 是奇数,则它必为两个不是 1 奇数之积,即存在正整数 k,l, 使得 2N+1=(2k+1)(2l+1)=4kl+2k+2l+1, 所以 N=2kl+k+l=akl,即 N 在该数阵中. 综上可知, 正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N+1 可以分 解成两个不是 1 的正整数之积。 反思:本题是一个二维的等差数列问题,由它的前几项(即给出 首项与公差) 可以写出它的后续若干项, 从而得到 a45 与 “通项公式”

aij=2ij+i+j.
【背景】印度学生辛德拉姆经研究获得:凡以上数表中的数,它的 2 倍加 1 一定是合数;反之,一个合数,它减 1 除以 2 必在此表中.

例 6 (全国高考题 22) (I)设{an } 是集合 ?2t ? 2 s 0 ? s ? t , 且s, t ? Z ? 中所有的数从小到 大排列成数列,即 a1 ? 3 , a2 ? 5 , a3 ? 6 , a4 ? 9 , a5 ? 10 , a6 ? 12 ,…将数 列{an } 各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形数 表:
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(i)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数; (ii)求 a100 ; (II) (本小题为附加题,如果解答正确,加 4 分,但全卷总分不 超过 150 分) 设 {bn }是集合 ?2t ? 2 s ? 2 r 0 ? r ? s ? t , 且r , s, t ? Z ?中所有的数从小 到大排列成的数列.已知 bk ? 1160,求k . 分析:这是一道背景新颖的研究性题目,十分精彩! 为了理解题意并做(Ⅰ) ,不妨按题意写出数列的前若干项.下 手时有两种顺序:一种思路是先固定 s,再取 t 的值(不好). 一种思路是先固定 t,再取 s,即 令 t=1,s=0 得a1 ? 3 ; 令 t=2,s=0,得a2 ? 5 ; 令 t=2,s=1,得a3 ? 6 ; 令 t=3,s=0,1,2,分别得到a4 ? 9 ,a5 ? 10 ,a6 ? 12 ; 令 t=4, s=0,1,2,3,分别得到a7 ? 17 , a8 ? 18 , a9 ? 20 , a10 ? 24 .

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由此得出三角形数表第四行中的四个数为 17,18,20,24. 令 t=5,s=0,1,2,3,4 分别得到数表第五行为 33,34,36, 40,48. 【探究】这个三角形数表就是: 3 5 6 ( t=1,s=0) ( t=2,s=0,1) ( t=3,s=0,1,2) ( t=4,s=0,1,2,3) ( t=5,s=0,1,2,3,4)

9 10 12 17 18 20 24 33 34 36 40 48

它的每一行相邻两数之差组成等比数列{2 n?1 } ,各行第一个数也组 成二阶等比数列.
21 ? 20

2 2 ? 20

2 2 ? 21

23 ? 2 0

23 ? 21

23 ? 2 2

2 4 ? 20

2 4 ? 21

24 ? 22

2 4 ? 23

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25 ? 2 0

25 ? 21

25 ? 2 2

25 ? 23

25 ? 2 4

不难知道, 24 ? 23 <25 ? 20 ,一般地2t ? 2t ?1 <2t ?1 ? 20 再做(ii), 求 a100 . 设 a100 为第 t 行中的某一个数,则三角形数表第 1 行到第 t-1 行共 有 1+2+3+…+( t-1)=
t(t - 1) 2 t(t - 1) 2

(项) .

满足

<100 的最大整数是 t=14, 前 13 行共有 91 项, 故 a100 处

于第 14 行的第 9 个位置,即 s=8, t=14, 【此处极易出错。在第九个位置上 s 不是 9,因为 s 是从 0 开始的】 故

a100 = 214 ? 28 =16640。

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